vành với các linh hóa tử hữu hạn sinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hồ Nguyễn Đăng Khoa VÀNH VỚI CÁC LINH HÓA TỬ HỮU HẠN SINH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hồ Nguyễn Đăng Khoa VÀNH VỚI CÁC LINH HÓA TỬ HỮU HẠN SINH Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc TS Nguyễn Viết Đông Nhân dịp này, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy gia đình Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán – Tin phòng Sau đại học – trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt thời gian học tập trường Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tp Hồ Chí Minh, ngày 17 tháng 09 năm 2012 Học viên Hồ Nguyễn Đăng Khoa Mục lục Lời cảm ơn Bảng kí hiệu Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 Môđun §2 Vành 21 Chương VÀNH VỚI CÁC LINH HÓA TỬ HỮU HẠN SINH 26 §1 Định nghĩa tính chất 26 §2 Ứng dụng 34 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 44 Bảng kí hiệu Kí hiệu Ý nghĩa  Tập hợp số tự nhiên  Tập hợp số nguyên  Tập hợp số hữu tỉ Ker f Hạt nhân đồng cấu f Im f Ảnh đồng cấu f J ( R) Căn Jacobson vành R l ( X ), r ( X ) Linh hóa tử trái tập hợp X , linh hóa tử phải tập hợp X l (a ), r (a ) Linh hóa tử trái phần tử a , linh hóa tử phải phần tử a R Mod , Mod R Phạm trù R -môđun trái, phạm trù R -môđun phải HomR ( X , Y ) Tập hợp tất đồng cấu từ R -môđun X vào R -môđun Y Ext1R ( A, B) R M, MR Tích mở rộng R -môđun A R -môđun B R -môđun trái M , R -môđun phải M 1M Ánh xạ đồng tập hợp M i, ɩ Ánh xạ nhúng Card X Lực lượng tập hợp X M RI , R M I Môđun tích trực tiếp họ I môđun M R , môđun tích trực tiếp họ I môđun R M M* Môđun đối ngẫu môđun M A× B Tích Đề-các hai tập hợp A B dim L K Số chiều không gian vectơ K trường L ∏M Môđun tích trực tiếp họ môđun {M i }i∈I i∈I i K [ x1 , x2 , , xn ,] Vành đa thức vô số ẩn x1 , x2 , , xn , trường K ( x1 , x2 , x3 ,) Trường phân thức vô số ẩn x1 , x2 , x3 , trường số hữu tỉ  Mở đầu Trong đại số nói chung lý thuyết vành nói riêng, nói lớp vành Noether lớp vành Chính thế, việc nghiên cứu dạng mở rộng lớp vành đề tài rộng lớn, thu hút nhiều quan tâm nhà toán học thu nhiều kết đáng kể Đặc biệt, gần Lixin Mao [17] dạng mở rộng mới, thú vị lớp vành Noether, vành với linh hóa tử hữu hạn sinh hay gọi tắt vành AFG Với mong muốn hiểu rõ tính chất bản, số ứng dụng lí thú dạng mở rộng này, đó, luận văn trình bày lại cách chi tiết kết vành AFG có báo: “A generalization of Noetherian rings, Taiwanese Journal of Mathematics, 12(2), pp.501-512” Lixin Mao Nội dung luận văn trình bày chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày kiến thức Môđun Vành, làm sở để chứng minh kết chương Chương 2: VÀNH VỚI CÁC LINH HÓA TỬ HỮU HẠN SINH Chương trình bày nội dung luận văn: định nghĩa, số tính chất ứng dụng vành AFG Luận văn chắn không tránh khỏi sai sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cô bạn để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn ! Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận văn này, không nói thêm, vành R hiểu vành kết hợp, có đơn vị ≠ R -môđun xét môđun unita trái phải §1 Môđun Tiết trình bày kiến thức môđun, sở để làm rõ tính chất vành AFG Để tránh nặng nề mặt thuật ngữ, tiết gọi R -môđun trái môđun tất kết mà trình bày R -môđun trái chuyển sang cách tương tự cho R -môđun phải Trước hết, nhắc lại định nghĩa hệ sinh sở môđun Cho R -môđun X Tập hợp S ⊂ X , S ≠ ∅ hệ sinh X với phần tử x ∈ X : x = r1s1 + r2 s2 +  + rn sn với r1 , r2 , , rn ∈ R s1 , s2 , , sn ∈ S