vành và môđun không suy biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Quốc Việt VÀNH VÀ MÔĐUN KHÔNG SUY BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Quốc Việt VÀNH VÀ MÔĐUN KHÔNG SUY BIẾN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.PHAN DÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Với việc hoàn thành luận văn này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Phan Dân – người định hướng cho lựa chọn đề tài hướng dẫn hoàn thành công việc Tôi xin chân thành cám ơn: Ban Chủ nhiệm Khoa Quý Thầy Cô tổ Bộ môn Đại số Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp hoàn thành tất học phần khóa học Cao học , giúp nâng cao trình độ kiến thức chuyên môn phương pháp học tập, nghiên cứu Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, phòng Tổ chức - Hành chính, Phòng Kế hoạch - Tài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ suốt trình học tập Trường Ban Giám Hiệu trường THCS Lê Lai, Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt cho hoàn thành nhiệm vụ học tập Các đồng nghiệp, bạn khóa học gia đình động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp Thành Phố Hồ Chí Minh, / 2012 Tác giả Phạm Quốc Việt MỤC LỤC Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu Danh mục thuật ngữ Mở đầu Chương 1:CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 11 1.1 Các khái niệm vành 11 1.2 Các khái niệm môđun 12 1.3 Chiều Goldie môđun 19 1.4 Một số lớp vành 19 CHƯƠNG 2:CÁC MÔĐUN SUY BIẾN – KHÔNG SUY BIẾN 22 2.1 Môđun suy biến – Môđun không suy biến 22 2.2 Vành không suy biến Vành nửa di truyền vành di truyền 26 2.3 Vành Artin chuỗi di truyền 35 2.4 Vành SI phải 41 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU , , , ,  : Các tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ số thực, số phức (theo thứ tự) A ≤ B ( A < B) : A môđun (con thực sự) B A ≤e B : A môđun cốt yếu B A ≤⊕ B : A hạng tử trực tiếp B A≅ B : Môđun A đẳng cấu với môđun B A⊕ B : Tổng trực tiếp hai môđun A B ⊕ Ma : Tổng trực tiếp họ môđun M α α∈ I M (I ) : Tổng trực tiếp môđun M với lực lượng lực lượng tập I E(M) : Bao nội xạ môđun M Rad(M), J(R) : Căn Jacobson môđun M vành R (theo thứ tự) Soc(M) : Đế môđun M Z(M) : Môđun suy biến môđun M Im(f) : Ảnh đồng cấu f Ker(f) : Hạt nhân đồng cấu f End(M) : Vành tự đồng cấu môđun M Length(M) : Độ dài dãy hợp thành môđun M Z2 (M ) : Môđun suy biến cấp hai môđun M Mod-R (R-Mod) : Phạm trù R-môđun phải (trái, tương ứng) DANH MỤC THUẬT NGỮ CÁC THUẬT NGỮ CHUNG : điều kiện dây chuyền Ascending chain condition (ACC) tăng Descending chain condition (DCC) : điều kiện dây chuyền giảm Completely indecomposable : hoàn toàn không phân tích Idempotent : lũy đẳng CÁC THUẬT NGỮ TRÊN PHẠM TRÙ VÀNH Annihilator : linh hóa tử Nonsingular ring : vành không suy biến