Một số tính chất của nhóm giải được và siêu giải hữu hạn

Trờng Đại học Vinh Khoa toán ====== một số tính chất của nhóm giải đợc và siêu giải hữu hạn KhóA luận tốt nghiệp ĐạI HọC Ngành cử nhân khoa học toán Cán bộ hớng dẫn khoa học PGS.TS. Lê Quốc Hán Sinh viên thực hiện Đặng Thị Thu Hiền Lớp 43B Khoa Toán Vinh,5/2006 1 Chỉ dẫn ký hiệu Ký hiệu ý nghĩa G Cấp của G HG : Chỉ số của nhóm con H trong G Gx x H Giao của tập GxH x , Ii s i G Hợp của quỹ đạo i s G ( ) GG Nhóm G đẳng cấu với nhóm ( ) G H G Lớp ghép trái của G theo H Ii s i GG : Tổng các cấp của quỹ đạo ( ) pC Nhóm tựa xyclic UT(n,q) Nhóm Unhita GL(n,q) Nhóm ma trận Lời nói đầu Trong lý thuyết nhóm, ngời ta thờng quan tâm nghiên cứu đến hai lớp nhóm: lớp nhóm Abel và lớp nhóm hữu hạn. Theo định lý Lagrange, nếu G là nhóm hữu hạn và H 2 là nhóm con của G thì cấp của H là ớc cấp của G. Ta hãy xét bài toán ngợc lại: nếu G là nhóm hữu hạn và k là ớc của cấp của G thì trong G tồn tại hay không nhóm con H sao cho cấp của H bằng k ? Năm 1872, L.Sylow đã giải đợc bài toán đó với kết quả rất đẹp với định lý mang tên ông ( xem định lý 3.2). Định lý L.Sylow có nhiều ứng dụng trong các ngành khác nhau của toán học, đợc trình bày trong lý thuyết Brauer nói riêng, cấu trúc của các p nhóm con Sylow xác định cấu trúc của các nhóm hữu hạn. Sau L.Sylow, nhiều tác giả dẫ nghiên cứu các vấn đề về sự tồn tại các p nhóm con cho các lớp nhóm đặc biệt hơn và nhận đợc các kết quả sâu sắc nh Định lý Hall về nhóm giải đợc hữu hạn, định lý Huppert về nhóm siêu giải hữu hạn. Khóa luận Một số tính chất của nhóm giải đợc và siêu giải hữu hạn của chúng tôi nhằm hệ thống hóa các kết quả trên và tìm mối liên hệ bản chất các kết quả đó. Khóa luận gồm 5 tiết: Đ1. Nhắc lại nhóm hữu hạn và nhóm con với chỉ số hữu hạn làm cơ sở cho các tiết sau( hệ quả 1.7, mệnh đề 1.11, mệnh đề 1.13). Đ2. Trình bày tác động của một nhóm trên một tập. Đ3. Trình bày định lý Sylow, là một trong định lý quan trọng có nhiều ứng dụng trong ngành toán học( định lý 3.2, định lý 3.3). Đ4. Nhóm giải đợc và Định lý Hall về nhóm giải đợc hữu hạn. Kết quả đáng quan tâm đợc trình bày ở định lý 4.4, định nghĩa 4.5, định lý 4.6. Đ5. Nhóm siêu giải và định lý Huppert. Xét một số tính chất của nhóm siêu giải ở mệnh đề 5.3, mệnh đề 5.4, định lý 5.6. Khóa luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS -TS. Lê Quốc Hán. Chúng tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đối với thầy về sự giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực. Chúng tôi cũng xin cảm ơn các thầy giáo trong tổ Đại số và các bạn sinh viên đã giúp đỡ chúng tôi hoàn thành khóa luận. Vì trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn. Vinh,ngày 10 tháng 4 năm 2006. Tác giả. Đ1. Nhóm hữu hạn và nhóm con với chỉ số hữu hạn 1.1. Định nghĩa. Một nửa nhóm hoặc một nhóm G đợc gọi là hữu hạn nếu nó có hữu hạn phần tử. 3 Khi đó, số các phần tử trong G đợc gọi là cấp của G. Giả sử G có n phần tử, khi đó cấp của G đợc kí hiệu là: .nG = 1.2. Mệnh đề. Một nửa nhóm khác rỗng hữu hạn X là một nhóm khi và chỉ khi phép toán trong X có luật giản ớc. Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử X là một nhóm, khi đó với x,y,z X ta có: xy = xz x -1 (xy) = x -1 (xz) (x -1 x)y = (x -1 x)z (vì X là một nhóm) ey = ez y = z Ta suy ra phép toán trong X có luật giản ớc trái. Tơng tự, phép toán trong X có luật giản ớc phải. Vậy khi X là một nhóm thì phép toán trong X có luật giản ớc. Điều kiện đủ: Giả sử X là nửa nhóm khác rỗng hữu hạn, phép toán trong X có luật giản ớc. Cần chứng minh X là một nhóm. Giả sử X = {a 1 , .,a n }; a,b là các phần tử bất kỳ của X. Ta có: aa 1 , . , aa n là n phần tử khác nhau của X (do trong X có luật giản ớc). Do đó X = { aa 1 , . , aa n } là tập con của X và có cùng số phần tử với X. Vì aX, X hữu hạn nên aX = X. Vì b X nên b aX. Do đó, tồn tại a k X (1 k n) sao cho aa k = b. Vậy phơng trình ax = b có nghiệm x = a k trong X. Tơng tự, phơng trình ya = b có nghiệm trong X. Theo định nghĩa của nhóm ta suy ra X là một nhóm. Mệnh đề 1.2 đợc chứng minh. 1.3. Hệ quả. Một nửa nhóm con khác rỗng H của một nhóm hữu hạn G là một nhóm con của G. Chứng minh. Vì G là một nhóm hữu hạn phần tử nên theo mệnh đề (1.2) G có luật giản ớc. Khi đó, với a,b,c H và ac = bc thì a,b,c G và ac = bc (vì H G) a = b Tơng tự, a,b,c H và ca = cb a = b. Do đó, H có luật giản ớc. 4 Vì H là tập con của G và G có hữu hạn phần tử nên H cũng có hữu hạn phần tử. Theo mệnh đề 1.2, nửa nhóm con khác rỗng H là một nhóm và do đó H là nhóm con của G. Ta có điều phải chứng minh. 1.4. Định nghĩa. Giả sử G là một nhóm hữu hạn tuỳ ý cho trớc có cấp n và H là một nhóm con cấp m của G. Xét tập thơng Q:= G/H = {xHx G} các lớp ghép trái của G theo H. Khi đó, Q hữu hạn. Số k các phần tử của Q đợc gọi là chỉ số của nhóm con H trong G. Kí hiệu: G:H. 1.5. Bổ đề. Giả sử G là một nhóm, H là nhóm con cấp m của G. Với mỗi x G, lớp ghép trái xH gồm m phần tử. Chứng minh. Xét ánh xạ f: H xH xác định bởi f(a) = xa, a H. Khi đó, y xH, a = x -1 y H sao cho: f(a) = xa = x(x -1 y) = (xx -1 )y = ey = y f là toàn ánh. Giả sử f(a 1 ) = f(a 2 ), a 1 ,a 2 H xa 1 = xa 2 a 1 = a 2 (vì G là một nhóm nên có luật giản ớc) f là đơn ánh. Do đó, f là song ánh. Suy ra H = xH, mà H gồm m phần tử nên xH cũng gồm m phần tử. Vậy bổ đề đợc chứng minh. 1.6. Mệnh đề. Giả sử H là nhóm con của nhóm hữu hạn G. Khi đó: HGHG :. = . Chứng minh. Giả sử mHnG == , và kHG = : . Khi đó, G đợc phân hoạch thành k lớp tơng đơng, mỗi lớp gồm m phần tử và do đó G gồm k.m phần tử. Theo giả thiết, G gồm n phần tử nên kmn = hay HGHG :. = . Mệnh