Tập hợp S độc lập tuyến tính nếu: r1s1 + r2 s2 +  + rn sn = r= r2= = rn= Một hệ sinh S môđun đồng thời hệ độc lập tuyến tính gọi sở môđun X 1.1.1 Định nghĩa Môđun X gọi môđun hữu hạn sinh X có hệ sinh hữu hạn Chú ý: Với R -môđun trái M họ {Li }i∈I R -môđun phải, ta có đồng cấu: ϕ : (∏ Li ) ⊗ R M → ∏ ( Li ⊗ R M ) i∈I i∈I xác định ϕ (( zi ) ⊗ x) = ( zi ⊗ x) Đặc biệt, ta có đồng cấu: ϕ : R I ⊗R M → M I R xác định ϕ ((ai ) ⊗ x) = (ai x) Dựa vào đồng cấu này, mệnh đề sau cho thêm công cụ để chứng minh môđun môđun hữu hạn sinh 1.1.2 Mệnh đề ([21], Lemma 13.1) Cho M R -môđun, khẳng định sau tương đương : (a) M môđun hữu hạn sinh (b) ϕ : (∏ Li ) ⊗ R M → ∏ ( Li ⊗ R M ) toàn cấu với họ {Li }i∈I R i∈I i∈I môđun phải (c) ϕ : RRI ⊗ R M → M I toàn cấu với tập số I Chứng minh (a) ⇒ (b) Giả sử M sinh phần tử x1 , x2 , , xn Lấy ui (ui ) I ∈ ∏ ( Li ⊗ R M ) , đó= i∈I ∑ (z n ∑z j =1 ji ⊗ x j với z ji ∈ Li Vì (ui ) I ảnh ) ⊗ x j Vậy ϕ toàn cấu ji I j (b) ⇒ (c) rõ ràng (c) ⇒ (a) Ta chọn tập số I M Xét phần tử u ∈ M M mà thành phần thứ x x Vì ϕ : RRM ⊗ R M → M M toàn cấu nên= ta có u ϕ (∑ (rjx ) ⊗ x j ) với j (r1x ), (r2 x ), , (rnx ) ∈ R M x1 , x2 , , xn ∈ M Rõ ràng x = ∑ rjx x j với j x ∈ M Vậy x1 , x2 , , xn hệ sinh M  1.1.3 Định nghĩa Môđun X có sở gọi môđun tự 1.1.4 Nhận xét • Cho S tập hợp khác rỗng, ta hoàn toàn xây dựng R -môđun tự có sở S , kí hiệu F ( S ) (xem [1,tr.50]) • R -môđun X tự X đẳng cấu với tổng trực tiếp họ vành hệ tử R (xem [1, Định lý 4, tr.51]) • Tập S ≠ ∅ môđun X sở X với môđun Y , ánh xạ f : S → Y mở rộng tới đồng cấu f : X → Y (xem [1, Định lý 5, tr.51]) 1.1.5 Định nghĩa Môđun F gọi môđun tự hữu hạn sinh F có sở hữu hạn 1.1.6 Nhận xét R -môđun F tự hữu hạn sinh F ≅ R n với n∈ Chứng minh ( ⇒ ) Giả sử R -môđun F tự hữu hạn sinh, F có sở hữu hạn {a1 , a2 , , an } Ta định nghĩa đồng cấu π : R n → F theo cách sau: π ((r1 , r2 , , rn )) = r1a1 + r2 a2 +  + rn an Vì {a1 , a2 , , an } hệ sinh F nên π toàn ánh Mặc khác {a1 , a2 , , an } độc lập tuyến tính nên π đơn ánh Vậy π đẳng cấu hay F ≅ R n ( ⇐ ) hiển nhiên  1.1.7 Định nghĩa Môđun P gọi môđun xạ ảnh với toàn cấu σ : B → C , đồng cấu f : P → C , tồn đồng cấu ϕ : P → B cho f = σϕ 31 Định lý 1.1.18) Đặt h = π f với π phép chiếu từ P xuống P1 , ta có = hg π= (π j1 ) ɩ =ɩ Do P1 môđun xạ ảnh đơn (theo Định lý 1.1.18) ( fg ) Như lớp C đóng với hạng tử trực tiếp Điều kéo theo C đóng với tích trực tiếp (theo Định lý 1.1.24) Do tích trực tiếp họ RR môđun xạ ảnh đơn (do RR ∈ C ) (4) ⇒ (2) Giả sử A R -môđun phải xylic Với tập số I , t có đồng cấu tắc α : RRI ⊗ R A* → ( A* ) I định nghĩa sau: , δ j ( x) rjθ ( x), α ((rj ) j∈I = ⊗ R θ ) (δ j ) j∈I = rj ∈ R,θ ∈ A* , x ∈ A Ta chứng minh α toàn ánh Thật vậy, lấy ( f j ) j∈I ∈ A* Khi RR xạ ảnh nên tồn đồng cấu β : A → RRI cho f j = π j β , π j : RRI → R phép chiếu lên thành phần thứ j Bên cạnh đó, theo (4) ta có RRI môđun xạ ảnh đơn nên tồn R -môđun phải tự hữu hạn sinh R n , đồng cấu γ : A → R n ,ϕ : R n → RRI cho β = ϕγ Gọi pi : R n → R phép chiếu lên thành phần thứ i λi : R → R n phép nhúng thứ i , i = 1, 2, , n Đặt = ϕλi (1) gi = piγ Khi đó, ∀a ∈ A ta có: n n = f j (a ) π= π jϕ ∑ λi pi = (γ (a )) π j ∑ gi (a ) j β (a) =i =j Do f j = π j ∑ j =1 g i nên n n (= f j ) j∈I α (∑ ⊗ gi ) j =1 Vậy α toàn cấu, điều kéo theo A* R -môđun trái hữu hạn sinh (theo Mệnh đề 1.1.2) Cũng lớp vành khác, cách tự nhiên, đặt câu hỏi : Liệu khái niệm trái phải vành AFG có đối xứng hay không? Ví dụ sau giúp làm rõ điều 32 2.1.4 Ví dụ Chọn K