Regular ring : vành quy Right (left) hereditary ring : vành di truyền phải (trái) Right (left) semihereditary ring : vành nửa di truyền phải (trái) Singular ring : vành suy biến CÁC THUẬT NGỮ TRÊN PHẠM TRÙ MÔĐUN Essential submodule : môđun cốt yếu Extending module (CS module) : môđun mở rộng Godie dimension : chiều Godie Indecomposable module : môđun không phân tích Injective hull : bao nội xạ Nonsingular module : môđun không suy biến Uniserial module : môđun đơn chuỗi Singular module : môđun suy biến Small module : môđun bé Uniform module : môđun MỞ ĐẦU I.1 Lý chọn đề tài Trong Đại số Lý thuyết số có chuyên ngành hẹp lý thuyết vành môđun Nội dung đối tượng nghiên cứu chuyên ngành xuất phát từ lớp đối tượng quen thuộc vành số nguyên Z, trường số hữu tỷ Q, số thực R trường số phức C vành ma trận chúng Chẳng hạn vành Z có đủ tính chất: giao hoán, noether, di truyền,…Đối với vành không giao hoán người ta mở rộng tính chất tới lớp vành tổng quát cách đưa điều kiện dây chuyền tăng ( ACC), giảm (DCC) lớp iđêan phía vành ( mở rộng tính noether) tính không suy biến vành ( mở rộng tính di truyền, nửa di truyền) Song song với việc đó, việc sử dụng đặc trưng môđun lớp cyclic, môđun hữu hạn sinh, môđun đếm sinh,…cũng hướng nghiên cứu mang tính thời nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu Khái niệm môđun không suy biến, môđun suy biến, khái niệm vành không suy biến ( trường hợp mở rộng vành di truyền) giới thiệu ứng dụng nhiều kết nghiên cứu vành môđun, đặc biệt số có số khái niệm dùng phổ biến môđun mở rộng (extending modun) môđun cốt yếu ( essential extension),… khái niệm đối ngẫu chúng Trong số khái niệm đối tượng vừa nêu có khái niệm xem khởi điểm cho nhiều mối liên kết nội dung sơ đồ quan hệ cấu trúc Đó khái niệm môđun suy biến, môđun không suy biến vành không suy biến Nhằm mục đích tiếp cận tìm hiểu giới thiệu số khái niệm bản, số kỹ thuật kết nghiên cứu liên quan tới vấn đề trên, chọn đề tài là: “ Vành môđun không suy biến “ I.2 Lịch sử vấn đề Hướng nghiên cứu mà đề tài tiếp cận dựa kết 1) Định lý Cartan – Eilenberg đặc trưng vành di truyền qua môđun xạ ảnh môđun nội xạ 2) Các kết Goodearl vành không suy biến đặc trưng vành Artin chuỗi di truyền; vành SI phải: vành mà môđun phải suy biến nội xạ 3) Các kết Goldie, Colby – Rutters đặc trưng vành QF – di truyền 4) Một số kết Harada, Oshiro đặc trưng vành tính chất extending môđun xạ ảnh I.