TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009 79 2-NHÓM HỮU HẠN LỚP HAI, SINH BỞI HAI PHẦN TỬ VỚI NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ LÀ CYCLIC THE FINITE CLASS TWO 2-GROUPS GENERATED BY TWO ELEMENTS WITH A CYCLIC COMMUTATOR SUBGROUP Nguyễn Viết Đức Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Bài toán phân loại theo quan hệ đẳng cấu các p -nhóm hữu hạn với nhóm con giao hoán tử là cyclic đã được nghiên cứu bởi Ying Cheng [1], [2] và R.J.Miech [4]… Mục đich của bài báo là phân loại các 2-nhóm G lớp hai được sinh bởi hai phần tử và nhóm con giao hoán tử [G,G] là tuần hoàn thành các lớp không đẳng cấu với nhau. ABSTRACT The isomorphism problem for finite p-groups with cyclic commutator subgroup has been researched by Ying Cheng [1], [2] and R.J.Miech [4]. This paper presents the complete classification of the finite nilpotent 2-groups G of class two, where G is generated by two elements and the commutator subgroup of G is cyclic. 1. Giới thiệu và kết quả chính Trong bài báo này, chúng tôi phân loại các 2-nhóm có lớp luỹ linh bằng 2, được sinh bởi 2 phần tử và có nhóm con giao hoán tử là cyclic theo quan hệ đẳng cấu. Các khái niệm cơ bản và công thức về giao hoán tử chúng tôi sử dụng trong các tài liệu [3], [5]. Chúng sẽ ta bắt đầu bởi việc mô tả các nhóm ta đang xét theo phần tử sinh và quan hệ cơ bản. Định lý 1. Cho G là một 2-nhóm không aben hữu hạn được sinh bởi hai phần tử và giả sử G có nhóm con giao hoán tử [G,G] là cyclic lớp 2 ([G,G] Z(G)). Khi đó G có cặp phần tử sinh {x,y} sao cho các quan hệ định nghĩa của nhóm là: trong đó R, S là các số nguy ên , nguyên tố cùng nhau với 2 và a, b, c, r, s là các số nguyên thoả mãn điều kiện a ≥ b ≥ c > 0 , 0 ≤ r, s ≤ c . Đảo lại cho trước một tập hợp các tham số {a, b, c, r, s, R, S } thoả các điều kiện này thì có một nhóm G với nhóm con giao hoán tử [G,G] là cyclic, lớp hai được định nghĩa bởi các quan hệ trên Các số a, b, c là các bất biến của nhóm G trong suốt bài báo ta luôn cố định các số này và như vậy nhóm G đang xét có cấp là 2 a+b+c . Từ đay về sau chung ta sẽ ký hiệu nhóm được định nghĩa trong Định lý 1 bởi [R2 r , S2 s ]. Như vậy TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009 80 [R2 r , S2 s ] = < x, y / >. Chúng ta có kết quả chính như sau: Định lý 2. Giả sử G là một 2-nhóm hữu hạn lớp 2, với nhóm con giao hoán tử là cyclic như trong Định lý 1. Lúc đó. a) Nếu s+a-b ≤ r ≤ c thì G đẳng cấu với [0, 2 s b) Nếu s < r < s+a-b thì G đẳng cấu với [2 ]. r , 2 s c) Nếu r ≤ s thì G đẳng cấu với [2 ]. r 2. Chứng minh Định lý 1 và phương pháp phân loại , 0]. Chứng minh Định lý 1.Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc chứng minh Bổ đề sau: Bổ đề 1. Nếu G là một nhóm luỹ linh lớp 2 thì với bất kỳ x, y G, ta có: a) [ , ]= . b) [ , ]= . Chứng minh: a) Ta có: [x 2 ,y] =[x, y] [x, y, x] [x, y] =[x, y] 2 , suy ra [x 3 , y] =[x 2 , y] [x 2 , y, x] [x, y]= [x, y] 3 Qui nạp ta có [x . α , y]= [x, y] α , suy ra [x α , y 2 ]= [x α , y] [x α , y] [x α , y, y] = [x, y] 2α . Tương tự quy nạp ta có: [x α , y β ]= [x, y] αβ b) [ . , ] = [ [ ] = [ [ ] = [ = [ = . Bây giờ giả sử G là một nhóm có nhóm con giao hoán tử G 2 = [G,G] là cyclic. Do G sinh bởi 2 phần tử , nên ta có thể giả sử