trường với trường L cho dim L K = ∞ đồng thời tồn đẳng cấu trường ϕ : K → L (chẳng hạn, chọn = K = ( x1 , x2 , x3 ,), L ( x2 , x3 ,) ) Đặt R= K × K , R vành với phép nhân định nghĩa sau: ∀( x, y ),( x ', y ') ∈ R, ( x, y )( x ', y ') =( xx ', ϕ ( x) y '+ yx ') R có xác iđêan phải : 0, R,(0, K ) Thật vậy, giả sử I iđêan phải R I ≠ , ta xét trường hợp sau: • Tồn (a, b) ∈ I với a ≠ Vì L, K trường ϕ đẳng cấu nên ∀( x, y ) ∈ R ,luôn tồn = ( x, y ) (a, b)( x ', y ') ∈ I Do I = R (= x ', y ') (a −1 x, ϕ (a ) −1 ( y − ba −1 x)) ∈ R thỏa • Tồn (0, b) ∈ R với b ≠ (do I ≠ ) Khi ∀(0, y ) ∈ (0, K ) , tồn (b −1 y,1) ∈ R (do L, K trường) thỏa = (0, y ) (0, b)(b −1 y,1) ∈ I Cho nên I = (0, K ) Do R vành Noether phải R vành AFG phải Tuy nhiên, R không vành AFG trái với a = (0,1) ∈ R, l (a ) ⊆ R không hữu hạn sinh Thật vậy, ( x, y )a = (0, ϕ ( x)) nên l (a ) = (0, K ) Và với (0, z ) ∈ (0, K ) ta có : = R (0, z ) {(0, ϕ ( x) z ), x ∈ K } ≅ Lz Mà dim L K = ∞ nên kéo theo l (a ) ⊆ R không hữu hạn sinh Vậy vành AFG đối xứng nào? Mệnh đề sau câu trả lời cho câu hỏi 2.1.5 Mệnh đề Cho R vành pseudo-coherent hai phía, phát biểu sau tương đương: (1) R vành AFG trái (2) R vành AFG phải Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử M R -môđun phải xylic xoắn yếu Do R vành AFG trái nên M * hữu hạn sinh (theo Định lý 2.1.3) Vì tồn dãy khớp 33 f F → M * → với F R -môđun trái tự hữu hạn sinh, ta có dãy sau khớp f* → M → F* ** với F * R -môđun phải tự hữu hạn sinh (theo Nhận xét 1.1.31) Do M xoắn yếu f * đơn cấu nên ta nhúng M vào F * Mặt khác, ta có M ≅ R / I với I iđêan phải R (vì M xylic), theo giả thiết R vành pseudo-coherent phải ta vừa chứng minh M nhúng vào F * nên I hữu hạn sinh Vì M môđun biểu diễn hữu hạn Theo Định lý 2.1.3, ta suy R vành AFG phải (2) ⇒ (1) Chứng minh tương tự  34 §2 Ứng dụng Tiết sử dụng tính chất vành AFG để mô tả vành đặc biệt, chẳng hạn như: QF -vành, vành CF, vành PP,  2.2.1 Mệnh đề Các khẳng định sau tương đương vành R : (1) R QF-vành (2) R vành AFG trái vành đối ngẫu hai phía (3) R vành AFG trái vành Pseudo-Frobenius trái Chứng minh (1) ⇒ (2) hiển nhiên (2) ⇒ (1) Vì R vành AFG trái vành đối ngẫu trái nên R vành Noether trái Hơn nữa, theo Định lý 1.1.26, Định lý 1.1.27 Mệnh đề 1.2.10, ta suy R vành nội xạ trái Vậy R QF -vành (1) ⇒ (3) Vì R QF-vành nên R vành Noether trái, vành AFG trái Hiển nhiên R R nội xạ (do R QF-vành) Mặt khác, R -môđun trái M có bao nội xạ E ( M ) , mà môđun nội xạ QF-vành môđun xạ ảnh nên E ( M ) xạ ảnh (theo Mệnh đề 1.2.5) Vì ta nhúng M vào R-môđun trái tự Vậy R vành Pseudo-Frobenius trái (3) ⇒ (1) Vì R vành AFG trái đối ngẫu trái (do R vành Pseudo- Frobenius trái) nên R vành Noether trái Dễ thấy R R nội xạ trái R vành Pseudo-Frobenius trái Vậy R QF-vành  Dễ dàng thấy vành R bất kì, ta có lược đồ sau: R vành Noether trái ⇒ R vành AFG trái ⇒ R vành pseudo-coherent trái Chiều ngược lại trường hợp tổng quát không thiết Tuy nhiên, R vành CF trái ta hoàn toàn có chiều ngược lại 35 2.2.2 Mệnh đề Cho R vành CF trái, phát biểu sau tương đương: (1) R vành AFG trái (2) R vành pseudo-coherent trái (3) R vành Noether trái Chứng minh Ta cần chứng minh (2) ⇒ (3) Giả sử I iđêan trái R Vì R vành CF trái nên tồn đơn cấu ϕ : R / I → F với F môđun tự Vì F môđun tự nên F môđun xạ ảnh đơn Khi đó, tồn R -môđun trái tự hữu hạn sinh R n , n ∈  đồng cấu f : R / I → R n , g : R n → F cho gf = ϕ (theo Định lý 1.1.18) Do ϕ đơn cấu nên f đơn cấu Đặt f (1) = (a1 , a2 , , an ) Dễ dàng kiểm tra I = l ( X ) với