Môđun không suy biến luận văn thạc sỹ toán học

2 Mục lục Trang Mục lục Một số ký hiệu Mở đầu Chơng 1: Các khái niệm tính chất 1.1 Các khái niệm ví dụ 1.2 Một số tính chất Chơng 2: Môđun không suy biến Định lý 2.1.3 Mệnh đề 2.1.6 Mệnh đề 2.1.7 Định lý 2.1.8 Định lý 2.1.9 Định lý 2.1.10 Kết luận Tài liệu tham khảo 6 13 21 23 26 27 29 29 30 32 33 Một số ký hiệu N M: N tập M N M: N môđun M N * M: N môđun cốt yếu M M i : Tổng trực tiếp môđun Mi, i I iI Z(M): Môđun suy biến môđun M Zn: Vành lớp đồng d môđun n N M: N môđun đối cốt yếu môđun M m \ n : m ớc n E (M): Bao nội xạ môđun M L M : L hạng tử trực tiếp môđun M r(x): linh hoá tử phải x l(x): linh hoá tử trái x N(R): Căn nguyên tố vành R : Định lý đợc chứng minh Mở đầu Vấn đề nghiên cứu lớp môđun đợc nhiều nhà toán học quan tâm đạt đợc nhiều kết sâu sắc, đặc biệt có ứng dụng tốt cho việc đặc trng vành thông qua tính chất lớp xác định môđun chúng Trong trình nghiên cứu môđun để dẫn đến đặc trng vành, mặt ta nghiên cứu môđun cho nhờ phân tích thành môđun đơn giản mặt khác ta hớng tới việc nghiên cứu môđun thoả mãn số tính chất Theo hớng nghiên cứu này, môđun không suy biến môđun thoả mãn tính chất Z(M) = (xem định nghĩa chơng 1) Trong lớp môđun, lớp môđun nội xạ lớp đối ngẫu lớp môđun xạ ảnh đợc xem nh hai trụ cột nghiên cứu lý thuyết môđun lý thuyết vành Năm 1960, Utumi nhận xét lớp vành qui liên tục mở rộng lớp vành qui tự nội xạ, ông mở rộng khái niệm liên tục cho vành Mohamed Bouhy suy rộng khái niệm liên tục vành cho môđun Năm 1977, Chartters Hajanavis đa khái niệm extending module (CS - môđun) Từ đến nay, nhờ mà lý thuyết vành lý thuyết môđun phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng Đặc biệt Đinh Văn Huỳnh, Smith, Wisbauer Nguyễn Việt Dũng ngời nghiên cứu đạt nhiều kết sâu sắc CS - môđun viết thành sách tham khảo tra cứu bổ ích cho ngời chuyên nghiên cứu vành, môđun với tên gọi "Extending Modules" Ta biết thân vành R đợc xem R - môđun (phải) nên số kết môđun chuyển cho vành Từ dùng môđun không suy biến để đặc trng cho vành không suy biến Trong lớp iđean (phải) vành, ta đặc biệt ý đến lớp iđean (phải) cốt yếu vành sử dụng lớp iđean để xây dựng khái niệm môđun không suy biến Xuất phát từ ý tởng trên, hớng nghiên cứu luận văn chủ yếu dựa vào môđun cốt yếu để nghiên cứu môđun không suy biến Luận văn đợc chia làm hai chơng: Chơng 1: Trình bày khái niệm, ví dụ số tính chất có liên quan Chơng 2: Nghiên cứu số tính chất môđun không suy biến, kết chơng là: Các định lý: 2.1.3 ; 2.1.8; 2.1.9; 2.1.10 Các mệnh đề: 2.1.6; 2.1.7 Luận văn đợc bắt đầu thực từ tháng năm 2004 đợc hoàn thành Trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn PGS TS Ngô Sĩ Tùng Nhân dịp này, tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn kính trọng sâu sắc tới thầy, ngời dìu dắt tận tình, chu đáo cho tác giả, kịp thời đạo động viên suốt trình học tập nghiên cứu Trong suốt trình học tập viết luận văn, tác giả nhận đợc dạy bảo tận tình thầy giáo, nhà khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khoái; GS.TSKH Ngô Việt Trung; GS.TS Nguyễn Quốc Thi; PGS.TS