Một số tính chất của nhóm luỹ linh tổng quát tôpô

Mục lục Nội dung Trang Mục lục 1. Lời mở đầu 2. Chơng I:Tổng quan về nhóm luỹ linh trừu tợng , nhóm luỹ linh tôpô , nhóm compact và nhóm hữu hạn địa phơng tôpô 4. 1.1.Nhóm trừu tợng luỹ linh 4. 1.2. Nhóm tôpô luỹ linh 7 1.3.Nhóm compact và nhóm hữu hạn địa phơng tôpô 8. Chơng II : Một số tính chất của nhóm luỹ linh tổng quát 14. 2.1. Tính luỹ linh của nhóm luỹ linh tổng quát liên thông .15. 2.2. Tính luỹ linh địa phơng của nhóm luỹ linh tổng quát .20. 2.3. Tính compact của nhóm luỹ linh tổng quát 22. 2.4. Phần tử compact của nhóm luỹ linh tổng quát .25. 2.5. Tính đầy đủ của nhóm luỹ linh tổng quát 28. Kết luận .32. Tài liệu tham khảo 33. 1 Lời mở đầu Trong lý thuyết nhóm, nhóm tôpô luỹ linh và nhóm trừu tợng luỹ linh là một trong những lý thuyết phong phú, có một vị trí quan trọng và đợc phát triển hết sức mạnh mẽ. Nó đợc ứng dụng trong nhiều ngành và đặc biệt là để nghiên cứu nhóm Lie. Vì vậy lớp nhóm này đã đợc rất nhiều tác giả trong và ngoài nớc quan tâm nh : Platonov .V.P. [4]; Nguyễn Quốc Thi [8]; Lê Quốc Hán [1],[2], [3] nghiên cứu rất cụ thể . Lớp nhóm này cũng đã đợc biên soạn và dạy cho sinh viên ngành toán trờng Đại học Vinh, cũng nh cho học viên cao học chuyên ngành đại số và lý thuyết số. Một trong những hớng để nghiên cứu vấn đề này là nghiên cứu các tính chất của Nhóm luỹ linh tổng quát tôpô. Đề tài mà chúng tôi chọn nhằm mục đích giới thiệu một số khái niệm cũng nh một số tính chất cơ bản của nhóm luỹ linh tổng quát. Đồng thời chúng tôi cũng chỉ ra mối quan hệ giữa các tính chất này. Luận văn đợc chia làm hai chơng : Chơng 1 Trình bày một cách tổng quan về nhóm luỹ linh trừu tợng, nhóm luỹ linh tôpô, nhóm compact và nhóm hữu hạn địa phơng tôpô . Chơng 2: Một số tính chất của nhóm luỹ linh tổng quát nh tính chất luỹ linh của nhóm luỹ linh tổng quát liên thông , tính luỹ linh địa phơng, tính compact, phần tử compact và tính đầy đủ . Luận văn đợc bắt đầu thực hiện từ tháng 3 năm 2006 và đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn chỉ bảo nhiệt tình của thầy giáo GS.TS Nguyễn Quốc Thi. 2 Nhân dịp này tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn, ngời thầy đã dìu dắt tận tình, chu đáo đặc biệt là sự động viên chỉ bảo nhiệt tình trong suốt quá trình học tập cũng nh nghiên cứu . Trong suốt quá trình học tập và viết luận văn tác giả đã nhận đợc những ý kiến đóng góp quý báu, những bài giảng bổ ích và sự chỉ bảo tận tình của GS.TS Nguyễn Quốc Thi, PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Nguyễn Quý Dy, PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Mai văn T, TS Chu Trọng Thanh, TS Nguyễn Thị Hồng Loan. Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới các thầy giáo và cô giáo. Cũng nhân dịp này, tác giả xin đợc cảm ơn các thầy giáo và cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Đào tạo sau Đại học Trờng Đại học Vinh và tất cả bạn bè, đồng nghiệp, gia đình đã động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn đúng kế hoạch. Cuối cùng tác giả rất mong đợc sự góp ý kiến của các thầy giáo cô giáo cùng tất cả các bạn. Vinh, tháng 11 năm 2006 Vũ Thị Tâm 3 Chơng I. Tổng quan về nhóm luỹ linh trừu tợng, nhóm luỹ linh tôpô, nhóm compact và nhóm hữu hạn địa phơng tôpô. Chúng ta đã đợc học về nhóm trừu tợng và nhóm tôpô từ khi chúng ta học đại học. Vấn đề đó lại đợc tiếp tục học sâu hơn, nghiên cứu kỹ hơn trong ch- ơng trình cao học. Tuy nhiên trong luận văn này chúng tôi chỉ trình bày ba lớp nhóm. Lớp thứ nhất: Nhóm trừu tợng lũy linh . Lớp thứ hai : Nhóm tôpô luỹ linh. Lớp thứ ba: Nhóm compact và nhóm hữu hạn địa phơng tôpô. Sở dĩ chúng tôi chọn trình bày ba lớp nhóm này vì ba lớp nhóm này có liên quan trực tiếp đến chơng II và cũng là nội dung chủ yếu của luận văn . 