Một số tính chất của nhóm siêu giải được

Bên cạnh đó, đề tài còn nêu lên một số ứng dụng của nhóm siêu giải được cũng như những đặc trưng của nhóm siêu giải được hữu hạn.. Một loạt các cấu trúc nhóm được xây dựng trên nền tảng

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

Tên đề tài: “Một số tính chất của nhóm siêu giải được”

Giáo viên hướng dẫn: ThS Nguyễn Hoàng Xinh

Sinh viên thực hiện: Phạm Ngọc Anh – MSSV: 1040047

Đề tài nghiên cứu về một số tính chất của nhóm siêu giải được và ứng dụng của

nó Đây là đề tài cần có sự tổng hợp rất nhiều kiến thức về cấu trúc nhóm

Tác giả đề tài đã trình bày rất rõ và chứng minh chi tiết các tính chất của nhóm

siêu giải được Bên cạnh đó, đề tài còn nêu lên một số ứng dụng của nhóm siêu giải

được cũng như những đặc trưng của nhóm siêu giải được hữu hạn Ngoài ra, tác giả

còn đưa ra rất nhiều ví dụ, phản ví dụ và giải quyết gần 20 bài tập để có thể làm rõ các

tính chất của nhóm siêu giải được Có thể nói tác giả đề tài đã làm tròn công việc được

giao

Luận văn gồm 75 trang được chia làm 5 chương, trong đó trọng tâm là chương

2, 3 và 4 Luận văn trình bày rõ ràng, đẹp Tác giả đã làm việc nghiêm túc để hoàn

thành công việc được giao Luận văn có thể được sử dụng để làm tài liệu tham khảo

cho sinh viên ngành sư phạm Toán và Toán tin Với kết quả đạt được, tôi cho rằng

luận văn của sinh viên Phạm Ngọc Anh xứng đáng là luận văn tốt nghiệp đại học Giáo viên hướng dẫn

ThS Nguyễn Hoàng Xinh

LỜI NÓI ĐẦU

Sau thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Cần Thơ, với những kiến thức tiếp thu được từ quý thầy cô của trường và đặc biệt là của quý thầy cô Bộ môn Toán – Khoa Sư phạm đã giúp em tự tin thực hiện luận văn tốt nghiệp toàn khóa

Và nay, luận văn đã được hoàn thành dưới sự giúp đỡ tận tình và hướng dẫn trực tiếp của thầy Nguyễn Hoàng Xinh cùng với sự động viên, chia sẻ về mặt tinh thần và vật chất của gia đình và các bạn lớp Sư phạm Toán K30

Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn vẫn còn nhiếu thiếu sót, kính mong sự thông cảm của quý thầy cô và bạn đọc

Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp toàn khóa

Sinh viên thực hiện

MỤC LỤC

Trang

BẢNG KÝ HIỆU 1

PHẦN MỞ ĐẦU 2

PHẦN NỘI DUNG 4

Chương I Kiến thức chuẩn bị 4

1.1.Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết nhóm 4

1.2.Nhóm đơn 12

1.3.p-nhóm và nhóm strictly p-closed 12

1.4.Các định nghĩa 13

1.5.Nhóm giải được 17

1.6.Nhóm poly-P 18

1.7.Nhóm lũy linh 19

1.8.Nhóm con Frattini 25

1.9.Nhóm con Fitting 26

Chương II Nhóm siêu giải được 30

Chương III Một số ứng dụng của nhóm siêu giải được 46

Chương IV Những đặc trưng của nhóm siêu giải được hữu hạn 52

Chương V Bài tập 63

PHẦN KẾT LUẬN 76

TÀI LIỆU THAM KHẢO 77

H< H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G

G/H nhóm thương của nhóm G trên H

NG(H) chuẩn hóa tử của H trong G

CG(H) tâm giao hoán của H trong G

Z(G) tâm giao hoán của nhóm G

[G:H] chỉ số của nhóm con H trong G

F nhóm con Fitting của nhóm G

AutG nhóm các tự đẳng cấu của nhóm G

PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Đại số trước thế kỷ XIX được xem như một sự mở rộng của số học (dùng chữ

để biểu thị các con số) Đến đầu thế kỷ XIX, các nhà Toán học bắt đầu chú ý đến sự tồn tại cấu trúc trong đại số học, chẳng hạn như luật giao hoán và luật kết hợp của các phép toán Từ đó dẫn đến sự ra đời của lý thuyết nhóm Tuy nhiên lý thuyết nhóm thật

sự phát triển bởi Galois (1811-1832) là người đã chứng minh được rằng đa thức chỉ được hiểu một cách tốt nhất dưới sự kiểm tra của nhóm hoán vị các nghiệm của chúng