đề đợc chứng minh. 1.7. Hệ quả(Định lý Lagrange). Cấp của một nhóm hữu hạn bất kì là bội số của cấp của mọi nhóm con của nó. 5 Chứng minh. Giả sử H là một nhóm hữu hạn bất kì có cấp m, H là nhóm con của G có cấp n. Theo mệnh đề 1.6 ta có: n = k.m n là bội của m hay G là bội của H . Ta có điều phải chứng minh. Định lý Lagrange có thể tổng quát hoá nh sau: Giả sử T là một nhóm con của S, S là một nhóm con của G, G là một nhóm hữu hạn. Khi đó: TSSGTG :.:: = . Chứng minh. Giả sử {x 1 , . , x m } (tơng ứng { y 1 , . , y n }) là tập các đại diện của các lớp kề trái của S trong G (tơng ứng của T trong S). Khi đó, TSnSGm :,: == và G, S đợc phân tích thành các hợp rời rạc: SxSxSxG m = . 21 . 21 TyTyTyS n = Theo luật giản ớc ta có: TyxTyxSx niii = . 1 m i n j ji TyxG 1 1 = = = . Vậy { } njmiyx ji ,1;,1, == là tập đại diện của các lớp kề trái của T trong G TSSGnmTG :.:.: == . Ta có điều phải chứng minh. 1.8.Hệ quả. Cấp của một phần tử tuỳ ý của một nhóm hữu hạn G là một ớc của cấp của G. Chứng minh. Giả sử a G, G = n. Nếu a = {e} thì a= 1 nên a là ớc của G. Nếu a {e} thì cấp của a là cấp của nhóm con xyclic (hữu hạn) <a> sinh bởi a. Vì <a>là ớc của G nên a là ớc của G. Ta có điều phải chứng minh. 1.9. Hệ quả. Mọi nhóm cấp nguyên tố đều xyclic và đợc sinh bởi bất kì phần tử nào khác đơn vị của nhóm. Chứng minh. Giả sử G là một nhóm hữu hạn có cấp là một số nguyên tố p. Lấy một phần tử bất kì a G, a e (e là đơn vị của G). Khi đó, <a> 1 và <a> \ p, mà p là số nguyên tố nên <a>= p. 6 Vì <a> là tập con của G, mà G hữu hạn và số phần tử của <a> bằng số phần tử của G nên ta suy ra <a> = G. Do đó, G là nhóm xyclic sinh bởi phần tử bất kì a khác đơn vị của G. 1.10.Định nghĩa. Giả sử S n là tập n số nguyên dơng đầu tiên 1, . , n. Khi đó, nhóm S n tất cả các phép thế của n (với phép nhân ánh xạ) gọi là nhóm đối xứng cấp n. Theo lý thuyết tập hợp ta có: S n = n!. 1.11. Mệnh đề(Định lý Keli). Mọi nhóm hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với một nhóm con của nhóm đối xứng S n . Chứng minh. Giả sử G = {x 1 , . ,x n } là nhóm hữu hạn cấp n; P(X) là nhóm các song ánh từ G lên G. Với mỗi a G, ta có ánh xạ a : G G là một song ánh x ax Thật vậy, x 1 ,x 2 G ta có: a (x 1 ) = a (x 2 ) ax 1 = ax 2 x 1 = x 2 (vì G là một nhóm nên có luật giản ớc). Vậy a đơn ánh. Với g G, x = a -1 g G sao cho: a (x) = ax = a(a -1 g) = (aa -1 )g = eg = g a toàn ánh. Vậy a song ánh a P(X). Khi đó ánh xạ : G P(X) là một đồng cấu a a Thật vậy, ta có: ( a . b )(x) = a ( b (x)) = a (bx) = a(bx) = ab(x) = ab (x), a,b G, x G a . b = ab . Do đó (ab) = ab = a . b = (a).