1.1. Nhóm trừu tợng lũy linh. 1.1.1. Định nghĩa . Nhóm G đợc gọi là nhóm lũy linh nếu nó có dãy bất biến G = A o A 1 A 2 A n = {e}. Với A i+1 Ai và nhóm thơng i i A A +1 đợc chứa trong tâm của nhóm thơng i A G +1 , i = 1, no . 1.1.2. Định nghĩa . Giả sử G là nhóm ta ký hiệu: G = G 1 ; G G 2 = [G, G]; G 3 = [G 2 , G]; G k+1 = [G k , G]. 4 Khi đó ta có : G k+1 G k và các G k là nhóm con hoàn toàn đặc trng của nhóm G. Dãy nhóm con G = G 1 G 2 G n của nhóm G đợc gọi là dãy tâm dới của nhóm G. 1.1.3. Định nghĩa . Giả sử G là nhóm, ta có dãy nhóm con bất biến: {e} = Z o Z 1 Z 2 Z n . Với Z i+1 đợc xác định bởi điều kiện i i Z Z 1 + là tâm của nhóm i Z G đợc gọi là dãy tâm trên của nhóm G. 1.1.4. Định nghĩa. Nhóm lũy linh G có dãy tâm trên và dãy tâm dới có cùng độ dài hữu hạn C đợc gọi là nhóm lũy linh lớp C. 1.1.5. Định lý. Nhóm con và nhóm thơng của nhóm lũy linh lớp C là nhóm lũy linh lớp C. Chứng minh . Trớc hết ta chứng minh nhóm con của nhóm lũy linh là nhóm lũy linh. Giả sử H là nhóm con của nhóm lũy linh G . Vì G là nhóm lũy linh nên G có dãy tâm dới là: G = G 1 G 2 G n = {e}. Vì H là nhóm con của G nên: H 1 = [ H, H ] [ G, G ] . H 1 G 1 . H 2 = [ H 1 , H ] [ G 1 , G ] . H 2 G 2 . . 5 H i = [ H i-1 , H ] [ G i-1 ; G ]. H i G i . Tơng tự ta có : H n G n = {e} . Từ đó ta có H n = {e}. Vậy theo định nghĩa nhóm luỹ linh suy ra H là nhóm lũy linh . Bây giờ ta chứng minh H là nhóm luỹ linh lớp C. Vì G là nhóm có tính chất lũy linh lớp C nên : a 1 , a 2 , a c +1 H ta có (a 1 , a 2 , a c +1 ) H (hoán tử bậc c+1) vì G là nhóm lũy linh lớp C nên (a 1 , a 2 , a c +1 ) = e. Từ đó suy ra H cũng nhóm lũy linh lớp C. Cuối cùng ta chứng minh nhóm thơng của nhóm lũy linh lớp C là nhóm lũy linh lớp C. Giả sử K G - G là nhóm lũy linh lớp C. Xét đồng cấu tự nhiên f: A K G Vì G là nhóm lũy linh lớp C nên hoán tử bậc cao [ . [[ x 1 . x 2 ] x 3 ] . x c+1 ] = e f([ [[ x 1 . x 2 ] x 3 ] . x c+1 ]) = f(e) = e* Mặt khác f([ [[x 1 . x 2 ] x 3 ] . x c+1 ]) = [ . [[f(x 1 ). f(x 2 )] f(x 3 )] f(x c+1 )] Vậy hoán tử bậc cao độ dài C của K G cũng bằng e*. Từ đó suy ra K G là nhóm lũy linh. 1.2. Nhóm tôpô lũy linh. 6 1.2.1. Định nghĩa . Nhóm tô pô G là nhóm lũy linh nếu nhóm trừu tợng G là nhóm lũy linh. 1.2.2. Bổ đề . Cho G là nhóm tô pô, H và K là hai nhóm con của nhóm tôpô G sao cho H K H trong đó H là đạo nhóm của H thì : ( H ) , K (H = [ H, H ] ) Chứng minh. Xét ánh xạ: f: G ì G G. (x, y) xyx -1 y -1 Dễ thấy f là ánh xạ liên tục. Do H K nên H = f(H ì H) K. Từ đó ta có )( HHf ì K (*) Vì HH ì = H ì H và )( HHf ì = f ( HH ì ) (do f liên tục). Từ đó suy ra )( HHf ì = f( HH ì ) = f( H ì H ) Kết hợp với (*) ta có : f( H ì H ) K (**). Vì f( H ì H ) = [ H ì H ] =( H ) (***). Từ (**) và (***) ta có ( H ) K . 1.2.3. Định lý. Cho G là nhóm tô pô. là nhóm con lũy linh của G. Khi đó bao đóng H là nhóm lũy linh . Chứng minh. Vì H là nhóm lũy linh của G nên trong H tồn tại dãy tâm dới H = H o H 1 H n = {e}. Với H i+1 =[H i , H] và từ đó suy ra H = 0 H 1 H n H ={e}. 7 Bây giờ ta chứng minh H là nhóm luỹ linh hay chứng minh trong H tồn tại dãy tâm dới H ( H ) 1 ( H ) 2 .