Kể từ đó, nhóm đã xuất hiện trong mọi lĩnh vực của Toán học và nó có mối liên quan chặt chẽ với lý thuyết số, hình học, tôpô, logic,…

Lý thuyết nhóm ra đời đã tạo nên một bước ngoặt lớn trong sự phát triển của đại số Một loạt các cấu trúc nhóm được xây dựng trên nền tảng của những tiên đề khác nhau nhưng nó vẫn đảm bảo tính nhất quán của hệ thống như nhóm thương, nhóm giao hoán, nhóm xyclic, nhóm polyxyclic, nhóm giải được, nhóm siêu giải được, nhóm lũy linh,…Đặc biệt có một nhóm được hình thành bằng cách nhúng nó vào nhóm xyclic bởi một dãy các nhóm con chuẩn tắc Đó là nhóm siêu giải được Lớp nhóm siêu giải được đặt giữa nhóm lũy linh hữu hạn sinh và nhóm polyxyclic hữu hạn sinh

Em nhận thấy nhóm siêu giải được là một nhóm còn khá mới đối với bản thân nói riêng và với sinh viên chuyên ngành Toán của trường Đại học Cần Thơ nói chung Ngoài ra, được sự hướng dẫn và động viên của các thầy cô trong Bộ môn Toán – Khoa

Sư phạm và đặc biệt là của thầy Nguyễn Hoàng Xinh nên em đã mạnh dạn chọn đề tài

"Một số tính chất của nhóm siêu giải được" để làm luận văn tốt nghiệp toàn khóa

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Thực hiện đề tài "Một số tính chất của nhóm siêu giải được", em hướng đến

mục đích là rèn luyện kỹ năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học còn khá mới đối với bản thân Từ đó hình thành khả năng trình bày một vấn đề Toán học trừu tượng một cách logic và có hệ thống Với nền tảng những kiến thức đã có, em tổng hợp và xây dựng sơ đồ thể hiện mối quan hệ giữa nhóm siêu giải được và các loại nhóm khác Đây cũng là dịp để em có thể nhìn lại tổng quan về kiến thức đại số mà

đặc biệt là về lý thuyết nhóm – một chủ đề lớn trong lĩnh vực đại số nói riêng và trong toán học nói chung

III PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Với khả năng và điều kiện có hạn, ở đề tài này em trình bày một cách tổng quan

về tính chất của một số nhóm cơ bản trong lý thuyết nhóm như nhóm giải được, nhóm poly-P, nhóm lũy linh, điều kiện tối đại, tối tiểu, nhóm Frattini, nhóm Fitting và một số định lý quan trọng trong lý thuyết nhóm (được trình bày trong chương I)

Chương II là nội dung chính của đề tài – nhóm siêu giải được và một số tính chất của nhóm siêu giải được, qua đó thể hiện mối quan hệ giữa nhóm siêu giải được

và các nhóm: xyclic, giao hoán, giao hoán hữu hạn sinh, lũy linh, lũy linh hữu hạn sinh, polyxyclic và giải được

Chương III là một số ứng dụng của nhóm siêu giải được

Ngoài các tính chất của nhóm siêu giải được đã được trình bày ở chương II và chương III, một nhóm siêu giải được hữu hạn còn có thêm những tính chất khác giúp cho việc chứng minh một nhóm hữu hạn là nhóm siêu giải được đơn giản hơn Trên cơ

sở các tính chất của nhóm siêu giải được và những đặc trưng của nhóm hữu hạn, chương IV mô tả những đặc trưng của nhóm siêu giải được hữu hạn

Trong chương V, em chứng minh một số tính chất và giải một số bài tập có liên quan đến nhóm siêu giải được để bổ sung và củng cố lý thuyết trình bày ở chương II chương III và chương IV

IV PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN

Do đặc thù của một đề tài đại số lý thuyết nên trong quá trình thực hiện em đã

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết nhóm

ii) Với mọi x∈G, tồn tại phần tử e∈G sao cho x * e = e * x = x

iii) Với mỗi x∈G, tồn tại phần tử x'∈G sao cho x * x' = x' * x = e

Chú ý: Với (G, *) là nhóm thì e được gọi là phần tử đơn vị của nhóm G

Nếu (*) là phép cộng thì phần tử đơn vị được kí hiệu là 0, nếu (*) là phép nhân thì phần tử đơn vị được kí hiệu là 1 và x.y được viết là xy

