Nhóm abel hữu hạn sinh

1 Trờng Đại học Vinh Khoa toán ======== Hồ thị thanh nga Nhóm abel hữu hạn sinh Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán ====Vinh, 2005=== 2 Trờng Đại học Vinh Khoa toán ======== Nhóm abel hữu hạn sinh Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Cán bộ hớng dẫn khoa học: Th.s. Nguyễn Quốc thơ Sinh viên thực hiện: Hồ thị thanh nga Lớp: 41E 4 - Khoa Toán ====Vinh/2005=== Phần mở đầu Một nhóm G đợc gọi là nhóm Abel hữu hạn sinh, nếu G là nhóm Abel với tập sinh hữu hạn. Trong lý thuyết nhóm, lớp nhóm Abel đóng một vai trò quan trọng và có nhiều ứng dụng trong toán học cũng nh các ngành khoa học khác. Đã từ lâu việc nghiên cứu nhóm Abel đợc nhiều nhà toán học quan tâm, kết quả thu đợc rất phong phú, nhng các kết quả đó khá rộng và tổng quát. Nội dung chính của khoá luận tốt nghiệp này là chúng tôi xét cho trờng hợp cụ thể là lớp nhóm Abel hữu hạn sinh. Nội dung chính của khoá luận đợc chia thành hai chơng: Chơng I: Khái niệm nhóm. Trong chơng này chúng tôi hệ thống lại các khái niệm đã biết về nhóm tự do, và tích trực tiếp của các nhóm. Cụ thể: Đ 1. Khái niệm về nhóm. Đ 2. Môđun tự do. Đ 3. Nhóm tự do. Đ 4. Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của các nhóm. Chơng II: Nhóm Aben hữu hạn sinh. Nội dung của chơng này là chúng tôi xét một số tính chất của nhóm Abel hữu hạn sinh. Đ 1. Nhóm Abel hữu hạn sinh không xoắn. Trong tiết này chúng tôi đa ra định nghĩa nhóm không xoắn, nhóm Abel tự do. Kết quả chính ở trong tiết này là Định lý 1.9: Mọi nhóm Abel hữu hạn sinh và không xoắn đều là một nhóm Abel tự do, tức là đẳng cấu với tích của một số hữu hạn nhóm xyclic . Đ 2. Nhóm Abel hữu hạn. Dựa vào định nghĩa cấp một phần tử của nhóm, chúng tôi định nghĩa nhóm tuần hoàn nếu nó trùng với nhóm con xoắn của nó, tức là mọi phần tử của 3 nó đều tuần hoàn. Kết quả chính của tiết này đó là Định lý 2.3, nói lên một nhóm Abel với cấp hữu hạn là tích các lũy thừa của các số nguyên tố p i . Khi đó nó đợc phân tích thành tích trực tiếp của các nhóm con có cấp là lũy thừa của p i . Từ đó ta chứng minh đợc Định lý 2.6 Mọi p - nhóm Abel đều đẳng cấu với một tích của các p - nhóm xyclic . Cuối cùng cho ta một mô tả nhóm Abel hữu hạn sinh Nếu G là nhóm Abel hữu hạn sinh và G t là một nhóm con xoắn gồm tất cả các phần tử có cấp hữu hạn trong G. Khi đó, G t là nhóm hữu hạn và G/G t là nhóm Abel tự do (Định lý 2.8). Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tâm, nhiệt tình của thầy giáo Th.S . Nguyễn Quốc Thơ. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của thầy. Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Đại số nói riêng và khoa Toán nói chung đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ cho tác giả trong suốt thời gian học tập ở trờng. Mặc dù, đã rất nhiều cố gắng nhng khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót. Do vậy, Tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý và chỉ bảo của các thầy cô, các bạn để khoá luận đợc hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 