Về tiêu chuẩn baer đối với tác động trên nửa nhóm luận văn thạc sỹ toán học

MỤC LỤC Mục lục 1 Mở đầu 2 Chương 1. Kiến thức cơ sở 5 1.1. Phạm trù và hàm tử ……………………………………………. 5 1.2. Tích và đối tích ………………………………………………… 11 1.3. Tiêu chuẩn Baer đối với môđun nội xạ ………………………… 17 Chương 2. Tiêu chuẩn Baer đối với tác động trên nửa nhóm 18 2.1. Định nghĩa tác động …………………………………………… 18 2.2. Tác động đầy đủ Côsi …………………………………………. 23 2.3. Tiêu chuẩn Baer ……………………………………………… 24 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 1 MỞ ĐẦU Một S - tác động (phải) hay S - hệ thống là một tập hợp A cùng với một hàm : A S A λ × → , được gọi là tác động của A trên S , sao cho đối với x A ∈ và ,s t S∈ (bằng cách ký hiệu ( , )x s λ bởi xs ), có ( ) ( )x st xs t= . Nếu S là một vị nhóm với đơn vị là e thì cần thỏa mãn điều kiện xe e= . Một hàm :f A B→ giữa các S tác động ,A B được gọi là ánh xạ S - tác động (hay đơn giản: một ánh xạ tác động) hoặc một đồng cấu nếu đối với mỗi x A∈ , s S∈ có ( ) ( )f xs f x s= . Vì ánh xạ đồng nhất và hợp thành của các ánh xạ tác động là ánh xạ tác động, nên chúng ta có phạm trù, Act - S , của tất cả S - tác động (phải) và ánh xạ tác động giữa chúng. Một trong những khái niệm hữu ích trong các chuyên ngành của toán học cũng như khoa học tính toán là tác động của một nửa nhóm hay một vị nhóm trên một tập. Mục đích của luận văn là dựa trên bài báo “On the baer criterion for acts over semigroups” đăng trên tạp chí Communications in Algebra năm 2007 xem tài liệu [8] để tìm hiểu tiêu chuẩn Baer đối với tính nội xạ đối với các môđun trên vành giao hoán với đơn vị, nhưng không đúng với các tác động trên một vị nhóm tùy ý. Sau đó dựa trên khái niệm về tính chất đầy đủ được đưa ra bởi Giuli, chúng tôi tiếp tục tìm hiểu một số lớp các vị nhóm sao cho tiêu chuẩn Baer vẫn đúng đối với các tác động trên chúng. Luận văn sẽ được chia thành 2 chương. Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Phạm trù và hàm tử. 2 Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm phạm trù và một số phạm trù cụ thể như phạm trù các vật, phạm trù các nhóm, phạm trù các vành, phạm trù các R -môđun và phạm trù các môđun. Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm hàm tử hiệp biến và hàm tử phản biến cùng một số hàm tử đặc biệt như hàm tử quên, hàm tử biểu diễn. 1.2. Tích và đối tích Trước hết, chúng tôi trình bày các khái niệm tích và đối tích, nêu một số phạm trù mà trong chúng tồn tại tích và đối tích. Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm vật đẩy kéo phổ dụng và vật kéo phổ dụng trong một một phạm trù cùng các khái niệm liên quan. 1.3. Tiêu chuẩn Baer đối với môđun nội xạ. Trình bày khái niệm và các tính chất của modun nội xạ. Chương 2. VỀ TIÊU CHUẨN BAER ĐỐI VỚI TÁC ĐỘNG TRÊN NỬA NHÓM 2.1. Định nghĩa tác động Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm S- tác động, cái co rút và cái co rút tuyệt đối, và chứng minh rằng: trong phạm trù S- tác động, tính nội xạ và tính co rút tuyệt đối trùng nhau. Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm I - nội xạ và nội xạ yếu trong phạm trù các S- tác động. 2.2. Tác dụng đầy đủ Côsi. Trình bày khái niệm dãy Côsi và dãy Côsi đầy đủ trên các S- tác động 2.4. Tiêu chuẩn Baer đối với các tác động trên nửa nhóm. Trình bày các lớp nhóm sao cho đối với nó, tính nội xạ trùng với tính đầy đủ, từ đó nhận được một số lớp vị nhóm e S µ ≅ mà tác động của chúng thoả mãn tiêu chuẩn Baer. 3 Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Đại học vinh. Nhân dịp này tác giả xin được bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc và kính trọng đến PGS.TS Lê Quốc Hán cùng với thầy cô giáo trong tổ Đại số đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Mặc dầu đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh những thiếu sót, rất mong nhận được những đóng góp quý báu của các thầy, các cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả 4 Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Phạm trù và hàm tử 1.1.1 Định nghĩa. Một phạm trù A bao gồm trong nó các lớp vật Ob( )A ; đối với hai vật tùy ý , Ob( )∈A B A , tập Mor( , )A B gọi là tập các cấu xạ từ A đến B ; đối với ba vật bất kỳ , , Ob( )∈A B C A một luật hợp thành (tức là ánh xạ) ( ) ( ) ( ) Mor , Mor , Mor ,× →B C A B A B đồng thời các tiên đề sau phải thỏa mãn: PT1. Hai tập ( ) Mor ,A B và ( ) Mor ', 'A B không giao nhau, trừ trường hợp ' = A A và ' = B B , trong trường hợp đó chúng bằng nhau. PT2. Đối với mỗi vật Ob( )∈A A có một cấu xạ ( ) Mor ,∈ A id A B mà đối với mọi vật Ob( )∈B A , nó tác dụng bên trái và bên phải lên các phần tử thuộc tập ( ) Mor ,B A và ( ) Mor ,A B tương ứng một cách đồng nhất. PT3. Luật hợp thành có tính kết hợp (trong trường hợp nó xác định), nghĩa là nếu ( ) Mor ,∈f A B , ( ) Mor ,∈g B C và ( ) Mor ,∈h C D thì ( ) ( ) =o o o oh g f h g f đối với các vật , , , Ob( )∈A B C D A . 1.1.2 Chú ý. Lớp tất cả các cấu xạ của phạm trù sẽ được ký hiệu là Ar( )A (Từ chữ "arrows of A "-"các mũi tên của A "). Đôi khi, ta sẽ dùng cách viết " ( ) Arf ∈ A " để biểu thị f là một cấu xạ nào đó của A , nghĩa là một phần tử thuộc một tập hợp ( ) Mor ,A B nào đó, trong đó , Ob( )∈A B A . Ta cũng sẽ gọi chính lớp các vật là phạm trù, trong trường hợp mà ta đã hiểu rõ ràng các cấu xạ của phạm trù đó là đối tượng nào rồi. 5 Phần tử ( ) Mor ,∈f A B cũng được viết dưới dạng : →f A B hoặc → f A B . Cấu xạ f được gọi là đẳng cấu, nếu tồn tại cấu xạ : →g B A sao cho =o A g f id và =o B f g id . Nếu = A B thì ta cũng gọi đẳng cấu là tự đẳng cấu. Các cấu xạ từ vật A đến chính nó được gọi là tự đồng cấu. Tập các tự đồng cấu của vật A được ký hiệu là End( )A . Từ các tiên đề trên suy ra End( )A là một vị nhóm. Giả sử Ob( )∈A A . Ký hiệu Aut( )A là tập các tự đẳng cấu của A . Khi đó Aut( )A cùng với phép hợp thành cấu xạ là một nhóm. 1.1.3 Ví dụ. a/ Giả sử S là một phạm trù mà các vật là các tập và các cấu xạ là các ánh xạ của các tập. Khi đó S được gọi là phạm trù các tập. Ba tiên đề P1, P2, P3 được thỏa mãn một cách tầm thường. b/ Giả sử Grp là phạm trù các nhóm, nghĩa là phạm trù mà các vật là các nhóm còn cấu xạ là các đồng cấu nhóm. Ba tiên đề về phạm trù được thỏa mãn. Tương tự, ta có phạm trù các vị nhóm được ký hiệu là Mon; phạm trù các nhóm Aben được ký hiệu là Ab. c/ Ngoài ra còn có các phạm trù khác như phạm trù các vành được ký hiệu là Ring, phạm trù các R -môđun, được ký hiệu là R -MOD, phạm trù các môđun được ký hiệu là MOD, . 1.1.4 Chú ý. Giả sử A là một phạm trù. Ta có thể lấy các cấu xạ thuộc A làm vật thuộc phạm trù mới C Nếu : →f A B và : ' '→g A B là hai cấu xạ 6 của A (do đó là các vật thuộc C ), thì ta định nghĩa cấu xạ '→f f (trong C ) là cặp cấu xạ ( ) , ϕ ψ trong A sao cho biểu đồ sau giao hoán: nghĩa là = o of g ψ ψ . Rõ ràng C là một phạm trù. Cũng như trong trường hợp ánh xạ của các tập, nên trang bị cho ( ) , ϕ ψ bằng các chỉ số của f và 'f , nhưng trong thực hành ta bỏ việc chỉ số hóa đó đi. Về đề tài này, có nhiều cách trình bày. Chẳng hạn, ta có thể tập trung chú ý vào các cấu xạ của A mà vật xuất phát là cố định, hoặc vào các cấu xạ mà vật cuối là cố định. Chẳng hạn, giả sử A là một vật nào đó của A và giả sử A A là phạm trù mà vật là các cấu xạ : →f X A của A trong đó A là vật cuối. Cấu xạ trong A A từ : →f X A đến : →g Y A là cấu xạ : →h X Y của A sao cho biểu đồ sau là giao hoán 7 nghĩa là =oh f g . 