Một số tính chất của nhóm tôpô giải được địa phương

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học vinh Lê Thị Ngọc Tú Một số tính chất của nhóm tôpô giải đợc địa phơng Luận văn thạc sĩ toán học inh- 2004 3 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học vinh Lê Thị Ngọc Tú Một số tính chất của nhóm tôpô giải đợc địa phơng Chuyên ngành: Đại số- lý thuyết số Mã số : Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: GS-TS :Nguyễn Quốc Thi Vinh- 2004 4 Phần mở đầu Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm giải đợc địa phơng nếu bao đóng của nhóm con hữu hạn sinh là nhóm giải đợc. Lớp nhóm giải đợc trừu tợng cũng nh lớp nhóm tôpô giải đợc là những lớp nhóm cơ bản có nhiều ứng dụng trong toán học cũng nh trong các ngành khoa học khác. Trong khóa luận tốt nghiệp đại học tôi đã đề cập đến hai lớp nhóm trên và cũng đã đạt đợc một số kết quả nhất định. Tuy nhiên mục đích chính của luận văn thạc sĩ này là nghiên cứu nhóm tôpô không giải đợc, mà chỉ giải đợc đối với nhóm con tôpô hữu hạn sinh.Vì thế nội dung nghiên cứu lớp nhóm này phong phú hơn nhiều so với lớp nhóm giải đợc. Nhóm tôpô giải đợc địa phơng đợc xếp vào một trong những lớp nhóm cơ bản của lý thuyết nhóm trừu tợng cũng nh lý thuyết nhóm tôpô. Việc nghiên cứu lớp nhóm tôpô giải đợc địa phơng đã đợc nhiều nhà toán học dày công nghiên cứu và kết quả thu đợc cũng rất phong phú, nhng nội dung của nó khá rộng nên còn nhiều vấn đề cha đợc nghiên cứu hoặc mới đợc nghiên cứu nhng còn rất ít. Trong phạm vi luận văn này tôi đi vào nghiên cứu sâu một số tính chất của nhóm tôpô giải đợc địa phơng nh : 1, Tính chất giải đợc và tính chất compact của nhóm tôpô giải đợc địa phơng . 2, Tính hữu hạn địa phơng tôpô của nhóm tôpô giải đợc địa phơng 3, Nhóm con xoắn trừu tợng cực đại trong nhóm tôpô giải đợc địa phơng Trong toàn bộ luận văn này nhóm tôpô đợc nghiên cứu đều là nhóm compact địa phơng (Nếu không nói gì thêm ta hiểu đó là nhóm compact địa ph- ơng ). Trên cơ sở đó nội dung của luận văn bao gồm: Phần mở đầu, 3 chơng và phần kết luận. Ngoài phần mở đầu nêu xuất xứ vấn đề và đặt vấn đề nghiên cứu, cả 3 chơng là phần chính của luận văn, trong đó trình bày tỉ mỉ, lần lợt các cơ sở lý luận, phơng pháp và kỹ thuật đã sử dụng cùng với 5 các kết quả chính đã đạt đợc. Phần kết luận sau cùng là những nhận xét liên quan đến các vấn đề đã giải quyết trong luận văn, đồng thời nêu những vấn đề gợi mở cần tiếp tục suy nghĩ và nghiên cứu. Chơng I: Gồm 3 tiết: Tiết đầu nêu lên các kết quả của Yamabe ( [4],[5] ), định lý Cartan Meltsev Iwasawa tổng quát để làm cơ sở lập luận chính không chỉ cho chơng này mà cho cả toàn bộ luận văn. Tiết thứ hai trình bày về tính chất giải đợc của nhóm tôpô giải đợc địa ph- ơng, ở tiết này chúng tôi xét điều kiện đặc trng giải đợc của nhóm tôpô giải đợc địa phơng và chúng tôi đã chỉ ra đợc