1.1.2.2.Định lý (về điều kiện tương đương với nhóm con)

Cho G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G Khi đó các điều kiện sau tương đương:

Hxy1 -

iii) Với mọi x, y∈H ta có xy -1∈H

Đặc biệt H = G, ta nói G là nhóm sinh bởi tập S hay S là tập sinh của G

iii) Nếu G có một tập sinh hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn sinh

Đặc biệt, nếu G có tập sinh chỉ gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm xyclic

i) Cấp của G chính là lực lượng của G và ta kí hiệu là G Nếu G là hữu hạn

thì G được gọi là nhóm hữu hạn Ngược lại, G được gọi là nhóm vô hạn

ii) Cấp của phần tử a∈G là cấp của nhóm a và ta kí hiệu là a Nếu a là

hữu hạn thì a được gọi là phần tử có cấp hữu hạn Ngược lại, a được gọi là phần tử có cấp vô hạn

1.1.4.2.Định nghĩa

Cho G là nhóm, H≤G, a∈G

i) Tập Ha={ha h∈H} được gọi là lớp ghép phải của a đối với nhóm con H

ii) Tập aH={ah h∈H} được gọi là lớp ghép trái của a đối với nhóm con H

1.1.4.3.Nhận xét

Cho G là nhóm, H≤G Khi đó, với mọi a∈G ta có aH = Ha = H

(Ở đây ta hiểu aH là lực lượng của tập aH)

K:GH:

K.HHK

Cho G là nhóm, H<G Kí hiệu L(G) là tập tất cả các nhóm con của G, L(H,G)

là tập tất cả các nhóm con của G chứa H

Khi đó tương ứng f :SaS/H là một song ánh từ L(H,G) vào L(G/H) Hơn nữa, nếu ta kí hiệu S/H = S* và T/H = T* với H ≤ S, T ≤ G thì

STS

T≤ ⇔ ≤ Khi đó [ ] [ * *]

T,ST

S, =

STS

T< ⇔ < Khi đó * *

TST

ii) Đồng cấu nhóm f :X→Yđược gọi là toàn cấu nhóm nếu f là toàn ánh iii) Đồng cấu nhóm f :X→Yđược gọi là đẳng cấu nhóm nếu f là song ánh Khi đó, ta nói X đẳng cấu với Y và kí hiệu X≅Y

iv) Tập tất cả các đồng cấu nhóm từ X tới Y được kí hiệu là Hom(X,Y)

v) Tập tất cả các tự đồng cấu của nhóm X được kí hiệu là EndX

vi) Tập tất cả các tự đẳng cấu của nhóm X được kí hiệu là AutX

iii) Ảnh của X qua f còn được gọi là ảnh của f và được kí hiệu là Imf

iv) Hạt nhân của f được kí hiệu là { } ( )Y

1

e(x)Xx

iii) Ảnh của một nhóm giao hoán là nhóm giao hoán

iv) Ảnh của một nhóm xyclic là nhóm xyclic

v) Ảnh của một nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh

Mà G = {f(g) g∈G} nên f(x)∈Z(G) Vì thế f(Z(G))≤Z(G), ∀f ∈AutG (1) Như vậy ta có f −1(Z(G))≤Z(G), ∀f ∈AutG

i) Nếu f( )H ≤H, ∀f ∈AutGthì H char G

ii) Nếu H char G thì H<G

iii) Nếu H char K, K char G thì H char G

iv) Nếu H char K, K<G thì H<G

f

Như vậy H= f( )H, ∀f ∈AutG

⇒ H char G

ii) Với mỗi a∈G ta xét tự đẳng cấu trong của G: fa :G→G

iii) Với f ∈AutG ta có f( )K =K

Khi đó fK:K→K là một tự đẳng cấu của K

⇒ A char G

Vậy mọi nhóm con của một nhóm xyclic hữu hạn đều là nhóm con chuẩn tắc

1.1.8.Điều kiện tối đại, tối tiểu

1.1.8.1.Định nghĩa

Cho G là nhóm

i) G thỏa điều kiện tối đại nếu mọi tập khác rỗng các nhóm con của G đều có

phần tử tối đại (theo quan hệ bao hàm)

ii) G thỏa điều kiện tối tiểu nếu mọi tập khác rỗng các nhóm con của G đều có

phần tử tối tiểu (theo quan hệ bao hàm)

