vành và mô đun hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trịnh Thị Phúc VÀNH VÀ MÔ ĐUN HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trịnh Thị Phúc VÀNH VÀ MÔ ĐUN HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHƯƠNG 2: VÀNH MÔ ĐUN HỮU HẠN 2.1 Cấu trúc vành hữu hạn Định lý 2.1.1 Định lý 2.1.2 ( ) 2.2 Vành với nhóm cộng p n Định lý 2.2.1 Hệ 2.2.2 12 2.3 Vành cấp p 12 ( ) 2.3.1 Vành cấp p với nhóm cộng p 12 2.3.2 Vành cấp p với nhóm cộng ( p, p ) 12 2.3.3 Kết luận vành cấp p 24 2.4 Vành cấp p 25 ( ) với nhóm cộng ( p, p ) 26 2.4.1 Vành cấp p với nhóm cộng p 26 2.4.2 Vành cấp p 2.4.3 Vành cấp p với nhóm cộng ( p, p, p ) 40 2.4.4 Kết luận vành cấp p 50 2.5 Kết luận vành hữu hạn 51 2.6 Mô đun hữu hạn 51 Định lý 2.6.1 51 Định lý 2.6.2 52 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 MỞ ĐẦU Nhóm, Vành Mô đun khái niệm Đại số trừu tượng Nhưng có nhiều tài liệu mô tả, phân lớp Nhóm hữu hạn, nghiên cứu Vành Mô đun hữu hạn lại Mục đích luận văn phân tích vành hữu hạn, mô tả cụ thể vành cấp p , p , p nguyên tố; đồng thời đưa số tính chất mô đun hữu hạn Do giới hạn luận văn, xét vành hữu hạn có cấp không chứa lũy thừa lớn số nguyên tố; không sâu vào mô đun hữu hạn Các mục 2.3, 2.4 vành cấp p , p dựa theo [ 4] , [ 6] Cám ơn tác giả, cám ơn thầy, TS Trần Huyên hướng dẫn, gia đình, bạn bè giúp đỡ, tạo điều kiện cho luận văn hoàn thành Tp Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2011 Người thực Trịnh Thị Phúc CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định lý 1.1 Giả sử A nhóm Abel hữu hạn Khi A tổng trực tiếp nhóm A ( p ) theo tất số nguyên tố p cho A ( p ) ≠ Định lý 1.2 Mọi p-nhóm Abel hữu hạn đẳng cấu với tổng trực tiếp p-nhóm Cyclic ( ) loại p r1 , , p rs Hơn nữa, r1 ≥ ≥ rs dãy ( r1 , , rs ) xác định Định lý 1.3 Một vành giao hoán hữu hạn có đơn vị R biểu diễn thành tổng trực tiếp vành địa phương Sự phân tích không kể đến hoán vị số hạng Định lý 1.4 Jacobson Radical vành R giao tất ideal tối đại R x ∈ RadR ⇔ − xy khả nghịch R, ∀y ∈ R Định lý 1.5 Cho R vành hữu hạn có đơn vị phép nhân ≠ , có tập ước nhóm cộng J Khi đó: i) J Radical Jaconson R nr ii) = R p= ,J p ( n −1)r , với p nguyên tố số nguyên dương n, r iii) Jn =0 iv) Đặc số vành R p k với số nguyên dương k cho ≤ k ≤ n v) Nếu đặc số R p n R giao hoán Định lý 1.6 Với R định lý 1.5, ta có: i) R chứa trường F cấp p r ii) R đại số tuyến tính trường F Định lý 1.7 Hai trường hữu hạn cấp đẳng cấu với Do đó, với p nguyên tố, n số nguyên dương cho trước, có trường ( ) cấp p n GF p n Bổ đề 1.8 Cho R vành lũy linh Giả sử R R2 Cyclic Khi tồn a ∈ R cho R = a Định lý 1.9 Cho R đại số lũy linh n chiều trường F, sinh phần tử đơn a Khi { } a , a , , a n sở R a n +1 = Bổ đề 1.10 Cho S vành vành lũy linh R cho R= S + R Khi đó: R = S Định lý 1.11 Nếu α1 , α không phương  p phương trình đồng dư α1 ≡ γ 2α ( mod p ) có nghiệm γ ∈ p CHƯƠNG 2: VÀNH VÀ MÔ ĐUN HỮU HẠN 2.1 Cấu trúc vành hữu hạn Cho G nhóm cộng Abel hữu hạn Khi G tổng trực tiếp n nhóm