05 năm 2005 Tác giả 4 Chơng I : Khái niệm nhóm Đ1. KháI niệm về nhóm Giả sử G là một tập hợp khác rỗng. Mỗi ánh xạ o : G ì G G, (x,y) o(x,y) đợc gọi là một luật hợp thành ( hay một phép toán hai ngôi) trên G. ảnh của phần tử (x, y) G ì G bởi ánh xạ o đợc ký hiệu là xoy , và đợc gọi là tích (hay hợp thành) của x và y. 1.1. Định nghĩa: Một nhóm là một cặp (G,o) trong đó G là một tập hợp khác rỗng và o là một luật hợp thành trên G, thỏa mãn 3 điều kiện sau đây: (G 1 ) Luật hợp thành có tính chất kết hợp, tức là : (xoy)oz = xo( yoz), với x, y, z G. ( G 2 ) Trong G tồn tại phần tử e sao cho: xoe = eox = x, với x G. Khi đó e đợc gọi là phần tử đơn vị của G. (G 3 ) Với x G, tồn tại phần tử y G sao cho: xoy = yox = e. Khi đó y đ- ợc gọi là nghịch đảo của x và ký hiệu: y = x -1 Mệnh đề sau đâ là một hệ quả của định nghĩa trên. 1.2. Mệnh đề : Giả sử ( G, o) là một nhóm. Khi đó : (i) Phần tử đơn vị của G là duy nhất. (ii) Với x G , phần tử nghịch đảo x -1 của x là duy nhất. Chứng minh: (i) Giả sử e 1 , e 2 là các phần tử đơn vị của G . Khi đó e 1 = e 1 oe 2 ( vì e 2 là đơn vị ) . = e 2 ( vì e 1 là đơn vị ). (ii) Giả sử x 1 , x 2 là các phần tử nghịch đảo của x. Ta có : x 1 = x 1 oe = x 1 o(xox 2 ) = (x 1 ox)ox 2 ( Do tính chất kết hợp củao) = eo x 2 = x 2 1.3. Định nghĩa: Cho G là một nhóm và A G. Tập con A đợc gọi là nhóm con của G nếu A cùng với phép toán trên G lập thành một nhóm. 5 1.4. Mệnh đề: Tập con A G là nhóm con của nhóm (G, o , e ) khi và chỉ khi x.y -1 A, với x, A. Chứng minh: - Điều kiện cần: Giả sử x,y A. Khi đó theo điều kiện 2 của định nghĩa ta có -1 A. Theo điều kiện 1 thì xo -1 A. - Điều kiện đủ: Vì A nên có a A. Khi đó e = a.a -1 A. Do đó x A ta có x -1 = e. x -1 A. Điều kiện 2 đợc thoả mãn . Giả sử x,y A đặt z = -1 A ta có : x.y = x.(y -1 ) -1 = x. z -1 A. Vậy điều kiện 1 đợc thoả mãn. A là một nhóm con của nhóm (G, o, e ). (đpcm) 1.5. Định lý: Giao của một họ bất kì các nhóm con của một nhóm G cũng là một nhóm con của G. Chứng minh: Xét một họ bất kỳ (A ) I các nhóm con của G và gọi A là giao của chúng. Trớc hết ta có A , vì phần tử đơn vị e của G thuộc A , với I, do đó e A. Bây giờ ta lấy hai phần tử bất kỳ x,y A. Vì x, y A, nên x, y A , với I vì các A là những nhóm con nên xy -1 A , với I, do đó xy -1 A. Vậy A là nhóm con của G. (đpcm). 1.6. Định nghĩa: Ta nói X là một tập sinh của G ( hay G đợc sinh bởi X) nếu <X> = G, tức là G là nhóm con nhỏ nhất của G chứa X . Khi đó nếu G không đợc sinh bởi một tập con thực sự nào của X thì ta nói X là một tập sinh cực tiểu của G. 1.7. Định nghĩa: Nhóm G đợc gọi là nhóm xyclic nếu G sinh bởi một phần tử a G. Phần tử a gọi là một phần tử sinh của G. Kí hiệu: G = <a> = {a n n ) 1.8. Định nghĩa: ( cấp của phần tử ) Cho G là nhóm và a G. Cấp của phần tử a là số tự nhiên n bé nhất sao cho a n = e ( Trong đó e là đơn vị của G). Từ định nghĩa của nhóm xyclic ta thấy cấp của phần tử a G là cấp của nhóm con xyclic sinh bởi phần tử a. 6 1.9. Định nghĩa: Một nhóm con H của nhóm G mà thoả mãn gH = Hg với