SN là tập con khác rỗng các nhóm con của N Do đó SN có phần tử tối đại là A

S* là tập con khác rỗng các nhóm con của G/N Do đó S*có phần tử tối đại là B

⇒∃K∈S sao cho K∩N=A,( )KN /N =B

Nếu K không phải là phần tử tối đại của S thì ∃H∈S sao cho H>K

Khi đó H∩N=A và (HN)/N = B Lấy x∈H\K (*) ta có

ii) Nếu G là nhóm cấp mpn với (m,p) = 1 và H là nhóm con cấp pn của G thì H

được gọi là p-nhóm con Sylow của G

iii) Với G là nhóm, ta gọi tập Syl p (G) là tập tất cả các p-nhóm con Sylow của G

1.3.3.Định lý Sylow

Cho G là nhóm hữu hạn, p G (p là một số nguyên tố) Khi đó

i) Luôn tồn tại một p-nhóm con Sylow của G

ii) Mọi p-nhóm con của G đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó

iii) Nếu n là số các p-nhóm con Sylow của G thì n≡1 (mod p)

p)(mod1n

ii) Cho p là một số nguyên tố Nhóm G được gọi là nhóm strictly p-closed nếu

tồn tại duy nhất H là p-nhóm con Sylow của G và G/H là nhóm giao hoán có số mũ là ước của p-1

1.4.Các định nghĩa

1.4.1.Định nghĩa

Cho G là nhóm Với g1 g2∈G, ta gọi [ ] 1

2 1 1 2 1 2

∈

∩

= được gọi là lõi của H trong G

iii) NG(H)={g∈G Hg =H} được gọi là chuẩn hóa tử của H trong G.

iv) CG(H)={g∈G hg =h, ∀h∈H} được gọi là tâm giao hoán của H trong G

v) Z(G)=CG(G)={g∈G xg = x,∀ x∈G} được gọi là tâm giao hoán của nhóm

G

1.4.4.Tính chất

Cho G là nhóm

i) Nếu H < G thì CG(H) < G

ii) Nếu H char G thì CG(H) char G

iii) Nếu A ≤ G thì A<NG(A)

∈ Khi đó với mọi x∈G ta có ( )H x H x x H x x 1g 1Hgx

G g g 1 G g G 1 x

g

HHK

HK

∈

Như vậy HG là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G trong H

ϕ sao cho kerϕ =CG( )N Hơn nữa ta có NG( )N CG( )N ≅Imϕ

Đặc biệt, nếu H, K< G và K ≤ H thì tồn tại một đồng cấu nhóm (H/K) Aut(H/K)

p-1.4.11.Định nghĩa

Cho dãy các nhóm con của nhóm G

GGG

GG

1= 0 ≤ 1 ≤ ≤ n-1 ≤ n = (*)sao cho Gi <Gi+1 (∀i=0,n-1) Dãy (*) được gọi là dãy chuẩn tắc của G và kí hiệu là

1=G0 <G1 < <Gn-1 <Gn =G

Với (*) là dãy chuẩn tắc của G, khi đó

i) Số n được gọi là độ dài của dãy

ii) Các Gi (∀i=0,n) được gọi là các số hạng của dãy

iii) Các nhóm thương Gi+1 Gi(∀i=0,n-1) được gọi là các nhân tử của dãy

1.4.12.Định nghĩa

i) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy các nhóm con chuẩn tắc của G

nếu các số hạng của dãy đều là các nhóm con chuẩn tắc của G

ii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy Abel nếu tất cả các nhân tử của

dãy đều là nhóm giao hoán

iii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy xyclic nếu tất cả các nhân tử của

dãy đều là nhóm xyclic

iv) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy hợp thành nếu tất cả các nhân tử

của dãy đều là nhóm đơn

1.4.13 Định nghĩa

Một nhân tử cơ bản của nhóm G là nhóm thương H/K với H, K<G và H/K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G/K

Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy cơ bản của G nếu tất cả các nhân tử

của dãy đều là nhân tử cơ bản của G

1.4.14.Bổ đề

Cho G là nhóm và * *

B B, ,A

A, là các nhóm con của G, trong đó A<A*,

( * ) ( * *)

ABBAB

(G H ) G (G 1) G ( i 1,n)G

Gi,0 = i−1 i∩ 0 = i−1 i∩ = i−1 ∀ =

Mặt khác theo Bổ đề 1.4.14 (i) thì

(G H ) G (G H ) G ( j 0,m i 1,n)G

Gi,j = i−1 i ∩ j > i−1 i ∩ -1 = i,j−1 ∀ = =

Ta có dãy chuẩn tắc của G được làm mịn từ dãy (*)