Nguyễn Quí Dy; PGS.TS Lê Quốc Hán; PGS.TS Nguyễn Thành Quang; TS Mai Văn T; TS Chu Trọng Thanh, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy Cũng này, tác giả xin đợc cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, khoa Đào tạo sau đại học, Trờng Đại học Vinh tất bạn bè đồng nghiệp động viên giúp đỡ, tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn kế hoạch Cuối tác giả mong đợc góp ý chân tình thầy giáo, cô giáo tất bạn Vinh, tháng 10 năm 2004 Tác giả Chơng Các khái niệm tính chất Trong chơng này, đa số khái niệm, ví dụ tính chất sở 1.1 Các khái niệm ví dụ 1.1.1 Định nghĩa Cho vành R giao hoán, có đơn vị: a) Phần tử e vành R đợc gọi luỹ đẳng e2 = e b) Phần tử x R gọi luỹ linh tồn số tự nhiên n để xn = 1.1.2 Định nghĩa Cho họ R - môđun (Ai | i I) Khi tích Đề Ai = {(ai) | i I, Ai} I Cùng với phép cộng phép nhân vô hớng theo thành phần (ai) + (bi) = (ai + bi) (ai)r = (air) R - môđun, gọi tích trực tiếp họ (Ai | i I) - Trờng hợp Ai= A, i I, ta ký hiệu Ai I = A I Phép chiếu pj : Ai Aj R - đồng cấu, j I I 1.1.3 Định nghĩa Môđun AR đợc gọi tổng trực tiếp họ môđun (Ai | i I) điều kiện sau đợc thoả mãn: 1) A = Ai 2) Aj I Ai i j = 0, j I 1.1.4 Định nghĩa: Cho A R - môđun phải Môđun M đợc gọi A - nội xạ với X A, với đồng cấu f: X M tồn đồng cấu f*: A M để f* i = f (với f* mở rộng f), hay ta có biểu đồ sau giao hoán, i phép nhúng đồng cấu * Nếu M A - nội xạ, với môđun A X i ta nói môđun M nội xạ * M đợc gọi môđun tự nội xạ (hay tựa nội xạ) M M - nội xạ f * Vành R đợc gọi tự nội xạ phải (trái) R R - nội xạ nh R - môđun phải (trái) A f* M * Cho R - môđun phải M, ta gọi bao nội xạ M môđun nội xạ E tồn đơn cấu cốt yếu f: M E tức f(M) * E Bao nội xạ môđun M tồn đợc ký hiệu E(M) Ví dụ: Z - môđun Z Z - môđun nội xạ Z - môđun Q Z - môđun nội xạ 1.1.5 Định nghĩa Cho R - môđun phải M R - môđun phải P gọi M - xạ ảnh môđun N M đồng cấu f: P M/N tồn đồng cấu g: P M để g = f, toàn cấu chiếu * R - môđun phải P gọi xạ ảnh P M - xạ ảnh môđun M * Môđun M đợc gọi tựa xạ ảnh (tự xạ g f ảnh) M M - xạ ảnh * Cho R - môđun phải M, ta gọi bao xạ ảnh M M/N M môđun phải xạ ảnh P toàn cấu f: P M cho ker(f) P Bao xạ ảnh môđun M không thiết tồn 1.1.6 Định nghĩa.Cho M R - môđun trái Gọi S = End(M) = {Các tự đồng cấu môđun M M} với phép toán: Phép cộng: (f+g)(x) = f(x) +g(x), với x M Phép nhân: (fg)(x)=f(g(x)) hợp thành ánh xạ Khi S vành gọi vành tự đồng cấu M 1.1.7 Định nghĩa Cho A, B môđun vành R tuỳ ý cho trớc Tập tất đồng cấu từ môđun A vào môđun B Ký hiệu: HomR(A,B) hay Hom(A,B) 1.1.8 Định nghĩa Cho tập hợp A vành R đó: + l (A)={b R| ba = 0; a A} đợc gọi linh hoá tử trái A + r (A)= {b R| ab = 0; a A} đợc gọi linh hoá tử phải A + n (A)= l (A) r (A): gọi linh hoá tử A 1.1.9 Định nghĩa 1) Môđun M gọi đơn M không chứa môđun thực nào, tức M chứa hai môđun M 2) Giả sử (T)I tập hợp môđun đơn M Nếu M tổng trực tiếp (T)I M = I T phân tích nửa đơn môđun M 3) Môđun M đợc gọi nửa đơn M có phân tích nửa đơn 4) Đế môđun A tổng tất môđun đơn A Ký hiệu: Soc(A) Soc(A) = E E A Soc(A) = A môđun đơn 1.1.10 Định nghĩa 1) Cho R - môđun M