Mở rộng vành z và ứng dụng

đại học thái nguyên Tr-ờng đại học KHOA HọC V TH HNG Mở rộng vành z Và ứng dụng LUN VN THC S TON HC thái nguyên - năm 2014 đại học thái nguyên Tr-ờng đại học KHOA HọC V TH HNG Mở rộng vành z Và ứng dụng LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: PHNG PHP TON S CP Mó s: 60.46.01.13 Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS. M VN NH Thỏi Nguyờn, 2014 i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Khái niệm vành, trường và đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Vành và đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Iđêan và vành thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Tính đóng đại số của trường C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Đa thức bất khả quy trên Q . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 C là trường đóng đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Đa thức bất khả quy trên C và trên R . . . . . . . . . . 5 1.2.4 Một vài ví dụ về ứng dụng trường C . . . . . . . . . . . 7 2 Số đại số và vận dụng 11 2.1 Số đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 Bao đóng nguyên của vành . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2 Khái niệm số đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.3 Chuẩn và vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.4 Một vài ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Vành Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Vành Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Vành Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Vận dụng trong Số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1 Chuẩn trong vành Z[ √ d] và Z[ √ p, √ q] . . . . . . . . . . 34 ii 2.3.2 Tồn tại nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 iii Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Phó giáo sư Tiến sĩ Đàm Văn Nhỉ. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và nhiệt tình của thầy trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn. Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các giáo sư, tiến sĩ đang công tác tại Viện toán học, Trường Đại học khoa học tự nhiên, trường Đại học sư phạm Hà Nội, trường Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức để nâng cao trình độ của mình. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới tất cả các thầy, cô. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, Khoa Toán tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Sơn La, Ban giám hiệu, các tổ chức Đoàn thể, tổ chuyên môn, nhóm toán trường THPT Chiềng Sơn, huyện Mộc Châu cùng bạn bè đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 Tác giả Vũ Thị Hằng iv Mở đầu Số học là một trong những lĩnh vực cổ xưa nhất của Toán học, và cũng là lĩnh vực tồn tại nhiều bài toán, những giả thuyết chưa có câu trả lời. Trên con đường tìm kiếm lời giải cho những giả thuyết đó, nhiều tư tưởng lớn, nhiều lý thuyết lớn của toán học đã được nẩy sinh. Hơn nữa, trong những năm gần đây, Số học không chỉ là một lĩnh vực của toán học lý thuyết, mà còn là lĩnh vực có rất nhiều ứng dụng, đặc biệt trong lĩnh vực bảo mật thông tin. Do đó, đây chính là lĩnh vực thuận lợi để đưa học sinh tiếp cận nhanh với các môn khoa học khác. Tuy nhiên trong chương trình số học ở trường phổ thông hiện nay, môn Số học chưa được giành nhiều thời gian. Cũng vì thế mà học sinh thường lúng túng khi giải các