cyclic ui cấp ti Với phần tử a, b G ta có biểu diễn sau: = a n n a u ,b ∑b u , ∑= i i =i =j j j , bi ∈  ti Định lý 2.1.1 G làm thành vành, với số nguyên gi j k cho, có phép nhân định nghĩa công thức: n   n  n ab a u a u = = ()  ∑ i i   ∑ j j  ∑ gi j k b j uk cho: =  i 1=  j =  i, j,k ≡ ∑ g j m k gi k p ( mod t p ) n a) ∑g n g i jk k m p = k 1= k   t b) gi j k ≡  mod k   t t t , , ( ) i j k   ( ) Với ti , t j , tk ước chung lớn (UCLN) ti , t j , tk Chứng minh:  Nếu G vành Khi đó: Mọi phần tử G viết thành tổ hợp tuyến tính ui , i = 1, n phép nhân phân phối, nên phép nhân G phải định nghĩa (1) ∀a, b, c ∈ G= :a n n n ;b ∑b u = ,c ∑c u ∑ a u= i i j j m m m =i =j = • ( ab)c = ( ∑ b j gi j k uk ) ( ∑ cm um ) = ∑ b j gi j k g k m p u p a (bc ) = ( ∑ ui ) ( ∑ b j cm g j m k uk ) • = ∑ b j g j m k gi k p u p Vì phép nhân có tính chất kết hợp nên ( ab ) c = a ( bc ) ⇒ ≡ ∑ g j m k gi k p ( mod t p ) thỏa (a) n n ∑g g i jk k m p = k 1= k n ti ui ) u j ∑ ti gi j k uk (= • Ta có: = k =1 ⇒ ti gi j k ≡ 0(mod tk ) Tương tự: t j gi j k ≡ 0(mod tk )  tk Do đó: gi j k ≡  mod   ( ti , tk )    t gi j k ≡  mod k   t t , ( ) j k   Vì tk (t , t , t ) i j BCNN k tk ( ti , tk ) tk (t , t ) j nên ta có: k   t gi j k ≡  mod k  , thỏa (b)  t t t , , ( ) i j k    Ngược lại: Cho nhóm G có phép nhân định nghĩa (1) với số nguyên cho trước gi j k thỏa (a), (b) Khi đó, nếu: = a = b a u ∑a ' u ∑= b u ∑b' u ∑= i i j j i i j j ( Ta có: ≡ a 'i ( mod ti ) , b j ≡ b ' j mod t j ( ⇒ ( b j − a ' j b ' j ) ≡ mod ( ti , t j ) Kết hợp với (b) ta có: ) ) (a b i   tk a b g t t ' ' mod , − ≡ ) ( )  j j j i jk i j ( ti , t j , tk )   ⇒ ( b j − a ' j b ' j ) gi j k ≡ ( mod tk ) , ∀i, j, k ⇒ ∑ ( b j − a ' j b ' j ) gi j k uk ⇒ ∑ gi j k b j uk = ∑ gi j k a 'i b ' j uk Do đó, phép nhân (1) xác định đơn trị Phép nhân (1) có tính chất phân phối, (a), có tính chất kết hợp Do đó, G với phép nhân làm thành vành  Định lý 2.1.2 Cho R vành hữu hạn cấp n = p1α1 pkαk Khi R ≅ R1 ⊕ ⊕ Rk với Ri vành cấp piαi , pi nguyên tố Chứng minh: R với phép cộng nhóm Abel hữu hạn cấp n, với n = p1α1 pkαk , theo định lý 1.1 ta có: ( R, + ) =⊕ A ( pi ) , với A ( pi ) nhóm cấp piαi Theo định lý 1.2, A ( pi ) pi - nhóm, phân tích thành tổng trực tiếp pi - nhóm Cyclic (*) Do đó, nhóm cộng R tổng trực tiếp p – nhóm Cyclic, với phần tử sinh ui cấp ti Khi đó, phép nhân R hoàn toàn xác định ta có: ui u j , ∀ui , u j phần tử sinh Theo định lý 2.1.1 ta có: u i u j = ∑g k   t u , gi j k ≡  mod k   t t t , , ( ) i j k   i jk k Khi u i , u j , uk nằm tổng trực tiếp A ( pm ) , A ( pm ' ) , A ( pm '' ) (*), t i , t j , tk lũy thừa pm , pm ' , pm " tương ứng m = m=' m " Nếu ( t , t , t ) ≠ 1⇒ t ( t , t , t ) ≠ t i j k k i j p= p= pm " m m' Khi ⇒ gi j k ≡/ ( mod tk ) k k Nếu m = m=' m " không xảy ra, nghĩa ui , u j , uk không nằm A ( pm ) ( ti , t j , tk ) = 1⇒ tk (t , t , t ) i j = tk ⇒ gi j k ≡ ( mod tk ) k  Do ta có: • Nếu m ≠ m ' gi j k ≡ ( mod tk ) , ∀k ⇒ u= iu j ∑g = u 0, uk cấp tk i jk k (**) k • Nếu m = m ' gi j k ≡ ( mod tk ) , m " ≠ m gi j k ≡/ ( mod tk ) , m " = m ⇒ ui u j = ∑ gi j k uk với I tập số k mà uk ∈ A ( pm ) k∈I ⇒ ui u j ∈ A ( pm ) Vậy ta có phép nhân vành R cảm sinh nhóm A ( pm ) , kết nằm A ( pm ) Khi A ( pm ) với phép cộng phép nhân cảm sinh làm thành vành R  Trên ⊕ A ( p ) ta xét phép toán cộng nhân thỏa mãn: p ∀x = ⊕ x p , x ' = ⊕ x ' p ∈⊕ A ( p ) x + x ' =( ⊕ x p ) + ( ⊕ x ' p ) =⊕ ( x p + x ' p ) x x ' = ⊕ ( x p x ' p ) (⊕ x p ) (⊕ x ' p ) = Khi đó, ⊕ A ( p ) với phép toán cộng nhân làm thành vành  Xét ánh xạ ϕ : ⊕ A ( p ) → R Ta có  p vành có cặp ước ( pa, pa ) nên e ước Bổ đề 7: Nếu e ∈ R, e = e ≠ 0, e ước R RadR thì: R(1 − e) ⊂ RadR, (1 − e) R ⊂ RadR R(1 − e) = {x − xe | x ∈ R},(1 − e) R = {x − ex | x ∈ R} Chứng minh: ∀x ∈ R (1 − e ) ⇒ ∃c ∈ R : x = c − ce ⇒ xe = ce − ce = ⇒ xe = x.e = ⇒ x = ⇒ x ∈ RadR ⇒ R (1 − e ) ⊂ RadR Tương tự, ta có (1 − e) R ⊂ RadR  Trở lại chứng minh định lý 6: Từ bổ đề ta có Re ≥ p , eR ≥ p Re = eR = p2 ⇒ Re = eR, R(1 − e) = (1 − e) R = RadR Khi Re, R (1 − e) vành R R =Re + R (1 − e) Hơn nữa: Re ∩ R (1 − e) = {0} Do R =Re ⊕ R(1 − e) (Mâu thuẫn với giả thiết R không phân tích được) = Re p= , eR p Khi R (1 − e) = p ⇒ R (1 − e) = radR (Theo bổ đề 7) Vì eR =p ⇒ eR =R ⇒ e đơn vị trái R Ta có: = r1r2 e r1= ( er2 )e ( r1e)( r2 e) Xét phép chiếu ϕ : R → Re r  re Thì ϕ đồng cấu vành với kerϕ = R (1 − e) = RadR Do Re ≅ R RadR 2k Ta coi R không gian vec tơ trái Re = R p= p (Mâu thuẫn k số nguyên) = Re p= , eR p : tương tự trường hợp Re = p , eR = p ⇒ eR = Re = R Khi e đơn vị R (Mâu thuẫn với giả thiết R đơn vị) Vậy định lý chứng minh xong  2.4.3.3 RadR = p ⇒R RadR ≅  p Đặt RadR = J a) Xét vành R có đơn vị e Theo định lý 1.5.ii: R = p = p nr ; J = p = p ( n −1) r ⇒ n = 3, r = Khi theo định lý 1.5.iii: J = Ta có: J ⊃ J ⊃ J = nên có hai trường hợp J =∧ J2 = p Định lý 7: Nếu J = R thỏa quan hệ sau: 2 18 e= e, a= 0, b= 0, ea = ae = a , eb = be = b, ab = ba = Chứng minh: Theo định lý 1.6.i, vành R chứa trường F cấp p r = p Khi e đơn vị trường F, e phần tử sinh Cyclic (F,+) Do định lý 1.6.ii, R đại số tuyến tính trường F Vì J = p 2r nên tồn {a , b} sở J F Khi {e, a , b} sở R F Vì J =0 ⇒ a =b2 =ab =ba =0 Hơn nữa, e đơn vị R nên R thỏa 18  Định lý 8: Nếu J = p R thỏa quan hệ sau: 2 19 e= e, a= 0, b= a , ea = ae = a , eb = be = b, ab = ba = Chứng minh: Từ định lý ta có: {a , b} sở J F Vì J = p, J = p ⇒ J ⊂ J , J ≠ J ⇒ ∃a ∈ J , b ∈ J , b ∉ J ⇒ a , ab, ba ∈ J ⇒ a = ab = ba = Giả sử b2 = 0, ∃s1 , s2 ∈ F : ( s1b )( s2 b ) = ⇒ ∀c1 , c2 ∈ J : ( s1b + c1= (1) ( J 0) )( s2b + c2 ) 0= Mặt khác: ∀x ∈ J , ∃s ∈ F , c ∈ J : x= sb + c Từ (1) ⇒ x = ( sb + c )( sb + c ) = Do J = (Mâu thuẫn với giả thiết) Vậy ta có b2 ≠ 0, b2 ∈ J ⇒ = b2 ma, m ≠ Đặt = a1 ma = , b1 b R thỏa 19  b) Xét vành R đơn vị Định lý 9: Nếu R đơn vị R thỏa quan hệ sau đây: 2 20 e= e, ae = a, be = b, a= b= ea = eb = ab = ba = 2 21 e= e, be = b, ae = ea = a, a= b= eb = ab = ba = 2 22 e= e, eb = b, ae = ea = a, a= b= be = ab = ba = 2 23 e= e, ae = a, eb = b, a= b= ea = be = ab = ba = 2 24 e= e, ea = a, eb = b, a= b= ae = be = ab = ba = Chứng minh: Vì RadR ≠ p nên R tồn phần tử lũy đẳng e ≠  Giả sử Re =p ⇒ Re =R ⇒ e đơn vị phải R Vì R đơn vị nên eR ≠ p • Nếu eR = p ⇒ (1 − e) R = p = RadR Theo bổ đề ta có (1 − e) R = RadR Khi đó: ∀x, x1 ∈ RadR = (1 − e) R : x =− r er, x1 =− r1 er1 Ta có: xx1 =( r − er)( r1 − er1 ) =rr1 − rer1 − err1 + erer1 =0 ⇒ ( RadR ) = Vì R có dạng ( p, p, p ) ⇒ RadR = a , b , orda =ordb =p ( RadR ) =0 ⇒ a =b2 =ab =ba =0 Khi R = e, a , b Vì e đơn vị phải R nên= ae a= , be b RadR ideal R nên ea , eb ∈ RadR ⇒ ea = ma + nb, eb = ua + tb Thay a1 = ea − a, b1 = eb − b ta có R thỏa 20 • eR = p ∀x ∈ eR, x1 ∈ (1 − e) R : x = er, x1 = r1 − er1 xx1 = er ( r1 − er1 ) =⇒ eR ( (1 − e) R ) = (1) Tương tự ta có: ( (1 − e) R ) = (2) Vành eR có e đơn vị, đặt J = Rad ( eR ) theo định lý 1.5 ii) ta có: • eR = p = p n r , J = p ( n −1) r = p ⇒ n = 2, r = n Theo định lý 1.5.iii): J= J= Xét a ∈ J \ {0}⇒ eR = e, a , ta có: e =e, a ∈ J =0 ⇒ a =0 a ∈ Re ⇒ ae = ea = a (vì e đơn vị) Xét b ∈ (1 − e) R \ {0} Do (1) nên= eb 0,= ab Do (2) nên b2 = e đơn vị phải nên be = b Đặt ba = mb ⇒ 0= ba = mba = m b ⇒ m = Do ta có R thỏa 21  Giả sử Re = p • eR = p Tương tự trường hợp = Re p= , eR p ta có R thỏa 22 • eR = p Ta có: eR = Re = RadR = p , tương tự trên, ta có R thỏa 22 • eR = p Khi đó, từ bổ đề ta có: (1 − e) R = RadR Vì Re ∩ RadR ≠ {0} ∨ R (1 − e) ⊂ RadR nên RadR vành với phép nhân tầm thường nhóm cộng loại ( p, p ) Chọn a ∈ Re ∩ RadR, a ≠ 0, b ∈ R (1 − e), b ≠ 2 Ta có: a= b= ab = ba = a ∈ Re ⇒ ∃x ∈ R : a= xe ⇒ ae= xe= xe= a b ∈ R(1 − e) ⇒ ∃x ' ∈ R : b= x '− x ' e ⇒ be= x ' e − x ' e 2= eb =mb =e2 b =m b ⇒ m =0 ∨ m =1 Nếu m =0 ⇒ R = b ⊕ a , e (mâu thuẫn với tính không phân tích R) Do đó: m =⇒ eb =b Ta có: ea = ta ⇒ t = ∨ t = Nếu t = ea = a eR = {e(α e + β a + γ b)} = {α e + β ea + γ eb} = {α e + β a + γ b} = (Mâu thuẫn với giả sử eR = p ) Do đó: t =0 ⇒ ea =0 Vậy ta có R thỏa 23  Giả sử Re = p p3 • eR = p : tương tự trường hợp = Re p= , eR p , ta có R thỏa 24 • eR = p : tương tự trường hợp = Re p= , eR p , ta có R thỏa 23 • eR = p : Khi đó: R (1 − e) = (1 − e) R = RadR (theo bổ đề 7) Nên R = eR ⊕ (1 − e) R (mâu thuẫn với tính không phân tích R) Các vành thỏa quan hệ khác quan hệ 20 – 24 không đẳng cấu Ta hoàn thành chứng minh định lý  2.4.3.4 RadR = p Định lý 10: Nếu R ≠ R thỏa: 25.= a b= , b2 0,= ab c= , c2 Chứng minh: R nên R p= Vì R ≠ = , p R Theo bổ đề 1.8 ∃a ∈ R : R =a { } Do theo định lý 1.9, a , a , a sở R Đặt= a b= , a c ta có a, b, c thỏa 25  Định lý 11: Nếu R = quan hệ sau thỏa mãn: 26 a = b2 = 0, ab = −ba = c, ac = ca = cb = bc = c2 = 2 27 a= c, ba = ab = 0, b= γ c,= γ p =2, γ = 1, µ p ≠ 2 2 28 a= c, ba = 0, ab = c, b= γ c, c= bc = ac = ca = 0, γ ∈  p Chứng minh:  Giả sử: ∀r ∈ R : r =0 Khi a , b ∈ R \ R độc lập tuyến tính  p , ta có 0= ( a + b) = ab + ba ⇒ ab = −ba Nếu ab = R = a , b + d , d ∈ R \ {0} (mâu thuẫn) Do ab= c ≠ Vì a, b, c độc lập tuyến tính nên