Một số tính chất của nhóm tôpô nil

Mục lục Trang Lời mở đầu .2 Chương I: Tổng quan về một số lớp nhóm tôpô §1. Nhóm luỹ linh và nhóm tôpô luỹ linh 4 §2. Nhóm tôpô luỹ linh đòa phương 9 §3. Nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh 14 Chương II: Nhóm tôpô Nil §1. Một số khái niệm .20 §2. Điều kiện đủ để một số nhóm là nhóm luỹ linh .22 §3. Tính compắc và tập hợp các phần tử compắc của nhóm tôpô Nil 29 §4. Nhóm tôpô Nil thoả mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con Aben đóng .32 Kết luận .34 Tài liệu tham khảo 35 1 Lời mở đầu Lý thuyết nhóm là một trong những lý thuyết phong phú và sâu sắc của chuyên ngành đại số, trong đó lớp nhóm luỹ linh và nhóm tôpô luỹ linh đòa phương, nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh, nhóm tôpô Nil có một vò trí quan trọng, được ứng dụng nhiều trong nghiên cứu lý thuyết nhóm. Mục đích của luận văn này là giới thiệu một số kiến thức cơ bản về nhóm luỹ linh, đưa ra các tính chất quan trọng của nhóm luỹ linh, nhóm tôpô luỹ linh đòa phương, nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh và nghiên cứu về nhóm tôpô Nil. Dựa trên cơ sở tham khảo các tài liệu của các tác giả trong và ngoài nước, chúng tôi đã phân tích, tổng hợp và khái quát các khái niệm, tính chất của một số lớp nhóm liên quan đến nhóm luỹ linh, đặc biệt là nhóm tôpô Nil. Luận văn chia làm hai chương: Chương I trình bày các khái niệm cơ bản của nhóm luỹ linh trừu tượng, nhóm luỹ linh tôpô, chứng minh các tính chất của phần tử compact, phần tử có cấp hữu hạn của lớp nhóm tôpô luỹ linh đòa phương; nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh . Chương II là các khái niệm và một số tính chất cơ bản của nhóm tôpô Nil. Đây là nội dung chính của luận văn. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy giáo-GS.TS. Nguyễn Quốc Thi. Nhân dòp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo_GS.TS. Nguyễn Quốc Thi đã tận tình hướng dẫn và cho những lời khuyên q báu. Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Đại số, khoa Toán, khoa Sau đại học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. 2 Xin cảm ơn bạn bè, người thân đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng luận văn chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn. Trân trọng cảm ơn! Vinh, tháng 11 năm 2006 Tác giả 3 CHƯƠNG I : TỔNG QUAN VỀ MỘT SỐ LỚP NHÓM TÔPÔ Trong chương này chúng tôi tóm tắt các khái niệm cơ bản của nhóm luỹ linh, chứng minh một số tính chất chung của nhóm luỹ linh và một số tính chất của nhóm tôpô luỹ linh đòa phương, nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh. §1. NHÓM LUỸ LINH VÀ NHÓM TÔPÔ LUỸ LINH 1.1.