GG

G

GG

GG

H0,j = j−1 j∩ 0 = j−1 j∩ = j−1 ∀ =

Tương tự ta có dãy chuẩn tắc của G được làm mịn từ dãy (**)

GH

H

HH

HH

1= 0,1< 1,1 < < m−1 = m < < n− m < m <

(dãy này có nm số hạng) Theo Bổ đề 1.4.14(ii) ta có

Gi−1(Gi ∩Hj) Gi−1(Gi ∩Hj−1)≅Hj−1(Hj∩Gi) Hj−1(Hj∩G-1)

j 1, i j i, 1 j i, j

1.5.Nhóm giải được

1.5.1.Định nghĩa

Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu G có một dãy Abel

1.5.2.Tính chất

i) Nhóm con của nhóm giải được là nhóm giải được

ii) Ảnh đồng cấu của nhóm giải được là nhóm giải được

iii) Cho nhóm G, H<G Khi đó, G là nhóm giải được khi và chỉ khi H và G/H

là các nhóm giải được

iv) Tích trực tiếp của hữu hạn nhóm giải được là nhóm giải được

v) Nếu H, K là hai nhóm con chuẩn tắc giải được của nhóm G thì HK là nhóm giải được

Cho G là nhóm, P là một tính chất nào đó của nhóm

Một dãy poly-P là dãy chuẩn tắc của G mà tất cả các nhân tử của dãy đều có

tính chất P

Nhóm G được gọi là nhóm poly-P nếu nó có một dãy poly-P

1.6.2.Mệnh đề

i) G là nhóm giải được nếu nó là nhóm polyabelian

ii) G là nhóm polyxyclic nếu nó có một dãy polyxyclic

1.6.3.Định nghĩa

Giả sử P, Q là các tính chất nào đó của nhóm Nhóm G được gọi là nhóm

P-by-Q nếu có N<G sao cho N có tính chất P và G/N có tính chất Q

Suy ra G có một dãy chuẩn tắc với các nhân tử là nhóm giao hoán Do đó G là nhóm giải được

Vậy mọi nhóm polyxyclic là nhóm giải được

γ

[ (G),G]

)G

− +

(G),(G)

c+− ≤ζ với j≥0Xét toàn cấu nhóm f :G γc+1−j(G)→G ζ j(G)

γ

(G)(G)

(G)(G)

γ

1 j j

c

j 1

j j

j c

ζ

Vậy γ (G) j(G), j

j 1

Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu ∃c∈Z sao cho γc+1(G)=1 (*)

Số c nhỏ nhất thỏa (*) được gọi là lớp của nhóm lũy linh G

1= c+1 < c < < 1 < 0 = (*)

G(G)(G)

(G)(G)

1=ζ0 <ζ1 < <ζc <ζc+1 = (**) Dãy (*) và (**) đều có c+1 số hạng Do đó dãy giảm trung tâm của G và dãy tăng trung tâm của G có độ dài bằng nhau

ii) Nếu H≤G thì H là nhóm lũy linh có lớp nhỏ hơn hoặc bằng c

iii) Ảnh đồng cấu của G là nhóm lũy linh có lớp nhỏ hơn hoặc bằng c

Đặc biệt, nếu H<G thì G/H là nhóm lũy linh có lớp nhỏ hơn hoặc bằng c

Chứng minh i) Vì G là nhóm lũy linh lớp c

Khi đó ta có: γc+1(G)=1 và γc(G)≠1

Mặt khác theo Định lý 1.7.5 ta có 1≠γc(G)≤ζc−(c−1)(G)=ζ1(G)=Z(G)

Vậy Z(G)≠1

ii) Ta có H≤G ⇒γi(H)≤γi( )G, ∀i

Vì G là nhóm lũy linh lớp c nên γc+1(G)=1, vì vậy γc+1(H)=1

Suy ra H là nhóm lũy linh có lớp nhỏ hơn hoặc bằng c

iii) Xét toàn cấu f :G→L ta có γ1(L)=L= f(G)= f(γ1( )G )

Do H, K là nhóm lũy linh nên ∃a,b∈ Z sao cho

+

1(K)γ

1(H)γ1 b

1 a

Lấyc=max{a,b} ta có γc+1(H×K)≤γc+1( )H ×γc+1( )K =1×1, do đó γc+1(H×K)=1Vậy H×K là một nhóm lũy linh

1.7.12.Định lý

Cho G là nhóm lũy linh Khi đó nhóm G thỏa điều kiện chuẩn hóa tử, tức là: nếu H≤G thì H≤NG(H)