ta có trường hợp 26  Giả sử ∃a ∈ R \ {0} : a = c ≠ Nếu a = ta ⇒ = a = ta = t a ⇒ t = (mâu thuẫn) Do a ≠ ta , ∀t ⇒ a , c độc lập tuyến tính Xét b ≠ 0, b ∉ a + c Vì ba ∈ R ⇒ ba =uc, u ∈  p ⇒ b ' =b − ua ∉ a + c b ' a = ba − uc = 0, ab ' = α c, b '2 = β c • Nếu α = β ≠ (vì β = R phân tích được, mâu thuẫn) 2 Ta có quan hệ: a= c, ba = ab = ac = ca = c= 0, b= βc  Nếu β= γ ∈  p , thay b = γ b1 ta có quan hệ 27  Nếu β1 , β không phương  p R β1 ≅ Rβ2  Nếu= β1 1,= β µ không phương  p R ≅/ Rµ với γ 1, µ p ≠ Do 27 = với γ 1= p = • Nếu α ≠ ta có: 2 a= c, ba = 0, ab = α c, b= β c, c= cb = bc = ac = ca = Thay b = α b1 ta có 28 Nếu Rγ ≅ Rγ , ∃a1 , b1 , c1 ∈ Rγ \ {0} sao= cho b12 γ= c1 , c1 Đặt b1 = ka + lb + mc, c1 = k1a + l1b + m1c ⇒ b12 = ( k + kl + l 2γ )c = γ c = γ k1a + γ l1b + γ m1c ⇒ γ m1 =γ l1 =0  Nếu γ ≠ ⇒ l1 = m1 = 0, c1 = k1a Mặt khác c12 =( k12 + k1l1 + l12γ )c =0 ⇒ k12 =0 ⇒ k1 =0 ⇒ c1 =0 (mâu thuẫn với cách chọn c1 )  Nếu= γ 0, γ ≠ Khi phần tử Rγ thỏa 28 Tương tự trường hợp không xảy Do đó, trường hợp α ≠ Rγ ≅/ Rγ γ ≠ γ  Các vành thỏa quan hệ khác 26 – 28 không đẳng cấu Ta hoàn thành chứng minh định lý 11  2.4.3.5 Kết luận vành cấp ( p, p, p ) Từ mục trên, ta có vành dạng (p, p, p): STT p=2 p≠2 RadR = 1 RadR = p 1 RadR = p 7 RadR = p p+4 Tổng 14 p + 13 2.4.4 Kết luận vành cấp p Ta có kết sau: p=2 p≠2 20 20 a) Vành với nhóm cộng ( p ) 4 b) Vành với nhóm cộng ( p , p ) 14 p + 13 c) Vành với nhóm cộng ( p, p, p ) 14 p + 13 52 p + 50 Vành phân tích Vành không phân tích Tổng Vậy: Có 52 vành cấp p + 50 vành cấp p , p ≠ 2.5 Kết luận vành hữu hạn Cho R vành hữu hạn cấp n = p1α1 pkαk Khi R = R1 ⊕ ⊕ Rk , Ri vành cấp piαi 1) Nếu α i = : Có vành cấp pi 2) Nếu α i = : Có 11 vành cấp pi2 3) Nếu α i = 3: Có 52 vành cấp 8, pi + 50 vành cấp pi3 , pi ≠ Do đó, = n p1α1 pkαk ,1 ≤ α i ≤ , ta mô tả cụ thể vành R dựa vào kết 2.6 Mô đun hữu hạn Định lý 2.6.1 M Mô đun hữu hạn sinh vành hữu hạn R M hữu hạn Chứng minh: M nhóm Abel hữu hạn sinh, có tập sinh {v1 , v2 , , vm } Gọi F R- mô đun tự có sở {e1 , e2 , , em } Khi tồn toàn cấu mô đun f :F →M ei  vi Đặt ker f = M mô đun F, M hữu hạn sinh Khi đó: M ≅ F Mặt khác, F R- mô đun tự với sở {e1 , e2 , , em } nên F ≅ R m Vì R hữu hạn nên R m hữu hạn Do đó, F hữu hạn Vì M mô đun thương F nên suy M hữu hạn   Từ đây, xét M nhóm Abel hữu hạn M1 Theo định lý 1.1 1.2, M tổng trực tiếp m nhóm Cyclic v j cấp s j m xi vi , y ∑= Với hai phần tử x, y ∈ = M ta có: x m ∑y v =i =i j j , xi , yi ∈  si  R vành hữu hạn R với phép cộng nhóm Abel hữu hạn Khi R tổng trực tiếp n nhóm cyclic ui cấp ti Với phần tử a, b R= ta có: a n ui , b ∑= n ∑b u , =i =j j j , bi ∈  ti Nhắc lại định lý 2.1.1: R làm thành vành, với số nguyên gi j k cho, có phép nhân định nghĩa công thức: n   n  n a j u j  ∑ gi j k b j uk cho: = (1) ab = ∑ ui   ∑ j = =  i 1=   i, j,k ∑ gi j k gk m p ≡ ∑ g j m k gi k p ( mod t p ) n a) n = k 1= k   t b) gi j k ≡  mod k   t t t , , ( ) i j k   ( ) Với ti , t j , tk ước chung lớn (UCLN) ti , t j , tk c) Nếu R