Về đa tạp xuyến afin luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒ SỸ LONG VỀ ĐA TẠP XUYẾN AFIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2011 MỤC LỤC Mục lục mở đầu đa tạp afin 1.1 Tập đại số 1.2 Tôpô Zariski 1.3 Tập đại số bất khả quy 1.4 Đa tạp afin 1.5 Vành tọa độ 1.6 Tập mở afin địa phương 1.7 Đa tạp afin chuẩn tắc 1.8 Điểm trơn đa tạp afin 1.9 Tích đa tạp afin 1.10 Tham số hóa đa tạp afin đa tạp xuyến 2.1 Torus 2.2 Đa tạp xuyến afin 2.3 Dàn 2.4 Iđêan xuyến 2.5 Nửa nhóm afin 2.6 Các định nghĩa tương hóa 4 10 10 11 12 13 14 16 18 21 21 23 24 26 28 31 afin đương kết luận 34 tài liệu tham khảo 35 MỞ ĐẦU Cho K trường Không gian Đềcác n chiều K n gọi không gian afin n chiều Tập nghiệm hệ phương trình đa thức vành K[x] := K[x1 , , xn ] gọi đa tạp afin (hay tập đại số) Giả sử S tập K[x1 , , xn ] Ta gọi V (S) tập nghiệm S K n hệ phương trình {f = | f ∈ S} hệ phương trình S Rõ ràng hệ phương trình S hệ phương trình iđêan sinh S có tập nghiệm Vì đa tạp afin xem tập nghiệm iđêan K[x1 , , xn ] Cho A = {a1 , , an } ⊆ Zd Mỗi vectơ đồng với đơn thức tai vành đa thức Laurent K[t±1 ] := K[t1 , , td , t1 −1 , , td −1 ] Xét đồng cấu nửa nhóm π : Nn −→ Zd , xác định bởi, với u = (u1 , , un ) ∈ Nn , π(u) = u1 a1 + + un an Khi dễ thấy ảnh π nửa nhóm Imπ = NA = {λ1 a1 + + λn an | λ1 , , λn ∈ N} Ánh xạ nâng π ∗ : K[x] → K[t±1 ], xác định π ∗ (xi ) = tai Hạt nhân π ∗ kí hiệu IA gọi iđêan xuyến A IA iđêan nguyên tố vành đa thức K[x] Đa tạp V (IA ) gọi đa tạp xuyến afin Cho V đa tạp afin K n Khi tồn iđêan I = (f1 , , ft ) vành K[x1 , , xn ] sinh đa thức f1 , , ft cho V = V (I) Miêu tả điểm đa tạp afin V tìm tất nghiệm hệ phương trình đa thức fi = 0, i = 1, , t Nếu hệ có hữu hạn nghiệm ta cần liệt kê tất nghiệm hệ Tuy nhiên hệ có vô hạn nghiệm ta phải tham số hóa chúng Có đa tạp afin biểu diễn tham số đa thức, có đa tạp afin có biểu diễn tham số đa thức Mục đích luận văn tìm hiểu đa tạp afin đặc biệt, đa tạp xuyến afin Luận văn trình bày dựa tài liệu tham khảo sách Toric varieties D.cox, J.Little H.Schenck [4] Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình nghiêm khắc cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán Tác giả xin cảm ơn thầy, cô giáo Tổ Đại số, khoa Toán nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 17 - Đại số cộng tác, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG ĐA TẠP AFIN 1.1 Tập đại số Hình học đại số môn toán học dùng công cụ đại số để nghiên cứu hình học Để làm điều người ta dùng đồ thị phương trình để mô tả hình hình học Để tìm hiểu khái niệm tập đại số trước hết ta xét số ví dụ sau Ví dụ 1.1.1 Trong mặt phẳng, hình hình học đường cong, thường xác định đồ thị phương trình hai ẩn số f (x, y) = 0, hàm f (x, y) thường đa thức hai biến Ví dụ phương trình tổng quát đường thẳng có dạng ax + by + c = 0, hệ số a, b không đồng thời không; phương trình tổng quát đường cong bậc hai có dạng ax2 + bxy + cy + dx + ey + f = 0, a, b, c không đồng thời không Ví dụ 1.1.2 Trong không gian, mặt cong thường xác định đồ thị phương trình ba ẩn số f (x, y, z) = Ví dụ mặt phẳng không gian xác định đồ thị phương trình tuyến tính ax + by + cz + d = a, b, c không đồng thời không Tuy nhiên hình hình học không gian mô tả phương trình Khác với đường thẳng mặt phẳng, đường thẳng không gian xác định hệ hai