X = {a1 , a2 , , an } I hữu hạn sinh (do (2)) Vậy R vành Noether trái  Trên thực tế nói chung, vành AFG trái không thiết vành coherent trái, vành AFG trái vành pseudo-coherent trái Ví dụ sau giúp thấy rõ điều này: Giả sử x, y1 , y2 , hệ số vô định trường K Đặt R = K [ x , x3 , yi , xyi ] S = K [ x, yi ] Khi R vành miền nguyên S nên R vành AFG hai phía, R không vành coherent (theo [9, p.110]) Tuy nhiên, vành AFG trái R vành coherent trái R vành FP-nội xạ phải 2.2.3 Mệnh đề Nếu R vành AFG trái vành FP-nội xạ phải R vành coherent trái Chứng minh Do R vành AFG trái nên l (a ) iđêan trái hữu hạn sinh với a ∈ R Hơn nữa, lấy I J hai iđêan trái hữu hạn sinh R , R vành FP-nội xạ phải nên I = l ( X ) J = l (Y ) với X Y hai tập khác rỗng R (theo Mệnh đề 1.2.14) Dễ thấy I ∩ J= l ( X ∪ Y ) I ∩ J iđêan trái hữu hạn sinh R vành AFG trái Vậy theo Định lý 1.1.4, ta suy R vành coherent trái  Dựa vào định nghĩa vành Baer, dễ dàng thấy rằng: vành Baer vành AFG hai phía Nhưng trường hợp tổng quát, điều ngược lại không 36 thiết Chẳng hạn  vành AFG hai phía không vành Baer (vì iđêan {0, 2} không sinh phần tử lũy đẳng) Tuy nhiên, có kết sau: 2.2.4 Mệnh đề Cho R vành, khẳng định sau tương đương: (1) R vành Baer vành FP-nội xạ phải (2) R vành Baer vành FP-nội xạ trái (3) R vành quy von Neumann vành AFG trái (4) R vành quy von Neumann vành AFG phải Chứng minh (1) ⇒ (3) (4) Giả sử I iđêan trái hữu hạn sinh R Vì R vành FP-nội xạ phải nên I linh hóa tử trái tập khác rỗng R (theo Mệnh đề 1.2.14) Điều kéo theo I hạng tử trực tiếp R R (do R vành Baer) Vậy R vành quy von Neumann (theo Mệnh đề 1.2.17) (2) ⇒ (3) (4) Tương tự (3) ⇒ (1) (2) rõ ràng (theo Mệnh đề 1.2.17) (4) ⇒ (1) rõ ràng (theo Mệnh đề 1.2.17)  Kết hợp Mệnh đề 1.2.19 Mệnh đề 2.2.4, có hệ sau: 2.2.5 Hệ Cho R vành, khẳng định sau tương đương: (1) R vành Artin hai phía nửa đơn (2) R vành quy von Neumann, vành AFG trái vành đối ngẫu trái (3) R vành quy von Neumann, vành AFG trái vành đối ngẫu phải Bây mô tả vành CF, trước hết cần bổ đề sau: 2.2.6 Bổ đề Cho R vành, khẳng định sau tương đương: (1) R vành CF phải (2) Mỗi R -môđun phải nội xạ xạ ảnh đơn (3) Bao nội xạ R -môđun phải xylic xạ ảnh đơn Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử N môđun xylic R -môđun phải nội xạ M Đặt ɩ : N → M ánh xạ nhúng Vì R vành CF phải nên N nhúng 37 vào R -môđun phải tự đó, nghĩa tồn đơn cấu g : N → F Mà M nội xạ nên tồn đồng cấu h : F → M cho ɩ = hg Hơn nữa, F xạ ảnh đơn (do F tự do) nên kéo theo M xạ ảnh đơn (theo Định lý 1.1.18) (2) ⇒ (3) (3) ⇒ (1) hiển nhiên  2.2.7 Định lý Cho R vành AFG trái, phát biểu sau tương đương: (1) R vành CF phải (2) R vành đối ngẫu phải (3) Mỗi R -môđun phải xylic có đơn cấu tiền phủ xạ ảnh (4) Mỗi R -môđun phải xylic có đơn cấu tiền phủ xạ ảnh đơn (5) Mỗi R -môđun phải có đơn cấu tiền phủ xạ ảnh Chứng minh (1) ⇒ (5) Giả sử M R -môđun phải Khi M có đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn f : M → F (theo Định lý 2.1.3) Xét đồng cấu nhúng i : M → E ( M ) với E ( M ) bao nội xạ M Theo Bổ đề 2.2.6 E ( M ) xạ ảnh đơn, tồn đồng cấu g : F → E ( M ) cho gf = i Dễ thấy f đơn cấu i đơn cấu Vậy f đơn cấu tiền phủ xạ ảnh đơn M (5) ⇒ (4) hiển nhiên (4) ⇒ (3) Giả sử M R -môđun phải xylic Theo (4) M có đơn cấu tiền phủ xạ ảnh đơn f : M → P Khi đó, P xạ ảnh đơn nên tồn R môđun phải tự hữu hạn sinh F , đồng cấu g : M → F , h : F → P cho f = hg (theo Định lý 1.1.18) Vì f đơn cấu nên g đơn cấu Rõ ràng g đơn cấu tiền phủ xạ ảnh M (3) ⇒ (2) Giả sử I iđêan phải