điều kiện để nhóm tôpô G giải đợc địa phơng là giải đợc khi nhóm thơng 0 G G là nhóm hữu hạn. Trong đó G 0 là thành phần liên thông của đơn vị e G. Tiết thứ ba trình bày về tính chất compact của nhóm tôpô giải đợc địa ph- ơng. Trong tiết này chúng tôi xét điều kiện để nhóm tôpô G compact sinh ra là nhóm compact; và đã chỉ ra đợc rằng nhóm tôpô G compact sinh ra là compact khi trong G có nhóm con H giải đợc địa phơng, xoắn tôpô trù mật và rút ra một nhận xét thú vị là trong nhóm giải đợc địa phơng, xoắn tôpô thì tính chất compact sinh ra và compact là trùng nhau. Chơng II: Trình bày về tính hữu hạn địa phơng tôpô của nhóm tôpô giải đợc địa ph- ơng . Trong phần đầu của chơng này chúng tôi nghiên cứu tính hữu hạn địa ph- ơng trừu tợng của nhóm xoắn trừu tợng, giải đợc địa phơng và sau đó mở rộng ra đối với nhóm xoắn tôpô giải đợc địa phơng và đã chứng minh đợc định lý Nhóm xoắn tôpô, giải đợc địa phơng là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô. Chơng III : Trình bày về nhóm con xoắn trừu tợng cực đại của nhóm tôpô giải đợc địa phơng và mối liên hệ giữa chúng, đặc biệt chúng tôi chú trọng đến sự liên hợp của các nhóm con xoắn trừu tợng cực đại. Chúng tôi đã chứng minh đợc rằng trong lớp nhóm tôpô giải đợc địa phơng nếu nhóm thơng 0 G G hữu hạn hoặc G hữu hạn chiều và 0 G G compact xoắn trừu tợng thì khi đó các nhóm con 6 xoắn trừu tợng cực đại liên hợp với nhau trong G.( trong đó G 0 là thành phần liên thông của đơn vị e G ). Các kết quả của luận văn đã đợc viết thành một bài báo đăng trong Thông báo khoa học số 31 (Vinh 2003), 45- 48, Kỷ yếu hội thảo khoa học sau đại học(Vinh 12/2003),122 125, và đợc trình bày trong hội thảo khoa học sau đại học năm 2003, và một bài báo khác đã đợc gửi lên tạp chí Khoa học ĐHV Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình, tận tâm và nghiêm khắc của thầy giáo, GS TS Nguyễn Quốc Thi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, ngời đã dành cho tác giả sự hớng dẫn tận tình trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong tổ Đại số Khoa toán ĐHV đã dìu dắt tác giả trong những năm học đại học và cao học, cũng nh đã hết lòng giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn. Tác giả cũng xin cảm ơn Khoa sau đại học - ĐHV đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn của mình. Cũng nhân dịp này tác giả xin cảm ơn các bạn học viên trong lớp Cao học 10 - Đại số đã giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này. Vì thời gian có hạn, bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong sự góp ý của quý thầy cô và các bạn. Tác giả Vinh 11/2004 Chơng I Tính chất giải đợc và tính chất compact của 7 nhóm tôpô giải đợc địa phơng . Các tính chất giải đợc và tính chất compact có một vai trò quan trọng đối với nhóm tôpô nói chung và đối với lớp nhóm tôpô giải đợc địa phơng nói riêng, bởi chúng