phương trình tuyến tính: a1 x + b1 y + c1 z + d1 = a2 x + b2 y + c2 z + d2 = Điều ứng với việc đường thẳng giao hai mặt phẳng hai phương trình tuyến tính Có thể xem hình hình học không gian n-chiều tập nghiệm hệ phương trình n ẩn số Quan niệm (tuy không xác) có thuận lợi lớn việc xét mối quan hệ hình hình học quy việc xét tập nghiệm hệ phương trình Lúc ta dùng công cụ đại số để nghiên cứu hình hình học Ví dụ 1.1.3 Xét mệnh đề hình học nói đường thẳng cắt đường cong bậc hai nhiều hai điểm Tập giao điểm đường thẳng đường cong bậc hai cho trước tập nghiệm hệ hai phương trình có dạng ax + by + c = dx2 + exy + f y + gx + hy + i = Giả sử a = (a, b không đồng thời không) Từ phương trình thứ ta có −1 (by + c) a Dùng biểu thức để x vào phương trình thứ hai ta nhận phương trình bậc hai y Phương trình có nhiều hai nghiệm Ứng với nghiệm ta có nghiệm x Do hệ phương trình ban đầu có nhiều hai nghiệm Thông thường người ta xét đa thức có hệ số hữu tỷ, số thực số phức Tổng quát người ta xét hệ phương trình đa thức với hệ số thuộc trường với nghiệm số thuộc trường x= Định nghĩa 1.1.4 Cho K trường có vô hạn phần tử Người ta gọi không gian Đềcác K n không gian afin n-chiều K , kí hiệu AnK Tập nghiệm hệ phương trình đa thức n ẩn số với hệ số K gọi tập đại số AnK Sau số ví dụ tập đại số Ví dụ 1.1.5 Không gian AnK tập đại số AnK tập nghiệm phương trình = Tập hợp gồm điểm α = (α1 , , αn ) ∈ AnK tập đại số trongAnK tập nghiệm hệ phương trình  x1 − a1 =  xn − an = Tập rỗng ∅ tập đại số tập nghiệm phương trình = Chú ý 1.1.6 Trong không gian afin 1-chiều A1K tập đại số A1K , tập hữu hạn A1K tập rỗng Điều dễ dàng suy từ việc tập nghiệm đa thức f biến A1K (nếu f đa thức không), tập hữu hạn A1K (nếu f có bậc dương) tập rỗng (nếu f phần tử khác không A1K ) Định nghĩa 1.1.7 Cho S tập hợp đa thức K[x1 , , xn ] Tập hợp V (S) = {α ∈ AnK | f (α) = 0, ∀f ∈ S} Nếu S gồm đa thức f dùng ký hiệu V (f ) V (f ) gọi siêu mặt Ví dụ 1.1.8 (i) V (0) = AnK (ii) Nếu f = a0 + a1 x + + an xn V (f ) siêu phẳng AnK sau phép biến đổi tọa độ ta giả sử f = xn Khi V (f ) = {(a1 , , an ) ∈ An K | an = 0} đồng với không gian An−1 K (iii) Nếu S = {x1 − a1 , , xn − an } V (f ) gồm điểm α = (α1 , , αn ) (iv) V (K[x1 , , xn ]) = ∅ điểm α ∈ AnK nghiệm hệ phương trình = (v) Nếu f (x, y) = x2 − y ∈ K[x, y] V (f ) = {(α, α2 ) | α ∈ K} (vi) Nếu f (x, y) = x3 − y ∈ K[x, y] V (f ) = {(α2 , α3 ) | α ∈ K} Sau số tính chất tập đại số Bổ đề 1.1.9 Cho S1 S2 hai tập hợp tùy ý AnK Nếu S1 ⊇ S2 V (S1 ) ⊆ V (S2 ) Chứng minh Do S1 ⊇ S2 nên nghiệm S1 nghiệm S2 Điều có nghĩa V (S1 ) ⊆ V (S2 ) Định lý 1.1.10 Cho S ⊂ K[x1 , , xn ] Gọi I = (S) iđêan sinh S Khi V (I) = V (S) Chứng minh Do I ⊇ S nên V (I) ⊆ V (S) Đảo lại, α ∈ V (S) f = h1 f1 + + hr fr tổ hợp tuyến tính đa thức f1 , , fr ∈ S f (α) = h1 (α)f1 (α) + + hr (α)fr (α) = f1 (α) = = fr (α) = Từ ta suy α ∈ V (I) Do V (S) ⊆ V (I) Bổ đề 1.1.11 Hợp hệ hữu hạn tập đại số tập đại số Chứng minh Ta cần chứng minh hợp hai tập đại số tập đại số Cho S1 S2 hai tập hợp tùy ý K[x1 , , xn ] Gọi T tập đa thức có dạng f g , với f ∈ S1 g ∈ S2 Ta chứng minh V (S1 ) V (S2 ) = V (T ) Do nghiệm S1 S2 nghiệm T nên V (S1 ) V (T ) V (S2 ) ⊆ Đảo lại, giả sử α nghiệm T Nếu α không nghiệm S1 ta có đa thức f ∈ S1 cho f (α) = Do f (α)g(α) = f g(α) = với g ∈ S2 nên g(α) = Vì vậy, V (S2 ) ⊇ V (T ) V (S1 ) Vậy V (S1 ) V (S2 ) = V (T ) Chú ý 1.1.12 Hợp tập vô hạn tập đại số không thiết tập đại số Chẳng hạn, tập hợp gồm phần tử α ∈ K tập đại số, tập thực K có vô hạn phần tử tập đại số Bổ đề 1.1.13 Giao hệ tùy ý tập đại số tập đại số Chứng minh Cho {Si }i∈I hệ tập đa thức K[x1 , , xn ] Đặt S = Si Ta chứng minh i∈I V (Si ) = V (S) i∈I Thật vậy, Si ⊆ S, ∀i ∈ I nên theo Bổ đề 1.1.9 ta có V (Si ) ⊇ V (S), ∀i ∈ I V (Si ) ⊇ V (S) Suy i∈I Đảo lại, α nghiệm Si với i ∈ I α nghiệm V (Si ) ⊆ V (S) S Do i∈I Hệ 1.1.14 Cho V ⊆ AnK W ⊆ Am K tập đại số tùy ý Tích Đềcác V × W ⊆ An+m tập đại số K Chứng minh Trước tiên ta thấy V × W = (V × Am K) (AnK × W ) n Bây ta cần V × Am K AK × W tập đại số Am+n K Giả sử V = V (S) với S tập đa thức vành đa thức n biến K[x] Nếu ta coi S tập đa thức vành đa thức m + n biến K[x, y] ta xét tập nghiệm S An+m K Gọi m tập nghiệm U Ta thấy V × Am K = U Như V × AK n+m tập đại số AK Tương tự ta chứng minh AnK × W tập đại số An+m K Suy điều phải chứng minh 1.2 Tôpô Zariski Bổ đề 1.1.11, Bổ đề 1.1.13, Ví dụ 1.1.5 cho thấy ta trang bị cấu trúc tôpô cho không gian afin AnK với tập đóng tập đại số AnK Định nghĩa 1.2.1 Trên AnK tôpô xác định tập đóng tập đại số (tập mở AnK phần bù tập đại số) gọi tôpô Zariski Ví dụ 1.2.2 Ta mô tả tôpô Zariski không gian afin 1-chiều A1K , với K trường đóng đại số sau: Tập Z đóng A1K Z gồm hữu hạn điểm, Z = A1K Z = ∅ Thật vậy, Z tập đại số suy tồn iđêan I K[x1 , , xn ] để Z = V (I) Do K[x1 , , xn ] vành suy tồn f ∈ K[x1 , , xn ], I = (f ) Suy Z = V (f ), giả sử degf = r, ta có phân tích f (x) = (x − a1 )(x − a2 ) (x − ar ) Ta Z = V (f ) = {a1 , , ar } suy | Z |= r Nếu f đa thức Z = V (f ) = ∅, f = Z = V (f ) = A1K Như vậy, tập đại số AnK xác định iđêan K[x1 , , xn ] Mối quan hệ tập đại số phản ánh phép toán với iđêan xác định chúng CHƯƠNG ĐA TẠP XUYẾN AFIN 2.1 Torus Định nghĩa 2.1.1 Đa tạp afin (C∗ )n nhóm với phép nhân theo thành phần Một torus T đa tạp afin đẳng cấu với (C∗ )n , T tiếp tục có cấu trúc nhóm đẳng cấu Một đặc trưng torus T cấu xạ χ : T → C∗ nghĩa là, χ đồng cấu nhóm Chẳng hạn, m = (a1 , , an ) ∈ Zn cho đặc trưng χm : (C∗ )n → C∗ xác định χm (t1 , , tn ) = ta11 · · · tann Ta thấy tất đặc trưng (C∗ )n biểu diễn theo cách Do tập đặc trưng (C∗ )n nhóm đẳng cấu với Zn Đối với torus T bất kỳ, tập đặc trưng nhóm aben tự M có hạng chiều T Thông thường ta nói m ∈ M cho ta đặc trưng χm : T → C∗ Mệnh đề 2.1.2 (a) Cho T1 T2 torus cấu xạ Φ : T1 → T2 nghĩa Φ đồng cấu nhóm Khi ảnh Φ torus đóng T2 (b) Cho T torus H ⊆ T đa tạp bất khả quy T nghĩa H nhóm Khi H torus Bây giả sử torus T tác động tuyến tính lên không gian vectơ hữu hạn chiều W C, tác động t ∈ T lên w ∈ W ký 22 hiệu t.w Cho m ∈ M , ta có không gian riêng Wm = {w ∈ W | t.w = χm (t)w, ∀t ∈ T } Nếu Wm = {0}, w ∈ Wm \{0} vectơ riêng với t ∈ T , với giá trị riêng cho χm (t) Mệnh đề 2.1.3 Với kí hiệu ta có W = m∈M Wm Nhóm tham số torus T cấu xạ λ : C∗ → T nghĩa λ đồng cấu nhóm Chẳng hạn, với u = (b1 , , bn ) ∈ Zn cho ta nhóm tham số λu : C∗ → (C∗ )n xác định λu (t) = (tb1 , , tbn ) Tất nhóm tham số (C∗ )n biểu diễn theo cách Từ suy nhóm nhóm tham số (C∗ )n đẳng cấu tự nhiên với Zn Đối với torus T tùy ý, nhóm tham số tạo thành nhóm aben tự N có hạng chiều T Cũng nhóm đặc trưng, phần tử u ∈ N cho ta nhóm tham số λu : C∗ → T Phép nhân song tuyến tính tự nhiên , : M × N → Z xác định sau • Cho trước đặc trưng χm nhóm tham số λu , hợp thành χm ◦λu : C∗ → C∗ đặc trưng C∗ , cho t → tl với l ∈ Z Khi m, u = l • Nếu T = (C∗ )n với m = (a1 , , an ) ∈ Zn , u = (b1 , , bn ) ∈ Zn người ta tính n m, u = bi , i=1 nghĩa phép nhân tích vô hướng thông thường Từ suy đặc trưng nhóm tham số torus T tạo thành nhóm aben tự M N có hạng hữu hạn với phép nhân , : M × N → Z đồng N với HomZ (M, Z) M với HomZ (N, Z) 23 Nhờ tích tenxơ, ta có đẳng cấu tắc N ⊗Z C∗ T xác định u ⊗ t → λu (t) Do đó, thông thường người ta viết torus TN Từ quan điểm này, chọn đẳng cấu TN (C∗ )n cảm sinh sở đối ngẫu M N , nghĩa đẳng cấu M Zn N Zn mô tả đơn thức Laurent χm (t1 , , tn ) = ta11 · · · tann , nhóm tham số đường cong đơn thức λu (t) = (tb1 , , tbn ), phép nhân tích n b i m, u = i=1 2.2 Đa tạp xuyến afin Định nghĩa 2.2.1 Một đa tạp xuyến afin đa tạp afin bất khả quy V chứa torus TN (C∗ )n tập mở Zariski, cho tác động TN mở rộng tới tác động đại số TN V (Tác động đại số, nghĩa tác động TN × V → V cho cấu xạ) Ví dụ 2.2.2 Ví dụ hiển nhiên đa tạp xuyến afin (C∗ )n Cn Sau vài ví dụ không tầm thường Ví dụ 2.2.3 Cho đường cong C = V (x3 − y ) ⊆ C2 có đỉnh gốc Đây đa tạp xuyến afin với torus C\{0} = C ∩ (C∗ )2 = {(t2 , t3 ) | t ∈ C∗ } C∗ , đẳng cấu t → (t2 , t3 ) Ví dụ 1.7.2 cho thấy C đa tạp xuyến không chuẩn tắc Ví dụ 2.2.4 Đa tạp V = V (xy − zw) ⊆ C4 đa tạp xuyến với torus ∗ V ∩ (C∗ )4 = {(t1 , t2 , t3 , t1 t2 t−1 ) | ti ∈ C } (C∗ )3 , đẳng cấu (t1 , t2 , t3 ) → (t1 , t2 , t3 , t1 t2 t−1 ) Ta thấy sau V đa tạp xuyến chuẩn tắc 24 Ví dụ 2.2.5 Xét mặt Cd+1 , ký hiệu Cd tham số hóa ánh xạ Φ : C2 → Cd+1 xác định (s, t) → (sd , sd−1 t, , std−1 , td ) Như Φ xác định tất đơn thức bậc d theo s, t Giả sử tọa độ Cd+1 x0 , , xd cho I ⊆ C[x0 , , xd ] iđêan sinh định thức cấp hai ma trận x0 x1 · · · xd−2 xd−1 x1 x2 · · · xd−1 xd Khi I = xi xj+1 − xi+1 xj | ≤ i < j ≤ d − Ta có Φ(C2 ) = V (I), Cd = Φ(C2 ) đa tạp afin Ta dễ thấy I(Cd ) = I , I iđêan tất đa thức triệt tiêu Cd Do I nguyên tố V (I) bất khả quy Mặt afin Cd gọi mặt nón hữu tỷ chuẩn tắc có bậc d ví dụ đa tạp định thức Dễ thấy Cd đa tạp xuyến với torus Φ((C∗ )2 ) = Cd ∩ (C∗ )d+1 2.3 (C∗ )2 Dàn Dàn nhóm aben tự có hạng hữu hạn Do dàn có hạng n đẳng cấu với Zn Chẳng hạn, torus TN có dàn M đặc trưng N nhóm tham số Cho torus TN với dàn đặc trưng M , tập A = {m1 , , ms } ⊆ M cho đặc trưng χmi : TN → C∗ Khi xét ánh xạ ΦA : TN → Cs xác định ΦA (t) = (χm1 (t), , χms (t)) ∈ Cs Định nghĩa 2.3.1 Cho tập hữu hạn A ⊆ M, đa tạp xuyến afin YA định nghĩa bao đóng Zariski ảnh ánh xạ ΦA 25 Định nghĩa hợp lý nhờ mệnh đề sau Mệnh đề 2.3.2 Cho A ⊆ M trên, giả sử ZA ⊆ M dàn sinh A Khi đó, YA đa tạp xuyến afin với torus có dàn đặc trưng ZA Đặc biệt, chiều YA hạng ZA Chứng minh Ánh xạ ΦA : TN → Cs xác định ΦA (t) = (χm1 (t), , χms (t)) ∈ Cs coi ánh xạ ΦA : TN → (C∗ )s torus Theo Mệnh đề 2.1.2, ảnh T = ΦA (TN ) torus đóng (C∗ )s Do YA ∩ (C∗ )s = T YA bao đóng Zariski ảnh Do ảnh Zariski mở YA Hơn nữa, T bất khả quy (nó torus), điều cho bao đóng Zariski YA Tiếp theo ta xét tác động T Do T ⊆ (C∗ )s , phần tử t ∈ T tác động lên Cs biến đa tạp thành đa tạp Khi T = t.T ⊆ t.YA t.YA đa tạp chứa T Như vậy, YA ⊆ t.YA theo định nghĩa bao đóng Zariski Thay t t−1 ta YA = t.YA , tác động T cảm sinh