2.5.1 Định nghĩa. Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm đầy đủ nếu mọi g thựôc G , mọi số tự nhiên n, phơng trình xn = g có nghiệm trong G.
2.5.2 Định lý. Giả sử G là nhóm luỹ linh tổng quát ,compact địa phơng và liên thông . Chứng minh rằng G là nhóm đầy đủ.
Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh (R,+) là đầy đủ .
Ta có R là nhóm liên thông, compact địa phơng aben nên R là đầy đủ .
Ta chứng minh cho trờng hợp G là nhóm xuyến (compact,aben, liên thông ) là đầy đủ .
Thật vậy , xét ánh xạ f : G → G x xn
Vì G là nhóm compact ,aben nên f là ánh xạ đồng cấu nhóm tôpô
⇒f(G) compact
⇒f(G) đóng .
Mặt khác G f(G)là nhóm compact ,liên thông gồm tất cả các phần tử có cấp bị chặn tức là G là nhóm Lie xoắn.G f(G) có không quá hai phần tử hay
) (G
f
G = {e∗}. Suy ra G=f(G) . Vậy G là đầy đủ . Bây giờ ta chứng minh định lý cho trờng hợp tổng quát
Vì G là nhóm luỹ linh tổng quát liên thông nên theo định lý 2.1.3thì G là nhóm luỹ linh
Theo định lý Manxev-Cartan-Iwasawa thì G có sự phân tích G = B.H1.H2 ...Hi
Trong đó B là nhóm compact tối đại ,liên thông và các nhóm con Hi là các nhóm véc tơ một chiều .Thế thì B là xuyến theo chứng minh trên B là đầy đủ .
G là nhóm luỹ linh , liên thông ta sẽ chứng minh G có dãy tâm {e} =B0 ⊂ B1 ⊂ ... ⊂ Bγ=G
trong đó Bi ∆G và Bi+1 Bi thuộc vào tâm của G Bi và G Bi là nhóm phi xoắn tôpô.
Theo trên B là nhóm liên thông , aben ,đầy đủ và thuộc vào tâm của G . Thật vậy,∀g∈G,∀b∈B ta có δg(b) =g.b.g-1
ánh xạ ϕ :G→Aut(G) g δg
là đồng cấu liên tục .Bởi vì ϕ(G) liên thông và A(B) là nhóm rời rạc nên ϕ(G)=e .Do đó δg là tự đẳng cấu đồng nhất của G hay g∈ZG(B). Vậy ZG(B)=G hay B thuộc vào tâm của G.
ở đây A(B) là nhóm các tự đẳng cấu của xuyến B với tôpô tự nhiên và đẳng cấu nhóm tuyến tính các phần tử nguyên với tôpô ơclit thông thờng .Từ đó suy ra mọi nhóm con xoắn của A(B) là hữu hạn .
Bây giờ lấy B1 =B là nhóm compact tối đại của G .Nhóm G B1là nhóm phi xoắn tôpô nên trong tâm G B1 có nhóm con là ảnh đồng cấu của nhóm
1
B
G .Ký hiệu nhóm đó là B2 B1 .Khi đó B2 B1 là nhóm aben nên theo chứng
minh trên B2 B1 là nhóm đầy đủ phi xoắn tôpô.
Tiếp tục quá trình trên với nhóm G B2 ta có nhóm B3 B2 là nhóm phi xoắn tôpô thuộc tâm G B2 và B3 B2 là nhóm đầy đủ .Cứ tiếp tục quá trình này ta có dãy tâm
Với Bα+1 Bα là nhóm đầy đủ, phi xoắn tôpô và thuộc tâm của nhóm α
B
G .
Giả sử g∈G , n là số tự nhiên. Ta chứng minh phơng trình xn = g có nghiệm trong G . Theo cách xây dựng dãy tâm tồn tại α để g∉Bα mà g∈B
α +1 . Vì Bα+1 Bα là nhóm aben đầy đủ nên tồn tại x1 ∈Bα +1 để
g. Bα = (x1.Bα )n = x1n. Bα . Vậy g=x1n .B1 với b1 ∈ Bα .
Mặt khác, khi đó tồn tại 1 αα〈 để b1 ∉ Bα1 nhng b1 ∈ B1+ α1 và ta có
g.Bα1= (x1 .Bα1) n .(x2.B α1)n = (x1. x2)n . Bα1.
Do đó ta có : g= (x1.x2)n .B2 với b2 ∈Bα +1 .
Tơng tự và tiếp tục quá trình này ta có dãy chỉ số :
2 1 α α
α 〉〉 ...〉αr -1 đồng thời g=(x1.x2....xr ) n.br với br ∈ Bα r –1. Sau
một số lần hữu hạn ta có hoặc br∈ Bo = E hoặc br∈ B1.
Lại do Bo, B1 đầy đủ nên tồn tại xr+1 để br = (xr+1)n vì xr+1 thuộc vào tâm G nên g = (x1.x2…….xr. xr+1)n. Vậy G là nhóm đầy đủ .
Kết luận
Luận văn đã thu đợc một số kết quả sau :
1. Tính luỹ linh của nhóm luỹ linh tổng quát liên thông. 2. Tính luỹ linh địa phơng của nhóm luỹ linh tổng quát . 3. Tính compact của nhóm luỹ linh tổng quát .
4 . Phần tử compact của nhóm luỹ linh tổng quát. 5 . Tính đầy đủ của nhóm luỹ linh tổng quát.
Tài liệu tham khảo
[1] –Lê Quốc Hán (1998) ,Giáo trình lý thuyết nhóm tôpô, Đại học Vinh.
[2] –Han.L.Q. (1996), sylow -subgroups of finite dimentional localy compact
groups with a finite number of connected components, Vietnam J . Math.,
Volume24, No3
[3] -Han.L.Q. (1996) , the maxximal periodic supgroups of finitedimensnional
locally compact groups, Vietnam J . Math ., Volume 25,No1.
[4]-Platonov V.P. (1966), Periodic supgroups and compact supgroups of
topological groups, sibir.J.TVII.
[5] – Platonov V.P.(1964) , locally profectively nilpotet groups and with
normanlyzed condition .Dokl. An. BSSR . No 12.
[6] –Platonov V.P ., and Thi.N.Q. (1971) , maximal torsional subgroups of locally
compact groups . Dokl . BSSR .No 15.M7.
[7] Supronenko D.A. (1972) , Matrix groups , Nauka M..
[8] – Thi.N.Q. , Maximal periodic supgroups compact groups. SU(3) I.J.AN. BSSR No1.
[9] – Yamabe H. (1953) On conjecture sylow of Iwasava and glasson Ann. Of Math 58 No1.