có khá nhiều đặc tính tốt, vì thế có ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết nhóm trừu tợng và lý thuyết nhóm tôpô. Chơng này dành cho việc chứng minh các định lý sau: Giả sử G là nhóm tôpô giải đợc địa phơng với nhóm thơng 0 G G là nhóm hữu hạn, trong đó G 0 là thành phần liên thông của đơn vị e G . Khi đó G là nhóm tôpô giải đợc . Và Giả sử G là nhóm tôpô compact sinh ra G= { } M . trong đó M là tập compact và trong G có nhóm con H giải đợc địa phơng, xoắn tôpô trù mật. Khi đó G là nhóm compact . Để chứng minh các định lý này, chúng tôi dựa vào các kết quả của Yamabe. Phần cuối chơng trình bày ví dụ để chứng tỏ rằng không thể bỏ qua một điều kiện nào của định lý 1.3.2 ( H là nhóm con xoắn tôpô là điều kiện cần ). Và chúng tôi đã đa ra một số kết quả rút ra từ định lý 1.3.2 1.1 Các kết quả của yamabe ( [4], [5] ) Nh đã biết ở giáo trình nhóm tôpô (Chuyên đề cao học Lê Quốc Hán ) đã trình bày Mỗi nhóm compact là giới hạn xạ ảnh của một dãy nhóm lie Tiết này sẽ trình bày tóm tắt các kết quả của Yamabe ([4], [5] ) về nhóm compact địa phơng G với nhóm thơng 0 G G compact. Trong đó G 0 là thành phần liên thông của đơn vị e G . 8 1.1.1 Định lý Yamabe thứ nhất ([4]). Giả sử G là nhóm compact địa ph- ơng với thơng 0 G G compact. Khi đó G có ớc chuẩn compact N để N G là nhóm lie. 1.1.2 Định lý Yamabe thứ hai ([5]). Giả sử G là nhóm compact địa phơng với thơng 0 G G compact. Khi đó G = Lim ( > ,, 0 G ) Trong đó G là nhóm lie. 1.1.3 Mệnh đề. Giả sử G là nhóm lie với một số hữu hạn thành phần liên thông. Khi đó nhóm con compact bất kỳ của G đợc chứa trong nhóm con compact tối đại nào đó của G. Tất cả các nhóm con compact tối đại liên hợp với nhau. Nếu B là một trong số chúng, thì G = B.H 1 .H 2 .H 3 H r , trong đó H i (i = 1,2, ,r ) là các nhóm vectơ một chiều, hơn nữa ánh xạ : rr HHHBHHHBf : 2121 ìììì là đồng phôi. *Từ định lý Yamabe thứ nhất và mệnh đề trên ta có định lý sau: 1.1.4 Định lý.( định lý Cartan Maltsev Iwasawa tổng quát ) [7] Giả sử G là nhóm compact địa phơng với thơng 0 G G compact. Khi đó nhóm con compact bất kỳ của G đợc chứa trong nhóm con compact tối đại nào đó của G. Tất cả các nhóm con compact tối đại liên hợp với nhau. Nếu B là một trong số chúng, thì G = B.H 1 .H 2 .H 3 H r , trong đó H i (i = 1,2, ,r ) là các nhóm vectơ một chiều, và ánh xạ tự nhiên: rr HHHBHHHBf : 2121 ìììì là đồng phôi. 9 1.2 Tính chất giải đợc của nhóm tôpô giải đợc địa ph- ơng . Nhóm tôpô giải đợc hiển nhiên là nhóm tôpô giải đợc địa phơng nhng điều ngợc lại thì cha phải bao giờ cũng đúng. Trong tiết này ta nghiên cứu điều kiện để nhóm tôpô giải đợc địa phơng là nhóm tôpô giải đợc . 1.2.1 Định nghĩa. * Nhóm G là nhóm giải đợc nếu dãy đạo nhóm của G sau một số bớc hữu hạn phải dừng tại nhóm con đơn vị : G G G . . . G (n-1) G n = e * Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm tôpô giải đợc nếu nhóm trừu tợng G là nhóm giải đợc . 