1.7.13.Định lý

Cho G là nhóm hữu hạn Khi đó

i) G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi G là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó

ii) G là nhóm lũy linh, nếu P là p-nhóm con Sylow của G thì P là p-nhóm con Sylow duy nhất của G

1.7.14.Định lý

Nếu G là nhóm lũy linh thì mỗi nhóm con tối đại của G là nhóm con chuẩn tắc

và có cấp nguyên tố

1.7.15.Định lý

Cho G là nhóm lũy linh

i) Nếu H là nhóm con thực sự của G thì H∩Z(H)≠1

ii) Nếu K là nhóm con chuẩn tắc giao hoán tối đại của G thì K = CG(K)

=

I

i

G(x )C:GZ(G)

G

Vì xi∉Z(G), ∀i∈I nên ta có CG(xi) là nhóm con thực sự của G, ∀i∈I

)(xC

G)

(xC:G

i G i

⇒Z(G)≠1

Mặt khác ta có:ζ i(G)≤G, ∀i

⇒G ζi( )G là p-nhóm hữu hạn, ∀i

⇒Z(G ζi( )G )≠1, ∀i

⇒ζi + 1(G) ζi(G)≠1, ∀i

⇒ζ i(G)là nhóm con thực sự của ζ i+1(G), ∀i

Vì G là nhóm hữu hạn nên ∃c∈Z sao cho ζc(G)=G

Vậy G là nhóm lũy linh

≤ , ta có G(i+1) = [G(i),G(i)]≤[γi(G),G]=γi+1(G)Vậy ta có G(i) ≤γ i(G), ∀i

Do G là nhóm lũy linh nên ∃c∈Z sao cho γc+1(G)=1

Suy ra G(c+1) = 1

Như vậy ta có dãy chuẩn tắc của G

1=G(c+1) <G(c) < <G1 <G0 =1

với các nhân tử G(i)/G(i+1) (∀i=0,c) hiển nhiên là nhóm giao hoán

Vậy mọi nhóm lũy linh là nhóm giải được

1.8.Nhóm con Frattini

1.8.1.Định nghĩa

Cho G là nhóm Khi đó giao của tất cả các nhóm con tối đại của G nếu có được

gọi là nhóm con Frattini của G

● Lấy x là một phần tử không sinh của G

Nếu tồn tại M là nhóm con tối đại của G sao cho x∉M thì G = x,M =M (vô lý

vì M < G) Do đó x∈M, ∀M là nhóm con tối đại của G

( )GΦ

⇒ là nhóm con tối đại của G sao cho M không chứaΦ(N)(*)

Do tính tối đại của M nên ta có MΦ(N) = G

(N M)(N)

(N)M(N)N(N)MNGN

⇒

NM

● Nếu N∩M= N thì Φ(N)≤N≤M(mâu thuẫn (*))

● Nếu N∩M< N thì ∃N1 là nhóm con tối đại của N và chứa N∩M

(N)N

Nếu H, K là các nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G thì HK là một nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G

⇒Φ(G)là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó (Định lý 1.3.5)

⇒Φ(G)là nhóm lũy linh (Định lý 1.7.13(i))

Vậy Φ(G)≤ F(G)

ii) ● F(G)là nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G

⇒ F(G)/Φ(G)là nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G/Φ(G)

⇒ F(G)/Φ(G) ≤F(G Φ(G))

● Đặt N/ Φ(G)≤F(G Φ(G))<G Φ(G)

Gọi P là p-nhóm con Sylow của N

Φ(G)(G)

PΦ

⇒ là p-nhóm con Sylow của N/Φ(G)

N/Φ(G)là nhóm lũy linh ⇒ PΦ(G) char N

⇒N là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó (Định lý 1.3.5)

⇒N là nhóm lũy linh (Định lý 1.7.13(i))

GG

1= 0 < 1 < < n-1 < n =

Khi đó ta có dãy các nhóm con chuẩn tắc của A

AGAGAG

A

GAG

Suy ra (*) là dãy trung tâm của A

⇒ A là nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G

⇒ A≤F(G) (1)

● Nếu H/K là một nhân tử cơ bản của G thì H/K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G/K

Vậy F(G)≤A (2)

Từ (1) và (2), ta có F(G) = A hay

F(G)=I{CG(H K) H K là một nhân tử cơ bản củaG}

1.9.5.Định lý

Cho G là nhóm giải được hữu hạn Khi đó

i) Nếu M là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G thì M là một p-nhóm con chuẩn tắc giao hoán cơ bản của G

ii) CG(F(G))≤F(G)

iii) Nếu Φ(G)=1 thì F( )G là tích trực tiếp của các nhóm con giao hoán chuẩn tắc tối tiểu của G