tác động YA Ta kết luận YA đa tạp xuyến afin Dàn đặc trưng T , tạm thời ta ký hiệu M Do T = ΦA (TN ), ánh xạ ΦA cho biểu đồ sau giao hoán TN ΦA / (C∗O )s FF FF FF FF F# #  ? T ký hiệu ánh xạ toàn ánh → ánh xạ đơn ánh Biểu đồ torus cảm sinh biểu đồ giao hoán dàn đặc trưng 26 ΦA M aCo C ZS CC CC CC  0P  M Do ΦA : Zs → M biến sở chuẩn tắc e1 , , es thành m1 , , ms , nên ảnh ΦA ZA Theo biểu đồ giao hoán ta có M ZA Từ ta có chiều torus hạng dàn đặc trưng Trong điều kiện cụ thể, cố định sở M, ta giả sử M = Zn Khi s vectơ A ⊆ Zn coi cột ma trận An×s với hệ số nguyên Trong trường hợp này, chiều YA hạng ma trận A Sau ta thấy đa tạp xuyến afin đẳng cấu với YA với tập hữu hạn A dàn 2.4 Iđêan xuyến Cho YA ⊆ Cs = Spec(C[x1 , , xs ]) đa tạp xuyến afin từ tập hữu hạn A = {m1 , , ms } ⊆ M Chúng ta miêu tả iđêan I(YA ) ⊆ C[x1 , , xs ] sau Như chứng minh Mệnh đề 2.3.2, ΦA cảm sinh ánh xạ dàn đặc trưng ΦA : Zs → M biến sở chuẩn tắc e1 , , es thành m1 , , ms Giả sử L hạt nhân ánh xạ này, ta có dãy khớp → L → Zs → M s Trong điều kiện trên, phần tử l = (l1 , , ls ) L thỏa mãn li mi = i=1 phản ánh quan hệ tuyến tính mi Cho l = (l1 , , ls ) ∈ L, đặt li ei l− = − l+ = li >0 li ei li C[x1 , , xs ] đẳng cấu TN (C∗ )n Do ta giả sử M = Zn ánh xạ Φ : (C∗ )n → Cs cho đơn thức Laurent tmi theo biến t1 , , tn Nếu IL = I(YA ) ta s chọn f ∈ I(YA )\IL với đơn thức dẫn đầu nhỏ xα = i=1 xai i Thay đổi α tỷ lệ cần thiết, x trở thành từ đầu f Dof (tm1 , , tms ) đồng không đa thức theo t1 , , tn , s nên f phải chứa đơn thức xβ = i=1 s xbi i < xα cho s mi (tmi )bi (t ) = i=1 Điều kéo theo i=1 s s mi = i=1 s α − β = bi mi , i=1 (ai − bi )ei ∈ L Khi xα − xβ ∈ IL mô tả thứ i=1 hai IL Từ suy f − xα + xβ ∈ I(YA )\IL Điều mâu thuẩn với cách chọn f Vì thế, mệnh đề chứng minh 28 Định nghĩa 2.4.3 Cho L ⊆ Zs dàn (a) Iđêan IL = xα − xβ | α, β ∈ Ns ; α − β ∈ L gọi iđêan dàn (b) Một iđêan dàn nguyên tố gọi iđêan xuyến Do đa tạp xuyến bất khả quy, nên iđêan xuất Mệnh đề 2.4.2 iđêan xuyến Sau số ví dụ iđêan xuyến Ví dụ 2.4.4 x3 − y ⊆ C[x, y] Ví dụ 2.4.5 xz − yw ⊆ C[x, y, z, w] Ví dụ 2.4.6 xi xj+1 − xi+1 xj | ≤ i < j ≤ d − ⊆ C[x0 , , xd ] Mệnh đề 2.4.7 Một iđêan I ⊆ C[x1 , , xs ] iđêan xuyến nguyên tố sinh nhị thức Chứng minh Giả sử I iđêan xuyến Khi theo định nghĩa I iđêan nguyên tố sinh nhị thức Giả sử I nguyên tố sinh nhị thức xαi − xβi Khi ta nhận thấy V (I) ∩ (C∗ )s khác rỗng (nó chứa (1, , 1)) nhóm (C∗ )s Do V (I) ⊆ Cs bất khả quy, nên V (I) ∩ (C∗ )s đa tạp bất khả quy (C∗ )s có nghĩa nhóm Theo Mệnh đề 2.1.2, ta thấy T = V (I) ∩ (C∗ )s torus Phép chiếu tọa độ thứ i (C∗ )s cho đặc trưng T → (C∗ )s → C∗ , mà theo quy ước, ta viết: χmi : T → C∗ với mi ∈ M Từ suy V (I) = YA với A = {m1 , , ms }, I nguyên tố, ta có I = I(YA ) Khi I iđêan xuyến theo Mệnh đề 2.4.2 Suy điều phải chứng minh Ta thấy sau tất đa tạp xuyến afin sinh iđêan xuyến 2.5 Nửa nhóm afin Định nghĩa 2.5.1 Cho S tập hợp S gọi nửa nhóm afin thỏa mãn điều kiện sau: 29 (i) S vị nhóm giao hoán; (ii) Gọi phép toán S phép + phần tử đơn vị Với tập hữu hạn A ⊆ S ta có NA = { am m|am ∈ N} ⊆ S; m∈A (iii) S nửa nhóm hữu hạn sinh, nghĩa là, tồn tập hữu hạn A ⊆ S cho NA = S; (iv) Nửa nhóm S nhúng dàn M Chú ý 2.5.2 Ví dụ đơn giản nửa nhóm afin Nn ⊆ Zn Nói chung, cho dàn M tập hữu hạn A ⊆ M , nhận nửa nhóm afin NA ⊆ M Sai khác đẳng