bài toán về Số học, đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi. Luận văn này nhằm mục đích tìm hiểu và trình bày lại các kết quả đã có về vành các số nguyên. Từ đó mở rộng vành các số nguyên để xây dựng các chuẩn và tự đẳng cấu tương ứng. Vận dụng các kết quả đạt được để giải một số bài toán về phương trình nghiệm nguyên. Luận văn gồm lời nói đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị. Chương này tập trung nhắc lại một số khái niệm cơ bản về vành, trường và đồng cấu. Tiếp đó, tác giả có trình bày lại khái niệm mở rộng vành và chứng minh tính đóng đại số của trường các số phức. Cuối cùng là việc vận dụng tính đóng đại số của trường C để xây dựng và giải một số bài toán. Chương 2 tập trung trình bày phân tử nguyên và số đại số. Trong chương này, đã định nghĩa phần tử nguyên, bao đóng nguyên của vành. Tiếp theo, tác giả đã trình bày về vành Euclid, vành Gauss và khái niệm chuẩn. Cuối cùng là việc vận dụng các kết quả đã đạt được để xét một số bài toán số học, chẳng hạn như: Sử dụng vành Z[ √ d] và Z[ √ p, √ q] với chuẩn tương ứng để chứng minh sự tồn tại nghiệm nguyên. v Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn có những thiếu sót nhất định, kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn này. 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này tập trung nhắc lại một vài khái niệm cơ bản về vành, trường và đồng cấu. 1.1 Khái niệm vành, trường và đồng cấu 1.1.1 Vành và đồng cấu Giả sử tập R = ∅ với hai phép toán hai ngôi là phép cộng và phép nhân. Nếu (R, +) lập thành một nhóm giao hoán, (R, .) lập thành một nửa nhóm và phép cộng, phép nhân thỏa mãn luật phân phối, có nghĩa: a(b+c) = ab+ac, (b+c)a = ba + ca, ∀a, b, c ∈ R, thì R được gọi là một vành. Vành R được gọi là một vành giao hoán nếu ab = ba với ∀a, b ∈ R. Cho hai vành R và S. Nếu R là vành con của vành S thì S được gọi là vành mở rộng của vành R. Giả sử K là một vành giao hoán với đơn vị 1. K được gọi là một trường nếu mọi phần tử khác phần tử không 0 của K đều có phần tử nghịch đảo, có nghĩa: Nếu a ∈ K, a = 0, thì có b ∈ K để ab = ba = 1. Cho hai trường K và F. Nếu K là trường con của trường F thì F được gọi là trường mở rộng của trường K. Chú ý rằng, các phần tử đơn vị lập thành một nhóm với phép nhân. Ví dụ, các phần tử khả nghịch thuộc vành thương Z n lập thành nhóm nhân U(n) với cấp ϕ(n). 2 1.1.2 Iđêan và vành thương Giả thiết R là một vành giao hoán với đơn vị 1. Giả sử I là một iđêan của vành R. Xét tập thương R/I = {r + I|r ∈ R}. Định nghĩa hai phép toán cộng và nhân: Với mọi phần tử r + I, s + I ∈ R/I ta định nghĩa phép cộng và phép nhân: (r + I) + (s + I) = r + s + I (r + I).(s + I) = rs + I. Khi đó R/I cùng hai phép toán cộng và nhân lập thành một vành giao hoán với đơn vị 1 + I. Vành này được gọi là vành thương của R theo I và ánh xạ ϕ : R → R/I, r → r + I, là một toàn cấu. 1.2 Tính đóng đại số của trường C 1.2.1 Đa thức bất khả quy trên Q Qua các kết quả trên ta chỉ còn phải xét đa thức bất khả quy trên trường Q. Trước tiên ta xét nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số nguyên. Bổ đề 1.2.1. Cho đa thức f(x) = a 0 x n + a 1 x n−1 + ···+ a n ∈ Z[x], a 0 = 0. Nếu số hữu tỷ p q với (p, q) = 1 là nghiệm của phương trình f(x) = 0 thì (i) p là một ước của a n và q là một ước của a 0 . (ii) p − mq là một ước của f(m) cho mọi số nguyên m. Chứng minh: (i) Giả sử số hữu tỷ p q với (p, q) = 1 là nghiệm của f(x) = 0. Khi đó a 0 p n + a 1 p n−1 q + ···+ a n q n = 0. Vì (p, q) = 1 nên p là một ước của a n và q là một ước của a 0 . (ii) Khai triển f(x) theo các luỹ thừa của x − m ta được f(x) = a 0 (x −m) n + b 1 (x −m) n−1 + ···+ b n−1 (x −m) + f(m) ∈ Z[x]. 