CHƯƠNG II NHÓM SIÊU GIẢI ĐƯỢC 2.1.Định nghĩa

Cho G là nhóm Dãy các nhóm con chuẩn tắc của G

GGG

GG

1= 0 < 1 < < n-1 < n =

với tất cả các nhân tử là nhóm xyclic được gọi là dãy siêu giải được của G

G được gọi là nhóm siêu giải được nếu G có một dãy siêu giải được

2.2.Ví dụ

i) Cho G là nhóm xyclic Khi đó G là nhóm siêu giải được với dãy siêu giải được là 1<G

ii) S3 là nhóm siêu giải được

Thât vậy, ta chứng minh S3 có một dãy siêu giải được

321

⇒ (*) là dãy siêu giải được của S3

Vậy S3 là nhóm siêu giải được

iii) Xét A4 là nhóm thay phiên bậc 4 (nhóm các phép thế chẳn bậc 4), ta có A4không là nhóm siêu giải được vì A4 không có một nhóm con chuẩn tắc thực sự là nhóm xyclic nên A4 không có dãy siêu giải được

1 t e; t

1 1

s − = ∉ ⇒ T3 không chuẩn tắc trong A4 { 1 3}

3 1

1 1

t − = ∉ ⇒ T4 không chuẩn tắc trong A4 { 2 5}

5 2

1 2

t − = ∉ ⇒T5 không chuẩn tắc trong A4 { 4 6}

6 4

1 4

t − = ∉ ⇒T6 không chuẩn tắc trong A4 { 7 8}

8 7

1 7

t − = ∉ ⇒T7 không chuẩn tắc trong A4 Như vậy mọi nhóm con xyclic của A4 đều không chuẩn tắc trong A4 Do đó, A4

không có nhóm con chuẩn tắc thực sự là nhóm xyclic

Vậy A4 không là nhóm siêu giải được

2.3.Định lý

Cho G là nhóm siêu giải được, H≤G, N<G Khi đó, H và G/N là nhóm siêu giải được

Chứng minh

G là nhóm siêu giải được

⇒G có một dãy siêu giải được

GGG

GG

1= 0 < 1 < < n-1 < n =

●Chứng minh H là nhóm siêu giải được:

Ta xét dãy các nhóm con của H

1=H∩G0 ≤H∩G1 ≤ ≤H∩Gn-1 ≤H∩Gn =H∩G= H (*)

Ta có:

( i 0,n-1))

GG(do 1-n0,i GHG

H∩ i < ∩ i+1 ∀ = i < i+1 ∀ =

( i 0,n-1))

G G(do 1-n0,i HG

⇒ (*) là dãy các nhóm con chuẩn tắc của H

Xét các nhân tử của dãy ta có (H∩Gi+1) (H∩Gi) (= H∩Gi+1) ( (H∩Gi+1)∩Gi)Theo Định lý 1.1.6.7

(H∩Gi+1) ( (H∩Gi+1)∩Gi) (≅ H∩Gi+1)Gi Gi

Mà (H∩Gi+1)Gi Gi ≤Gi+1 Gi là nhóm xyclic nên (H∩Gi+1)Gi Gi là nhóm xyclic

Suy ra (H∩Gi+1) (H∩Gi) (∀i=0,n-1) là nhóm xycic

Do đó (*) là dãy siêu giải được của H

Vậy H là nhóm siêu giải được

● Chứng minh G/N là nhóm siêu giải được:

N)/N(GN)/N(GN/N= 0 < 1 < < n-1 < n = (**) Theo Định lý 1.1.6.8 ta có:

( ) (Gi+1N N) ( (GiN) N) (≅ Gi+1N) (GiN) (= Gi+1(GiN)) (GiN)Theo Định lý 1.1.6.7, ta có:

(Gi+1(GiN)) (GiN)≅Gi+1 (GiN∩Gi+1)

Ta lại cóGi+1 (GiN∩Gi+1) (≅ Gi+1 Gi) (GiN∩Gi+1 Gi) (Định lý 1.1.6.8)