Đònh nghóa. Nhóm G được gọi là nhóm luỹ linh nếu nó có dãy bất biến >= <⊇⊇⊇= eAAAG n . 10 với nhóm thương 1 + i i A A được chứa trong tâm của nhóm thương 1 + i A G . Vì nhóm thương 1+i i A A là nhóm aben nên nhóm luỹ linh là nhóm giải được. Ta ký hiệu hoán tử xyx - 1 y - 1 = [x,y] và nếu A,B là hai nhóm con thì ta ký hiệu [A,B] là nhóm con sinh bởi các hoán tử [a, b] với a ∈ A, b ∈ B. Giả sử G là nhóm đã cho, ta ký hiệu G 1 = G, G 2 = G’ = [G,G], G 3 = [G 2 ,G] ,…, G k+1 = [G k , G]. Khi đó ta có G k+1 ⊆ G k và các G k là nhóm con hoàn toàn đặc trưng của nhóm G. Dãy nhóm con 21 ⊇⊇⊇⊇= n GGGG (1) của nhóm G được gọi là dãy tâm dưới của nhóm G. 1.2.Đònh lý. Nhóm 1 + k k G G thuộc vào tâm của 1 + k G G . Chứng minh. Giả sử 1 + kk Gg ∈ 1 + k k G G và gG k+1 ∈ 1 + k G G ta xét hoán tử sau: gG k+1 . g k G k+1 . g -1 G k+1 .g k -1 G k+1 = 11 1 1 1 1 ++ − + − + = kkkk GGgggg (theo đònh nghóa ) Vậy 1 1 1 1 1 + − + − + ∈ kkk Ggggg từ đó suy ra 1 + k k G G thuộc vào tâm của 1 + k G G º Chúng ta cũng có thể đònh nghóa dãy tâm trên như sau: Dãy nhóm con bất biến <e> = Z 0 ⊂ Z 1 ⊂ … ⊂ Z i ⊂ Z i+1 ⊂ … (2) 4 với Z i+1 được xác đònh bởi điều kiện i i Z Z 1+ là tâm của nhóm i Z G Bởi vì tâm của nhóm G bất biến với mọi tự đẳng cấu của nhóm G nên các nhóm con Z i là nhóm con hoàn toàn đặc trưng. Dãy >= <⊇⊇⊇= + eAAAG n 121 . (3) với nhóm thương 1 + i i A A thuộc vào tâm của nhóm 1 + i A G được gọi là dãy tâm của G. 1.3.Đònh lý. Cho >= <⊇⊇⊇= + eAAAG n 121 . là dãy tâm của nhóm G. Khi đó A i ⊇ G i , i = 1,2,…, n+1 và A n+1-j ⊂ Z j , j = 0, …, n. Chứng minh. Ta có G = A 1 = G 1 . Giả thiết A i ⊂ G i . Bởi vì nhóm thương 1 + i i A A thuộc vào tâm 1 + i A G suy ra (A i ,G) ⊂ A i+1 . Nhưng khi đó G i+1 = (G i , G) ⊆ (A i ,G) ⊂ A i+1 . Điều đó cho ta A i ⊇ G i đối với mọi i = 1,2,…,n+1 Ta giả thiết rằng A n+1-i ⊆ Z i với i nào đó . Khi đó T = i Z G là ảnh đồng cấu của nhóm U= in A G −+ 1 với nhân đồng cấu là in i A Z −+ 1 . Nhóm in in A A −+ − 1 được chứa trong tâm của nhóm U, từ đó suy ra rằng ảnh đồng cấu của in in A A −+ − 1 phải thuộc tâm của T. Nhưng nhóm i in Z ZA 11 +− ∪ chính là ảnh đồng cấu của in in A A −+ − 1 , khi đó nhóm i i Z Z 1+ thuộc tâm của T. Vậy 111 +−− ⊂∪⊂ iinn ZZAA . Đònh lý được chứng minh bằng qui nạp theo i º 1.4.Hệ quả. Trong nhóm luỹ linh dãy tâm trên và dãy tâm dưới có cùng độ dài hữu hạn C, và ta gọi nhóm luỹ linh có độ dài C đó là nhóm luỹ linh lớp C. Nếu ta qui ước […[x 1 , x 2 ],…, x C ] = [x 1 … x C-1 , x C ] là hoán tử đơn của nhóm luỹ linh lớp C thì bất kỳ hoán tử [x 1 , x 2 ,…, x C+1 ] = e và ngược lại nếu bất kỳ hoán tử [x 1 , x 2 , …, x C+1 ] = e thì G là nhóm luỹ linh thuộc lớp không vượt quá C. Ta nói G có tính luỹ linh lớp C nếu [a 1 ,…,a C+1 ] = e đối với tất cả a i ∈ G. 1.5.