Tích chất mở rộng tương đẳng đối với các nửa nhóm iđêan luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LẠI THỊ HƯƠNG LAN TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TƯƠNG ĐẲNG ĐỐI VỚI CÁC NỬA NHÓM IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An 2011 1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Tương đẳng và nửa nhóm thương 3 1.2 Nửa nhóm xyclic 8 1.3 Băng và nửa dàn. Nửa nhóm giao hoán 10 Chương 2. Nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng và mở rộng iđêan 18 2.1 Nửa nhóm giao hoán với tính chất mở rộng iđêan 18 2.2 Nửa nhóm giao hoán iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng 22 2.3 Nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng iđêan 29 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 2 LỜI NÓI ĐẦU Khái niệm nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng đã được đưa ra bởi A. R. Stralka năm 1972. Nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng tương đẳng (CEP) nếu thoả mãn điều kiện: với mỗi nửa nhóm T của S và mỗi tương đẳng σ trên T, tồn tại một tương đẳng ρ trên S sao cho σρ =×∩ )( TT . Từ đó đến nay, rất nhiều lớp nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng đã được nghiên cứu: như nửa nhóm xyclic, nửa nhóm giao hoán . Luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo The congruence extention property for algebraic semigroups của tác giả I. J. Garcia đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 43 năm 1991 (xem [7]) để tìm hiểu lớp nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng, đó là lớp nửa nhóm thoả mãn định nghĩa sau: Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm iđêan nếu với mỗi tương đẳng ρ trên S đều tồn tại một iđêan I của S sao cho S II ∆∩×= )( ρ , trong đó S ∆ là tương đẳng đồng nhất của S: baba S =⇔∆∈ ),( . Ngoài ra, chúng tôi cũng tìm hiểu lớp nửa nhóm có tính chất mở rộng iđêan nghĩa là lớp nửa nhóm thoả mãn định nghĩa : Nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng iđêan (IEP) nếu với mỗi nửa nhóm con T của S và mỗi iđêan I của T tồn tại một iđêan J của S sao cho TJI ∩= . Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản của lý thuyết nửa nhóm: tương đẳng và nửa nhóm thương, nửa nhóm xyclic, băng và nửa dàn để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau. 1 Chương 2. Nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng và tính chất mở rộng iđêan. Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày các nửa nhóm giao hoán và nửa nhóm giao hoán iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng. Sau đó chúng tôi trình bày các nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng iđêan. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Lê Quốc Hán người thầy đã hướng dẫn, chỉ dạy tận tình để tôi hoàn thành luận văn này. Trong quá trình học tập và viết luận văn, tôi cũng nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Đại số - Khoa Toán - Trường Đại học Vinh và Khoa Đào Tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh và các bạn lớp cao học 17 chuyên ngành Đại số và lý thuyết số. Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hoá, Ban giám hiệu, tổ toán và đồng nghiệp trường THPT Trần Phú, gia đình và những người thân đã cùng chia sẻ, giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập và luận văn tốt nghiệp cuối khoá. Cuối cùng, do khả năng còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các quý thầy giáo, cô giáo cùng tất cả các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An, tháng 11 năm 2011 Tác giả 2 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Tương đẳng và nửa nhóm thương 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử S là nửa nhóm và ρ là một quan hệ trên S. Khi đó ρ được gọi là ổn định bên phải (trái) nếu a ρ b (a,b ∈ S) kéo theo ac ρ bc (ca ρ cb), với mọi c ∈ S. Quan hệ ρ được gọi là tương đẳng phải (trái) nếu ρ là quan hệ tương đương và ổn định phải (trái). Quan hệ ρ được gọi là một tương đẳng trên S nếu ρ vừa là tương đẳng phải, vừa là tương đẳng trái. 1.1.2. Nửa nhóm thương. Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm S. Khi đó ρ là quan hệ tương đương trên S, do đó có thể xét tập thương S / ρ , tức là tập các lớp tương đương của S theo mod ρ . Giả sử A, B là hai phần tử tuỳ ý của S / ρ . Nếu a 1 ,a 2 ∈ A và b 1 ,b 2 ∈ B. Khi đó từ a 1 ρ a 2 suy ra a 1 b 1 ρ a 2 b 1 (vì ρ ổn định bên phải). Từ b 1 ρ b 2 suy ra a 2 b 1 ρ (vì ρ ổn định bên trái). Theo tính chất bắc cầu của ρ suy ra a 1 b 1 ρ a 2 b 2 . Do đó, tích AB của các lớp A và B được chứa trong một lớp tương đương C nào đó. Định nghĩa phép nhân (  ) trong S / ρ bằng cách đặt A  B = C. Từ tính chất kết hợp trong S suy ra tính kết hợp trong S / ρ , và do đó S / ρ trở thành nửa nhóm. Nửa nhóm S / ρ được gọi là nửa nhóm thương của S theo mod ρ . Nếu S là nửa nhóm giao hoán thì S / ρ cũng là nửa nhóm giao hoán. Nếu S là vị nhóm với đơn vị e thì S / ρ là vị nhóm với đơn vị là e ρ . Ta ký hiệu a ρ (a ∈ S) là lớp tương đương theo mod ρ chứa a. Điều đã nói trong định nghĩa trên của phép toán (  ) có nghĩa đơn giản là a ρ  b ρ = (ab) ρ với mọi a,b ∈ S. 3 1.1.3. Đồng cấu. Giả sử ϕ : S → S ’ là ánh xạ từ nửa nhóm S vào nửa nhóm S ’ . Khi đó ϕ được gọi là đồng cấu nửa nhóm nếu )().()( baab ϕϕϕ = , với mọi a, b ∈ S. Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm S. Khi đó ánh xạ tự nhiên φ ρ từ S lên S / ρ xác định bởi φ ρ (a) = a ρ là một đồng cấu nửa nhóm, nó được gọi là đồng cấu tự nhiên (hay chính tắc) từ nửa nhóm S lên nửa nhóm S / ρ . Như vậy, mỗi nửa nhóm thương của nửa nhóm S là một ảnh đồng cấu của nó. Định lý sau đây chứng tỏ rằng, đảo lại, mỗi ảnh đồng cấu của nửa nhóm S đẳng cấu với một nửa nhóm thương nào đó của nó. Như vậy, nếu ta không phân biệt các nửa nhóm đẳng cấu với nhau, thì bài toán bên ngoài về việc tìm tất cả các ảnh đồng cấu của nửa nhóm S đã cho được chuyển về bài toán bên trong tìm tất cả các tương đẳng trên S. 1.1.4. Định lý (Định lý cơ bản về đồng cấu). Giả sử θ là một đồng cấu từ nửa nhóm S lên nửa nhóm S ’ và giả sử θθρ  1 − = , nghĩa là a ρ b (a,b ∈ S) khi và chỉ khi )()( ba θθ = . Thế thì ρ là một tương đẳng trên S và tồn tại đẳng cấu ϕ từ nửa nhóm S / ρ lên S ’ sao cho θρψ φ =  trong đó φ ρ là đồng cấu tự nhiên từ S lên S / ρ . Chứng minh. Nếu a ρ b và c ∈ S thì )()()()()()( bccbcaac θθθθθθ === , từ đó ac ρ bc. Tương tự, ca ρ cb. Vì ρ hiển nhiên là một quan hệ tương đương trên S, nên nó là tương đẳng. Đối với mỗi phần tử A thuộc nửa nhóm S / ρ , ta đặt )()( 1 aa θψ = , trong đó Aa ∈ 1 . Để chứng tỏ ψ là một ánh xạ (từ S / ρ vào S ’ ), ta chú ý rằng nếu Aa ∈ 2 thì a 1 ρ a 2 và vì vậy )()( 21 aa θθ = . Vì θ là ánh xạ từ S lên S ’ nên ϕ là ánh xạ từ S / ρ lên S ’ . Ta chứng tỏ ψ là đồng cấu. Giả sử A, B ∈ S / ρ và a ∈ A và b ∈ B. Thế thì ab ∈ AB, nên ).