Về môđun gần nửa đơn luận văn thạc sỹ toán học

Bộ giáo dục và đạo tạo Trờng Đại học Vinh đỗ Thị nhung Về môđun gần nửa đơn luận văn thạc sĩ toán học Nghệ an - 2011 Lời nói đầu Lý thuyết môđun đóng vai trò chủ yếu trong việc nghiên cứu lý thuyết vành. Môđun nửa đơn là một trong những khái niệm quan trọng của lý thuyết môđun. Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu về môđun gần nửa đơn. Đó là lớp môđun mở rộng thực sự của môđun nửa đơn. Bản luận văn của chúng tôi dựa trên tài liệu [1] để trình bày một số đặc trng của môđun gần nửa đơn, chỉ ra sự liên hệ giữa môđun gần nửa đơn với vành tự đồng cấu của nó và đặc trng của vành các tự đồng cấu của môđun gần nửa đơn thông qua phần tử lũy đẳng của chúng. Luận văn gồm hai chơng. Chơng 1. Kiến thức cơ sở. Trong chơng này chúng tôi trình bày một số kiến thức về: môđun, môđun nửa đơn, vành nửa đơn, vành chính quy. Chơng 2. Môđun gần nửa đơn. Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chơng này chúng tôi trình bày: sự liên hệ giữa môđun gần nửa đơn với vành tự đồng cấu của nó, một số ví dụ về môđun gần nửa đơn, đặc trng của vành các tự đồng cấu của môđun gần nửa đơn thông qua phần tử lũy đẳng của chúng. Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy đã tận tình chỉ dẫn chúng tôi trong học tập và tập dợt nghiên cứu khoa học. Thầy đã đặt vấn đề và trực tiếp hớng dẫn chúng tôi hoàn thành Luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa toán, khoa sau Đại học, tổ Đại số và PGS.TS. Lê Quốc Hán; PGS. TS. Nguyễn Thành Quang; TS. Nguyễn Thị Hồng Loan cùng Quí Thầy, Cô trong khoa toán của Đại học Vinh đã nhiệt tình chỉ dẫn, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. 2 Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận đợc những đóng góp quí báu từ các thầy, cô giáo và các bạn cùng lớp. Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả 3 Chơng 1 Kiến thức cơ sở 1.1. Môđun nửa đơn. Có hai lớp môđun quan trọng đợc phát triển từ lý thuyết không gian véc tơ đó là: 1. Môđun tự do và các hạng tử trực tiếp của môđun tự do tức là các môđun xạ ảnh. 2. Môđun M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn mà chúng ta sẽ xét ở đây (môđun A đợc gọi là đơn nếu A 0 và chỉ có hai môđun con là 0 và A). Để đi đến khái niệm và các tính chất cơ bản của môđun nửa đơn ta xét các bổ đề sau đây: 1.1.1. Bổ đề. Giả sử M là một môđun sao cho mỗi môđun con là hạng tử trực tiếp. Khi đó mỗi môđun con khác không đều chứa môđun con đơn. Chứng minh. Giả sử U là một môđun con hữu hạn sinh tùy ý của môđun M. Khi đó U sẽ chứa một môđun con tối đại C. Theo giả thiết 1 MCM = . Dùng luật môđula ta có: ( ) UMCUMU == 1 . Từ đó suy ra C U M 1 C là môđun đơn vì C tối đại trong U. Do đó M 1 C là môđun con đơn của U. 1.1.2. Bổ đề. Giả sử M = Ii i M , trong đó M i là các môđun con đơn. Giả sử U là môđun con của M. Khi đó: a) Tồn tại tập con J I sao cho = i Ii MUM . b) Tồn tại tập con K I sao cho i Ki MM . 