Đònh lý. Nếu G là nhóm có tính luỹ linh lớp C thì các nhóm con và nhóm thương của G cũng là nhóm có tính chất luỹ linh lớp C. 5 Chứng minh. Giả sử G là nhóm có tính luỹ linh lớp C và H là nhóm con của G. Khi đó hoán tử thuộc H của G cũng có tính chất đó vì ( a 1 ,…, a C+1 ) ∈ H với a 1 ,…, a C+1 ∈ H, suy ra (a 1 ,…, a C+1 ) ∈ G , mà G là nhóm luỹ linh lớp C nên ( a 1 ,…, a C+1 ) = e. Vậy H là nhóm có tính luỹ linh lớp C. Giả sử T = G/K là nhóm thương của G theo ước chuẩn K. Nếu T là ảnh đồng cấu tự nhiên của G thì mọi hoán tử ( b 1 ,…, b C+1 ) với b i ∈ T là ảnh của hoán tử ( a 1 ,…, a C+1 ) ∈ G nào đó. Vì G là nhóm luỹ linh lớp C nên (b 1 ,…, b C+1 ) = e. Vậy G/K là nhóm có tính luỹ linh lớp C . º 1.6. Đònh lý. Nếu G là nhóm có tính luỹ linh lớp C và H = H 0 là nhóm con của G, H i+1 là chuẩn tập của H i trong G. Khi đó H C = G. Chứng minh. Giả sử Z 0 = <e> ⊂ Z 1 ⊂ … ⊂ Z i ⊂ Z i+1 ⊂ … là dãy tâm trên của nhóm G. Ta chứng minh bằng qui nạp theo i. Rõ ràng <e> =Z 0 ⊆ H 0 Giả sử H m ⊇ Z m đối với m. Khi đó theo đònh nghóa Z i+1 thì với phần tử z i+1 ∈ Z i+1 và phần tử g ∈ G ta có: iiii Zzgzgz ∈= + −− + 1 11 1 Từ đó suy ra h i = g -1 ∈ A i , ta có iiiii Hhzhzz ∈= + − + 1 1 1 . Vậy z i+1 thuộc vào chuẩn tập của H i ⇒ H i+1 ⊃ Z i+1 . Đó là điều phải chứng minh theo mệnh đề qui nạp. Vậy G= H C . º 1.7.Hệ quả. Bất kỳ nhóm con thực sự nào của nhóm luỹ linh cũng là nhóm con thực sự của chuẩn tập của nó. 1.8.Hệ quả. Bất kỳ nhóm con tối đại của nhóm luỹ linh G đều là ước chuẩn của G, có chỉ số là số nguyên tố và chứa đạo nhóm G’ của nhóm G. Chứng minh. Giả sử M là nhóm con tối đại của nhóm G luỹ linh. Vì chuẩn tập N(M) của M trong G chứa M thực sự nên N(M) = G. Vậy M ∆ G. Hơn thế nữa 6 nhóm thương M G không chứa nhóm con thực sự, do đó M G là nhóm xyclic cấp nguyên tố. Mặt khác M G là nhóm aben nên G’ ⊂ M . º 1.9.Hệ quả. Nếu G là nhóm luỹ linh và H là nhóm con của G để G = G’H thì H= G. Chứng minh. Theo đònh lý 1.6, H 0 = H, H i+1 ⊃ H i Z i+1 ta có H i bất biến trong H i+1 . Nếu H j ≠ G nhưng H j+1 = G thì H j là nhóm con bất biến thực sự đồng thời j H G là nhóm aben, suy ra H j ⊃ G’. Nhưng khi đó HG’ ⊆ H j G’ = H j ≠ G, trái với giả thiết. Vậy H =G . º 1.10.