1.1.5 Định nghĩa. Giả sử C là một phạm trù nào đó. Vật Ob( )∈P C được gọi là vật khởi đầu hay vật đẩy phổ dụng nếu với mỗi vật X tùy ý thuộc C , ( ) Mor ,P X có đúng một phần tử. Vật Ob( )∈P C được gọi là vật tận cùng hay vật kéo phổ dụng nếu với mỗi Ob( )X ∈ C , tập ( ) Mor ,P X có đúng một phần tử. Vật khởi đầu hay vật cuối cùng của một phạm trù được gọi chung là vật phổ dụng. Chú ý rằng vì vật phổ dụng có cấu xạ đồng nhất vào chính nó, nên nếu , 'P P là vật phổ dụng thuộc C thì giữa chúng tồn tại một đẳng cấu xác định duy nhất. 1.1.6 Ví dụ. Giả sử : →f S F là ánh xạ từ tập S vào một nhóm F nào đó, : →g S G là một ánh xạ khác như thế. Nếu ( )f S sinh ra F , thì tồn tại nhiều nhất một đồng cấu ϕ từ nhóm F vào nhóm G sao cho biểu đồ sau giao hoán Bây giờ ta xét phạm trù C mà các vật là ánh xạ từ tập S vào các nhóm. Nếu : →f S G và ': '→f S G là các vật thuộc phạm trù ấy thì ta hiểu 8 cấu xạ từ f đến 'f là đồng cấu : '→G G ϕ sao cho '=o f f ϕ , nghĩa là biểu đồ sau đây giao hoán Gọi ( , )F f là nhóm tự do trên tập S . Thế thì ( , )F f chính là vật khởi đầu của phạm trù C . Bây giờ ta chuyển sang khái niệm hàm tử. 1.1.7 Định nghĩa. Giả sử A, B là các phạm trù. Hàm tử hiệp biến F từ A vào B là một quy tắc đặt mỗi vật Ob( )∈A A ứng với mỗi vật ( )F A nào đó thuộc B và mỗi cấu xạ : →f A B ứng với một cấu xạ ( ) ( ) ( ) : →F f F A F B sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn: HT1. Đối với mọi Ob( )∈A A , có ( ) ( ) = A F F id id A HT2. Đối với : , :→ →f A B g B C là hai cấu xạ thuộc A thì ( ) ( ) ( ) =o oF g f F g F f . Khái niệm hàm tử phản biến cũng được định nghĩa tương tự, chỉ khác là đối với một cấu xạ : →f A B thuộc A thì ( ) ( ) ( ) : →F f F B F A trong B sao cho nếu : , :→ →f A B g B C thì ( ) ( ) ( ) =o oF g f F f F g . Đôi khi, để ký hiệu hàm tử, ta viết * f thay cho ( )F f trong trường hợp hàm tử hiệp biến, và * f trong trường hợp hàm tử phản biến. Chú ý rằng, mọi hàm tử biến đẳng cấu thành đẳng cấu, vì =of g id kéo theo ( ) ( ) * =oF f F g id . 9 1.1.8 Ví dụ. a/ Đối với mỗi nhóm G ứng với tập của nó (cất cấu trúc nhóm khỏi nó) và mỗi đồng cấu nhóm ứng với chính đồng cấu ấy, chỉ xem về quan điểm lý thuyết tập, ta được một hàm tử phạm trù các nhóm vào phạm trù các tập. Hàm tử đó được gọi là hàm tử quên. b/ Xét tương ứng : Grp→F S mỗi tập S ứng với một nhóm tự do ( )F S sinh bởi S và ánh xạ : →f S T ứng với đồng cấu nhóm duy nhất ( ) ( ) ( ) : →F f F S F T (sự tồn tại và duy nhất của đồng cấu nhóm ( )F f là bởi ( )F T là nhóm tự do). Dễ kiểm tra đây là một hàm tử hiệp biến. Tương tự ta có hàm tử từ Ab→S biến mỗi tập hợp thành nhóm Aben sinh bởi tập đó và biến ánh xạ tập hợp thành đồng cấu nhóm cảm sinh từ ánh xạ đó. c/ Giả sử A là một phạm trù nào đó và A là một vật cố định trong A . Ta được hàm tử hiệp biến : A M →A S bằng cách đặt ( ) ( ) Mor ,= A M X A X với vật X bất kỳ thuộc A . Nếu : '→X X ϕ là một cấu xạ thì ta lấy ( ) ( ) ( ) : Mor , Mor , '→ A M A X A X ϕ là ánh xạ cho bởi quy tắc a og g ϕ đối với bất kỳ ( ) Mor ,∈g A X , '→ → g A X X ϕ . Các tiên đề HT1 và HT2 thử được một cách tầm thường. Tương tự, đối với mỗi vật B thuộc A , ta có hàm tử phản biến : B M →A S sao cho ( ) ( ) Mor ,= B M Y Y B . Nếu : ' → Y Y ψ là cấu xạ thì ta lấy ( ) ( ) ( ) : Mor , Mor ',→ B M Y B Y B ψ là ánh xạ cho bởi quy tắc a of f ψ đối với bất kỳ ( ) Mor , , '∈ → → f f Y B Y Y B ψ . Hai hàm tử trên gọi là hàm tử biểu diễn. 10