(b), a,b G là một đồng cấu. Mặt khác a,b G, (a) = (b) a = b a (e) = b (e) (e là đơn vị của nhóm G). ae = be a = b 7 là đơn ánh. Vậy là đơn cấu G (G), trong đó (G) là nhóm con của nhóm các phép thế bậc n. Từ đó G đẳng cấu với nhóm con của nhóm các phép thế bậc n. Mệnh đề đợc chứng minh. Bây giờ, ta chuyển sang khảo sát các nhóm con có chỉ số hữu hạn. Giả sử G là một nhóm, H là nhóm con với chỉ số hữu hạn trong G (G không nhất thiết là nhóm hữu hạn). Giả sử mHG = : và m xx , ., 1 là đại diện của các lớp ghép phải của G theo nhóm con H. Với mỗi g G, ta đặt: = gHxgHxgHx HxHxHx g m m . . 21 21 Khi đó ta có ánh xạ H G G : gg Thật vậy, với Ggg 21 , ta có: 21 gg = ( ) 22 221 1 111 1 11 . . . . )( gg gHxgHx HxHx gHxgHx HxHx gg m m m m == = == ( ) 21 )( gg = . 1.12.Mệnh đề. ánh xạ là một biểu diễn đồng cấu của nhóm G. Hạt nhân của đồng cấu là ớc chuẩn N của G, tối đại trong số các ớc chuẩn của G đợc chứa trong H. Chứng minh. Kiểm tra trực tiếp là một phép biểu diễn đồng cấu của nhóm G, nghĩa là: Với Ggg , thì ( ) ( ) ( ) gggggg = = . Giả sử K là hạt nhân của đồng cấu . Trớc tiên ta chứng minh K N. Thật vậy, vì K là hạt nhân của nên ta có: K = ker ( ) ( ){ } H/G x x/Gx 1 === Giả sử g K, ta có H/G g 1 = . 8 Khi đó Hxg = Hx, x G HxxHxgx 11 = xx HgH = . Do đó Gx xx HgGx,Hg . Rõ ràng Gx x H là ớc chuẩn của G đợc chứa trong H và mọi ớc chuẩn của G đợc chứa trong H đều đợc chứa trong Gx x H . Do đó NH Gx x = .Từ đó g N. Vậy với g K ta suy ra gN hay K N. (1) Đảo lại, nếu gN thì .Gx,HxxHxgxHxg == 1 Ta suy ra H/G g 1 = và do đó N K. (2) Từ (1) (2 ) ta có N = G. 1.13. Mệnh đề (Định lý Poincare , ). Mọi nhóm con có chỉ số hữu hạn m chứa một ớc chuẩn có chỉ số hữu hạn chia hết cho m và chia hết m!. Chứng minh. Giả sử H là nhóm con của G với chỉ số hữu hạn m và Gx x HN = . Khi đó N chuẩn tắc trong G và đợc chứa trong H nên N:H.H:GN:G = N:H.mN:G = Vậy N:G chia hết cho m. Mặt khác, vì N là hạt nhân của đồng cấu biểu diễn nên G/N đẳng cấu với nhóm con của nhóm các phép thế T trên tập G/H gồm m phần tử. Khi đó: mT = ! Theo định lý Lagrange, N/G là ớc của m! hay N:G là ớc của m!. Mệnh đề đợc chứng minh. 1.14.Mệnh đề. Giao của một họ hữu hạn các nhóm con có chỉ số hữu hạn của một nhóm G là một nhóm con có chỉ số hữu hạn của G. Chứng minh. Theo nguyên lý quy nạp, ta chỉ cần chứng minh: A và B các nhóm con có chỉ số hữu hạn của G là nhóm con có chỉ số hữu hạn của G. Thật vậy, ta có: BA:GBA:A.A:G = . (1) Mặt khác, ta xác định ánh xạ f: B G BA A cho bởi f(x(AB)) = xB. 9 Với x,y A, ta có: f(x(AB)) = f(y(AB)) xB = yB x -1 y B mà x -1 y A nên ta suy ra x -1 y AB x(AB) = y(AB). Vậy f là đơn ánh .B:GBA:A (2) Từ (1), (2) ta suy ra .B:G.A:GBA:G Ta có điều phải chứng minh. 1.15.Chú ý. Từ mệnh đề 1.14 ta có thể suy ra kết quả của Định lý Poincare , . Đ2. Tác Động của một nhóm trên một tập 2.1. Các khái niệm cơ bản. Giả sử S là một tập và G là một nhóm. Khi đó ánh xạ: ( ) xss,x SSG ì đợc gọi là tác động của G trên S (bên trái) nếu hai điều kiện sau thoả mãn: 10