G/G 2 = <G 2 × x> < G 2 y> , với <G 2 x> cấp 2 a , < G 2 y> cấp 2 b Đặt z = [x, y] . Giả sử G và a ≥ b. 2 = <z> có cấp 2 c . Ta có G 2 , G 2 , nên tồn tại R, S, r, s sao cho . Do G 2 Z(G), nên [z, x] = [z,y] = 1. Cuối cùng áp dụng Bổ đề 1 , ta có 1= [ [x, . Do đó a . Đảo lại với một nhóm G được xác định bởi phần tử sinh và quan hệ ở trên ta dể dàng kiểm chứng được [G,G] là cyclic và [G,G] Z(G).Vậy Định lý 1 đã được chứng minh. Định lý sau đây cho chúng ta phương pháp để chứng minh Định lý chính. TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009 81 Định lý phân loại. Cho G = <x , y> được định nghĩa bởi [R2 r, S2 s ] và G’ = < x’ , y’ > được định nghĩa bởi [R’ ]. Giả sử là một ánh xạ từ G’ lên G được xác định bởi: (x’ = , (y’ = Ký hiệu = . Khi đó là đẳng cấu nếu và chỉ nếu ( và R’ , = S Để chứng minh Định lý này ta cần Bổ đề sau: Bổ đề 2. Cho G là một nhóm như trong Định lý 1. Khi đó với bất kỳ số nguyên , ta có ( = , ( = . Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh ( = với mọi n c . Ta có: ( = = = = . ( = . Tương tự bằng qui nạp ta chứng minh được ( = . Do n , nên ta có điều cần chứng minh. Chứng minh định lý phân loại . Với s, t Z(G), ta có [At, Bs] = [A,B] với mọi A, B G. Do đó áp dụng Bổ đề 1 Ta có [ x’ , y’ = [(x , (y ] = [ (*) ((x = ([ x’, y’ ] = ([ x’ , y’ = (1) ((x = ( = (theo Bổ đề 2) = (2) Từ (1) và (2) ta có đẳng thức . Tương tự ta chứng minh được đẳng thức còn lại. Từ (*) , do ( sinh của [G,G]. Vậy Định lý được chứng minh. TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009 82 3. Chứng minh định lý chính Chúng ta sẽ áp dụng Định lý phân loại để chứng minh Định lý chính. Trước hết do (R,2) = 1, suy ra (R, 2 a ) = 1, nên tồn tại Z, sao cho R+ 2 a =1 R = 1- 2 a . Cũng vậy, do (S, 2) = 1, suy ra (S, 2 b ) = 1, nên tồn tại Z, sao cho S+ 2 b =1 S = 1- 2 b x’= . Đặt , y’ = , ta có = , do R = 1- 2 a , S = 1- 2 b và (R, 2) = 1, (S, 2) = 1, nên ( , 2) = 1 và G’= [2 r , 2 s ]. Do đó G [2 r , 2 s Bây giờ xét trường hợp s+a-b ≤ r ≤ c. Đặt x’= ]. , y’ = y , với = . Ta có và = = =1. Do đó G [0, 2 s Cuối cùng xét trường hợp r ≤ s. Đặt x’ = x, y’ = ]. , với và = . Ta có và = = =1. Do đó G [2 r , 0]. Kết thúc chứng minh Định lý chính. TÀI LI ỆU THAM KHẢO [1] Ying Cheng. On finite p-groups wwith cyclic commutator subgroup. Arch.Math.Soc. Noitice 79T A229 ISS A509-196(1979). [2] Ying Cheng. On finite p-groups wwith cyclic commutator subgroup. Arch.Math. 295-298 (1982). [3] D.Gorenstein. Finite group, New York-London, 1968. [4] R.J.Miech. On p-group with a cyclic commuutator subgroup. J.Austral.Math.Soc. (Ser A)20, 178-198(1975). [5] M.Suzuki. Group Theory II, Springer-Verlag, New York, 1986. . -nhóm hữu hạn với nhóm con giao hoán tử là cyclic đã được nghiên cứu bởi Ying Cheng [1], [2] và R.J.Miech [4]… Mục đich của bài báo là phân loại các 2 -nhóm G lớp hai được sinh bởi hai phần tử. TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009 79 2-NHÓM HỮU HẠN LỚP HAI, SINH BỞI HAI PHẦN TỬ VỚI NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ LÀ CYCLIC THE FINITE CLASS TWO. aben hữu hạn được sinh bởi hai phần tử và giả sử G có nhóm con giao hoán tử [G,G] là cyclic lớp 2 ([G,G] Z(G)). Khi đó G có cặp phần tử sinh {x,y} sao cho các quan hệ định nghĩa của nhóm là: