Iđêan trong vành iđêan hóa

[...]... nguyản tố, iảan cỹc Ôi v iảan côn trong vnh R M nh lỵ ny cụng cho thĐy cĂc iảan nguyản tố, iảan cỹc Ôi v iảan côn ãu cõ dÔng I ì N 2.2.3 nh lẵ (i) Mội iảan cỹc Ôi cừa vnh R M cõ dÔng m ì M, trong õ m l iảan cỹc Ôi cừa vnh R (ii) Mội iảan nguyản tố cừa vnh R M cõ dÔng p ì M, trong õ p l iảan nguyản tố cừa vnh R (iii) Mội iảan côn cừa R M cõ dÔng I ì M, trong õ I l iảan côn cừa R (iv)... ãu cõ dÔng IìN Tuy nhiản, trong [3], D Anderson v M Winders  ch ra rơng khổng phÊi iảan no cừa R M cụng ãu cõ dÔng I ì N Do õ, D Anderson 17 v M Winders [3]  coi vnh iảan hõa R M nhữ l mởt vnh phƠn bêc v hồ  chựng minh ữủc rơng iảan cừa vnh iảan hõa R M cõ dÔng I ì N khi v ch khi chúng l iảan thuƯn nhĐt Trong chữỡng ny, chúng tổi mổ tÊ cĂc tẵnh chĐt cừa iảan trong vnh iảan hõa dỹa vo... ny ữủc ổng sỷ dửng rĐt nhiãu lƯn trong [8] Chng hÔn, ổng chựng minh Bờ ã Artin Ress, nh lỵ phƠn tẵch nguyản sỡ cho iảan sau õ m rởng cho mổun bơng k thuêt iảan hõa Vã sau, khĂi niằm iảan hõa  ữủc mởt số nh toĂn hồc quan tƠm, nghiản cựu CĂc kát quÊ Ôt ữủc cho thĐy iảan hõa cụng cõ nhiãu ựng dửng, c biằt l trong cĂc bi toĂn xĂc nh cĐu trúc vnh Ngoi ra trong rĐt nhiãu cổng trẳnh, iảan... pnguyản sỡ cừa M Náu N = M thẳ Q = Q = I ì M Trong cÊ hai trữớng hủp ta ãu cõ I = Q R v N = Q M 30 KT LUN Nởi dung chẵnh cừa luên vôn l mổ tÊ iảan trong vnh iảan hõa R M, vợi R l mởt vnh giao hoĂn cõ ỡn v v M l mởt R-mổun, dỹa vo bi bĂo [3] cừa D D Anderson and M Winders Cử th l luên vôn  hon thnh ữủc nhỳng viằc sau: 1 Trẳnh by mởt số tẵnh chĐt cừa iảan trong vnh iảan hõa (nh lỵ 2.2.1, Vẵ dử...  lm vẵ dử minh hồa cho cĂc vĐn ã trong vnh m náu iãu ny thỹc hiằn trản cĂc vnh thổng thữớng thẳ rĐt khõ khôn c biằt, N T Cữớng -L T Nhn - M Morales [6]  sỷ dửng iảan hõa nhữ l mởt cổng cử hỳu hiằu  trÊ lới cho mởt cƠu họi m cừa R Y Sharp Cho I l mởt iảan cừa vnh R, M l mởt Rmổun, N l mởt mổun con cừa M Khi õ I ì N l iảan cừa vnh R M khi v ch khi IM N Trong [7], J A Huckaba cho rơng mội... Tuy nhiản I ì IM cõ th hỳu hÔn sinh khổng cƯn IM hỳu hÔn sinh 2.3 Iảan thuƯn nhĐt trong vnh iảan hõa Chú ỵ rơng cõ th xem vnh iảan hõa R M l vnh phƠn bêc vợi (R M )0 = R ì 0, (R M )1 = 0 ì M v (R M )i = 0, i 2 Vêy mởt cƠu họi ữủc t ra Ơy l cĂc iảan thuƯn nhĐt cừa R M l gẳ? nh lỵ sau s mổ tÊ iảan thuƯn nhĐt trong vnh R M 2.3.1 nh lẵ GiÊ sỷ J l mởt iảan cừa vnh R M Khi õ J l iảan thuƯn... náu tỗn tÔi mởt iảan I R v mởt mổun con N M, IM N sao cho J = I ì N 23 Hỡn nỳa, trong trữớng hủp ny ta cõ I = {r R | b M, (r, b) J} v N = {m M | s R, (s, m) J} Chựng minh Cho J l mởt iảan thuƯn nhĐt cừa vnh R M Khi õ J = (J R) (J M ), J R l iảan cừa R v J M l mổun con cừa M, nghắa l J = I ì N, trong õ I l mởt iảan cừa R v N l mởt mổun con cừa M Theo nh lỵ 2.2.1, ta cõ IM N... hoc x khÊ nghch Náu x khÊ nghch, tứ iãu kiằn xb aM ta cõ xb = am vợi m M no õ Suy ra b = ax1 m aM Nhữ vêy trong trữớng hủp R l vnh prsimplifiable thẳ (iv) a = 0 hoc b aM Nhữ vêy, náu R l vnh prsimplifiable thẳ J l iảan thuƯn nhĐt khi v ch khi a = 0 hoc (ii) (iii) : b aM 2.3.4 Vẵ dử Trong vnh Z 2Z, iảan sinh J bi phƯn tỷ (2, 2) khổng thuƯn nhĐt Vẳ náu J thuƯn nhĐt thẳ theo nh lỵ 2.3.3, (2,... (i) : Theo nh lỵ 2.3.1 mội iảan cừa R M cõ dÔng I ì N, trong õ I l mởt iảan cừa R v N l mởt mổun con cừa M thọa mÂn IM N GiÊ sỷ I = 0 Khi õ do M chia ữủc nản IM = M , do õ M = IM N Cho (a, b) J vợi a = 0 Cho m M, khi õ tỗn tÔi m M sao cho m = am Do õ (0, m) = (a, b)(0, m ) J Vẳ vêy, náu J l mởt iảan cừa R M m J khổng chựa trong 0 ì M thẳ J 0 ì M PhƯn tiáp theo chúng ta s xĂc nh... = 0, do sm = 0 nản rn = 0 suy ra r Z(M ) Trong cÊ hai trữớng hủp ta ãu cõ r Z(R) Z(M ) Do õ Z(R M ) {(r, m) | r Z(R) Z(M ), m M } Vêy tứ nhỳng chựng minh trản ta nhên ữủc Z(R M ) = {(r, m) | r Z(R) Z(M ), m M } PhĂt biu thự hai l hin nhiản ữủc suy ra ngay tứ phĂt biu thự nhĐt Theo nh lỵ 2.2.1, mội iảan nguyản tố cừa R M ãu cõ dÔng p ì M , trong õ p l mởt iảan nguyản tố cừa R; do