R Khi đó, tồn đơn cấu f : R / I → R n với n ∈  (theo (3) Định lý 1.1.18) Đặt f (1) = (a1 , a2 , , an ) , dễ dàng kiểm tra I = l ( X ) với X = {a1 , a2 , , an } Vậy R vành đối ngẫu phải (2) ⇒ (1) Giả sử M R -môđun phải xylic Vì M môđun xylic nên M ≅ R / A với A iđêan phải R Mặt khác, R vành đối ngẫu phải nên A linh hóa tử phải, R / A R -môđun phải xoắn yếu (theo Nhận xét 1.1.33) 38 Cho nên ta có dãy khớp → M → RRI với tập số I Theo Định lý 2.1.3 ta suy RRI xạ ảnh đơn nên ta nhúng M vào R -môđun phải tự hữu hạn sinh đó, nghĩa R vành CF phải   đưa ví dụ vành Artin hai Chú ý: (1) Trong báo [4, p.70], Bjork phía đối ngẫu phía không QF-vành Vì thế, vành AFG trái-CF trái vành AFG trái-CF phải không thiết QF-vành Tuy nhiên, vành AFG trái CF hai phía QF-vành (theo Mệnh đề 2.2.1) Do đó, trường hợp tổng quát, vành AFG trái-CF trái không thiết vành AFG trái-CF phải (2) Để ý thấy rằng, miền nguyên  vành AFG hai phía không vành CF phía Thật vậy, với  -môđun xylic  / n ( n > ), ta có Hom ( / n, P ) = với  -môđun xạ ảnh P  Cuối cùng, mô tả vành PP thông qua định lý sau: 2.2.8 Định lý Cho R vành AFG trái, phát biểu sau tương đương: (1) R vành PP phải (2) Môđun R -môđun phải xạ ảnh đơn xạ ảnh đơn (3) Mỗi R -môđun phải xylic có toàn cấu tiền phủ xạ ảnh (4) Mỗi R -môđun phải xylic có toàn cấu tiền phủ xạ ảnh đơn (5) Mỗi R -môđun phải xoắn môđun xạ ảnh đơn Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử N môđun R -môđun phải xạ ảnh đơn L M môđun xylic N Đặt λ : N → L ι : M → N phép nhúng Vì L xạ ảnh đơn nên tồn R -môđun phải tự hữu hạn sinh H đồng cấu g : M → H , h : H → L cho λι = hg (theo Định lý 1.1.18) Rõ ràng g đơn cấu λι đơn cấu Không tính tổng quát, ta xem g phép nhúng Giả sử {ei :1 ≤ i ≤ n} sở H Chúng ta chứng minh M xạ ảnh quy nạp theo n Nếu n = , rõ ràng M xạ ảnh (do M môđun xylic R vành PP phải) 39 Giả sử điều ta cần chứng minh với n − Đặt Q = e1R + e2 R +  + en −1R Với x ∈ M , x có biểu diễn sau: x =y + en r , y ∈ Q, r ∈ R Ta định nghĩa đồng cấu α : M → R theo quy tắc : = α ( x) r , x∈M Và ta có dãy khớp ngắn sau : → M ∩ Q → M → Im α → Do M môđun xylic R vành PP phải nên Im α xạ ảnh hay dãy khớp ngắn chẻ Vì M ∩ Q hạng tử trực tiếp M , điều kéo theo M ∩ Q môđun xylic Q Chính theo giả thiết quy nạp ta có M ∩ Q xạ ảnh Hơn nữa, Im α xạ ảnh nên M xạ ảnh Vậy theo Định lý 1.1.18, ta suy N xạ ảnh đơn (2) ⇒ (1) Giả sử I iđêan phải xylic R giả sử σ : B → C toàn cấu f : I → C đồng cấu Khi đó, I môđun RR nên I xạ ảnh đơn (theo (2)) Hơn nữa, I R -môđun phải xylic nên tồn đồng cấu α : I → RR β : RR → C cho βα = f Vì RR tự nên tồn đồng cấu ϕ : RR → B cho σϕ = β Đặt h = ϕα , σ= = α βα = f h σ (ϕα ) (σϕ )= Cho nên I xạ ảnh Vậy R vành PP phải (4) ⇒ (3) Giả sử R -môđun phải xylic N có toàn cấu tiền phủ xạ ảnh đơn f : N → F Khi F xạ ảnh đơn nên tồn R -môđun phải xạ ảnh P đồng cấu g : N → P , h : P → F cho f = hg (theo Định lý 1.1.18) Mặt khác, P xạ ảnh đơn nên tồn đồng cấu α : F → P cho g = α f Vì f = hα f kéo theo hα = 1F (vì f toàn cấu) Do F đẳng cấu với hạng tử trực tiếp P F xạ ảnh Dễ dàng chứng minh f toàn cấu tiền phủ xạ ảnh N 40 (3) ⇒ (2) Giả sử N môđun R -môđun phải xạ ảnh đơn L M môđun xylic N Đặt λ : N → L ι : M → N phép nhúng Khi đó, L xạ ảnh đơn nên tồn R -môđun phải tự hữu hạn sinh H , đồng cấu g : M → H , h : H → L cho λι = hg (theo Định lý 1.1.18) Theo (3) M có toàn cấu tiền phủ xạ ảnh β : M → Q với Q xạ ảnh Vì tồn đồng cấu γ : Q → H cho g = γβ , λι = hγβ Từ suy β đơn cấu đẳng cấu Nên M xạ ảnh Vậy N xạ ảnh đơn (theo