T môđun M, T M Môđun T gọi tối đại M môđun X M thoả mãn T X = T X X = M 2) Ta gọi giao tất môđun tối đại M Jacobson (hay đơn giản căn) môđun M ký hiệu: Vậy: Rad(M) = Rad(M) A A M - Nếu M môđun tối đại ta quy ớc Rad(M) = M 1.1.11 Định nghĩa 1) Iđean P vành R đợc gọi iđean nguyên tố P R với hai iđean tuỳ ý A B R, AB P kéo theo A P, B P 2) Vành R đợc gọi vành nguyên tố iđean nguyên tố Ví dụ: Vành số nguyên Z vành nguyên tố, iđean nguyên tố Z iđean sinh số nguyên tố 3) Giao tất iđean nguyên tố vành R đợc gọi nguyên tố Kí hiệu: N(R) 4) Vành R đợc gọi vành nửa nguyên tố nguyên tố N(R) = 5) Phần tử a R đợc gọi phần tử luỹ linh chặt chẽ dãy tuỳ ý: a0, a1, a2,,an, với a = a0, + Rai, i N tồn số n cho an +i = với i N 1.1.12 Định nghĩa Giả sử U = {ai | i I} tập hợp R - môđun A Ta nói U độc lập tuyến tính tập hợp hữu hạn J I, ri = 0, ri R suy ri = 0, với i J iJ *Giả sử A R - môđun, U tập A Ta nói U sở A U hệ sinh độc lập tuyến tính A Khi A đợc gọi R - môđun tự với sở U Ta nói U tập hợp sinh tự A Ví dụ: 1) R- môđun tự với sở rỗng 10 2) Vành R R- môđun tự với sở {1} 3) Giả sử I tập hợp đó, R(I)( = I Ri ; Ri = R, i I) R- môđun tự với sở U = {ei| i I} ei = (ij)j I, ij = j = i j i U gọi sở tắc R(I) 1.1.13 Định nghĩa Môđun N môđun M đợc gọi môđun cốt yếu M, K M, K K N 0; M Ký hiệu: N - Nếu N môđun cốt yếu M ta nói M mở rộng cốt yếu N Quy ớc: Nếu * M M = Z M, n Z Ví dụ: Môđun M 1.1.14 Định nghĩa. Môđun U đợc gọi (Uniform) môđun A, B U A B 0, hay môđun U môđun cốt yếu U Ví dụ: Z - môđun Z Vì A, B Z thì: A = mZ B = nZ, với m, n N* A B = mn Z 1.1.15 Định nghĩa Cho A M R- môđun Một đơn cấu f: A M đợc gọi đơn cấu cốt yếu f(A) * M Lúc ta nói A nhúng cốt yếu đợc vào M 1.1.16 Định nghĩa Môđun A M đợc gọi đối cốt yếu (hay bé) với môđun E M ta có A + E M, hay nói cách khác A+ 0M E = M E = M Khi ta ký hiệu A Ví dụ: 11 1) Đối với môđun M ta có M 2) Trong Z - môđun tự có môđun tầm thờng đối cốt yếu 1.1.17 Định nghĩa Cho M R - môđun, kí hiệu: +)ZR(M)= {x M | Ix = 0, với I * R R , I đó} ZR(M) môđun M đợc gọi môđun suy biến M +) Nếu Z(M) = M ta nói M môđun suy biến +)Nếu Z(M) = ta nói M môđun không suy biến +)Nếu Z(M) M ta nói M môđun suy biến môđun không suy biến +)Vành R gọi không suy biến phải (trái) R - môđun phải (trái) R không suy biến + Vành R gọi suy biến phải (trái) R - môđun phải (trái) R suy biến +)Vành R gọi không suy biến (suy biến) vành không suy biến (suy biến) phải không suy biến (suy biến) trái Ví dụ: - Xét Z - môđun Z6 Ta thấy môđun khác Z có dạng nZ (n 0) cốt yếu Z Do ta có: Z(Z6) = {x Z6| n N*: x.nZ6 = 0} = Z6 Nh Z - môđun Z6 môđun suy biến - Xét Z6- môđun Z6 Ta thấy Z6 có môđun cốt yếu Z6 Z(Z6) = {x Z6 | x Z6 = 0} = Nh Z6 - môđun Z6 không suy biến - Xét Z4- môđun Z4 Ta thấy Z4 có hai môđun cốt yếu {0; 2} Z4, 20 h: P = I Pi A (xi) I hi (xi) với x = (xi) P ta có hi (xi) = ( I hi (xi)) = I hi(xi) = = ( I ài (xi)) = (xi) h= Điều chứng tỏ P xạ ảnh I ài (xi) 21 Chơng Môđun không suy biến 2.1.1 Mệnh đề a) M môđun suy biến M A/B, với A môđun B A b) Nếu A môđun không suy biến, A/ B suy biến B A Chứng minh a) Nếu M suy biến ta chứng minh M A/B Thật vậy: M F/K F môđun tự F = tT xt R ({xt} sở F) Do M suy biến nên F/K suy biến Vì x t + K F/K, tồn iđean It RR để (xt+ K) It = 0, xt + K K, với t T Do It RR suy xtIt xt RR xi R nên tồn xtIt xtR = F Mặt khác, có t T tT tT Hơn t T, xtIt K, tT xtIt K, K F Lấy A = F, B = K ta có B A - Ngợc lại: Để chứng minh M suy biến ta chứng minh A/ B suy biến: Lấy a A, gọi I = { Ra B} Xét đồng cấu f: RR A a Có f-1 (B) = I B A nên I RR Ta có (a + B) I = B = (0 thơng A/ B) Suy a + B Z (A/B) A/B Z (A/B) mà Z (A/ B) A/B Do A/ B = Z (A/ B) A/B suy biến Vậy M suy biến (Nh vậy, A/ B có B A A/B suy biến Nói chung ng ợc lại không Ví dụ A A/ suy biến nhng không cốt yếu A) 22 b) Bất kỳ X A, lấy x X x + B Z (A/ B) Suy tồn I R R để (x + B) I = xI B Do A không suy biến nên xI 0, mà xI X B X Vậy B A 2.1.2 Mệnh đề a) Môđun con, môđun thơng, tổng môđun suy biến môđun suy biến b) Môđun con, tính trực tiếp, mở rộng cốt yếu môđun không suy biến môđun không suy biến c) Nếu B A/ B không suy biến A không suy biến (Mở rộng môđun không suy biến môđun không suy biến) Chứng minh a) - Hiển nhiên thấy môđun môđun suy biến suy biến - Môđun thơng: Cho môđun M suy biến, xét môđun thơng M/K Ta có (x+K) I = xI = với I RR, x M Z (M /K) = M/K suy biến - Tổng môđun: Tổng môđun suy biến: Cho {Ai }Fsuy biến Xét A (Ai i F A Ta có a i F n Lấy I = I i =1 i M, i F) a = a1 + a2++an (ai Ii, i F) RR ta có aI = 0, nh A i F môđun suy biến b) - Hiển nhiên thấy môđun môđun không suy biến môđun không suy biến - Tính trực tiếp môđun không suy biến: Cho {Ai}F họ môđun không suy biến Xét A F j Aj A , với j F, xét phép chiếu j : j F (aj) aj 23 A j )) Z(A ) = 0, F Ta có j (Z ( j j F Aj ) = Z( F A j F không suy biến - Mở rộng cốt yếu môđun không suy biến: Cho A môđun không suy biến A M Ta phải chứng minh mở rộng cốt yếu M A không suy biến Thật vậy: Z(A) = A Z(M) (Theo 1.2.2), mà Z (A) = nên A Z (M) = Mà A môđun cốt yếu M, suy Z (M) = c) Nếu B A/ B không suy biến ta phải chứng minh A không suy biến Thật vậy: Ta có: B A A/B dãy khớp Xét đồng cấu tự nhiên : A A/B Ta có: (Z(A)) Z (A/ B), mà Z (A/B) = (Do A/ B không suy biến) nên (Z (A)) = Do Z (A) B Vì B không suy biến nên Z (B) = Vì vậy: Z (A) = Hay A không suy biến 2.1.3 Định lý Vành Zn không suy biến n ớc phơng Chứng minh Giả sử n có ớc phơng ta viết đợc n = x2 m; x: nguyên tố Trớc hết ta chứng minh: x Zn Zn Thật vậy: Bất kỳ A Zn có dạng: A = k Zn với k 0; k \ n Xét x Zn k Zn Ta thấy: - Với x ớc k k Zn x Zn 24 x Zn k Zn = k Zn {0} - Với x không ớc k xk n (vì n = x2 m) (x; k) = xk x Zn k Zn = xk Zn {0} Vậy x Zn Zn , với x\ n x nguyên tố Bây ta chứng minh: n có ớc phơng Zn không suy biến, thật vậy: Giả sử n = x2 m; x nguyên tố x.m Ta có ( x.m )x = x.mx.t = , t Zn x.m h = , h x Zn Zn u = x.m 0, u Zn ; u I = với I = x Zn Zn Z(Zn ) Zn không suy biến Điều mâu thuẫn giả thiết Zn không suy biến Vậy n ớc phơng Ngợc lại, n ớc phơng ta chứng minh Zn không suy biến Thật vậy: Xét A Zn , A Zn A = m Zn, với m 1; m \ n Do n ớc phơng nên n = m.t; (m, t) = Ta thấy m Zn = { 0; m ; 2m ;., ( t 1) m } t Zn = { 0, t , 2t ;, ( m 1) t } x m Zn x (mod m); x (mod t) g t Zn y (mod t ), y (mod m) m Zn t Zn = Nh A Zn ; A Zn A không cốt yếu Zn , có Zn Zn Suy Z(Zn ) = { x Zn : x Zn = 0} = {0} Z (Zn) = Vậy Zn không suy biến 25 2.1.4 Hệ Vành Zn không suy biến Z - môđun Zn (RadZ (Zn ) = 0) Chứng minh Cho n số tự nhiên lớn có phân tích tiêu chuẩn là: n = P1m P2m Pkm ; pi số nguyên tố k pi pj với i j i,j = 1, k ; mi > Ta biết iđean tối đại Z iđean sinh số nguyên tố, iđean tối đại chứa n Z số iđean pi Z , i = 1,2,,k k Mặt khác hiển nhiên ta có p i =1 k i Z = p1p2pk Z Do rad (Z / n Z) = pi Z / n Z = p1p2pk Z / n Z i =1 Từ suy radZ (Zn) = radZ (Z/n Z) = n = p1p2pk n ớc phơng Theo mệnh đề 2.1.4, ta có radZ (Zn ) = Vành Zn không suy biến 2.1.5 Mệnh đề Lấy R vành không suy biến trái với vành thơng trái tối đại Q, lấy Xvà Y Q- môđun trái với RY không suy biến : a) HomQ(X,Y)= Hom R(X,Y) b) Nếu X =Y Z, với R - môđun Z X Z Q- môđun X Chứng minh a) Lấy f Hom R(X,Y),lấy qQ, x X, tồn iđean trái cốt yếu L R cho Lq R Lấy a L a (qx) f= (aqx)f= aq(x)f, Theo L((qx) f - q(x) f) = Nhng Y R - môđun không suy biến Nên (qx)f = q(x)f f HomQ (X, Y) Nên HomQ (X, Y) = Hom R (X, Y) b) Bây giả sử X = Y Z 26 lấy : X Y phép chiếu HomR (X, Y) = HomQ (X, Y) Do Z = ker Q - môđun X 2.1.6 Mệnh đề Cho k trờng x biến Ta gọi vành k [ x ] / x k[ x] R = k[ x] / x k[ x] k Khi R vành không suy biến phải Chứng minh a) Xét r(X) = { R| X = 0} Ta có: X Z(RR) r(X) RR a +a x X = m + m1 x b0 + b1 x , = c0 n0 + n1 x p0 a m0 + (a1 m0 + a m1 ) x ta có: X = a n0 + b0 n0 + (a n1 + a1 n0 + b1 p ) x = c0 p a0 m0 + (a1m0 + a0 m1 ) x a0n0 + b0 p0 + (a0n1 + a1n0 + b1 p0 ) x c p 0 =0 c0 p0 a m =0 0 =0 a1m0 + a0 m1 a n + a n + b p = 1 a0 n0 + b0 p0 =0 =0 =0 = (I) Nếu c0 0, từ c0p0 = c0-1 c0p0 = p0 = k [ x] / x 2k [ x] r(X) có dạng k [ x] / x 2k [ x] 0 0 A = 0 k Khi RR 0 A r(X) = 0 , điều mâu thuẫn tính chất cốt yếu r(X) Hay c0 = Thay vào hệ (I) ta có: a m = a m + a m = 0 a n0 + b0 p = a n1 + a1 n0 + b1 p = (II) 27 Nếu a0 ,từ a0m0 = m0 = a0m1 = m1 = 0 r(X) có dạng 0 B = 0 Khi đó: k [ x] / x2k [ x] k k [ x] / x 2k [ x] RR 0 B r(X) = 0 , điều mâu thuẫn với tính chất cốt yếu r(X) a1m0 = hay a0 = Thay vào hệ (II), ta có: a1n0 + b1 p0 = b p = 0 (III) Nếu b0 p0 = (mâu thuẫn ,theo trên) b0 = Khi hệ (III) trở thành a1 m = a1 n + b1 p = (IV) xk[ x ] / x k[ x ] k[ x ] / x k[ x ] Nếu a1 m0 = r(X) có dạng: k Khi 0 k C = 0 0 0 , điều mâu thuẫn 0 R R C r(X) = tính chất cốt yếu r(X) a1 = 0 Thay vào hệ (IV) ta có b1p0 = b1= 0, nên X = 0 Vậy Z (RR) = Q Q vành không suy 2.1.7 Mệnh đề Vành ma trận cấp hai R = Z biến Chứng minh 28 * Xét r(X) = { R X = 0} Ta có X Z (RR) r(X) RR a b c Đặt X = a, b Q ; c Z , am an + bp 0 = Ta có: X = c 0 m, n Q p Z m n , p am = an + bp = cp = = Q Q Nếu c p = r(X) có dạng 0 A = 0 Khi 0 RR Z 0 A r(X) = 0 , điều mâu thuẫn với tính chất cốt yếu r(X) Hay c = Nếu a m = 0 Q r(X) có dạng Z Khi 0 B = 0 Q 0 RR B r(X) = , điều mâu thuẫn với tính chất cốt yếu r(X) Hay a = 0, từ bp = 0 0 Tơng tự ta có b = Hay X = Nên Z (RR) = * Lại xét l(X) = { R X = 0} Ta có: X Z (RR) l(X) RR a b a, b Q , ; = c c Z lại đặt X = m