g G thì H đợc gọi là nhóm con chuẩn tắc( hay là ớc chuẩn) của nhóm G. 1.10. Tiêu chuẩn nhóm con chuẩn tắc: Nhóm con H G đợc gọi là nhóm con chuẩn tắc ( hay là ớc chuẩn ) khi và chỉ khi với g G, với h H ta có : g -1 hg H. Kí hiệu : H G. 1.11. Định nghĩa: Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc của G. Gọi G/H = {aH\ a G}. Ta định nghĩa phép toán trong G/H nh sau: aH.bH = (ab)H, với aH, bH G/H. Khi đó G/H trở thành một nhóm và đợc gọi là nhóm thơng của G theo ớc chuẩn H. 1.12. Định nghĩa: Giả sử G và G' là các nhóm ( với luật hợp thành viết theo phép nhân). Một ánh xạ : G G' đợc gọi là một đồng cấu nhóm nếu : (xy ) = (x) ( ), với x,y G. Mệnh đề sau đâ là một hệ quả trực tiếp từ định nghĩa. 1.13. Mệnh đề: Giả sử : G G' là một đồng cấu nhóm khi đó : (i) chuyển đơn vị của G thành đơn vị của G', tức là (e) = e'. (ii) chuyển nghịch đảo x -1 của phần tử x G thành nghịch đảo của phần tử (x) G', tức là: (x -1 ) = (x) -1 Chứng minh: (i) Vì e. e= e và là một đồng cấu nhóm, cho nên : (ee) = (e)(e) = (e) = (e). e' Theo luật giản ớc, hệ thức nà kéo theo (e) = e'. (ii) Tác động đồng cấu vào các vế của hệ thức xx -1 = x -1 x =e , ta thu đợc : (x)(x -1 ) = (x -1 ) (x) = (e) = e'. Từ đó (x -1 ) = (x) -1 . Đ2. mô đun tự do 2.1. Định nghĩa : Giả sử M là một R - môđun (i) Tập con khác rỗng S M đợc gọi là một cơ sở của M nếu mỗi phần tử của M đều có biểu thị tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S. (ii) Môdun M đợc gọi là tự do nếu nó có một cơ sở, hoặc nó là môđun 0. Mệnh đề sau đâ là một hệ quả trực tiếp của các định nghĩa. 7 2.2. Mệnh đề: Các khẳng định sau đâ là t ơng đơng. (i) S là một cơ sở của R môđun M. (ii) S là một tập sinh độc lập tuyến tính của M. (iii) M = R S và linh hoá tử của s là Ann(s) = { x sx = 0} = 0, với s S. Nhắc lại rằng , nếu Ann(s) = 0 thì R S R. 2.3. Mệnh đề: Mỗi không gian véc tơ V trên trờng K đều là một K - môđun tự do. Chứng minh: Kết luận là tầm trờng với V = 0. Giả sử V 0, và S S' là các tập con của V, trong đó S độc lập tuyến tính ( chẳng hạn, S là tập chỉ gồm các phần tử khác 0), còn S' sinh ra V ( chẳng hạn, S' =V). Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một cơ sở B của V sao cho S B S'. Gọi B là tập hợp mà mỗi phần tử của nó là tập hợp chứa S, đợc chứa trong S' và độc lập tuyến tính trong V. Vì B chứa S nên B . Với thứ tự là quan hệ bao hàm, B đợc sắp quy nạp. Thật vậy, nếu }{ Ii i C là một tập con đợc sắp toàn phần trong B, thì C = i Ii C cũng độc lập tuyến tính và chứa S, nên C là một chặn trên của }{ Ii i C . Theo bổ đề Zorn, B có (ít nhất) một phần tử cực đại B. Nh thế B độc lập tuyến tính. Gọi (B) là không gian véctơ con của V sinh ra bởi B. Giả sử rằng có v V/(B). Khi đó B }{ v độc lập tuyến tính. Thật vậy, nếu nh : + Bx x bvxa = 0 (a x , b K), thì b = 0, nếu trái lại thì v = - xab x 1 (B). Do đó B độc lập tuyến tính nên b = 0 kéo theo a x = 0 với x B. Nh thế B }{ v là một phần tử trong B lớn hơn phần tử cực đại B. Mâu thuẫn nà chứng tỏ v= (B) . Vậy B là một cơ sở của V. (đpcm) 2.4. Mệnh đề: ( tính phổ dụng của mô đun tự do) 8 Giả sử M là một môđun tự do với cơ sở S = }{ Ii i x và }{ Ii i y là họ các phần tử tuỳ ý của môđun N. Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu môđun : M N sao cho (x i ) = i , với i I. Chứng minh : Mọi phần tử x M đều viết đợc duy nhất dới dạng một tổ hợp tuyến tính x = Ii ii xa , trong đó a i R và a i = 0 với hầu hết ( trừ một số hữu hạn ) chỉ số i. Ta đặt: (x) = Ii ii ya . Rõ ràng là một đồng cấu với (x i ) = i (i I). Tính duy nhất của suy từ chỗ, nếu tồn tại thì : (x) = ( ii xa ) = i a (x i ) = ii ya . (đpcm) 2.5. Hệ quả: Hai R môđun tự do với các cơ sở có cùng lực lợng thì đẳng cấu với nhau. Chứng minh : Giả sử M và N là các R - môđun tự do với các cơ sở tơng ứng là }{ Ii i x và }{ Ii i y .Theo mệnh đề trên, tồn tại duy nhất các đồng cấu : M N , : N M với (x i ) = i , ( i ) = x i (i I). Khi đó = id M , = id N. Cho nên M N. (đpcm) 2.6. Mệnh đề: Giả sử R là một vành giao hoán có đơn vị 1 0. Khi đó hai cơ sở bất kỳ của cùng một R - môđun tự do M đều có cùng lực lợng. Chứng minh: Chúng ta chứng minh mệnh đề nà dựa trên giả thiết là ta đã biết mệnh đề tơng tự cho các không gian véctơ : Hai cơ sở của cùng một không gian vectơ có cùng lực lợng . Tập hợp các iđêan thực sự của R đợc sắp quy nạp theo quan hệ bao hàm . Thật vậy, nếu }{ Ii i B là một họ đợc xắp tuyến tính các iđêan thực sự của R thì B = i Ii B cũng là một iđêan thực sự của R ( vì 1 B), và B là một chặn trên của }{ Ii i B . Do đó, theo bổ đề Zorn, R có một iđêan cực đại A. Khi đó K = R/A là một trờng. 9 Giả sử }{ Ii i x là một cơ sở của R - môđun tự do M. Khi đó M = Ii Rx i . Từ đó: M/AM Ii Rx i /Ax i Ii K[x i ], trong đó [x i ] = ( x i + AM ). Nh thế, M/AM là K - không gian vectơ với cơ sở [ ] }{ Ii i x . Vì các cơ sở của không gian véctơ M/AM có cùng lực lợng, nên các cơ sở R - môđun tự do M cũng vậy. (đpcm) Mỗi tập S đều có thể xem là cơ sở của một R - môđun tự do. Thật vậy, gọi F(S) là tập hợp các tổng các hình thức Ss s sa , trong đó a s R với hầu hết a s = 0 trừ một số hữu hạn chỉ số s. Tập hợp F(S) trang bị một cấu trúc R - môđun với hai phép toán định nghĩa nh sau: sa s + sb s = + s)ba( ss , a( sa s ) = s)aa( s , ở đây a, a s , b s R. Có thể xem S là một tập con của F(S) bằng phép tơng ứng s 1.s F(S). Dễ thấy rằng F(S) là một R - môđun tự do với cơ sở S. 2.7. Định nghĩa: F(S) đợc gọi là môđun tự do trên tập S. 2.8. Mệnh đề: Mỗi R - Môđun (hữu hạn sinh) đều là ảnh đồng cấu của một R - môđun tự do (tơng ứng: hữu hạn sinh ) Chứng minh: Giả sử S là một tập sinh của R - môđun N. Theo mệnh đề 2.4, tơng ứng (s) = s thác triển đợc duy nhất thành một đồng cấu môđun : F(S) N. Vì S sinh ra N nên S Im = N, tức là là một toàn cấu môđun. (đpcm). Đ 3. nhóm tự do 3.1. Định nghĩa: Nhóm tự do trên S là một cặp ( f, F ) trong đó F là một nhóm , f: S F là một ánh xạ có tính chất sau : Với mỗi cặp ( g , G ), trong đó G là một nhóm và g : S G là một ánh xạ, tồn tại duy nhất một đồng cấu nhóm : F G làm giao hoán biểu đồ sau đâ ( tức là g = . f ) 10 S F G g f