Định lý 1.1.18) (2) ⇒ (5) Giả sử M R -môđun phải Khi M có đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn f : M → F (theo Định lý 2.1.3) Vì Im f xạ ảnh đơn (theo (2)) ánh xạ M → Im f toàn cấu tiền phủ xạ ảnh đơn M (5) ⇒ (6) Giả sử M R -môđun phải xoắn yếu X môđun xylic h M Vì M xoắn yếu nên tồn dãy khớp → M → RRI với tập số I Để ý ta thấy RRI xạ ảnh đơn theo Định lý 2.1.3 Mặt khác M có toàn cấu tiền phủ xạ ảnh đơn f : M → Q nên tồn đồng cấu β : Q → RRI cho h = β f Đặt ι : X → M ánh xạ nhúng Do Q xạ ảnh đơn nên tồn R -môđun phải tự hữu hạn sinh F đồng cấu f1 : X → F , f : F → Q cho f ι = f f1 (theo Định lý 1.1.18) Và F xạ ảnh nên tồn đồng cấu α : F → M cho f α ) f1 β= ( f f1 ) β f ι hay hα f1 = hι , kéo theo f = f α Như vậy, ta có β (= α f1 = ι (do h đơn cấu) Điều chứng tỏ M xạ ảnh đơn (theo Định lý 1.1.18) (6) ⇒ (4) Giả sử M R -môđun phải xylic Khi M có đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn α : M → Q với Q R -môđun phải xạ ảnh đơn (theo Định lý 2.1.3) Do Q xạ ảnh đơn nên tồn R -môđun phải tự hữu hạn sinh F , đồng cấu β : M → F , γ : F → Q cho α = γβ (theo Định lý 1.1.18) Dễ thấy 41 Im β ⊂ F xoắn yếu xạ ảnh đơn (theo (6)) Vì ánh xạ M → Im β toàn cấu tiền phủ xạ ảnh đơn M  Chú ý: (1) Khái niệm vành PF xem mở rộng khái niệm vành PP Mặc dù khái niệm trái phải vành PF đối xứng (xem [14]) tồn vành PP trái không vành PP phải (xem [16]) Tuy nhiên, R vành AFG hai phía ta hoàn toàn chứng minh khái niệm vành PF PP trùng nhau, R vành PP đối xứng Thật vậy, giả sử I = Rx iđêan trái xylic R Xét đồng cấu f : R → I xác định sau: r  rx, r ∈ R Vì R vành AFG trái nên Kerf hữu hạn sinh, điều kéo theo I R môđun trái biểu diễn hữu hạn Tương tự, I R -môđun phải xylic ta chứng minh I R -môđun phải biểu diễn hữu hạn Vì vậy, theo Mệnh đề 1.1.15 ta có I R -môđun xạ ảnh I R -môđun dẹt (2) Dễ thấy  vành AFG hai phía không vành PP phía R môđun xylic {0, 2} không môđun xạ ảnh  42 Kết luận Trong luận văn này, làm rõ vấn đề sau: Nêu lên số tính chất vành AFG Cụ thể, chứng minh khẳng định sau tương đương: (1) R vành AFG trái (2) Môđun đối ngẫu M * = HomR ( M , R ) R -môđun phải xylic M hữu hạn sinh (3) Mỗi R -môđun trái xylic xoắn yếu môđun biểu diễn hữu hạn (4) Tích trực tiếp họ RR môđun xạ ảnh đơn (5) Tích trực tiếp họ R -môđun phải xạ ảnh đơn xạ ảnh đơn (6) Mỗi R -môđun phải xylic có đồng cấu tiền phủ xạ ảnh (7) Mỗi R -môđun phải xylic có đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn (8) Mỗi R -môđun phải có đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn Chỉ vài ứng dụng vành AFG sau: • R QF-vành R vành AFG trái vành đối ngẫu hai phía • Nếu R vành AFG trái phát biểu sau tương đương: (1) R vành CF phải (2) R vành đối ngẫu phải (3) Mỗi R -môđun phải xylic có đơn cấu tiền phủ xạ ảnh (4) Mỗi R -môđun phải xylic có đơn cấu tiền phủ xạ ảnh đơn (5) Mỗi R -môđun phải có đơn cấu tiền phủ xạ ảnh • Nếu R vành AFG trái phát biểu sau tương đương: (1) R vành PP phải (2) Môđun R -môđun phải xạ ảnh đơn xạ ảnh đơn (3) Mỗi R -môđun phải xylic có toàn cấu tiền phủ xạ ảnh (4) Mỗi R -môđun phải xylic có toàn cấu tiền phủ xạ ảnh đơn 43 (5) Mỗi R -môđun phải xoắn môđun xạ ảnh đơn Do thời gian không nhiều kiến thức có hạn nên trình bày số kết nêu Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu vành AFG , dạng mở rộng khác vành Noether Huy vọng phát thêm nhiều kết thú vị Trân trọng kính chào ! 