n , p m, n Q p Z 29 am = Ta có X = bm + nc = pc = a = 0 Tơng tự ta có: b = X = c = 0 Nên Z (RR) = Vậy R vành không suy biến 2.1.8 Định lý Cho R vành giao hoán Khi R vành nửa nguyên tố R vành không suy biến Chứng minh Vì R vành giao hoán nên ta cần chứng minh Z (RR) = Thật vậy: x Z (RR) r(x) RR , với r(x) = { Rx = 0} Giả sử x từ x r(x) = Rx r(x) = (xR) r(x) = xR r(x) = (*) (Vì R vành nửa nguyên tố) Vì x R r(x) RR nên (*) không xẩy Hay x = Vậy R vành không suy biến 2.1.9 Định lý Nếu R vành nửa nguyên tố Soc (RR) * RR Khi R vành không suy biến phải Chứng minh Đặt Soc (RR) = iI Mi, Mi môđun đơn RR Nếu Mi2 = Mi2 P, với P iđean nguyên tố (vì R vành nửa nguyên tố) Mi P, với iđean nguyên tố Mi P = = N (R), (P iđean nguyên tố) Mi = 0, mâu thuẫn với Mi môđun đơn, suy Mi2 tồn a Mi cho a Mi (*) aMi = Mi (vì Mi đơn) e Mi cho ae = a ae2 = ae.e = ae a (e2 -e) = 30 Xét r(a) = {b R ab = 0} r(a) Mi r ( a ) M i = M i Mi r ( a ) M = i Nếu r (a) Mi = Mi aMi = 0, mâu thuẫn với (*) r(a) Mi = Hay ab = với b Mi b = Do a (e2 - e) = e2 - e = e2 = e Hay e luỹ đẳng Từ a (eMi) = (ae) Mi = aMi = Mi eMi eR RR eR Mi R Vì eR Mi = eR R Mà e Mi Mặt khác RR môđun tự Mi xạ ảnh Soc (RR) = iI Mi xạ ảnh Đặt M = Soc (RR) xạ ảnh: x Z (MR) r(x) RR Xét fx: R M t xt Kerf = r ( x ) Im f R / ker f Vì M nửa đơn nên Imf M M xạ ảnh Imf xạ ảnh R / kerf xạ ảnh R Kerf R r ( x ) = Kerf R kerf = RR xt = 0, với t R R x=0 Hay M = soc (RR) không suy biến Vì Soc(RR) RR Vậy RR Không suy biến 2.1.10 Định lý Một môđun phải nửa đơn M vành không suy biến phải không suy biến M môđun xạ ảnh Chứng minh Gọi M môđun nửa đơn vành không suy biến R 31 * Điều kiện đủ: Giả sử M xạ ảnh, ta chứng minh M không suy biến Thật vậy: Z(MR) = {xxI = 0, I RR} x Z (MR), ta xét đồng cấu môđun: f: R M t xt Kerf = r(X) RR (vì x Z (MR)) Ta có: Imf R/Kerf Vì M nửa đơn nên Imf M M xạ ảnh Imf xạ ảnh R/Kerf xạ ảnh Kerf R Mặt khác: Kerf RR Kerf = RR xt = 0, với t R x = (t = 1) Hay M không suy biến * Điều kiện cần: Giả sử M không suy biến ta chứng minh M xạ ảnh Ta có: M = iI Mi , Mi đơn Vì M không suy biến nên Mi không suy biến với i Ta chứng minh Mi xạ ảnh Xét x 0, x Mi ta có đồng cấu môđun: f: R Mi t xt Kerf = Với (vì Mi đơn không suy biến) Im f = M i Mi = Imf R/Kerf = R Vì R tự nên R R - môđun phải xạ ảnh nên Mi xạ ảnh Vậy M = iI Mi xạ ảnh 32 Kết luận Luận văn giải đợc số vấn đề sau đây: k[ x] / x k[ x] Cho k trờng x biến Ta gọi vành R = k[ x] / x k[ x] k Khi R vành không suy biến phải Z(RR) = Q Q R = Z vành không suy biến Cho R vành giao hoán Khi R vành nửa nguyên tố R vành không suy biến Nếu R vành nửa nguyên tố Soc (RR) RR Thì R vành không suy biến phải Một môđun phải nửa đơn vành không suy biến phải không suy biến xạ ảnh Từ kết đạt đợc luận văn, đa số vấn đề mở nh sau: k[ x] / x k[ x] + Cho k trờng x biến Ta gọi vành R = k[ x] / x k[ x] k Thì Z (RR) cốt yếu RR không ? + Cho R vành giao hoán Khi R vành không suy biến R có phải vành nửa nguyên tố không? + Nếu R vành nửa nguyên tố Soc (RR) RR R có phải vành không suy biến trái không? Trong trình nghiên cứu, cố gắng nhằm giải vấn đề cách chặt chẽ trọn vẹn song chắn không tránh khỏi tồn Kính mong đợc góp ý bảo thầy giáo, cô giáo bạn 33 Tài liệu tham khảo A Tiếng việt [1] Nguyễn Tự Cờng (2003), Giáo trình đại số đại, Nxb ĐH Quốc gia Hà Nội [2] Sze - T Sen Hu (1995), Đại số đồng điều, Nxb ĐH THCN Hà Nội [3] S Lang (1975), Đại số , Nxb ĐH THCN, Hà Nội [4] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, Nxb Giáo dục [5] Ngô Sỹ Tùng (1995), Một số lớp vành đặc trng điều kiện liên tục lớp CS - môđun, luận án PTS B Tiếng anh [1] Anderson F.W anh Fuller.K.R (1974), Rings and Categories of Modules, Springer Verlag, New york [2].Chatters.A.W and Hajanavis.C.R (1977), Rings in Which every complement right ideal is a direct summan,Quart.J.Math Oxfort 28,61-80 [3] C Faith (1973), Algebra I: Rings, Modules and Categories, Springer Verlag [4] C.Faith(1976), Algebra II: Ring Theory, Springer - Verlag [5] Dung.N.V, Huynh.D.V, Sminh.P.F and Wisbauer.R (1994), Extending Modules,Research notes in Mathermatics series 313, Pitman - London [6] Harmanci A and Smith P.F(1993), Finite direct sums of CS - Modules, Houston Math.J.19, 523 - 532 [7] Kamal M.A and Muller.B.J (1988), Extending modules over commutative domains, Osaka J Math 25, 531- 538 [8] KR Goodearl and R.B Warfield (1989), An Introduction to Noncommutative Noetherian rings, Cambridge Univ, Press [9] Mohamed S.H and Muller.B.J (1990), continuous and Discrete Modules, Cambridge Univer, Press [10] R.Wisbauer (1991), Foundations of Module and Ring theory, Gordon and Breach, Reading 34 [...]... tổng của các môđun suy biến là môđun suy biến b) Môđun con, tính trực tiếp, mở rộng cốt yếu của môđun không suy biến là môđun không suy biến c) Nếu B và A/ B không suy biến thì A không suy biến (Mở rộng của môđun không suy biến là môđun không suy biến) Chứng minh a) - Hiển nhiên thấy môđun con của môđun suy biến là suy biến - Môđun thơng: Cho môđun M suy biến, xét môđun thơng M/K Ta có (x+K) I = 0 vì xI... /K) = 0 M/K suy biến - Tổng các môđun: Tổng các môđun suy biến: Cho {Ai }Fsuy biến Xét A (Ai i F A Ta có a i F n Lấy I = I i =1 i M, i F) thì a = a1 + a2++an (ai Ii, i F) RR ta có aI = 0, nh vậy A i F là môđun suy biến b) - Hiển nhiên thấy môđun con của môđun không suy biến là môđun không suy biến - Tính trực tiếp của các môđun không suy biến: Cho {Ai}F là họ các môđun không suy biến Xét A F... ( j j F Aj ) = 0 Z( F A j F không suy biến - Mở rộng cốt yếu của môđun không suy biến: Cho A là môđun không suy biến và A M Ta phải chứng minh mở rộng cốt yếu M của A là không suy biến Thật vậy: Z(A) = A Z(M) (Theo 1.2.2), mà Z (A) = 0 nên A Z (M) = 0 Mà A là môđun cốt yếu trong M, suy ra Z (M) = 0 c) Nếu B và A/ B không suy biến ta phải chứng minh A không suy biến Thật vậy: Ta có: 0 B A A/B... A/B suy biến Vậy M suy biến (Nh vậy, nếu A/ B có B A thì A/B suy biến Nói chung ng ợc lại không đúng Ví dụ A A/ 0 suy biến nhng 0 không cốt yếu trong A) 22 b) Bất kỳ 0 X A, lấy 0 x X thì x + B Z (A/ B) Suy ra tồn tại I R R để (x + B) I = 0 hay là xI B Do A không suy biến nên xI 0, mà xI X cho nên B X 0 Vậy B A 2.1.2 Mệnh đề a) Môđun