Về thặng dư bình phương luận văn thạc sĩ toán học

1 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH D ngọc uy liêm Về thặng d bình phơng Luận văn thạc sĩ toán học NGH AN - 12.2011 LI NểI U Gi s cho p l mt s nguyờn t l, a l s nguyờn t cựng vi p Vn t l: no a l s chớnh phng modulo p? Vn ny khụng ch cú giỏ tr lý thuyt, m nh ta s thy v sau, cú nhiu ng dng quan trng nghiờn cu t ra, cụng c quan trng l cỏc ký hiu Legendre v Jacobi m ta s xột lun ny Ngoi phn mc lc, m u v ti liu tham kho, cu trỳc ca lun gm chng: Chng 1: Ký hiu Lagendre Chng 2: Ký hiu Jacobi Chng 3: S gi nguyờn t Euler Lun ó trỡnh by cỏc khỏi nim, tớnh cht ca ký hiu Legendre v ký hiu Jacobi, vi nhng ni dung ch yu sau õy: Tớnh cht ca thng d bỡnh phng Tiờu chun Euler B Gauss Lut thun, nghch bỡnh phng Kim tra Pepin Tớnh cht ký hiu Jacobi Thut toỏn tớnh ký hiu Jacobi Thut toỏn tớnh cn bc hai modulo p Ngoi ra, lun cũn gii quyt mt s bi toỏn c th cú liờn quan n s gi nguyờn t, s gi nguyờn t mnh, s Carmichael, s gi nguyờn t Euler vi cỏc ký hiu Legendre v Jacobi v ng dng cỏc ký hiu ny nghiờn cu v s chớnh phng modulo p Nhng ni dung gii thiu trờn khụng nhng cú giỏ tr v mt lý thuyt m cũn cú nhiu ng dng quan trng S hc thut toỏn núi riờng v S hc núi chung Nh ú, Toỏn hc ó thỳc y c s phỏt trin, to nhiu thnh tu mi i sng v k thut: thụng tin, mt mó, khoa hc mỏy tớnh Lun ny c hon thnh di s hng dn v ch bo tn tỡnh ca PGS.TS Nguyn Thnh Quang Em xin chõn thnh by t lũng bit n sõu sc v thnh kớnh nht n Thy Cú th núi s tn tỡnh ch dy ca Thy ó giỳp em m mang thờm kin thc, hiu c s sõu rng ca b mụn Toỏn núi chung v chuyờn ngnh i s núi riờng Thy khụng ch hng dn em nghiờn cu khoa hc m Thy cũn ng viờn to mi iu kin cho em sut quỏ trỡnh lm lun Tỏc gi xin trõn trng cm n Khoa Toỏn hc, Khoa o to Sau i hc Trng i hc Vinh ó giỳp v to iu kin cho em hon thnh lun ny Tỏc gi xin trõn trng cm n Trng i hc Si Gũn ó quan tõm giỳp v to iu kin thun li cho mi hc viờn chỳng em hon thnh c nhim v ca khúa hc sau i hc Tỏc gi xin chõn thnh cm n quớ thy cụ, cỏc bn ng nghip v gia ỡnh ó ng viờn giỳp em quỏ trỡnh hc v lm lun Trong quỏ trỡnh lm lun chc chn khụng trỏnh nhng hn ch v thiu sút Rt mong nhn c s gúp ý ca thy cụ v cỏc bn ng nghip lun c hon thin hn Ngh An, thỏng nm 2012 Hc viờn D Ngc Uy Liờm CHNG Kí HIU LEGENDRE 1.1 Tớnh cht ca thng d bỡnh phng 1.1.1 nh ngha Gi s m l s nguyờn dng S a c gi l mt thng d bỡnh phng ca m nu (a,m)=1 v ng d x2 a(mod m) cú nghim Nu ngc li, ta núi a l khụng thng d bỡnh phng ca m Ta s chng t rng, nu p l mt s nguyờn t l, s cỏc s 1,2,,p-1 cú ỳng mt na l thng d bỡnh phng 1.1.2 B Gi s p l s nguyờn t l v a l s nguyờn khụng chia ht cho p Khi ú, phng trỡnh ng d sau õy khụng cú nghim, hoc cú ỳng hai nghim khụng ng d theo modulo p: x2 a(mod p) Chng minh Gi s cú nghim x = x0 Khi ú, ta chng minh rng x = - x l mt nghim khụng ng d vi x0 Ta s ch rng, nghim tựy ý khỏc x = x ng d vi x0 hoc - x0 Tht vy, ta cú: x02 x12 ( mod p ) Tc l x02 x12 = ( x0 + x1 ) ( x0 x1 ) ( mod p ) Do ú, hoc p| (x0 + x1), hoc p| (x0 x1), cú iu phi chng minh 1.1.3 nh lý Nu p l mt s nguyờn t l, thỡ cỏc s 1,2,p cú ỳng p thng d bỡnh phng Chng minh tỡm tt c cỏc thng d modulo p cỏc s 1,2,p 1, trc tiờn ta bỡnh phng cỏc s ú v xột cỏc thng d dng nht modulo p ca cỏc kt qu nhn c Cỏc thng d dng nht ny l tt c cỏc thng d bỡnh phng cỏc s t n p-1 Gi s a l mt thng d nh vy Vỡ phng trỡnh ng d x a (mod p ) cú ỳng hai nghim, nờn s (p - 1) bỡnh phng ang xột, phi cú hai bỡnh phng thng d a: S thng d bỡnh phng ỳng bng p xột cỏc thng d bỡnh phng, ngi ta thng dựng cỏc ký hiu quan trng m ta s nghiờn cu chng ny 1.2 Ký hiu Legendre 1.2.1 nh ngha Gi s p l mt s nguyờn t l v a l mt s nguyờn khụng a chia ht cho p, ký hiu Legendre c nh ngha nh sau: p a 1, p = 1, nu a l thng d bỡnh phng ca p nu ngc li Vớ d: Ta tớnh c: 11 = 11 = 11 = 11 = 11 = 1; 10 11 = 11 = 11 = 11 = 11 = Tiờu chun sau õy thng c dựng chng minh cỏc tớnh cht ca ký hiu Legendre 1.2.2 nh lý (Tiờu chun Euler) Gi s p l s nguyờn t l v a l s nguyờn dng khụng chia ht cho p Khi ú p a a ( mod p ) p a Chng minh Trc tiờn, gi s rng = Khi ú, ng d x a (mod p ) p cú nghim x= x0 Theo nh lý Fermat bộ, ta cú: a p =(x ) p = x0p ( mod p ) a Ch cũn phi xột trng hp = Khi ú, ng d x2 a(mod p) vụ p nghim Vi mi i cho i p , tn ti nht j, j p ija (mod p) Rừ rng i j , nờn ta cú th nhúm cỏc s 1,, p-1 thnh p cp vi tớch tng cp ng d a modulo p Nhõn cỏc cp ny vi ta c: ( p 1) ! a p ( mod p ) T nh lý Wilson ta cú: a p ( mod p ) nh lý c chng minh Nhng tớnh cht sau õy cho phộp tớnh c d dng ký hiu Legendre 1.2.3 nh lý Gi s p l mt s nguyờn t l, a v b l cỏc s nguyờn khụng chia ht cho p Khi ú: (mod p) thỡ a (i) Nu (ii) a b ab p p = p ; (iii) a p = ab b = p p ; Chng minh (i) Nu a b(mod p ) thỡ x a (mod p ) cú nghim nu v ch nu a b x b(mod p ) cú nghim Do ú = p p (ii) T tiờu chun Euler ta cú p a p a ( mod p ) , p b p b ( mod p ) , p ab p ab ( mod p ) Nh vy, p p p a b ab 2 a b = ab ( ) p p p ( mod p ) Vỡ giỏ tr ca ký hiu Legendre ch cú th l nờn ta cú ng thc cn chng minh a (iii) Vỡ = nờn t phn trờn ta cú p a a a = p p = p nh lý c chng minh nh lý trờn cho thy rng tớch ca hai thng d bỡnh phng hoc hai khụng thng d bỡnh phng l mt thng d bỡnh phng, tớch ca mt thng d bỡnh phng v mt khụng thng d bỡnh phng l mt khụng thng d bỡnh phng Tiờu chun Euler cho bit no thỡ cỏc s nguyờn l nhn -1 l thng d bỡnh phng 1.2.4 nh lý Nu p l s nguyờn t l thỡ 1, p 1(mod 4) p = 1, p -1(mod 4) Chng minh Theo tiờu chun Euler ta cú: p ( ) ( mod p ) p Nu p 1(mod 4) thỡ p = 4k+1 vi k nguyờn no ú Nh vy, ( 1) p = ( 1) 2k = Nu p -1(mod 4) thỡ p = 4k -1 vi k nguyờn no ú Nh vy, ( 1) p = ( 1) k = Tc l = p 1.2.5 nh lý (B Gauss) Gi s p l s nguyờn t l v (a,p) =1 Nu s l s cỏc thng d dng nht ca cỏc s nguyờn a, 2a, p p a ln hn , thỡ 2 a s p = ( 1) Chng minh Trong s cỏc thng d dng nht ca cỏc s nguyờn a, 2a, p p a , gi s u1, u2,us l cỏc thng d ln hn , v v1, v2,vt l cỏc thng d 2 nh hn p p2 , nờn tt c cỏc thng d dng Vỡ (ja,p)=1 vi mi j, j 2 nht núi trờn u nm hp 1,2,p-1 Ta s chng t rng, p u1, p u2, p us, v1,v2,, vt, chớnh l hp cỏc s 1, 2, , p p p xp theo th t no ú Cú c thy s khụng vt quỏ , 2 nờn ch cũn phi chng minh rng khụng cú hai s no ng d vi Rừ rng khụng cú hai s ui no, cng nh khụng cú hai s vj no ng d vi modulo p Tht vy, nu ngc li, ta s cú ng d ma na(mod p) vi m, n dng no ú khụng vt quỏ p Vỡ (a,p) = nờn t ú suy m n(mod p) iu ny mõu thun Tng t nh trờn, cú th thy rng khụng cú p ui no ú ng d vi v1 Vy ta cú: ( p u ) ( p u ) ( p u ) v v s t p ữ! ( mod p ) T ú suy ra: ( 1) s p u1u2 us v1v2 vt ữ! ( mod p ) Mt khỏc, vỡ u1, u2,,us, v1, v2,,vt l cỏc thng d dng nht ca a, 2a, , p a nờn: u1u2 us v1v2 vl a p p ữ! ( mod p ) Nh vy ta cú: ( 1) s a p p p ữ! ữ! ( mod p ) p Vỡ p, ữ!ữ = nờn suy 10 ( 1) s a p ( mod p ) Tc l: a p ( 1) s ( mod p ) nh lý suy t tiờu chun Euler 1.2.6 nh lý Nu p l mt s nguyờn t l thỡ p p = ( 1) Nh vy, l thng d bỡnh phng ca mi s nguyờn t dng p 1(mod 8) v l khụng thng d bỡnh phng ca mi s nguyờn t dng p 3(mod 8) Chng minh p dng tiờu chun Gauss, ta cn tớnh s thng d dng nht ln hn p ca dóy s 1.2, 2.2, , p 2 Vỡ cỏc s u nh hn p nờn cỏc thng d dng nht ca mi s trựng vi chớnh nú Nh vy, ta ch cn tớnh s ca dóy ln hn s= p S cỏc s ú l: p p (trong ú [ ] ch phn nguyờn) Nh vy ta cú: p p p = ( 1) Ta kim tra ng d thc sau õy bng cỏch phõn cỏc trng hp p 1, 3, 5, 7(mod 8) 28 iu ngc li khụng ỳng Chng hn cú th thy rng s 431 l s gi nguyờn t c s 2, nhng khụng l s gi nguyờn t Euler c s 3.1.3 nh lý Mi s gi nguyờn t mnh c s b u l s gi nguyờn t Euler c s b Chng minh Cho n l s gi nguyờn t mnh c s b Khi ú, nu n = 2st, t ú t l, thỡ, hoc b 1( mod n ) , hoc b2 t 1( mod n ) , vi r no ú r s r m Gi s p j l phõn tớch ca n thnh tha t nguyờn t Ta xột riờng hai trng aj j =1 hp: t Th nht, b 1( mod n ) Gi s p l mt c nguyờn t l ca n Khi ú ord p b t , v ú ordpb l s l Mt khỏc, ordpb l c ca ( p ) = p , nờn nú phi l c ca p Vy ta cú b p 1( mod p ) b Theo tiờu chun Euler, = , v ú, p b n = ( bt ) 2s b n = Mt khỏc ta cú 1( mod p ) Vy n l s gi nguyờn t Euler c s b Trng hp th hai: b2 t 1( mod n ) Nu p l mt c nguyờn t ca n thỡ r b t ( mod p ) Bỡnh phng c hai v ca ng d thc ny ta c r b2 r +1 t 1( mod p ) 29 r +1 T ú suy ord p b ( t ) , nhng ordpb khụng l c ca 2rt Nh vy, ord p b = r +1 c , ú c l mt s nguyờn l Mt khỏc, vỡ ord p b ( p 1) , r +1 ord p b , nờn r +1 ( p 1) Nh vy, ta cú p = r +1 d + , ú d l s nguyờn Vỡ b ord p b 1( mod p ) nờn ta cú p b b =b p ord p b p ord p b p p r +1 c ( 1) ord b = ( 1) p ( mod p ) b d Vỡ c l nờn t ú suy = ( 1) Bõy gi gi s n cú phõn tớch thnh p tha s nguyờn t dng m n = pj aj j =1 r +1 Theo chng minh phn trờn, cỏc c nguyờn t pi cú dng pi = d i + , v ta cú m a d b m b = ( 1) n = i =1 pi i i i =1 m r +1 r +2 Mt khỏc, d thy rng n + d i ( mod ) Do ú i =1 t2 s m n r = d i ( mod r +1 ) i =1 Tc l m t s r d i ( mod ) v i =1 b n ( ) = b 2r t 2s r ( 1) m di i =1 ( mod n ) 30 Nh vy b n b ( mod n ) n V n l s gi nguyờn t