3 Cho x = p q và quy đồng a 0 (p−mq) n +b 1 (p−mq) n−1 q +···+b n−1 (p−mq)q n−1 + f(m)q n = 0. Vì (p, q) = 1 nên p −mq là một ước của f(m) cho mọi số nguyên m. Hệ quả 1.2.2. Nghiệm hữu tỷ của đa thức f(x) = x n +a 1 x n−1 +···+a n ∈ Z[x] phải là số nguyên. Bổ đề Gauss về đa thức nguyên bản, đã chỉ ra rằng, việc xét đa thức bất khả quy trên Q tương đương với việc xét đa thức bất khả quy trên Z và việc phân tích đa thức thành tích các đa thức bất khả quy trên Z và trên Q là hoàn toàn như nhau. Bổ đề 1.2.3. Đa thức với hệ số nguyên là bất khả quy trên Z khi và chỉ khi nó là bất khả quy trên trường Q. Định lý 1.2.4. [Gauss] Đa thức f(x) thuộc Z[x] được phân tích trong Q[x] thành tích các đa thức bất khả quy thì f(x) cũng có sự phân tích như thế trong Z[x]. Chính vì lý do này mà ta chỉ xét đa thức bất khả quy trên Z. Một số tiêu chuẩn sau đây để có thể kiểm tra khi nào một đa thức với các hệ số nguyên là bất khả quy. Định lý 1.2.5. [Tiêu chuẩn Eisenstein] Cho f(x) = a n x n +a n−1 x n−1 +···+ a 0 , a n = 0, là đa thức với các hệ số nguyên và p là số nguyên tố sao cho a n không chia hết cho p và các a i , i < n, chia hết cho p nhưng a 0 không chia hết cho p 2 . Khi đó f(x) là đa thức bất khả qui trên Z. Chứng minh: Giả sử f = gh = ( r  i=0 b i x i )( s  j=0 c j x j ) với g, h ∈ Z[x] và r = deg g, s = deg h > 0, r + s = n. Vì b 0 c 0 = a 0 chia hết cho p nên tối thiểu một số b 0 hoặc c 0 phải chia hết cho p, chẳng hạn b 0 chia hết cho p. Vì a 0 không chia hết cho p 2 nên c 0 không chia hết cho p. Nếu tất cả các b i đều chia hết cho p thì a n cũng phải chia hết cho p : mâu thuẫn với giả thiết. Vậy phải có một b i không chia hết cho p. Gọi i là chỉ số nhỏ nhất để b i không chia hết cho p. Khi đó 0 < i  r. Vì a i = b i c 0 + b i−1 c 1 + ··· + b 0 c i chia hết cho p với tất cả các [...]... chỉ ra có z2 = a2 + b2 i ∈ Γ sao cho N (z − z1 z2 ) < N (z1 ) Thật vậy, từ biến đổi z a + bi (a + bi)(a1 − b1 i) (aa1 + bb1 ) − (ab1 − a1 b)i = = = z1 a1 + b1 i a2 + b2 a 2 + b2 1 1 1 1 và lấy a2 , b2 ∈ Z với N aa1 + bb1 − a2 a 2 + b2 1 1 1 a1 b − ab1 , − b2 2 a 2 + b2 1 1 a1 b − ab1 z aa1 + bb1 − a2 + 2 i − b2 i − z2 = N z1 a 2 + b2 a1 + b2 1 1 1 Như vậy N (z − z1 z2 ) = N z1 z − z2 z1 = N (z1 )N 1... 4 4 2 z − z2 < N (z1 ) và suy z1 ra Z[ i] là một vành Euclid Iđêan sinh bởi phần tử a+bi là (a+bi) và ta có (a+bi) = (−a−bi) = (b−ai) = (−b + ai) Hơn nữa, ta còn các kết quả sau đây: Mệnh đề 2.2.4 Ta có các đẳng cấu sau đây: (1) Z[ i]/(0) ∼ Z[ i] và Z[ i]/(1) ∼ {0} = = (2) Z[ i]/(a + bi) ∼ Z[ i]/(−a − bi) ∼ Z[ i]/(b − ai) ∼ Z[ i]/(−b + ai) = = = Bổ đề 2.2.5 Với số nguyên dương n > 1 ta có Z[ i]/(n) ∼ Zn [i]... nên R ⊆ R Nếu α và β thuộc S là nguyên trên R thì α + β và αβ cũng là nguyên trên R theo Bổ đề 2.1.3 Như vậy, α + β và αβ thuộc R khi α và β thuộc R Từ đó suy ra: R là một vành con của vành S chứa vành R Định nghĩa 2.1.5 Vành con R của S được gọi là bao đóng nguyên của R trong S Nếu R = R thì R được gọi là vành đóng nguyên trong S Nếu S = R thì S được gọi là vành nguyên trên R hay mở rộng nguyên của... một căn nguyên thủy bậc 5 của đơn vị trong C Khi đó z = 1 và z 5 = 1 Vậy z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0 Ta có hệ phương trình sau   f (1) + zg(1) + z 2 h(1) = 0    f (1) + z 2 g(1) + z 4 h(1) = 0     f (1) + z 3 g(1) + z 6 h(1) = 0 1 z z2 Vì định thức 1 z 2 z 4 = 0 nên f (1) = g(1) = h(1) = 0 và ta có f (x), g(x), h(x) 1 z3 z6 chia hết cho x−1 Với x = 2013 ta có các số thỏa mãn f (2013), g(2013),... b1 i ∈ Z[ i] để γ.