1.2.2 Định nghĩa. Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm tôpô giải đợc địa phơng nếu nh mọi bao đóng của nhóm con hữu hạn sinh đều là nhóm tôpô giải đợc . 1.2.3 Định nghĩa. Nhóm tôpô liên thông, giải đợc, compact đợc gọi là nhóm xuyến tôpô. 1.2.4 Bổ đề. Giả sử G là nhóm giải đợc, xoắn tôpô. Khi đó G là nhóm xuyến tôpô. Chứng minh. Do G 0 là nhóm con của nhóm giải đợc nên G 0 là nhóm giải đợc. Do mọi phần tử của G đều là phần tử compact nên G 0 cũng là nhóm xoắn tôpô. Hiển nhiên rằng G 0 là nhóm liên thông Vậy G 0 là nhóm liên thông, giải đợc, xoắn tôpô. Nên G 0 là nhóm compact Vậy G 0 là nhóm liên thông, giải đợc, compact nên G 0 là xuyến tôpô. 1.2.5 Mệnh đề. Nhóm lie, liên thông giải đợc địa phơng có nhóm con hữu hạn sinh trù mật. Chứng minh. Xem [2]. 10 1.2.6 Định lý. Giả sử G là nhóm tôpô giải đợc địa phơng với nhóm thơng 0 G G là nhóm hữu hạn, trong đó G 0 là thành phần liên thông của đơn vị e G . Khi đó G là nhóm tôpô giải đợc . Chứng minh. Vì nhóm 0 G G là nhóm hữu hạn, giải đợc địa phơng nên nhóm thơng 0 G G là nhóm giải đợc . Vậy chứng minh nhóm tôpô G giải đợc ta chỉ cần chứng minh nhóm G 0 là nhóm giải đợc . Ta có nhóm G 0 là nhóm liên thông compact địa phơng nên theo định lý Yamabe thứ hai [5] G 0 = Lim ( > ,, 0 G ) Trong đó o G là nhóm lie liên thông giải đợc địa phơng. Nhng bất kỳ nhóm lie liên thông nào cũng có nhóm con trù mật hữu hạn sinh ([2]), nên nhóm 0 G là nhóm tôpô giải đợc liên thông. Vậy nếu G 0 là nhóm compact thì 0 G là xuyến lie, khi đó G 0 là xuyến. Giả sử G 0 không phải là nhóm compact theo định lý Yamabe thứ nhất [4], trong nhóm G 0 có ớc chuẩn K compact để nhóm thơng K G 0 là nhóm lie, ta gọi K 0 là thành phần liên thông của đơn vị e K. Theo chứng minh trên K 0 là xuyến bất biến trong G 0 , nên K 0 thuộc tâm của G 0 . Ta có nhóm compact hoàn toàn không liên thông 0 K K là ớc chuẩn của nhóm liên thông 0 0 K G . Xét ánh xạ * a : 0 0 K G 0 K K , x * x * -1 a * x * với a * 0 K K cố định, * a là ánh xạ liên tục, nên * a ( 0 0 K G ) là tập liên thông thuộc nhóm compact hoàn toàn không liên thông 0 K K , nên: 11 * a ( 0 0 K G ) = a * , hay x * -1 a * x * = a * với mọi x * 0 0 K G . Vậy 0 K K thuộc tâm của nhóm 0 0 K G . Vậy K là nhóm giải đợc . Mặt khác nhóm lie K G 0 liên thông, giải đợc địa phơng nên có nhóm con hữu hạn sinh trù mật nên K G 0 là nhóm giải đợc . Vậy G 0 là nhóm giải đợc. (Vì G 0 là mở rộng của nhóm giải đợc K G 0 bởi nhóm K giải đợc ). Định lý đợc chứng minh . 12 . một số tính chất của nhóm tôpô giải đợc địa phơng nh : 1, Tính chất giải đợc và tính chất compact của nhóm tôpô giải đợc địa phơng . 2, Tính hữu hạn địa. là đồng phôi. 9 1.2 Tính chất giải đợc của nhóm tôpô giải đợc địa ph- ơng . Nhóm tôpô giải đợc hiển nhiên là nhóm tôpô giải đợc địa phơng nhng điều ngợc