2 đa tạp xuyến afin
2.6. Các định nghĩa tương đương
Ta nghiên cứu tác động của torus TN trên đại số nửa nhóm C[M]. Tác động của TN trên chính nó cho bởi phép nhân cảm sinh một tác động trên
C[M] như sau: nếu t ∈ TN và f ∈ C[M] thì t.f ∈ C[M] được xác định bởi p7→ f(t−1.p) với p∈ V.
Bổ đề 2.6.1. Cho A ⊆ C[M] là không gian con ổn định dưới tác động của TN. Khi đó A = M χm∈A C.χm. Chứng minh. Đặt A0 = L χm∈A C.χm khi đó A0 ⊆ A. Ta cần chứng minh A ⊆A0. Chọn f 6= 0 trong A. Do A ⊆ C[M], ta có thể viết f = X m∈B cmχm,
với B ⊆ M là hữu hạn và cm 6= 0,∀m ∈ B. Khi đó f ∈ B ∩A, với
B = Span(χm | m ∈ B) ⊆ C[M].
Tính toán đơn giản cho thấy t.χm = χm(t−1)χm. Suy ra B và do đó B∩A
là ổn định dưới tác động của TN. Vì B ∩ A là hữu hạn chiều, nên theo Mệnh đề 2.1.3 B∩A được sinh bởi cùng vectơ riêng của TN. Điều này xảy ra trong C[M], nơi đồng thời các vectơ riêng là đặc trưng. Từ đó suy ra
B∩A được sinh bởi đặc trưng. Khi đó trong biểu diễn trên f ∈ B∩Akéo theo χm ∈ A với m ∈ B. Do đó f ∈ A0, ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.6.2. Cho V là một đa tạp afin. Các mệnh đề sau là tương đương:
(a) V là đa tạp xuyến afin theo Định nghĩa 2.2.1; (b) V = YA với A là tập hữu hạn trong một dàn;
(c) V là một đa tạp afin được xác định bởi một iđêan xuyến; (d) V = Spec(C[S]) với nửa nhóm afin S.
Chứng minh. (b) ⇔ (c) ⇔ (d) ⇒(a) được suy ra từ Mệnh đề 2.3.2, 2.4.2 và 2.5.6. Ta chỉ cần chứng minh (a) ⇒ (d). Cho V là đa tạp xuyến afin chứa torus TN với dàn đặc trưng M. Do vành tọa độ củaTN là đại số nửa nhóm C[M], bao hàm TN ⊆V cảm sinh một ánh xạ của các vành tọa độ
C[V] → C[M].
Ánh xạ này là đơn ánh do TN là trù mật Zariski trong V, vì thế ta có thể xem C[V] như một đại số con của C[M]. Vì tác động của TN trên V
được cho bởi một cấu xạ TN ×V → V, nên ta thấy rằng nếu t ∈ TN và
f ∈ C[V], thì p7→ f(t−1.p) là một cấu xạ trên V. Theo đó C[V] ⊆ C[M]
là ổn định dưới tác động của TN. Theo Bổ đề 2.6.1, ta có
C[V] = M
χm∈C[V]
C.χm.
Do đó C[V] ⊆ C[S] với nửa nhóm S = {m ∈ M | χm ∈ C[V]}.
Cuối cùng, do C[V] là hữu hạn sinh, tồn tại f1, ..., fs ∈ C[V] với C[V] =
C[f1, ..., fs]. Biểu diễn mỗi fi theo từ của các đặc trưng như trên cho một tập hữu hạn sinh của S. Khi đó S là nửa nhóm afin.
Khi một đa tạp afin bất khả quy V chứa một torusTN như một tập con mở Zariski, ta có C[V] ⊆ C[M]. Do đó C[V] gồm có các hàm trên torus
TN mở rộng từ các hàm đa thức trên V. Khi đó chính quan niệm rằng V
là một đa tạp xuyến chính xác khi các hàm mở rộng được xác định bởi các đặc trưng mở rộng.
Ví dụ 2.6.3. V = V(xy − zw) ⊆ C4 là một đa tạp xuyến với iđêan xuyến hxy − zwi ⊆ C[x, y, z, w]. Thật vậy, torus là (C∗)3 qua ánh xạ
(t1, t2, t3) 7→(t1, t2, t3, t1t2t−31). Điểm nguyên sử dụng trong ánh xạ này có thể miêu tả như ma trận các cột 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 −1 !
Tương ứng nửa nhóm S ⊆ Z3 gồm tổ hợp tuyến tính trên N của các vectơ cột. Như vậy mỗi phần tử của S là một điểm nguyên nằm trong khối đa diện trong R3.
Dựa vào tài liệu tham khảo chính là [4], luận văn đã trình bày về các vấn đề sau đây:
1. Đa tạp afin và các khái niệm liên quan như: tôpô Zariski, vành tọa độ, tập con mở afin, địa phương hóa, đa tạp afin chuẩn tắc, điểm trơn, tham số hóa một đa tạp afin.
2. Đa tạp xuyến afin và các khái niệm liên quan như: torus, dàn, iđêan xuyến, nửa nhóm afin, để từ đó thấy được khái niệm đa tạp xuyến afin có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau thể hiện trong Định lý 2.6.2.
Tiếng Việt
[1]. Nguyễn Thị Giang (2010), Chiều của đa tạp afin, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh.
[2]. Lê Tuấn Hoa (2003),Đại số máy tính Cơ sở Gr¨obner, NXB ĐHQG Hà Nội.
Tiếng Anh
[3] M. Barile, M. Morales and A.Thoma (2000), On simplicial toric varieties which are set-theoretic complete intersections,Journal of Al- gebra, 226, 880-892.
[4]. D. Cox, J. Little and H. Schenck (2010), Toric varieties, c2010 David Cox, John Little and Hal Schenck.
[5]. B. Sturmfels (1995), Gr¨obner bases and convex polytopes, Univer- sity lecture series, N0. 8, Am. Math. Soc, Providence.