Đònh lý. p-nhóm hữu hạn là nhóm luỹ linh. Nhóm hữu hạn là nhóm luỹ linh khi và chỉ khi G là tích trực tiếp các nhóm con sylow. Chứng minh. Theo đònh lý về tồn tại tâm khác đơn vò của p-nhóm hữu hạn P, ta có dãy tâm trên của P chuyển đến nhóm P, tức P là luỹ linh. Suy ra tích trực tiếp các p- nhóm hữu hạn là nhóm luỹ linh. Giả sử G là nhóm luỹ linh hữu hạn, P là p-nhóm sylow của G, khi đó chuẩn tập N(P) ≡ N G (P), theo hệ quả 1.4 thì N G (P) = G tức P ∆ G. Vì các nhóm con sylow đều là ước chuẩn nên G là tích trực tiếp các nhóm con sylow. º 1.11.Hệ quả. Nhóm hữu hạn là luỹ linh khi và chỉ khi tất cả các nhóm con tối đại bất biến. Chứng minh. Nhóm con tối đại của nhóm luỹ linh là nhóm con bất biến. Mặt khác chuẩn tập N G (P) của nhóm con sylow P không thể chứa trong nhóm con bất biến thực sự của G. Vậy nếu các nhóm con tối đại bất biến thì P là ước chuẩn của G và G là tích trực tiếp các nhóm con sylow . º 1.12.Đònh nghóa. Nhóm tôpô G được gọi là nhóm tôpô luỹ linh nếu nhóm trừu tượng G là nhóm luỹ linh. 7 1.13.Đònh lý. Giả sử G là nhóm tôpô, H là nhóm con luỹ linh của nhóm trừu tượng G. Khi đó, H là nhóm con luỹ linh của nhóm tôpô G. Chứng minh. Ta phải chứng minh H là nhóm luỹ linh. Thật vậy,vì H là nhóm luỹ linh nên trong H tồn tại dãy tâm dưới EAAAH n =⊃⊃⊃⊃ . 21 (1) trong đó [H,A i ] = A i+1 , với i = 1,2,…, n-1. Từ đó suy ra EAAAH n =⊇⊇⊇⊇ . 21 . Ta sẽ chứng minh nhóm H là nhóm luỹ linh, tức là chứng minh dãy EAAAH n =⊃⊃⊃ ) .()()( 21 là hữu hạn. Ta có: 11 )(AA ⊃ Bằng quy nạp ta chứng minh: ii AA )( ⊃ Thật vậy: 11 )(],[],[ ++ =⊇= iiii AHAHAA Do đó nn AA )( ⊇ , mà EA n = cho nên EA n = )( . Vậy H là nhóm luỹ linh º 8 §2.NHÓM TÔPÔ LUỸ LINH ĐỊA PHƯƠNG 2.1.Tính chất compắc của nhóm tôpô luỹ linh đòa phương 2.1.1.Đònh nghóa. Nhóm tôpô G được gọi là nhóm tôpô luỹ linh đòa phương nếu bao đóng của mọi nhóm con hữu hạn sinh là nhóm luỹ linh. 2.1.2.Đònh nghóa. Nhóm tôpô G được gọi là nhóm hữu hạn đòa phương tôpô nếu bao đóng của mọi nhóm con hữu hạn sinh là nhóm compắc. 2.1.3.Đònh lý. Giả sử G là nhóm tôpô luỹ linh đòa phương, xoắn tôpô. G là nhóm compắc khi và chỉ khi G là bao đóng của nhóm sinh bởi tập compắc M, { } MG = . Chứng minh. Nếu G là nhóm compắc thì hiển nhiên { } MG = , M là tập compắc . Giả sử ngược lại, { } MG = , trong đó M là tập compắc. Khi đó trong G tồn tại lân cận compắc đối xứng V của đơn vò e ∈ G để { } i i n VVVVVG ∞ = ∪=∪∪∪∪== 1 2 . Tập hợp g i V là phủ mở của tập V 2 , nhưng V 2 là tập compắc nên tồn tại phủ mở hữu hạn g 1 V, g 2 V,…, g k V phủ V 2 . Ta kí