()()()( baabAB θθθψ == Mặt khác )()( ba ψψ = ⇒ θ (a) = θ (b). 4 Từ đó a ρ b và vì vậy A = B. Như vậy ψ là đẳng cấu từ S / ρ lên S ’ . Nếu ρ S/A ∈∈ a thì Aa = )( φ ρ . Thành thử )())(()()( aaaa φφ ρψρψψθ  === . Vì điều này đúng với mọi a ∈ S nên ta kết luận rằng φ ρψθ  = .□ 1.1.5. Chú ý. Giả sử H là một nhóm con của nhóm G, thế thì quan hệ ρ trên G, xác định bởi a ρ b (a,b ∈ G) khi và chỉ khi ab 1 − ∈ H, là một tương đẳng phải trên G, và mọi tương đẳng phải trên G đều thu được bằng cách đó. Các lớp tương đương của ρ là các tập Ha với a ∈ G. Quan hệ ρ là tương đẳng khi và chỉ khi H là chuẩn tắc trong G. Trong trường hợp S là nửa nhóm tuỳ ý, các tương đẳng nói chung không được xác định bởi một lớp nào trong các lớp của nó (hoặc “hạt nhân”) như đối với một nhóm. Tuy nhiên, có một số loại tương đẳng có thể xác định như vậy. Chẳng hạn, mỗi tương đẳng ρ mà S / ρ là một nhóm (hoặc nhóm với phần tử không) được xác định bởi lớp là phần tử đơn vị của nhóm (hoặc nhóm với phần tử không). 1.1.6. Định lý (Định lý về đồng cấu cảm sinh). Giả sử 1 ϕ và 2 ϕ là các đồng cấu từ nửa nhóm S tương ứng lên các nửa nhóm 1 S và 2 S sao cho 2 1 21 1 1 ϕϕϕϕ  −− ⊆ . Thế thì tồn tại một đồng cấu duy nhất θ từ 1 S lên 2 S sao cho 21 ϕϕθ =  . Chứng minh. Giả sử 11 Sa ∈ và a là phần tử thuộc nửa nhóm S sao cho 11 )( aa = ϕ . Đặt )()( 121 aa ϕθ = .Nếu 11 )( ab = ϕ (b ∈ S) thì (a,b) 2 1 21 1 1 ϕϕϕϕ  −− ⊆∈ , từ đó )()( 22 ba ϕϕ = do đó θ là một ánh xạ (đơn trị). Hiển nhiên 21 ϕϕθ =  . Ta chứng tỏ θ là đồng cấu. Ta có [ ] [ ] )()()().( 2111 ababba ϕϕθϕϕθ == = [ ] [ ] )(.)()().( 1122 baba ϕθϕθϕϕ = . 5 Tính duy nhất của θ là hiển nhiên. Thật vậy, nếu θ thoả mãn hệ thức 21 ϕϕθ =  thì bắt buộc phải xác định như đã làm ở trên.□ 1.1.7. Hệ quả. Nếu 1 ρ và 2 ρ là các tương đẳng trên nửa nhóm S sao cho 1 ρ ⊆ 2 ρ thì S / 2 ρ là ảnh đồng cấu của S / 1 ρ . Chứng minh. Giả sử φ ρϕ 11 = , φ ρϕ 22 = , 11 / ρ SS = , 22 / ρ SS = .Vì 1 1 11 ϕϕρ  − = và 2 1 22 ϕϕρ  − = nên từ 1 ρ ⊆ 2 ρ suy ra 2 1 21 1 1 ϕϕϕϕ  −− ⊆ . Theo Định lý 1.1.6, tồn tại đồng cấu θ từ nửa nhóm 1 S lên nửa nhóm 2 S .□ 1.1.8. Nguyên tắc ảnh đồng cấu tối đại kiểu đã cho. Dễ thấy rằng giao của một họ tuỳ ý các tương đẳng trên nửa nhóm S cũng là tương đẳng trên S. Nguyên tắc sau đây do Tamura và Kimura nêu lên năm 1954. 1.1.8.1. Mệnh đề. Giả sử c là một tính chất trừu tượng của nửa nhóm, tức là một tính chất sao cho nếu một trong hai nửa nhóm đẳng cấu với nhau có tính chất c thì nửa nhóm kia cũng có tính chất đó. Ta nói tương đẳng σ trên nửa nhóm S có kiểu c nếu σ /S có tính chất c . Giả thiết rằng giao ρ của tất cả các tương đẳng σ trên S có kiểu c cũng có kiểu c. Thế thì S/ ρ là ảnh đồng cấu tối đại của S có tính chất c và mỗi ảnh đồng cấu của nửa nhóm S có tính chất c là ảnh đồng cấu nửa nhóm S / ρ . Chứng minh. Nếu T là ảnh đồng cấu của nửa nhóm S có tính chất c , thì theo Định lý cơ bản về đồng cấu nửa nhóm, có σ /ST ≈ , với tương đẳng σ nào đó trên S. Vì theo giả thiết, c là một tính chất trừu tượng, nên σ /S có tính chất c. Do đó σ có kiểu c, từ đó σρ ⊆ theo định nghĩa của ρ .Theo Hệ quả của Định lý 1.1.6, ta có σ /S là ảnh đồng cấu của S / ρ và do đó T là ảnh đồng cấu của S / ρ .