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu vành kết hợp, có đơn vị ( không thiết giao hoán) môđun xét môđun unita - Đề tài giới hạn phạm vi xét vành không suy biến phải (right nonsingular) phạm trù môđun phải chúng, không nêu thêm giả thuyết phụ I.4 Mục đích nghiên cứu - Mô tả cấu trúc iđêan phía vành đặc trưng môđun khác dựa theo giả thiết bổ sung là: - Với ba lớp môđun xác định F , F , F , xét điều kiện M ∈ F có phân tích trực tiếp M = M1 ⊕ M M1 ∈ F1 ; M ∈ F2 - Xét lớp N S tương ứng lớp R – môđun phải không suy biến suy biến vành R Giả thiết bổ sung xét tính chất họ N tính chất họ S - Trình bày số chứng minh kết quen biết cách sử dụng kết vành nửa di truyền, di truyền mà không sử dụng “ vành thương “ chứng minh trước tài liệu I.5 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng tính chất tách trực tiếp môđun tính chất suy biến, không suy biến lớp môđun mod-R Đối với vành R ta tìm cách xây dựng lược đồ tiếp cận phương pháp mô tả cấu trúc vành Các đối tượng nghiên cứu lớp: vành không suy biến, vành nửa di truyền vành di truyền sơ đồ cấu trúc: Vành di truyền ⊂ vành nửa di truyền ⊂ vành không suy biến (cùng phía II.NỘI DUNG II.1 Luận văn bao gồm chương (1) ⇒ (2) Z ( R R ) = nên GWD ( R ) ≤ xem [2] Để chứng tỏ RQ R - môđun phẳng ta cần I ideal phải hữu hạn sinh R dãy → I ⊗R Q → R ⊗R Q khớp Vì I R -môđun xạ ảnh, theo Định lí 2.2.12, I ⊗R Q Q - môđun xạ ảnh nên I ⊗R Q R -môđun phải R ⊗R Q , với a i ∈ I,q i ∈ Q ∑ i =1 a i ⊗qi = ∑ i a i qi = J = {r ∈ R qi r ∈ R, ∀i} iđêan phải cốt yếu R theo không suy biến Nếu n [ 10, mệnh đề 1.2] Trong I ⊗R Q , cho r ∈ J, (∑ a i i ) ∑a ⊗ qi r = i i ⊗ qi r = ( ∑ a ( q r ) ) ⊗ = ⊗ = , i i i (2) chứng minh ∑ i a i qi = , nên ∑ i a i ⊗ qi ∈ Z ( I ⊗ Q ) = (2) ⇒ (1) Nếu I R iđêan phải hữu hạn sinh R I R phẳng GWD ( R ) ≤ , nên theo Định lí 2.2.15, I R R -môđun xạ ảnh R nửa di truyền phải 2.3 Vành Artin chuỗi di truyền Vành artin chuỗi di truyền lớp vành có nhiều tính chất đẹp nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu, xuất phát từ đặc trưng cấu trúc theo kết Goldie (1964): Vành R artin chuỗi di truyền R tổng trực tiếp iđêan hai phía iđêan đẳng cấu với vành ma trận tam giác phía trên thể Các kết nghiên cứu kể tới thuộc Mochizuki (1965), Colby – Rutters (1971), Harada (1978, 1965), Oshiro (1984) Đặc biệt dựa lớp vành không suy biến phải, năm 1972 Goodearl mô tả đặc trưng môđun lớp vành sau: R vành artin chuỗi di truyền R vành không suy biến phải (tương ứng, trái ) R - môđun phải ( tương ứng, trái) không suy biến xạ ảnh Năm 1994 P F Smith N V Dung chứng minh lớp vành đặc trưng tính chất: “ R vành artin chuỗi di truyền R không suy biến phải, R không chứa tập vô hạn lũy đẳng trực giao R - môđun phải không suy biến đếm sinh xạ ảnh” Kết chứng minh kĩ thuật dùng vành thương Trong mục giới thiệu phương pháp hoàn toàn khác để chứng minh kết (xem chi tiết trong: N V Dung and P F Smith, Σ -CS modules” , Comm Algebra 22 (1994), 83 – 93) Bổ đề 2.3.1 Nếu M môđun CS N ≤⊕ M N môđun CS Chứng minh Giả sử M = M1 ⊕ M giả sử A1 môđun M1 Để chứng minh bổ đề ta cần chứng tỏ A1 ≤⊕ M1 A1 môđun đóng M1 Vì M CS nên tồn A1* ≤⊕ M1 cho A1 ≤e A1* Giả sử πi : M = M1 ⊕ M → M i