4 Chứng minh. a) Xét tập =+= Li Li ii MUMUILL ,| . Bởi vì = i i M 0 nên . Trên trang bị quan hệ thứ tự bao hàm. Dễ kiểm tra thỏa mãn Bổ đề Zorn, gọi J là phần tử tối đại của . Gọi = i Ji MUN . Đối với phần tử i 0 I, i 0 tùy ý ta xét 0 i MN + .Ta có 00 ii MNMN =+ không xảy ra với i 0 J (vì tính chất tối đại của J). Vậy JiMN i ,0 0 . Nhng do 0 i M đơn nên 00 ii MMN = , do đó NM i 0 . Từ đó ta nhận đợc N=M. b) Giả sử = i Ji MUM . Ta lại sử dụng (a) đối với môđun con i J M (xem nh U). Khi đó tồn tại tập con K I sao cho: = i Ki i Ji MMM . Từ đó thu đợc i Ki i Ii M M M U . 1.1.3. Định lý. Đối với môđun M các điều kiện sau đây là tơng đơng: (1) Mỗi môđun con của M là tổng các môđun con đơn. (2) M là tổng các môđun con đơn. (3) M là tổng trực tiếp các môđun con đơn. (4) Mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp của M. Chứng minh. (1) (2): Hiển nhiên. (2) (3): Chính là Bổ đề 1.1.2(a) với U=0. (3) (4): Do Bổ đề 1.1.2(a). (4) (1): Giả sử U là môđun con của M. 5 Ta đặt U 0 = I i M , trong đó M i m U, M i đơn (Theo Bổ đề 1.1.1 luôn tồn tại môđun M i ). Rõ ràng U 0 m U; theo (4) ta có: M= U 0 N (Với N là môđun con nào đó của M). Từ đó ta có: )()( 00 UNUUNUUMU === . Trờng hợp 1 : N U=0 U= U 0 = I i M . Vậy ta có (1). Trờng hợp 2 : N U 0. Khi đó theo Bổ đề1.1.1 tồn tại môđun đơn B mà B m N U. Suy ra B m U 0 B (N U) U 0 , vô lý. Vậy chỉ xảy ra N U=0. 1.1.4. Định nghĩa. Môđun M đợc gọi là môđun nửa đơn nếu thỏa mãn một trong các điều kiện tơng đơng ở Định lý 1.1.3 trên. Ta quy ớc môđun 0 là môđun nửa đơn. 1.1.5. Ví dụ. 1) Mỗi không gian véc tơ V trên thể K là môđun nửa đơn. Thật vậy: = 0x Ix xKV và xK là đơn với 0 x . 2) Z n là nh Z-môđun. Khi đó: Z n là một Z- môđun nửa đơn n là tích của các số nguyên tố khác nhau hoặc n=1. 3) Z và Q là Z -môđun nhng không phải là môđun nửa đơn. 1.1.6. Hệ quả. (1) Mỗi môđun con của môđun nửa đơn là môđun nửa đơn. 6 (2) Môđun đẳng cấu với môđun nửa đơn là môđun nửa đơn. (3) ảnh toàn cấu của môđun nửa đơn là môđun nửa đơn. (4) Tổng của những môđun nửa đơn là môđun nửa đơn. Chứng minh. 1) Do Định lý 1.1.3. 2) Giả sử i Ii MM = trong đó M i là môđun con đơn với Ii và f:M N. Khi đó N=f(M)= )( i Ii Mf và f đẳng cấu nên f(M i ) là môđun con đơn với Ii . Do đó N là môđun nửa đơn. 3) Giả sử M là môđun nửa đơn và f: M N là toàn cấu nên N f M ker . -Nếu fker =0 M N N là môđun nửa đơn. -Nếu fker =A N=0 cũng là môđun nửa đơn. 4) Bởi vì mỗi môđun nửa đơn là tổng các môđun đơn nên tổng của những môđun nửa đơn theo Định lý1.1.3 lại là môđun nửa đơn. 1.1.7. Định lý. Đối với môđun nửa đơn M các điều kiện sau là tơng đơng: (1) M là tổng của hữu hạn các môđun đơn. (2) M là tổng trực tiếp của hữu hạn các môđun đơn . (3) M có độ dài hữu hạn. (4) M là Artin. (5) M là Noether. (6) M là hữu hạn sinh. (7) M là đối sinh hữu hạn. Chứng minh. Ta chú ý rằng đối với M=0 thì tất cả các điều kiện trên trở thành tầm thờng, vì vậy ta giả thiết M 0. (1) (2): Do Bổ đề 1.1.2. 7 (2) (3): Giả sử i n i MM 1 = = , trong đó M i là môđun đơn. Khi đó 0 M 1 M 1 M 2 MM i n i = =1 là dãy hợp thành bởi vì môđun thơng: i i i M MM MM 11 1 . . là môđun đơn . Vậy M có độ dài hữu hạn là n. (3) (4); (3) (5): Là hiển nhiên. (3) (6); (4) (7): Là các mệnh đề rõ ràng. (6) (1): Giả sử M hữu hạn sinh và M=x 1 R+x 2 R+ .