44 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Viết Đông-Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh [2] Frank W Anderson and Kent R Fuller (1974), Rings and Categories of Modules, Spinger-Verlag, New York [3] Goro Azumaya (1987), “Finite Splitness and Finite Projectivity”, Journal of Algebra, 106, pp.114-134  (1970), “Rings satisfying certain chain conditions”, J Reine [4] Jan Erik Bjork Angew Math, 245, pp 63-73 [5] Paul E Bland (2011), Rings and Their Modules, De Gruyter Graduate, Berlin [6] S U Chase (1960), “Direct products of modules”, Trans Amer Math Soc, 97 , pp 457-473 [7] L Chen and N Q Ding (1996), “A note on existence of envelopes and covers”, Bull Austral Math Soc, 54 , pp 383-390 [8] Edgar E Enochs and Overtoun M G Jenda (2000), Relative Homological Algebra, Walter de Gruyter, New York [9] Sarah Glaz (1989), Commutative Coherent Rings, Springer-Verlag, New York [10] C R Hajarnavis (1985), “On dual rings and their modules”, Journal of Algebra, 93, pp 253-266 [11] Mark Hovey and Keir Lockridge and Gena Puninski (2007), “The generating hypothesis in the derived category of a ring”, Mathematische Zeitschrift, 256(4), pp 789-800 [12] M Ikeda and T Nakayama (1954), “On some characteristic properties of quasi-Frobenius and regular rings”, Proc Amer Math Soc, 5, pp 5-18 45 [13] Saroj Jain (1973), “Flat and FP-injectivity”, Proceedings of the American athematical society, 41(2), pp.437-442 [14] J.J ∅ ndrup (1971), “p.p rings and finitely generated flat ideals”, Proceedings of The American Mathematical Society, 28(2), pp 431-435 [15] T Y Lam (1991), A First Course in Noncommutative Rings, Springer Verlag, New York [16] T Y Lam (1998) , Lectures on Modules and Rings, Spinger, New York [17] Lixin Mao (2008), “A generalization of Noetherian rings”, Taiwanese Journal of Mathematics, 12(2), pp.501-512 [18] J C McConnell and J C Robson (2001), Noncommutative Noetherian Rings, American Mathematical Society Providence, Island [19] Miles Reid (1995), Undergraduate Commutative Algebra, Cambridge University Press, London [20] Joseph J Rotman (2009), An Introduction to Homological Algebra, Spinger, New York  (1975), Rings of Quotients , Springer-Verlag, New York [21] Bo Stetrom [22] Robert Wisbauer (1991), Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and  Breach, University of Dusseldorf [...]... hữu hạn sinh với mọi a ∈ R và giao của hai iđêan trái hữu hạn sinh bất kì của R là iđêan trái hữu hạn sinh Do đó nếu R là vành coherent trái thì linh hóa tử trái của mỗi tập con hữu hạn của R là iđêan trái hữu hạn sinh Thật vậy, giả sử I = l ( X ) với X ⊂ R và X là tập hữu hạn, khi đó I = ∩ l ( x) là hữu hạn sinh do X là hữu hạn và R là vành coherent trái Vì vậy x∈X mỗi vành coherent trái đều là vành. .. phần tử, khi đó linh hóa tử trái (t.ư, phải) của X còn được gọi là linh hóa tử trái (t.ư, phải) của a và được kí hiệu đơn giản là l (a ) (t.ư, r (a ) ) 1.1.14 Định lý ([6, Theorem 2.2]) Cho R là một vành, hai khẳng định sau là tương đương : (i) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh của R đều là môđun biểu diễn hữu hạn (ii) l (a ) là iđêan trái hữu hạn sinh với mọi a ∈ R và giao của hai iđêan trái hữu hạn sinh. .. nên I là hữu hạn sinh Vì vậy M là môđun biểu diễn hữu hạn Theo Định lý 2.1.3, ta suy ra R là vành AFG phải (2) ⇒ (1) Chứng minh tương tự  34 §2 Ứng dụng Tiết này chúng tôi sẽ sử dụng những tính chất của vành AFG để mô tả các vành đặc biệt, chẳng hạn như: QF -vành, vành CF, vành PP,  2.2.1 Mệnh đề Các khẳng định sau là tương đương đối với vành R : (1) R là QF -vành (2) R là vành AFG trái và là vành đối... K '⊕ F Do K ' và F là hữu hạn sinh nên K '⊕ F là hữu hạn sinh và vì thế kéo theo K ⊕ F ' là hữu hạn sinh Mặt khác K là ảnh của K ⊕ F ' thông qua đồng cấu chiếu nên K cũng là hữu hạn sinh  1.1.13 Định nghĩa Cho M là R -môđun trái (t.