phép chiếu tắc với i = 1, Thế ( ) π ( A ) A = π ( A ) Điều suy A ⊕ π ( A ) π ( A ) = ta có π ( A ) = A ta suy A1 ≤ π1 A1* Hơn từ A1 ≤e A1* A1* ∩ M = A1 ≤e * A1= 1 * nên A1 ≤⊕ M1 * * 1 * 1 * * ≤⊕ M1 Bổ đề 2.3.2 Nếu M môđun suy biến M ≅ P / U với P môđun xạ ảnh , U ≤e P Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng: M ≅ F / W môđun suy biến, với F môđun tự W ≤e F Giả sử F / W môđun suy biến, F môđun có sở { xi } Đối với i tồn iđean phải I i ≤ e RR cho xi I i ≤ e W Hiển nhiên ta có xi I i ≤ e xi R Theo Mệnh đề 2.1.2 (c) ⊕ xI i∈I i i ≤e Vì ⊕ xi R = F i∈I ⊕ xI i∈I i i ≤ W nên ta có W ≤ e F Bây giả sử U ≤ P , với P môđun xạ ảnh cho M = P / U môđun suy biến Ta chứng minh U ≤e P Thực vậy, P xạ ảnh nên P hạng tử trực tiếp môđun tự đó, mà ta giả thiết F môđun tự F= P ⊕ F1 Ta lại có: M= P / U ≅ ( P ⊕ F1 ) / (U ⊕ F1 ) F môđun tự nên theo chứng minh môđun suy biến Vì P ⊕ F1 = ta có U ⊕ F1 ≤ e P ⊕ F1 = F Giả sử có môđun 0 ≠ K ≤ P cho K ∩ U = Bây ta chứng minh U ≤ e P Giả sử ≠ y ∈ P Khi ≠ y + ∈ P ⊕ F1 Từ mệnh đề 2.1.2 (a) suy tồn r ∈ R cho ≠ ( y + ) r ∈U ⊕ F1 , U ⊕ F1 ≤ e P ⊕ F1 Từ suy ≠ yr ∈U Cũng theo Mệnh đề 2.1.2 (a), ta có kết luận U ≤ e P Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.3.3 Một môđun xạ ảnh CS ảnh đồng cấu tổng trực tiếp môđun xạ ảnh môđun suy biến Chứng minh Giả sử P xạ ảnh Nếu P CS U ≤ P ⇒ ∃U* ≤ P : U ≤e U* ≤⊕ P Giả sử = có : P P U ⊕ P1 Ta= * (U * ⊕ P1 U * với P1 xạ ảnh Môđun U Vậy P U ) U ≅ P1 ⊕ U * U suy biến, Mệnh đề 2.1.1 (a) tổng trực tiếp môđun xạ ảnh môđun suy biến U Ngược lại, giả sử ảnh đồng cấu P tổng trực tiếp môđun xạ ảnh môđun suy biến Ta chứng minh P môđun CS Thật vậy, giả sử U ≤ P P Ta có: P= U U ⊕ P2 U , P1 U xạ ảnh P2 U suy biến Ta có P1 U ≅ ( P U ) ( P2 U ) ≅ P P2 Vậy P P2 xạ ảnh Suy = P P' ⊕ P2 Mặt khác P2 môđun CS U suy biến nên theo bổ đề 2.3.2 U ≤e P2 Do P Bổ đề 2.3.4 Nếu R vành Noether phải, Ε ( R R ) Noether R artin phải Chứng minh.(Xem [15], Định lý 1) Bổ đề 2.3.5 Nếu R vành nửa hoàn chỉnh, không suy biến phải Khi R vành chuỗi R-môđun phải hữu hạn sinh tổng trực tiếp môđun xạ ảnh môđun suy biến Chứng minh (xem [16], Định lý 4.6) Bổ đề 2.3.6 Giả sử R nửa di truyền phải cho M n ( R ) không chứa tập vô hạn lũy đẳng trực giao ∀n ∈ N Khi R nửa di truyền trái Chứng minh (xem [14], Định lý 3) Định lí 2.3.7 R vành Artin chuỗi di truyền R thỏa mãn ba điều kiện sau : (a) R không chứa tập vô hạn lũy đẳng trực giao (b) R vành không suy biến phải (c) Mỗi R -môđun phải đếm sinh không suy biến xạ ảnh Chứng minh Trước tiên ta chứng minh môđun đếm sinh xạ ảnh M môđun CS Vì M đếm sinh nên f ( M ) đếm sinh với f đồng cấu  f (M) Theo Mệnh đề 2.1.4, ta có Z   ⇒ f (M) f (M) Z ( f ( M )) Z ( f ( M ))  =0 Z ( f ( M ) )  môđun không suy biến, theo (c) ta có xạ ảnh Do f ( M ) ≅ A ⊕ Z ( f ( M ) ) A