+x n R. Do M là môđun nửa đơn nên i I MM = , trong đó M i là môđun đơn. Mỗi phần tử x k đều là tổng của hữu hạn các phần tử M i . Vậy tồn tại tập hữu hạn I 0 I để x 1 , x 2 , .,x n i Ii M 0 . Từ đó i Ii MM 0 = có (1). (7) (2): Giả sử M là tổng trực tiếp của vô hạn các môđun đơn. Khi đó trong M tồn tại môđun con dạng: M 1 M 2 . (Tổng trực tiếp đếm đợc). Đặt = = NiMA j j i , 1 . Ta có 0 1 = = i i A và (M 1 . M n ) A n+ 1 =0 có nghĩa là (M 1 . M n ) ( i i A = 1 )=0 với n tùy ý thuộc N . Từ đó giao hữu hạn bất kỳ các A i sẽ khác 0. Trái với giả thiết (7). 1.2. Vành nửa đơn. 1.2.1. Định nghĩa. Vành R gọi là vành nửa đơn trái (phải) nếu môđun trái (phải) R trên vành R là môđun nửa đơn. 8 1.2.2. Định lý. Đối với vành R thì R là vành nửa đơn trái khi và chỉ khi R là vành nửa đơn phải. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh R là vành nửa đơn trái thì R là vành nửa đơn phải. (Điều ngợc lại hoàn toàn tơng tự). Theo định lý về sự phân tích của vành có đơn vị, vành nửa đơn trái R R có sự phân tích: i n i i n i R LR Re 11 == == trong đó L i =Re i là các môđun con đơn của R R, e i 0, e i e j =0, với i j và e i e i =e i , 1= = n i i e 1 . Khi đó cũng do định lý phân tích vành ta lại có: ReR i n i 1 = = . Ta chỉ cần chứng tỏ e i R là đơn. Giả sử e là một trong các e i và giả sử 0 a=ea eR. Khi đó aR eR. Ta cần chứng minh aR=eR và nh thế eR đơn. Thật vậy, do ea 0 và Re đơn nên : Re Ra re rea=ra là đẳng cấu. Nếu R R= Ra U thì : Ra U R ra+u 1 (ra)=re R là một toàn cấu của R R nên ứng với một b R (trong đó b= (1)). Nh vậy e= (a)=ab e aR eR aR. Vậy eR=aR đó là điều cần chứng minh. 1.2.3. Hệ quả. 9 (1) Vành R là vành nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun trái, mỗi R- môđun phải là môđun nửa đơn. (2) Vành R là vành nửa đơn khi và chỉ khi R R và R R có độ dài hữu hạn. (3) Vành R là vành nửa đơn và SRf : là một toàn cấu vành thì S là vành nửa đơn. (4) Vành R là vành nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun trái, mỗi R- môđun phải là nội xạ và mỗi R-môđun trái, mỗi R- môđun phải là xạ ảnh. 1.2.4. Mệnh đề. Vành R là vành nửa đơn khi và chỉ khi R đẳng cấu với tích hữu hạn các vành các ma trận trên một vành chia đợc. Chứng minh. Nếu thì R là vành nửa đơn thì ReR i n i 1 = = , trong đó e i lũy đẳng và e i R là đơn. Mặt khác e i R D kk i ),( , trong đó D kk i ),( là vành các ma trận vuông cấp k trên thể D i = e i Re i . Vậy R ),( 1 kk i n i D = . Ngợc lại, mỗi vành các ma trận vuông trên một vành chia đợc (thể) là một vành đơn, do đó R là vành nửa đơn. 1.3. Vành chính quy. Trong mục này chúng ta nêu lên định nghĩa và một số tình chất cơ bản của vành chính quy. 1.3.1. Định nghĩa. a) Cho vành R, phần tử x R đợc gọi là chính quy nếu tồn tại a R để cho xax = x. b) Một vành R đợc gọi là vành chính quy nếu mọi phần tử của R là chính quy. 1.3.2. Ví dụ. Chứng minh R là 1 thể thì R là vành chính quy. 10