có đơn= vị n ∑e u i =1 i i , ei ∈  ti Định lý 2.6.2 Với M R trên, M R – mô đun trái tác động trái R lên M xác định sau: ∀ = a n ∑ ui ∈ R , ∀=x m ∑x v =i =j (2) ax = n m ∑∑ a x h i =1 j ,k i v ∈ M cho: j ijk k j j ∈M   s hijk ≡  mod k  ( ti , s j , tk )   (i) n (ii) ∑e h ≡ ( mod s ) , k ≠ j ; ∑e h i ijk k i =i n (iii) n i ijj ≡ 1( mod s j ) m ∑ gijp hpqk ≡ ∑ h jpq hipq ( mod sk ) p 1= p = Chứng minh:  Nếu M R- mô đun trái Khi đó: ∀ a ∈ R, ∀ x ∈ M Tác động trái R lên M giá trị M: a x ∈ M Do ax biểu diễn dạng tổng vk , nên ax có dạng (2) • M thỏa (i) vì: = m ti ui ) v j ∑ ti hijk vk (= ⇒ ti hijk ≡ (mod sk ), ∀k ∈ {1, , m} k =1   s ⇒ hijk ≡  mod k ( sk , ti )      Tương tự: hijk ≡  mod Vì sk (t , s , s ) i j sk  ( sk , s j )  BCNN k sk ( ti , sk )   s hijk ≡  mod k  , thỏa (i)  t s s , , ( ) i j k   • M thỏa tiền đề M : x = x n m m ⇒ ∑ ∑ ei x j hijk vk = ∑ x j v j , suy (ii) j ,k =i = =j • M thỏa tiền đề M : ( ab ) x = a ( bx ) Ta có: sk (s , s ) k j nên ta có: n m  n  m  b j gijp u p   ∑ xq vq  ∑ ∑ b j xq gijp h pqk vk = ∑ i j p j, p = q ,k , = ,   =q  i ,=  n m  n  n m  ∑ ∑ b j xq h jqp v p  ∑ ∑ b j xq h jqp hipk vk ∑ ui = = q, p i , j q ,= p ,k = i1  j 1=  = ( ab) x a ( bx ) ( ab ) x = a ( bx ) nên ta có (iii)  Ngược lại: Nếu M nhóm Abel hữu hạn R vành hữu hạn Cho tác động trái R M định nghĩa (2) với số nguyên cho trước thỏa (i), (ii) Khi đó: a u ∑ a ' u hai biểu diễn a R ∑= = x ∑ = x v ∑ x ' v hai biểu diễn x M Ta có: Ta có: a ≡ a ' ( mod t ) , x ≡ x ' ( mod s ) Nếu = a i i j i i j i i j i j j ( j ⇒ ( x j − a ' j x ' j ) ≡ mod ( ti , s j ) j ) Kết hợp với (i) ta có: (a b i   sk a b h t s ' ' mod , − ≡ ) ( )   j j j ijk i j  t s s , , ( ) i j k   ⇒ ( b j − a ' j b ' j ) hijk ≡ ( mod sk ) , ∀i ∈ {1, , n}, ∀j, k ∈ {1, , m} ⇒ ∑ ∑ ( x j − a 'i x ' j ) hijk vk = n m j ,k =i = n m n m ⇒ ∑ ∑ x j hijk vk = ∑ ∑ a 'i x ' j hijk vk j ,k =i = j ,k =i = Do đó, tác động trái (2) xác định đơn trị Do (ii) nên M thỏa tiền đề M : x = x Do (iii) nên M thỏa tiền đề M : ( ab ) x = a ( bx ) Kiểm tra có M thỏa tiền đề M , M : Vậy, M với tác động trái (2) từ R vào M làm thành R- mô đun   M nhóm Abel hữu hạn, theo định lý 1.1, M ≅ ⊕ A ( p ) , A ( p ) p- nhóm M có cấp tối đại Hệ M mô đun vành hữu hạn R A ( p ) R- mô đun M Chứng minh: ∀ = a n m ∑ a u ∈ R ; ∀=x ∑ x v i i =i =j j j ∈ A( p) x ∈ A( p) ⇒ x j = v j ∉ A ( p ) ⇒= x ∑x v j∈I j j ,= I { j |v n m j ∈ A ( p= )} { j | s= j pα }   sk v h , mod ≡   ijk k ijk  t s s , , ( ) i j k   ∑∑∑ a x h Khi : a x = i =1 j∈I k =1 i j Với k ∉ I ⇒ vk ∉ A ( p ) ⇒ ( sk , p ) = ( ) ( ) s Vì s j = pα nên sk , s j = 1⇒ ti , s j , sk = 1⇒ k (t , s , s ) i j = sk k Nghĩa k ∉ I hijk ≡ ( mod sk ) ⇒ hijk vk = 0, ∀k ∉ I Do a x = n ∑∑axh =i j ,k∈I i v ∈ A( p) j ijk k Vậy: ∀a ∈ R, ∀x ∈ A ( p ) ⇒ ax ∈ A ( p ) ⇒ RA ( p ) ⊂ A ( p ) ⇒ A ( p ) R- mô đun M  Nhận xét Tổng quát hệ không Nghĩa là: Nếu M mô đun trái vành hữu hạn R, A nhóm nhóm cộng M, chưa thể kết luận A Rmô đun M KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong luận văn này, trình bày kết chủ yếu sau: Điều kiện cần đủ để nhóm Abel hữu hạn vành Sự phân tích vành hữu hạn thành tổng trực tiếp vành có cấp nguyên tố với lũy thừa tối đại Mô tả vành cấp p Cụ thể có 11 vành cấp p , sai khác đẳng cấu Mô tả vành cấp p Cụ thể có 52 vành cấp 8, p + 50 vành cấp p3 , p ≠ Mô đun hữu hạn sinh vành hữu hạn hữu hạn Điều kiện cần đủ để nhóm Abel hữu hạn sinh mô đun vành hữu hạn Kết 2, 3, cho cấu trúc cụ thể vành hữu hạn có cấp không chứa lũy thừa lớn số nguyên tố Chúng kiến nghị nghiên cứu vành cấp p , p , , từ có kết tổng quát vành hữu hạn; kiến nghị mở rộng kết sang mô đun TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2002), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh Serge Lang (1978), Đại số, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội Hoàng Xuân Sính (2003), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội Tiếng Anh V G Antipkin and V P Elizarov (1983), Ring of order p , Sib Math Journal, (23), 457-464 M F Atiyah, I G Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra, Addition – Wesley, Great Britain Benjamin Fine, Classification of finite rings of order p , Mathematics magezine, Fairfield, CT 06430 R L Kruse and D T Price (1970), Nilpotent Rings, Gordon and Breach, New York R Raghavendran (1969), Finite associative rings, Compositio Mathematica, (21), 195-220 [...]... 0) Có 4 vành dạng này ● Nếu R là tổng trực tiếp của một vành cấp p và một vành cấp p 2 (vành cấp p 2 không phân tích được) Khi đó: Vì có hai vành cấp p , và 8 vành cấp p 2 không phân tích được, nên có 16 vành dạng này Vậy có tất cả 20 vành cấp p 3 mà có thể phân tích được thành tổng trực tiếp của các vành cấp nhỏ hơn Ta xét các vành cấp p 3 mà không phân tích được thành tổng trực tiếp của các vành cấp... Vành cấp p 3 Từ các phần trên ta có: 1 Có 2 vành cấp p là  p và C p ( 0 ) 2 Có 11 vành cấp p 2 , trong đó có 3 vành có thể phân tích được thành tổng trực tiếp của các vành cấp p là  p ⊕  p ,  p ⊕ C p ( 0 ) và C p ( 0 ) ⊕ C p ( 0 ) Do đó có 8 vành cấp p 2 không thể phân tích được 3 Xét các vành R cấp p 3 có thể phân tích được Khi đó: ● Nếu R là tổng của 3 vành cấp p thì R có dạng:  p ⊕  p ⊕  p... một lớp các vành đẳng cấu với vành = R g, = mg 0,= g 2 kg Vì m = p n nên có n − 1 số k thỏa ( k , m ) ≠ 1, 0 < k < m là các số có dạng = k pi , = i 1, n − 1 ● Vậy, có tất cả ( n − 1) + 1 + 1 = n + 1 vành không đẳng cấu, với nhóm cộng Cyclic Cm Các vành này có dạng= R i , k p= , i 1, n g, = mg 0,= g 2 kg=  Hệ quả 2.2.2 Có 2 vành cấp p là  p và C p ( 0 ) 2.3 Vành cấp p 2 Gọi R là vành cấp p 2... tích được thành tổng trực tiếp của các vành cấp nhỏ hơn 2.4.1 Vành cấp p 3 với nhóm cộng ( p 3 ) Theo định lý 2.2.1 ta có 3 + 1 =4 vành với nhóm cộng dạng p 3 Những vành này đặc trưng bởi quan hệ sau đây: i 1 a 2 p= = a, i 0,3 , với a là phần tử sinh của nhóm cộng của vành: ( R, + ) =a 2.4.2 Vành cấp p 3 với nhóm cộng ( p, p 2 ) 2.4.2.1 Vành có đơn vị Gọi e là đơn vị của R 3 Theo định lý 1.5 ii) ta... trường hữu hạn cấp p 2 (C p × C p ) (0) p= 2: K = a, b; 2a == 2b 0, a 2 = a, b2 = a + b, ab == ba b p ≠ 2 : Gọi j là số không chính phương trong  p K = 2 2 a, b; pa = pb = 0, a= a , b= ja , ab = ba = b Trong đó có 3 vành có thể phân tích được thành tổng trực tiếp của các vành cấp p là  p ⊕  p ,  p ⊕ C p ( 0 ) và C p ( 0 ) ⊕ C p ( 0 ) Do đó có 8 vành cấp p 2 không thể phân tích được 2.4 Vành cấp... b= b, ab = a, ba = a Kiểm tra phép toán hợp lý, ta có một vành giao hoán không đẳng cấu với D Ta gọi vành mới này là G 2 2 • TH2: = R a, b; pa = pb = 0; a= 0, b= b, ab = 0, ba = 0 Đây cũng là vành giao hoán Xét đồng cấu: f : R →  p ⊕ C p (0) a  (0,1) b  (1,0) Thì f là đẳng cấu vành nên R ≅  p ⊕ C p (0) Ta gọi vành này là H Ta chứng minh G và H không đẳng cấu Nghĩa là, ta chỉ ra không có phần tử... upb ∈ [ pb ] z = 0 = Vậy ta luôn có ab ∈ [ pb ] Tương tự ta có: ba ∈ [ pb ]  a) Vành giao hoán: Vì vành R giao hoán và không thể phân tích, nên nó không có phần tử lũy đẳng khác 0 Vì một lũy thừa nào đó của mọi phần tử của vành hữu hạn là lũy đẳng, ta có R lũy linh Từ bổ đề 1, ta cần xét trường hợp R 3 ≠ 0 và R 3 = 0 Định lý 1: Nếu R 3 ≠ 0 , khi đó quan hệ sau đây thỏa mãn: 3.= a 2 0,= ab pb=... đã chứng minh được ϕ là đẳng cấu, nghĩa là: k R ≅ ⊕ A ( p ) = ⊕ Ri , A ( pi ) = Ri là vành con cấp piαi i =1 Định lý 2.1.2 được chứng minh xong  2.2 Vành với nhóm cộng ( p n ) Định lý 2.2.1 Có n + 1 vành không đẳng cấu, với nhóm cộng Cyclic C pn Chứng minh: urx + vsx Đặt m = p n Gọi R là vành với nhóm cộng Cm , và g là phần tử sinh cộng tính của Cm 2 Giả sử g= kg , 0 < k ≤ m ● Nếu ( k , m ) =... nhóm cộng của nó đẳng cấu với C p 2 hoặc C p × C p 2.3.1 Vành cấp p 2 với nhóm cộng ( p 2 ) Theo định lý 2.2.1 có 3 vành (sai khác đẳng cấu), được biểu diễn như sau: A = = B C= 2 a; p 2 a= 0; a= a=  p2 a; = p 2 a 0;= a 2 pa 2 a; p 2 a= 0; a= 0= C p2 (0) 2.3.2 Vành cấp p 2 với nhóm cộng ( p, p ) Định lý: Với mọi số nguyên tố p, ta có đúng 8 vành cấp p 2 với nhóm cộng dạng ( p, p ) , sai khác đẳng cấu... ( skg ) Vì sk ≡ 1( mod m ) nên skg = g 2 Suy ra g= sg = g1 1 Xét đồng cấu vành R →  m g1  1 = R1 ≅  m là đẳng cấu Do đó R ● Nếu k = m thì g 2 = 0 Phép nhân trong R là tầm thường và R = Rm đẳng cấu với vành nhóm cộng Cm và phép nhân tầm thường ● Nếu ( k , m ) ≠ 1 : Vì m = p n , p nguyên tố nên k là ước thực sự của m và= k p n1 , 0 < n1 < n Khi đó m = k d , với d= p n2 , n2= n − n1 Ta có: g ... liệu mô tả, phân lớp Nhóm hữu hạn, nghiên cứu Vành Mô đun hữu hạn lại Mục đích luận văn phân tích vành hữu hạn, mô tả cụ thể vành cấp p , p , p nguyên tố; đồng thời đưa số tính chất mô đun hữu hạn. .. Có vành dạng ● Nếu R tổng trực tiếp vành cấp p vành cấp p (vành cấp p không phân tích được) Khi đó: Vì có hai vành cấp p , vành cấp p không phân tích được, nên có 16 vành dạng Vậy có tất 20 vành. .. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHƯƠNG 2: VÀNH MÔ ĐUN HỮU HẠN 2.1 Cấu trúc vành hữu hạn Định lý 2.1.1 Định lý 2.1.2 ( ) 2.2 Vành với nhóm cộng p n