Euler c s b nh lý c chng minh xong Chỳ ý rng, iu ngc li ca nh lý trờn khụng phi luụn luụn ỳng: Tn ti nhng s gi nguyờn t Euler c s b khụng l gi nguyờn t mnh c s ú Vớ d: n = 1105, b = Tuy nhiờn, vi nhng iu kin b sung, mt s gi nguyờn t Euler s l gi nguyờn t mnh c s Ta cú nh lý sau: 3.1.4 nh lý S n gi nguyờn t Euler c s b l s gi nguyờn t mnh c s b b nu n ( mod ) , hoc = n Chng minh Trng hp th nht: n ( mod ) Khi ú n = 2t v t l Vỡ n l s gi nguyờn t Euler c s b nờn bt = b n b ( mod n ) n b t t Vỡ = cho nờn hoc b = 1( mod n ) , hoc b = 1( mod n ) r Nh vy, n l s gi nguyờn t mnh c s b Trong trng hp th hai, ta vit n = s t , ú t l, s l s nguyờn dng Vỡ n l s gi nguyờn t Euler c s b nờn b2 s t =b n b ( mod n ) n Theo gi thit ta cú bt 1( mod n ) s 31 Nh vy n l s gi nguyờn t mnh c s b Dựng s gi nguyờn t Euler, ta cú th xõy dng thut toỏn xỏc sut kim tra mt s l nguyờn t hay khụng Thut toỏn ny c Solovay v Strassen tỡm u tiờn nm 1977 ([S-S]) Ta bt u bng b sau 3.1.5 B Gi s n l mt s nguyờn dng l khụng chớnh phng Khi ú tn b ti ớt nht mt s b vi 1[...]... không thặng dư bình phương modulo p Ta có ( a q ) 2 = a p −1 = a Φ ( p ) ≡ 1(mod p ) e Do đó aq thuộc vào nhóm G các phần tử cấp là một ước số của 2 e Như vậy, để tồn tại k, chỉ cần chọn n là phần tử sinh của nhóm G (khi đó, do a là một không thặng dư bình phương nên số mũ k phải là chẵn) Số nguyên n sẽ là một phần tử sinh của nhóm G khi và chỉ khi n, n2, n4,…, n 2 , (≡ 1(mod p)) không đồng dư với... được một số n thích hợp Vì số các thặng dư bình phương bằng p −1 nên 2 n 1 mỗi lần chọn ngẫu nhiên một số n, xác suất để có   = −1 là Trong thực tế, ta 2  p có thể tìm ra một không thặng dư bình phương rất nhanh Chẳng hạn, xác suất hai mươi lần thất bại liên tiếp nhỏ hơn 10-6 Số mũ k khó tìm hơn Thật ra, ta không cần q +1 k biết số mũ k, mà cần biết a 2 z 2 Thuật toán Giả sử p là một số nguyên...   12 Trong đó: p −1 2  ja  T ( a, p ) = ∑   j =1  p  Chứng minh Xét các thặng dư dương bé nhất của các số nguyên a, 2a,… sử u1,u2,…,us, v1, v2,…,vt tương ứng là các thặng dư lớn hơn và bé hơn p −1 Giả 2 p Ta có: 2  ja  ja = p   + phần dư  p Trong đó phần dư là một trong các số u1 hoặc vj Cộng từng vế p −1 phương 2 trình ta được: p −1 2 p −1 2 t  ja  s ja = p + u + vj ∑ ∑ ∑ j  p ∑... Giả sử n là một số nguyên dư ng lẻ không chính phương Khi đó tồn b  tại ít nhất một số b với 1 ... Định lý cho thấy tích hai thặng dư bình phương hai không thặng dư bình phương thặng dư bình phương, tích thặng dư bình phương không thặng dư bình phương không thặng dư bình phương Tiêu chuẩn Euler... sử a thặng dư Vì phương trình đồng dư x ≡ a (mod p ) có hai nghiệm, nên số (p - 1) bình phương xét, phải có hai bình phương thặng dư a: Số thặng dư bình phương p −1 ■ Để xét thặng dư bình phương, ... −1 thặng dư bình phương Chứng minh Để tìm tất thặng dư modulo p số 1,2,…p – 1, trước tiên ta bình phương số xét thặng dư dương bé modulo p kết nhận Các thặng dư dương bé tất thặng dư bình phương