xạ ảnh Z ( f ( M ) ) suy biến Theo bổ đề 2.3.3 ta suy M môđun CS Tiếp theo ta chứng minh ei R Từ (a) ta có R = e1R ⊕ e R ⊕ ⊕ e n R với {ei }i =1 tập lũy đẳng n nguyên thủy trực giao, ei R không phân tích Rõ ràng, R không suy biến xạ ảnh Do R (R ) CS nên theo bổ đề 2.3.1, R R CS ei R CS ei R ω không phân tích nên ei R Giả sử e = ei E = E ( eR ) Ta chứng minh E Noether Trước hết E môđun eR Xét U1 < U < < U n < dãy tăng môđun E Giả sử tất U i khác ta chọn x k +1 ∈ U k +1 \ U k (k = 1, 2, ) Xét môđun X= x R + x R + + x n R + Khi X đếm sinh, X không suy biến (vì E không suy biến) Theo giả thiết (c) X xạ ảnh Nhưng x R ≤e X < E nên theo Định lý 2.2.1, ta suy X hữu hạn sinh (vì x R cyclic, x R R J vành Artin khác nên có iđêan tối tiểu I J Lấy phần tử x ∈ I \ J , ta có đẳng cấu xR ( xR + J ) ≅ ( xR + J ) J = I J suy soc ( xR ) môđun tối đại R Bởi R nửa di truyền nên ta nhận thấy xR xạ ảnh có phân tích R R= P ⊕ Q , với P ≅ xR Vì R giao hoán , P ⊕ Q vành Đế PR môđun tối đại P ( P ≅ xR ), nên soc ( P ) iđêan tối đại P theo [11, hệ 1.3] ta có soc ( P )= Ω ( P ) Ta suy Ω ( P ) chứa iđêan P soc ( P ) Bởi R J ≅  P soc ( P )  ⊕ Q soc ( Q )  , ta có l ( Q soc= ( Q ) ) l ( R J ) − dùng giả thuyết qui nạp vành Q ( e ) ⇒ ( a ) : Nếu Ω chứa nhiều iđêan với I ∈ Ω ta có R môđun môđun đơn theo mệnh đề 2.4.2, R vành SI I KẾT LUẬN Vành không suy biến, môđun suy biến môđun không suy biến khái niệm đề xuất từ ý tưởng tổng quát hóa khái niệm “xoắn”, “không có xoắn” lớp nhóm aben - xem Z-môđun Trong luận văn này, tác giả trình bày số khái niệm, tính chất liên quan tới khái niệm suy biến, không suy biến môđun vành - đồng thời xét số lớp vành không suy biến lớp chúng lớp vành di truyền - nửa di truyền (một phía) Các kết đạt phần trình bày: Định lý 2.2.1 (thuộc Sandomierski) ứng dụng định lý để chứng minh kết liên quan Định lý 2.3.7 đặc trưng vành artin chuỗi di truyền qua môđun không suy biến đếm sinh (thuộc N.V.Dung Smith) Kỹ thuật chứng minh định lý túy sử dụng môđun, không dùng kỹ thuật vành thương Định lý 2.4.7 mô tả tính chất đặc trưng vành SI giao hoán (Định lý Goodearl) TÀI LIỆU THAM KHẢO H Bass, “Finitistic dimension and a homological generalization of semiprimary rings”, Trans Amer Math Soc 95 (1960), 466-488 H Cartan and S Eilenberg, “Homological Agebra”, Princeton Univ Press, Princeton, N J., 1956 S U Chase, “Direct products of modules”, Trans Amer Math Soc 97 (1960), 457-473 S Endo, “On flat modules over commutative rings”, J Math Soc Japan 14 (1962), 284-291 G D Findlay and J Lambek, “A generalized ring of quotients” I, II, Canad Math Bull (1958), 77-85, 155-167 E R Gentile, “Singular submodule and injective hull”, Indag Math 24 (1962), 462-433 A W Goldie, “The structure of prime ring under ascending chain conditions”, Proc London Math Soc (3) (1958), 589-608 A W Goldie, “Semiprime rings with maximum condition”, Proc London Math Soc (3) 10 (1960), 201-220 A W Goldie, “Torsion – free modules and rings”, J Algebra (1964), 268-287 10 F Sandomierski, “Semisimple maximal quotient rings”, Trans Amer Math Soc 128 (1967), 112-120 11 K R Goodearl, “Singular torsion and the splitting properties”, Amer Math Soc (1972), Rhode Island 12 M Auslander, “On the dimension of modules and algebras III”, Nagoya Math J (1955) 67-77 13 J Lambek, “Lectures on Rings and Modules”, Waltham (Mass.), 1966, Blaisdell 14.L.W Small, “Semi – hereditary rings” Bull Amer Math Soc, 73 (1967), 656 – 658 15 C.Vinsonhaler, “ Orders in QF-3 rings”, J Algebra 17 (1971), 149151 16 R.B Warfield, “ Serial rings and finitely presented modules “, J of Algebra, 37 (1975), 187 – 222 [...]... thức cơ bản về vành và môđun, trong đó có các khái niệm : - Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh - Vành di truyền, vành nửa di truyền - Các môđun cốt yếu, mở rộng cốt yếu của các môđun Khái niệm linh hóa tử Chương 2: Các môđun suy biến – môđun không suy biến 2.1 Môđun suy biến – Môđun không suy biến 2.2 Vành không suy biến Vành nửa di truyền, vành di truyền 2.3 Vành artin chuỗi di truyền 2.4 Vành SI phải II.2... Trong luận văn sẽ tập trung xét lớp vành không suy biến tổng quát và xét các môđun con suy biến cấp 2 của họ các môđun suy biến Như một ứng dụng, luận văn sẽ giới thiệu một số kết quả liên quan tới việc sử dụng các lớp môđun suy biến, không suy biến trên các vành không suy biến để trình bày các chứng minh những kết quả của Goodearl(1972,1976) về vành artin chuỗi và về vành SI phải trong sự liên hệ tới... 2 CÁC MÔĐUN SUY BIẾN – KHÔNG SUY BIẾN 2.1 .Môđun suy biến – Môđun không suy biến Cho A là một R -môđun, ta ký hiệu Z ( A ) = { a ∈ A / aI = 0 ,với I là một ideal phải cốt yếu của R } Z ( A ) được gọi là môđun con suy biến của A Nếu Z ( A ) = A thì A được gọi là môđun suy biến Nếu Z ( A ) = 0 thì A được gọi là môđun không suy biến Mệnh đề 2.1.1 Nếu N là một môđun con cốt yếu của M thì M N suy biến Chứng... cho M U là môđun con không suy biến thì ta phải có : Z 2 ( M ) ≤ U Chứng minh (a): Nếu N là một môđun con bất kì của Z 2 ( M ) và N ∩ Z ( M ) = 0, hiển nhiên N là môđun không suy biến Mặt khác vì N ∩ Z ( M ) = 0 nên ta có đơn cấu N → Z 2 ( M ) → Z 2 ( M ) Z ( M ) và vì Z 2 ( M ) Z ( M ) là môđun suy biến nên ta có N là môđun suy biến Như vậy N vừa là môđun suy biến, vừa là môđun không suy biến, ta phải... đơn cấu vào Z 2 ( M ) / (U ∩ Z 2 ( M )) nên W là không suy biến Vì 0 ≠ W ≤ Z 2 ( M ) I W ∩ Z ( M ) là một và Z ( M ) ≤e Z 2 ( M ) (theo (a)) nên suy ra rằng = môđun khác 0 Mà khi đó I lại vừa là môđun suy biến vừa là không suy biến Đây là một điều vô lý Vậy ta phải có Z 2 ( M ) ≤ U Định lý 