hiệu { } k gggA , .,, 21 = . Khi đó AVV ⊂ 2 . Bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh AVV n ⊂ , với n ∈ N. Thật vậy, AVAAVAVAVVVVV nn =⊂=⊂= − 21 . Từ đó suy ra G = AV. Bây giờ ta chứng minh G là nhóm compắc. Trước hết ta xét trường hợp G là nhóm Aben. Ta kí hiệu { } ii gA = , i = 1,2,…,k , A i là nhóm compắc. Vì G là nhóm Aben nên nhóm A = A 1 A 2 …A k là nhóm compắc.Vậy G= AV là nhóm compắc . Ta chứng minh cho trường hợp tổng quát. Vì G là nhóm tôpô luỹ linh đòa phương nên nhóm { } k gggA , .,, 21 = là nhóm luỹ linh. Khi đó, trong A có dãy tâm dưới )( . 121 eAAAAA nn =⊃⊃⊃⊃= − . Nhóm con A n-1 là nhóm con Aben xoắn tôpô nên A n-1 là nhóm hữu hạn đòa phương tôpô. 9 Ta có 1 2 − − n n A A cũng là nhóm Aben xoắn tôpô nên 1 2 − − n n A A là nhóm hữu hạn đòa phương tôpô. Vì mở rộng của nhóm hữu hạn đòa phương tôpô bởi nhóm hữu hạn đòa phương tôpô là nhóm hữu hạn đòa phương tôpô nên suy ra A n-2 là nhóm hữu hạn đòa phương tôpô . Bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh được A là nhóm hữu hạn đòa phương tôpô, nhưng vì { } k gggA , .,, 21 = nên A là nhóm compắc. Vậy G = AV là nhóm compắc . Đònh lý được chứng minh º Từ đònh lý ta suy ra các hệ quả sau. 2.1.4.Hệ quả. Trong nhóm tôpô luỹ linh đòa phương, xoắn tôpô khái niệm compắc và sinh ra bởi tập compắc là trùng nhau. 2.1.5.Hệ quả. Giả sử G là nhóm tôpô luỹ linh đòa phương, xoắn tôpô sao cho 0 G G là nhóm compắc , trong đó G 0 là thành phần liên thông của e ∈ G. Khi đó G là nhóm compắc. Chứng minh. Vì G 0 là nhóm liên thông nên tồn tại lân cận compắc đối xứng V của e ∈ G để { } VG = 0 . Từ đònh lý ta có G 0 là nhóm compắc và 0 G G là nhóm compắc, nên G là nhóm compắc. º 2.1.6.Hệ quả. Giả sử G là một nhóm tôpô luỹ linh đòa phương , xoắn tôpô. Khi đó G là một nhóm hữu hạn đòa phương tôpô. Chứng minh. Giả sử Gggg k ∈ , .,, 21 , nhóm con { } k gggA , .,, 21 = là nhóm con xoắn tôpô, luỹ linh nên theo chứng minh trên A là nhóm compắc . Vậy G là nhóm hữu hạn đòa phương tôpô . º 2.1.7.Đònh lý. Giả sử G là nhóm compắc đòa phương xoắn tôpô và { } MG = , trong đó M là tập compắc và trong G có nhóm con H trù mật tôpô luỹ linh đòa phương , xoắn tôpô. Khi đó G là nhóm compắc. 10 . niệm cơ bản của nhóm luỹ linh, chứng minh một số tính chất chung của nhóm luỹ linh và một số tính chất của nhóm tôpô luỹ linh đòa phương, nhóm tôpô luỹ linh. nhóm luỹ linh, đưa ra các tính chất quan trọng của nhóm luỹ linh, nhóm tôpô luỹ linh đòa phương, nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh và nghiên cứu về nhóm tôpô Nil.