Gi+1/Gi là nhóm xyclic ⇒(Gi+1 Gi) (GiN∩Gi+1 Gi) là nhóm xyclic

⇒( (Gi+1N) N) ( (GiN) N) là nhóm xyclic

⇒ (**) là một dãy siêu giải được của G/N

Vậy G/N là nhóm siêu giải được

Ta có A4 không là nhóm siêu giải được (Ví dụ 2.2(iii)) nên theo Định lý 2.3 ta

có S4 không là nhóm siêu giải được

Nếu f ∈S4thì f(is)f−1 = f(i)f(s) với mọi chuyển trí (is)

Như vậy với mọi f ∈S4 ta có 1 1

1 ( 2)(3 4)

t f − = f f −f

1 1

4) (32)

Ta có B4 C4 = ⇒B4 C4 là nhóm xyclic

C4 = t1 là nhóm xyclic

⇒ (*) là dãy siêu giải được của B4

Vậy B4 là nhóm siêu giải được

• Xét dãy các nhóm con của S4/B4

4 4 4 4 4

⇒ (**) là dãy siêu giải được của S4/B4

Vậy S4/B4 là nhóm siêu giải được

Như vậy S4 có một nhóm con chuẩn tắc là B4 mà ở đó B4 và S4/B4 là nhóm siêu giải được nhưng S4 không là nhóm siêu giải được

2.5.Định nghĩa

Cho G là nhóm Nếu N<G, N có một dãy các nhóm con chuẩn tắc mà tất cả các

số hạng là nhóm con chuẩn tắc của G và các nhân tử là nhóm xyclic thì N được gọi là

nhóm G-siêu giải được

2.6.Mệnh đề

i) Mọi nhóm con xyclic chuẩn tắc của nhóm G là nhóm G-siêu giải được

ii) Nếu G là nhóm G-siêu giải được thì G là nhóm siêu giải được

Chứng minh

i) Giả sử N<G, N là nhóm xyclic

Khi đó ta có dãy G-siêu giải được của N là 1< N

Như vậy N là nhóm G-siêu giải được

ii) Vì G là nhóm G-siêu giải được nên G có một dãy các nhóm con chuẩn tắc với các số hạng là nhóm con chuẩn tắc của G và các nhân tử là nhóm xyclic

⇒ G có một dãy siêu giải được

⇒ G là nhóm siêu giải được

2.7.Định lý

Nếu N<G, N là nhóm G-siêu giải được và G/N là nhóm siêu giải được thì G là nhóm siêu giải được

Chứng minh

G/N là nhóm siêu giải được

⇒G/N có một dãy siêu giải được

G/N/NG/NG

/NG/NGN/N= 0 < 1 < < n-1 < n =

N là G-siêu giải được

⇒ N có một dãy siêu giải được với tất cả các số hạng là chuẩn tắc trong G

GGNNN

NN

1= 0 < 1 < < m-1< m = = 0 < 1 < < n-1 < n = (*) Theo Định lý 1.1.6.8, ta có Gi+1 Gi ≅(Gi+1 N) (Gi N) (∀i=0,n-1)

Mà (Gi+1 N) (Gi N) (∀i=0,n-1) là nhóm xyclic nên Gi+1 Gi (∀i=0,n-1) là nhóm xyclic Như vậy, (*) là một dãy siêu giải được của G

Do đó G là nhóm siêu giải được

N là nhóm xyclic Suy ra N là nhóm G-siêu giải được (Mệnh đề 2.6)

Theo Định lý 2.7 ta có G là nhóm siêu giải được

2.9.Định lý

Cho G là nhóm siêu giải được Khi đó N<G khi và chỉ khi N là một số hạng trong một dãy siêu giải được của G

Chứng minh

( )⇒ G là nhóm siêu giải được, N<G

⇒ G/N là nhóm siêu giải được

⇒ G/N có một dãy siêu giải được

G/N/NN/NN

/NN/NNN/N= 0 < 1 < < n-1 < n =

GG

1= 0 < 1 < < m-1 < m =

là một dãy siêu giải được bất kỳ của G

Khi đó ta có

NNGNGNG

NGNG

Suy ra (Gi+1∩N) (Gi∩N) (∀i=0,m-1) là nhóm xycic

Như vậy

NNN

NNNNGNG

NGNG

1= 0∩ < 1∩ < < m ∩ = ∩ = = 0 < 1 < < n-1< n =

là một dãy siêu giải được của G có N là một số hạng của dãy

( )⇐ Nếu N là một số hạng trong một dãy siêu giải được của G thì hiển nhiên ta

có N<G

2.10.Định lý

Cho H, K là hai nhóm siêu giải được Khi đó H x K là nhóm siêu giải được

Chứng minh

H là nhóm siêu giải được

⇒H có một dãy siêu giải được