con, môđun thơng, tổng của các môđun suy biến là môđun suy. .. tỏ P là xạ ảnh I ài (xi) 21 Chơng 2 Môđun không suy biến 2.1.1 Mệnh đề a) M là môđun suy biến khi và chỉ khi M A/B, với A là môđun nào đó và B A b) Nếu A là môđun không suy biến, A/ B là suy biến thì B A Chứng minh a) Nếu M suy biến ta chứng minh M A/B Thật vậy: M F/K trong đó F là môđun tự do và F = tT xt R ({xt} là cơ sở của F) Do M suy biến nên F/K suy biến Vì thế mỗi x t + K F/K, tồn tại... M không suy biến * Điều kiện cần: Giả sử M không suy biến ta chứng minh M xạ ảnh Ta có: M = iI Mi , Mi đơn Vì M không suy biến nên Mi không suy biến với mọi i Ta chứng minh Mi xạ ảnh Xét x 0, x Mi ta có đồng cấu môđun: f: R Mi t xt Kerf = 0 Với (vì Mi đơn và không suy biến) Im f = M i Mi = Imf R/Kerf = R Vì R tự do nên R là R - môđun phải xạ ảnh nên Mi xạ ảnh Vậy M = iI Mi xạ ảnh 32 Kết luận. .. Vì 0 {0; 2} Z4, do đó Z4 - môđun Z4 không phải là môđun không suy biến cũng không phải là môđun suy biến 1.1.18 Định nghĩa Môđun con A của M đợc gọi là đóng trong M nếu A không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M, có nghĩa là nếu A * B M thì A = B 1.1.19 Định nghĩa Cho M là R - môđun, X và U là các môđun con của M Môđun X đợc gọi là phần bù giao của U trong M nếu X là môđun tối đại trong M thoả mãn... RR Không suy biến 2.1.10 Định lý Một môđun phải nửa đơn M trên vành không suy biến phải là không suy biến khi và chỉ khi M là môđun xạ ảnh Chứng minh Gọi M là môđun nửa đơn trên vành không suy biến R 31 * Điều kiện đủ: Giả sử M là xạ ảnh, ta chứng minh M không suy biến Thật vậy: Z(MR) = {xxI = 0, I RR} x Z (MR), ta xét đồng cấu môđun: f: R M t xt Kerf = r(X) RR (vì x Z (MR)) Ta có: Imf R/Kerf... luận Luận văn đã giải quyết đợc một số vấn đề chính sau đây: k[ x] / x 2 k[ x] Cho k là trờng và x là biến Ta gọi vành R = 0 k[ x] / x 2 k[ x] k Khi đó R là vành không suy biến phải Z(RR) = 0 Q Q R = 0 Z là vành không suy biến Cho R là vành giao hoán Khi đó nếu R là vành nửa nguyên tố thì R là vành không suy biến Nếu R là vành nửa nguyên tố và Soc (RR) RR Thì R là vành không suy biến. .. / n Z i =1 Từ đó suy ra rằng radZ (Zn) = 0 radZ (Z/n Z) = 0 n = p1p2pk n không có ớc chính phơng Theo mệnh đề 2.1.4, ta có radZ (Zn ) = 0 Vành Zn không suy biến 2.1.5 Mệnh đề Lấy R là vành không suy biến trái với vành thơng trái tối đại Q, lấy Xvà Y là Q- môđun trái với RY không suy biến thì : a) HomQ(X,Y)= Hom R(X,Y) b) Nếu X =Y Z, với mỗi R - môđun con Z của X thì Z là Q- môđun con của X Chứng ... biến môđun không suy biến c) Nếu B A/ B không suy biến A không suy biến (Mở rộng môđun không suy biến môđun không suy biến) Chứng minh a) - Hiển nhiên thấy môđun môđun suy biến suy biến - Môđun. .. - môđun phải (trái) R không suy biến + Vành R gọi suy biến phải (trái) R - môđun phải (trái) R suy biến +)Vành R gọi không suy biến (suy biến) vành không suy biến (suy biến) phải không suy biến. .. có aI = 0, nh A i F môđun suy biến b) - Hiển nhiên thấy môđun môđun không suy biến môđun không suy biến - Tính trực tiếp môđun không suy biến: Cho {Ai}F họ môđun không suy biến Xét A F j Aj A