□ 6 1.1.8.2. Chú ý. Xem như các ví dụ áp dụng nguyên tắc trên, ta hãy chú ý tới các sự kiện sau: (1) Mỗi nửa nhóm có ảnh đồng cấu nửa nhóm tối đại. (2) Mỗi nửa nhóm có ảnh đồng cấu giao hoán tối đại. Có thể thay thế trong (2) từ “giao hoán “ bởi từ “luỹ đẳng hoặc “với luật giản ước” hoặc bởi một tổ hợp tuỳ ý ba tính chất đó. Cho đến nay việc khảo sát thành công nhất là đối với trường hợp “giao hoán và luỹ đẳng”. Đó là kiểu thứ nhất được Tamura và Kimura xét năm 1954. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng không phải mọi nửa nhóm đều có ảnh đồng cấu nhóm tối đại. (Kimura đã chỉ ra điều đó trong một bài báo của mình vào năm 1958). 1.1.9. Tương đẳng sinh bởi một quan hệ cho trước. Vì tương đẳng có một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết nửa nhóm, do đó người ta thường quan tâm đến việc xây dựng các tương đẳng thoả mãn một số tính chất nào đó. Sau đây ta nêu lên cách xây dựng tương đẳng sinh bởi một quan hệ cho trước. Giả sử 0 ρ là quan hệ tuỳ ý trên nửa nhóm S, khi đó tồn tại ít nhất một tương đẳng trên S chứa 0 ρ , đó là quan hệ phổ dụng SxS ω = . Do đó, tồn tại giao ρ của tất cả các tương đẳng trên S chứa 0 ρ , ta gọi ρ là tương đẳng sinh bởi quan hệ 0 ρ . Ta sẽ mô tả ρ một cách chi tiết hơn. Giả sử i ∪∪= − 1 001 ρρρ . Đặt a 2 ρ b (a,b ∈ S) khi và chỉ khi a = xcy, b = xdy và dc 1 ρ với c, d nào đó thuộc S và x, y nào đó thuộc { } 1 1 ∪= SS . Ta gọi việc chuyển từ a đến b hoặc ngược lại là 0 ρ - bắc cầu sơ cấp. Rõ ràng quan hệ 2 ρ là phản xạ, đối xứng và ổn định, hơn nữa ρρρρ ⊆⊆⊆ 210 . Cuối cùng, bao đóng bắc cầu t 2 ρ của quan hệ 2 ρ là tương đẳng trên S được chứa trong ρ và do đó bằng ρ . Như vậy, a ρ b khi và chỉ khi tồn tại các phần tử c 1 , c 2 , ., c n ∈ S sao cho 7 12 ca ρ , 221 cc ρ , ., bc n 2 ρ . Ta tóm tắt những điều đã nói vào định lý sau đây 1.1.10. Định lý. Giả sử 0 ρ là một quan hệ trên nửa nhóm S và ρ là một tương đẳng trên S, sinh bởi 0 ρ . Thế thì a ρ b (a,b ∈ S) khi và chỉ khi b có thể thu được từ a bằng một dãy hữu hạn 0 ρ - bắc cầu sơ cấp. 1.2. Nửa nhóm xyclic 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử S là nửa nhóm và a là một phần tử tuỳ ý của S. Khi đó nửa nhóm con >< a của S gồm tất cả các luỹ thừa nguyên dương của a >< a = { a, a 2 , a 3 , .}, được gọi là nửa nhóm con xyclic của S sinh bởi a. Trong trường hợp S = >< a thì S được gọi là nửa nhóm xyclic sinh bởi a và a được gọi là phần tử sinh. Cấp của a được định nghĩa là cấp của nửa nhóm con xyclic >< a . Với mỗi a ∈ S chỉ có hai khả năng xảy ra i) Hoặc mỗi luỹ thừa của a đều khác nhau, khi đó a có cấp vô hạn (đếm được). ii) Hoặc tồn tại các số nguyên r và s với r < s sao cho sr aa = .Khi đó a có cấp hữu hạn . Giả sử s là số nguyên dương bé nhất sao cho S a là luỹ thừa của phần tử a bằng một luỹ thừa bé hơn nào đó của phần tử đó. Thế thì sr aa = , với r nào đó bé hơn s (r là số nguyên dương duy nhất có tính chất này). Đặt m = s - r, khi đó rmr aa + = . Trong trường hợp này m được gọi là chu kỳ, r là chỉ số của phần tử a hay của nửa nhóm xyclic hữu hạn >< a . 8