ư, phải) và X là một tập con khác rỗng của M Tập hợp tất cả các phần tử r ∈ R sao cho rx = 0 (t.ư, xr = 0 ) với mọi x ∈ X được gọi là linh hóa tử trái (t.ư, phải) của... bất kì của R lại là iđêan trái hữu hạn sinh Chứng minh Lấy a ∈ R , khi đó ta có dãy khớp 0 → l (a ) → R → Ra → 0 , điều này chứng tỏ l (a ) là hữu hạn sinh khi và chỉ khi Ra là biểu diễn hữu hạn Bây giờ giả sử I1 , I 2 là hai iđêan trái hữu hạn sinh của R và giả sử ta có αi βi các dãy khớp 0 → K i → Fi → I i → 0 , i = 1, 2 , trong đó các Fi là các môđun tự do 12 hữu hạn sinh Đặt K là hạt nhân của toàn... diễn hữu hạn Xét dãy khớp 0 → I → R → R / I → 0 , theo Mệnh đề 1.1.12 ta có I là iđêan trái hữu hạn sinh Vậy R là vành pseudo-coherent trái  1.2.8 Định nghĩa Vành R được gọi là vành coherent trái (t.ư, phải) nếu mỗi iđêan trái (t.ư, phải) hữu hạn sinh của R đều là môđun biểu diễn hữu hạn Theo Định lý 1.1.14, chúng ta có điều kiện tương đương sau: Vành R là vành coherent trái nếu l (a ) là iđêan trái hữu. .. là các môđun xạ ảnh, khi đó ta có đẳng cấu: K ⊕ P ' ≅ K '⊕ P 11 1.1.12 Mệnh đề ([20 Corollary 3.13]) Nếu M là môđun biểu diễn hữu hạn và ϕ φ 0 → K →F →M → 0 là một dãy khớp các R -môđun, trong đó F là môđun tự do hữu hạn sinh thì K là môđun hữu hạn sinh Chứng minh Vì M là môđun biểu diễn hữu hạn nên tồn tại dãy khớp ϕ' φ' 0 → K '→ F '→ M → 0 với F ' là môđun tự do và cả F ' và K đều là hữu hạn sinh. .. thế các linh hóa tử trái bởi các linh hóa tử phải 1.2.11 Định nghĩa Vành R được gọi là vành Pseudo-Frobenius trái (t.ư, phải) nếu R R (t.ư, RR ) là môđun nội xạ và mỗi R -môđun trái (t.ư, phải) đều có thể nhúng vào tích trực tiếp của họ nào đó các bản sao của vành hệ tử R Từ Định nghĩa 1.2.11, chúng ta dễ dàng nhận ra mỗi vành Pseudo-Frobenius trái đều là vành đối ngẫu trái 1.2.12 Định nghĩa Vành. .. nên ta suy ra l ( A) là hữu hạn sinh hay l ( X ) là hữu hạn sinh Vậy R là vành AFG trái (1) ⇒ (3) Giả sử R là vành AFG trái và giả sử M là R -môđun trái xylic xoắn yếu Do M là R -môđun trái xylic nên M ≅ R / I với I là iđêan trái của R Mà M là xoắn yếu nên R / I là xoắn yếu Theo Nhận xét 1.1.33 ta suy ra iđêan trái I là một linh hóa tử trái Mặt khác I là hữu hạn sinh do R là vành AFG trái Dễ thấy R... là biểu diễn hữu hạn khi và chỉ khi I1 ∩ I 2 là hữu hạn sinh Bây giờ giả sử ta có (i) Theo giả thiết I1 , I 2 và I1 + I 2 là các môđun biểu diễn hữu hạn, do đó theo chứng minh trên ta có I1 ∩ I 2 là hữu hạn sinh Ngược lại, giả sử ta có (ii) Lấy I = Ra1 + Ra2 +  + Ran là một iđêan trái hữu hạn sinh của R Ta đi chứng minh I là biểu diễn hữu hạn bằng quy nạp Giả sử n > 1 và (i) đúng với k < n Đặt I1 ... trái hữu hạn sinh Do R vành coherent trái linh hóa tử trái tập hữu hạn R iđêan trái hữu hạn sinh Thật vậy, giả sử I = l ( X ) với X ⊂ R X tập hữu hạn, I = ∩ l ( x) hữu hạn sinh X hữu hạn R vành. .. K → K → I1 ∩ I → khớp Vì thế, K1 K hữu hạn sinh K hữu hạn sinh I1 ∩ I hữu hạn sinh Nghĩa là, I1 I biểu diễn hữu hạn I1 + I biểu diễn hữu hạn I1 ∩ I hữu hạn sinh Bây giả sử ta có (i) Theo giả... đương : (i) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh R môđun biểu diễn hữu hạn (ii) l (a ) iđêan trái hữu hạn sinh với a ∈ R giao hai iđêan trái hữu hạn sinh R lại iđêan trái hữu hạn sinh Chứng minh Lấy a ∈