cấu, nửa nhóm afin có dạng Định nghĩa 2.5.3 Cho nửa nhóm afin S ⊆ M , đại số nửa nhóm C[S] không gian vectơ C với sở S phép nhân cảm sinh cấu trúc nửa nhóm S Để làm xác ta xem M dàn đặc trưng torus TN , m ∈ M cho đặc trưng χm Khi C[S] = { cm χm | cm ∈ C cm = với hữu hạn m} m∈S với phép nhân cảm sinh χm χm = χm+m Nếu S = NA với A = {m1 , , ms }, C[S] = C[χm1 , , χms ] Sau hai ví dụ Ví dụ 2.5.4 Nửa nhóm afin Nn ⊆ Zn cho vành đa thức C[Nn ] = C[x1 , , xn ] xi = χei e1 , , en sở chuẩn tắc Zn Ví dụ 2.5.5 Nếu e1 , , en sở dàn M M sinh A = {±e1 , , ±en } nửa nhóm afin Đặt ti = χei , cho vành đa thức ±1 Laurent C[M ] = C[t±1 , , tn ] 30 Mệnh đề 2.5.6 Cho S ⊆ M nửa nhóm afin a) C[S] miền nguyên hữu hạn sinh C-đại số b) Spec(C[S]) đa tạp xuyến afin với torus có dàn đặc trưng ZS , S = NA với tập hữu hạn A ⊆ M Spec(C[S]) = YA Chứng minh Như nói trên, A = {m1 , , ms } kéo theo C[S] = C[χm1 , , χms ] Vì C[S] hữu hạn sinh Do S ⊆ M , C[S] ⊆ C[M ], từ suy C[S] miền nguyên theo Ví dụ 2.5.5 Vì A = {m1 , , ms }, ta có đồngcấu C-đại số π : C[x1 , , xs ] → C[M ] xi → χmi ∈ C[M ] Tương ứng với cấu xạ ΦA : TN → Cs xác định ΦA (t) = (χm1 (t), , χms (t)) ∈ Cs Nghĩa là, π = (ΦA )∗ Ta kiểm tra hạt nhân π iđêan xuyến I(YA ) ảnh π C[χm1 , , χms ] = C[S] vành tọa độ YA C[YA ] = C[x1 , , xn ]/I(YA ) = C[x1 , , xn ]/Ker(π) Im(π) = C[S] Điều chứng minh Spec(C[S]) = YA Do S = NA kéo theo ZS = ZA, nên torus YA = Spec(C[S]) có dàn đặc trưng theo Mệnh đề 2.3.2 Sau ví dụ minh họa cho mệnh đề Ví dụ 2.5.7 Xét nửa nhóm afin S ⊆ Z sinh 3, S = {0, 2, 3, } Nghiên cứu nửa nhóm đại số C[S], ta dùng C[YA ] = C[x1 , , xn ]/I(YA ) = C[x1 , , xn ]/Ker(π) Im(π) = C[S] 31 Nếu tập A = {2, 3} ΦA (t) = (t2 , t3 ) theo Ví dụ 2.2.3 iđêan xuyến I(YA ) = x3 − y Do C[S] = C[t2 , t3 ] C[x, y]/ x3 − y đa tạp xuyến afin YA đường cong x3 = y 2.6 Các định nghĩa tương đương Ta nghiên cứu tác động torus TN đại số nửa nhóm C[M ] Tác động TN cho phép nhân cảm sinh tác động C[M ] sau: t ∈ TN f ∈ C[M ] t.f ∈ C[M ] xác định p → f (t−1 p) với p ∈ V Bổ đề 2.6.1 Cho A ⊆ C[M ] không gian ổn định tác động TN Khi C.χm A= χm ∈A Chứng minh Đặt A = χm ∈A C.χm A ⊆ A Ta cần chứng minh A ⊆ A Chọn f = A Do A ⊆ C[M ], ta viết cm χm , f= m∈B với B ⊆ M hữu hạn cm = 0, ∀m ∈ B Khi f ∈ B ∩ A, với B = Span(χm | m ∈ B) ⊆ C[M ] Tính toán đơn giản cho thấy t.χm = χm (t−1 )χm Suy B B ∩ A ổn định tác động TN Vì B ∩ A hữu hạn chiều, nên theo Mệnh đề 2.1.3 B ∩ A sinh vectơ riêng TN Điều xảy C[M ], nơi đồng thời vectơ riêng đặc trưng Từ suy B ∩ A sinh đặc trưng Khi biểu diễn f ∈ B ∩ A kéo theo χm ∈ A với m ∈ B Do f ∈ A , ta có điều phải chứng minh 32 Định lý 2.6.2 Cho V đa tạp afin Các mệnh đề sau tương đương: (a) V đa tạp xuyến afin theo Định nghĩa 2.2.1; (b) V = YA với A tập hữu hạn dàn; (c) V đa tạp afin xác định iđêan xuyến; (d) V = Spec(C[S]) với nửa nhóm afin S Chứng minh (b) ⇔ (c) ⇔ (d) ⇒ (a) suy từ Mệnh đề 2.3.2, 2.4.2 2.5.6 Ta cần chứng minh (a) ⇒ (d) Cho V đa tạp xuyến afin chứa torus TN với dàn đặc trưng M Do vành tọa độ TN đại số nửa nhóm C[M ], bao hàm TN ⊆ V cảm sinh ánh xạ vành tọa độ C[V ] → C[M ] Ánh xạ đơn ánh TN trù mật Zariski V , ta xem C[V ] đại số C[M ] Vì tác động TN V cho cấu xạ TN × V → V , nên ta thấy t ∈ TN f ∈ C[V ], p → f (t−1 p) cấu xạ V Theo C[V ] ⊆ C[M ] ổn định tác động TN Theo Bổ đề 2.6.1, ta có C.