α = 1 Vậy 1 = N (γ.α) = N (γ).N (α) Vì γ, α = 0 nên N (γ), N (α) ∈ N∗ Vậy N (γ) = 1 Ngược lại, nếu N (γ) = 1 thì a2 + b2 = 1 với a, b ∈ Z Khi đó a2 = 1, b = 0 hoặc a = 0, b2 = 1 Với a2 = 1, b = 0 có γ = ±1 Với a = 0, b2 = 1 có γ = ±i Tiếp theo, ta sẽ chứng minh vành Gauss là một vành Euclid Mệnh đề 2.2.3 Mỗi vành Gauss Z[ i] là một vành Euclid Chứng minh: Giả sử z = a + bi và z1 = a1... 1,2 √ a2 + b2 =0 2 bi bi 2 2 và z2 = x2 + thỏa mãn z1 = z2 = z 2x1 2x2 2 2 Theo lập luận ở trên, có hai số phức z1 và z2 để z1 = z2 = b2 − 4ac Khi đó −b + z2 −b + z1 và nghiệm của phương trình 2 2 Ta có z1 = x1 + Định lý 1.2.11 [d’Alembert-Gauss, Định lý cơ bản của đại số] Mọi đa thức bậc dương thuộc C[x] đều có ít nhất một nghiệm thuộc C 1.2.3 Đa thức bất khả quy trên C và trên R Từ Định lý 1.2.11... xn + a1 βxn−1 + · · · + an−1 β n−1 x + an β n = 0 tương ứng Vì h(x) và k(x) thuộc R[α][x] nên γ và β là những phần tử nguyên trên vành R[α] Từ đây suy ra γ và δ nguyên trên vành R theo Định lý 2.1.2 13 Định lý 2.1.4 Giả sử R là một vành con của vành S Khi đó, tập tất cả các phần tử thuộc S nguyên trên R lập thành một vành con của S chứa R Chứng minh: Ký hiệu R là tập tất cả các phần tử thuộc S nguyên... mâu thuẫn với giả thiết Vậy r = 0 và I = (a) 2.2.2 Vành Gauss Vành Z[ i] = {a + bi|a, b ∈ Z} được gọi là vành Gauss với chuẩn của z = a + bi là N (z) = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 Trước tiên ta chỉ ra các ước của đơn vị là 1, −1, i, −i 29 Mệnh đề 2.2.2 Phần tử γ ∈ Z[ i] là một ước của đơn vị khi và chỉ khi N (γ) = 1 Từ đó suy ra các ước của đơn vị là 1, −1, i, −i Chứng minh: Giả sử γ = a + bi là một... nguyên trên Z nên h(x) ∈ S[x] Vì h(αi ) = 0 và h(βj ) = 0 nên αi và βj nguyên trên S Vì S là bao đóng nguyên của Z trong C nên tất cả các αi và βj đều phải thuộc S theo Định lý 2.1.6 Do các hệ số của f (x) và của g(x) chỉ là tổng và tích các αi và βj tương ứng nên các hệ số của f (x) và của g(x) thuộc S Như vậy, các hệ số của f (x) và g(x) là nguyên trên Z 14 Định lý 2.1.8 Giả sử R là một vành con của... một nghiệm thực thuộc (α, β) Bổ đề 1.2.10 Mỗi đa thức bậc hai thuộc C[x] đều có hai nghiệm thuộc C Chứng minh: Trước tiên ta chỉ ra, với mỗi số phức z đều có hai số phức z1 , z2 2 2 để z1 = z, z2 = z Thật vậy, giả sử z = a + bi = 0 và giả sử z1 = x + yi với  x2 − y 2 = a 2 a, b, x, y ∈ R để z1 = z hay 2xy = b Ta chỉ cần xét trường hợp b = 0 vì trường hợp b = 0 được xét tương tự Vì b = 0 nên x = . Mở rộng vành z Và ứng dụng LUN VN THC S TON HC thái nguyên - năm 2014 đại học thái nguyên Tr-ờng đại học KHOA HọC V TH HNG Mở rộng vành z Và ứng. vành giao hoán nếu ab = ba với ∀a, b ∈ R. Cho hai vành R và S. Nếu R là vành con của vành S thì S được gọi là vành mở rộng của vành R. Giả sử K là một vành giao hoán với đơn vị 1. K được gọi là một. C. Chứng minh: Trước tiên ta chỉ ra, với mỗi số phức z đều có hai số phức z 1 , z 2 để z 2 1 = z, z 2 2 = z. Thật vậy, giả sử z = a + bi = 0 và giả sử z 1 = x + yi với a, b, x, y ∈ R để z 2 1 = z