( H ) n ={e}. (1) Trong đó ( H ) 1 = [ H , H ] ( H ) 2 = [ H , ( H ) 1 ] Theo bổ đề ta có 1 H ( H ) 1 . Bằng quy nạp ta có H i ( H ) i . Khi đó ta có : ( H ) i+1 =[( H ) i , H ] sẽ thuộc vào [ i H , H ] và [ i H , H ] sẽ thuộc vào i H + 1 . Nhng theo trên n H ={e} suy ra ( H ) n ={e}. Vậy (1) là dãy tâm của H . Do đó ta có H là nhóm lũy linh. 1.3. Nhóm compact và nhóm hữu hạn địa phơng tôpô. 1.3.1 Định nghĩa. Nhóm tôpô G đợc gọi là compact (compact địa phơng) nếu không gian tô pô G là không gian compact (compact địa phơng). Nhóm compact địa phơng G đợc gọi là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô nếu bao đóng của nhóm con hữu hạn sinh bất kỳ H của G là compact. 1.3.2. Định lý . Giả sử G là nhóm tôpô và H là ớc chuẩn của nó. Khi đó: a. Nếu G compact thì H G compact. b. Nếu G compact địa phơng thì H G compact địa phơng. Chứng minh. a. Giả sử G là compact. 8 Xét phép chiếu tự nhiên. p: G H G . Vì p là ánh xạ mở, liên tục nên ảnh G* = H G của G qua ánh xạ p là compact. (ảnh của một tập compact qua ánh xạ liên tục mở là tập compact). Vậy H G compact . b. Giả sử G là nhóm compact địa phơng và a G, A = p(a) và U là lân cận bất kỳ của a sao cho U compact. Khi đó p( U ) compact. Mặt khác G* là không gian Haudơdoóc nên đóng trong không gian H G . Vì U U nên p( U) p( U ) và do đó: p( U ) p( U ). Bởi vậy p( U ) cũng compact. Mặt khác, lân cận U* của phần tử A trong G* gồm tất cả các lớp ghép có giao với U trùng với p(U), U* = p(U). Do đó U * compact. Vậy G* = H G là nhóm compact địa phơng. 1.2.3. Định lý .Giả sử G là nhóm compact địa phơng, hữu hạn địa phơng tô pô. Khi đó G compact khi và chỉ khi G là nhóm compact sinh ra. Chứng minh. Điều kiện cần : Nếu G là nhóm compact thì hiển nhiên G là compact sinh ra. Điều kiện đủ: Chứng minh bổ đề: Giả sử G là nhóm compact địa phơng và compact sinh ra. Khi đó trong G tồn tại lân cận đối xứng compact của đơn vị sinh ra toàn bộ nhóm G. Vì G là compact sinh ra nên tồn tại tập con H compact sao cho G = H .Khi đó tồn tại lân cận đối xứng compact V của đơn vị e của G. 9 Đặt D = HV V. Khi đó D và D -1 compact nên K = D D -1 là tập con đối xứng compact và chứa e. Thế thì K = G. Giả sử G là compact sinh ra. Khi đó theo bổ đề trên tồn tại lân cận đối xứng compact V của đơn vị e sao cho G = V = V V 2 . V n . = = 1i V i . Tập hợp G i V phủ mở tập hợp V 2 nhng V 2 compact nên tồn tại phủ mở hữu hạn g 1 V, g 2 V .g k V phủ V 2 . Ta ký hiệu A = { k ggg ., . 2,1 }. Khi đó V 2 AV. Bằng phơng pháp qui nạp theo n ta chứng minh đợc V n AV. Thật vậy vì A là nhóm con của G nên V n = V n-1 .V AV.V AV 2 A.AV AV. Do đó V n AV với n = 1,2, . Từ đó suy ra G = AV. Vì G là nhóm hữu hạn địa phơng tô pô và A = { k ggg ., . 2,1 } hữu hạn sinh nên A là nhóm compact và do đó G compact. 1.3.4. Định lý . Giả sử G là nhóm compact địa phơng, là nhóm con hữu hạn địa phơng tôpô của G. Khi đó bao đóng H của nhóm con compact sinh ra là nhóm compact. Chứng minh . Không mất tổng quát, ta giả thiết H = G. Ta chứng minh G là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô. Thật vậy, vì G là nhóm compact địa phơng, nên 0 G G là nhóm compact địa phơng hoàn toàn không liên thông. Vì vậy, với lân cận U* e* - đơn vị của 0 G G - tồn tại nhóm con lân cận compact U của e sao cho U K. Nhóm con Q = {U} compact sinh ra và 0 G Q compact. Giả sử g 1 , g 2 , g n G, khi đó nhóm con T = { Qggg n ., . 2,1 } cũng là nhóm compact sinh ra và T chứa Q. Vì H = G nên T = T. 10