Trong lý thuyết nhóm trừu tợng tập hợp các phần tử có cấp hữu hạn có một vị trí quan trọng trong cấu trúc của một nhóm. Còn trong nhóm tôpô tập hợp các phần tử compact cũng giữ một vị trí quan trọng trong cấu trúc của một nhóm tôpô nh tập hợp các phần tử có cấp hữu hạn trong nhóm trừu tợng
Trong phần này ta nghiên cứu tập hợp các phần tử compact của nhóm luỹ linh tổng quát tôpô.
Định lý. Giả sử G là nhóm luỹ linh tổng quát .B là tập hợp các phần tử compact của G .Khi đó B là nhóm con đặc trng của G, B là nhóm hữu hạn
Chứng minh.Trớc hết ta chứng minh B là nhóm con của nhóm trừu tợng G Giả sử g1,g2là hai phần tử bất kì của B và C= g1,g2 là bao đóng của nhóm con sinh bởi g1,g2,Vì G là nhóm luỹ linh tổng quát nên C là nhóm luỹ linh (theo chứng minh định lý 2.2.2 chơng II).Cũng theo định lý 2.2.4 ch- ơng II suy ra C là nhóm compact .Vì g1g2 ∈C nên g1g2 là phần tử compact . Vậy từ g1 , g2 bất kỳ thuộc B ta suy ra g1.g2 ∈ B .
Nếug là phần tử compact (g∈B) thì g-1 cũng là phần tử compact. Suy ra , g- 1 ∈ B .Vậy B là nhóm con trừu tợng của nhóm G .
Bây giờ ta chứng minh B là nhóm con đặc trng của nhóm G.
Vì B là tập hợp các phần tử compact của G nên B là nhóm con tối đại của G Vậy B là nhóm con bất biến nên suy ra B là nhóm con đặc trng của G.
Tiếp theo ta chứng minh B là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô.
Vì B là tập hợp các phần tử compact của G nên B là nhóm xoắn tôpô.Do G là nhóm luỹ linh tổng quát nên theo định lý 2.2.2 chơng II ta suy ra G là nhóm luỹ linh địa phơng tôpô. Mà B là nhóm con của G nên B cũng là nhóm luỹ linh địa phơng tôpô ( nhóm con của nhóm luỹ linh địa phơng tôpô cũng là nhóm luỹ linh dịa phơng tôpô). Giả sử g1 , g2,....,gk là hữu hạn các phần tử thuộc B .
Ta kí hiệu A= g1,g2,...,gk
Theo định lý 2.2.4 chơng II ta có A là nhóm compact. Vậy B là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô.
Cuối cùng ta chứng minh G B là nhóm phi xoắn tôpô.
Vì G B là nhóm phi xoắn tôpô khi và chỉ khiG B không có phần tử compact nên để chứng minh G B là nhóm phi xoắn tôpô ta chứng minh
B
Giả sử ngợc lại G∗ = G B có phần tử compact g.B ∈ G B và gB≠e∗ , khi đó g ∉ B .Ta kí hiệu
H∗ = gB , g∗ = gB và N=B.G0 ( G0 là thành phần liên thông của đơn vị ). Ta có N là nhóm con mở của G , vì trong G tồn tại nhóm con K mở để
0
G
K là nhóm compact và K G0 ⊂ B.G0 G0 nên N là nhóm con mở của G .
Nhóm N∗ =N B là nhóm con bất biến của G∗ và N∗ ≅ G G0∩B = G0 B0.
Mặt khác ,vì H∗ là nhóm compact nên
H∗N∗ N∗ ≅ H∗ (N∗ ∩ H∗).
Vậy nhóm H∗.N∗ N∗ là nhóm hữu hạn ( vì N∗ ∩ H∗là nhóm con mở trong H∗). Từ đó suy ra (g∗)k thuộc N∗ và (g∗)k là phần tử compact.
Ta có G0 B0 ≅ N B ≅ N∗, vì B0 là nhóm compact ( theo định lí 2.2.4 ch- ơng II) và nhóm G0 B0 là nhóm phi xoắn tôpô nên (g∗)k = e∗ .
Từ đó suy ra gk ∈ B do đó g là phần tử compact , mâu thuẫn với g ∉ B .Vậy giả sử sai suy ra G B là nhóm phi xoắn tôpô.