2.1.7 Giả sử R là một vành bất kỳ và M là một R -môđun phải tùy ý Khi đó M / Z 2 ( M ) là môđun không suy biến Chứng... Điều này không thể xảy ra, vì W ∩ Z 2 ( M ) = Z ( M ) ≤ Z 2 ( M ) Vậy ta phải có Z ( M / Z 2 ( M )) = 0 2.2 Vành không suy biến Vành nửa di truyền và vành di truyền Gentile đã chứng tỏ rằng nếu vành R thỏa mỗi iđêan phải chính là xạ ảnh, thì Z ( R R ) = 0 và nếu R là giao hoán và mọi iđêan chính là R -môđun phẳng, thì Z ( R ) = 0 , nên vành nửa di truyền phải ( trái) có iđêan phải ( trái) suy biến là... khác 0 trong A suy ra A ≤e B Mệnh đề 2.1.4 Với A là một R -môđun phải bất kì trên vành không suy     biến phải R thì Z  A = 0 Z(A) Chứng minh Trước tiên ta đặt B   = Z A  và chứng minh rằng Z ( A ) ≤e B Z(A)  Z(A) Rõ ràng một môđun C bất kì của B mà C ∩ Z ( A ) = 0 thì C không suy biến, tuy nhiên ta lại có C là suy biến do tồn tại một phép nhúng từ C vào trong môđun suy biến B Z(A) Vậy... lớp vành artin chuỗi di truyền Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong luận văn này, vành R đã cho luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị 1 ≠ 0 và mọi R -môđun được xét là môđun unita Chương này giới thiệu một số khái niệm cơ bản về vành và môđun Với vành R đã cho, ta viết M R ( R M ) để chỉ M là một R -môđun phải (trái) Trong một ngữ cảnh cụ thể của luận văn, khi không sợ nhầm lẫn về phía của môđun, ... có N = 0, suy ra Z(M) là môđun con cốt yếu của Z 2 ( M ) (b): Ta chỉ cần xét khi Z ( M ) ≠ 0 Giả sử ngược lại rằng Z 2 ( M ) ⊄ U Khi đó ta có ( Z 2 ( M ) + U ) / U ≅ Z 2 ( M ) / (U ∩ Z 2 ( M )) là một môđun con khác 0 của M U và môđun này không suy biến, vì M U không suy biến Vì Z 2 ( M ) / (U ∩ Z 2 ( M )) là môđun không suy biến nên theo Mệnh đề 2.1.1 thì U ∩ Z 2 ( M ) không phải là môđun con... tiếp của các môđun chuỗi Định nghĩa 1.4.4 Vành R được gọi là vành di truyền phải (trái) nếu mọi iđêan phải (trái) của R là R -môđun xạ ảnh Vành R được gọi là nửa di truyền phải (trái) nếu mọi iđêan phải (trái) hữu hạn sinh của R là R -môđun xạ ảnh Ta có các tính chất của vành di truyền và nửa di truyền Nếu R là vành di truyền phải thì: (i) Mọi môđun con của R -môđun xạ ảnh là xạ ảnh (ii) Mọi môđun thương ... Môđun không suy biến 2.2 Vành không suy biến Vành nửa di truyền, vành di truyền 2.3 Vành artin chuỗi di truyền 2.4 Vành SI phải II.2 Kết luận Trong luận văn tập trung xét lớp vành không suy biến. .. xạ, môđun xạ ảnh - Vành di truyền, vành nửa di truyền - Các môđun cốt yếu, mở rộng cốt yếu môđun Khái niệm linh hóa tử Chương 2: Các môđun suy biến – môđun không suy biến 2.1 Môđun suy biến – Môđun. .. thuyết qui nạp vành Q ( e ) ⇒ ( a ) : Nếu Ω chứa nhiều iđêan với I ∈ Ω ta có R môđun môđun đơn theo mệnh đề 2.4.2, R vành SI I KẾT LUẬN Vành không suy biến, môđun suy biến môđun không suy biến khái