χm C[V ] = χm ∈C[V ] Do C[V ] ⊆ C[S] với nửa nhóm S = {m ∈ M | χm ∈ C[V ]} Cuối cùng, C[V ] hữu hạn sinh, tồn f1 , , fs ∈ C[V ] với C[V ] = C[f1 , , fs ] Biểu diễn fi theo từ đặc trưng cho tập hữu hạn sinh S Khi S nửa nhóm afin Khi đa tạp afin bất khả quy V chứa torus TN tập mở Zariski, ta có C[V ] ⊆ C[M ] Do C[V ] gồm có hàm torus TN mở rộng từ hàm đa thức V Khi quan niệm V đa tạp xuyến xác hàm mở rộng xác định đặc trưng mở rộng Ví dụ 2.6.3 V = V (xy − zw) ⊆ C4 đa tạp xuyến với iđêan xuyến xy − zw ⊆ C[x, y, z, w] Thật vậy, torus (C∗ )3 qua ánh xạ 33 (t1 , t2 , t3 ) → (t1 , t2 , t3 , t1 t2 t−1 ) Điểm nguyên sử dụng ánh xạ miêu tả ma trận cột 0 1 0 −1 Tương ứng nửa nhóm S ⊆ Z3 gồm tổ hợp tuyến tính N vectơ cột Như phần tử S điểm nguyên nằm khối đa diện R3 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu tham khảo [4], luận văn trình bày vấn đề sau đây: Đa tạp afin khái niệm liên quan như: tôpô Zariski, vành tọa độ, tập mở afin, địa phương hóa, đa tạp afin chuẩn tắc, điểm trơn, tham số hóa đa tạp afin Đa tạp xuyến afin khái niệm liên quan như: torus, dàn, iđêan xuyến, nửa nhóm afin, để từ thấy khái niệm đa tạp xuyến afin định nghĩa theo nhiều cách khác thể Định lý 2.6.2 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Giang (2010), Chiều đa tạp afin, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh [2] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính Cơ sở Gr¨obner, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [3] M Barile, M Morales and A.Thoma (2000), On simplicial toric varieties which are set-theoretic complete intersections, Journal of Algebra, 226, 880-892 [4] D Cox, J Little and H Schenck (2010), Toric varieties, c 2010 David Cox, John Little and Hal Schenck [5] B Sturmfels (1995), Gr¨obner bases and convex polytopes, University lecture series, N0 8, Am Math Soc, Providence [...]... nguyên nằm trong khối đa diện trong R3 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu tham khảo chính là [4], luận văn đã trình bày về các vấn đề sau đây: 1 Đa tạp afin và các khái niệm liên quan như: tôpô Zariski, vành tọa độ, tập con mở afin, địa phương hóa, đa tạp afin chuẩn tắc, điểm trơn, tham số hóa một đa tạp afin 2 Đa tạp xuyến afin và các khái niệm liên quan như: torus, dàn, iđêan xuyến, nửa nhóm afin, để từ đó thấy... 2.6.2 Cho V là một đa tạp afin Các mệnh đề sau là tương đương: (a) V là đa tạp xuyến afin theo Định nghĩa 2.2.1; (b) V = YA với A là tập hữu hạn trong một dàn; (c) V là một đa tạp afin được xác định bởi một iđêan xuyến; (d) V = Spec(C[S]) với nửa nhóm afin S Chứng minh (b) ⇔ (c) ⇔ (d) ⇒ (a) được suy ra từ Mệnh đề 2.3.2, 2.4.2 và 2.5.6 Ta chỉ cần chứng minh (a) ⇒ (d) Cho V là đa tạp xuyến afin chứa torus... trùng với các điểm của một đa tạp afin V nào đó hay không? Từ (1.2) dễ dàng tính được u = x − 1 và do đó y = 1 + (x − 1)2 = x2 − 2x + 2 Vậy (1.2) là hệ tham số miêu tả đa tạp afin V = V (I) với I = (y − x2 + 2x − 2) ⊆ R[x, y] CHƯƠNG 2 ĐA TẠP XUYẾN AFIN 2.1 Torus Định nghĩa 2.1.1 Đa tạp afin (C∗ )n là một nhóm với phép nhân theo từng thành phần Một torus T là một đa tạp afin đẳng cấu với (C∗ )n , ở... hiện trong mệnh đề sau Mệnh đề 1.8.4 Đa tạp afin bất khả quy trơn V là chuẩn tắc Điều ngược lại của mệnh đề này có thể không đúng Sau này chúng ta sẽ thấy đa tạp afin V (xy − zw) ⊆ C4 là chuẩn tắc nhưng V (xy − zw) là chính quy tại (0, 0, 0, 0) 1.9 Tích của các đa tạp afin Cho đa tạp afin V1 và V2 , có một số phương pháp cho thấy rằng tích Đềcác V1 ×V2 là một đa tạp afin Phương pháp trực tiếp nhất được... tích n ai b i m, u = i=1 2.2 Đa tạp xuyến afin Định nghĩa 2.2.1 Một đa tạp xuyến afin là một đa tạp afin bất khả quy V chứa một torus TN (C∗ )n như một tập con mở Zariski, sao cho tác động của TN trên chính nó mở rộng tới một tác động đại số của TN trên V (Tác động đại số, nghĩa là một tác động TN × V → V cho bởi một cấu xạ) Ví dụ 2.2.2 Ví dụ hiển nhiên của đa tạp xuyến afin là (C∗ )n và Cn Sau đây... cả iđêan cực đại của C[V ] đều có dạng này +) Cho V là một đa tạp afin Khi đó chiều của V bằng chiều của vành tọa độ C[V ] 1.6 Tập con mở afin và địa phương hóa Một số tập con mở Zariski của một đa tạp afin V là một đa tạp afin Cho f ∈ C[V ]\{0}, và Vf = {p ∈ V | f (p) = 0} ⊆ V Khi đó Vf là một tập mở Zariski trong V và cũng là một đa tạp afin 13 Thật vậy, giả sử V ⊆ Cn với I(V ) = f1 , , fs và chọn... khái niệm liên quan như: torus, dàn, iđêan xuyến, nửa nhóm afin, để từ đó thấy được khái niệm đa tạp xuyến afin có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau thể hiện trong Định lý 2.6.2 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Giang (2010), Chiều của đa tạp afin, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh [2] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính Cơ sở Gr¨obner, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [3]... Khi đó S là nửa nhóm afin Khi một đa tạp afin bất khả quy V chứa một torus TN như một tập con mở Zariski, ta có C[V ] ⊆ C[M ] Do đó C[V ] gồm có các hàm trên torus TN mở rộng từ các hàm đa thức trên V Khi đó chính quan niệm rằng V là một đa tạp xuyến chính xác khi các hàm mở rộng được xác định bởi các đặc trưng mở rộng Ví dụ 2.6.3 V = V (xy − zw) ⊆ C4 là một đa tạp xuyến với iđêan xuyến xy − zw ⊆ C[x,... tầm thường Ví dụ 2.2.3 Cho đường cong C = V (x3 − y 2 ) ⊆ C2 có một đỉnh tại gốc Đây là đa tạp xuyến afin với torus C\{0} = C ∩ (C∗ )2 = {(t2 , t3 ) | t ∈ C∗ } C∗ , ở đây đẳng cấu là t → (t2 , t3 ) Ví dụ 1.7.2 cho thấy rằng C là một đa tạp xuyến không chuẩn tắc Ví dụ 2.2.4 Đa tạp V = V (xy − zw) ⊆ C4 là một đa tạp xuyến với torus ∗ V ∩ (C∗ )4 = {(t1 , t2 , t3 , t1 t2 t−1 3 ) | ti ∈ C } (C∗ )3 , ở đây... ví dụ về đa tạp afin không chuẩn tắc 14 Ví dụ 1.7.2 Cho C = V (x3 − y 2 ) ⊆ C2 Đây là một đường cong bất khả quy với một đỉnh ở gốc Dễ thấy rằng C[C] = C[x, y]/ x3 − y 2 Cho x và y tương ứng là tập đối của x và y trong C[C], ở đây cho y/x ∈ C(C) Một tính toán cho rằng y/x ∈ / C[C] và (y/x)2 = x, do đó C là không chuẩn tắc.Ta sẽ thấy trong Chương 2 rằng C là một đa tạp xuyến afin Một đa tạp afin bất ... 1.8 Điểm trơn đa tạp afin 1.9 Tích đa tạp afin 1.10 Tham số hóa đa tạp afin đa tạp xuyến 2.1 Torus 2.2 Đa tạp xuyến afin 2.3 Dàn 2.4 Iđêan xuyến 2.5 Nửa nhóm afin 2.6... số hóa chúng Có đa tạp afin biểu diễn tham số đa thức, có đa tạp afin có biểu diễn tham số đa thức Mục đích luận văn tìm hiểu đa tạp afin đặc biệt, đa tạp xuyến afin Luận văn trình bày dựa tài... tả đa tạp afin V = V (I) với I = (y − x2 + 2x − 2) ⊆ R[x, y] CHƯƠNG ĐA TẠP XUYẾN AFIN 2.1 Torus Định nghĩa 2.1.1 Đa tạp afin (C∗ )n nhóm với phép nhân theo thành phần Một torus T đa tạp afin