Môđun con cốt yếu và môđun đều

Bộ giáo dục đào tạo trờng ĐạI HọC VINH Phan anh thắng Môđun cốt yếu môđun Luận văn thạc sĩ toán học Vinh 2010 Bộ giáo dục đào tạo trờng ĐạI HọC VINH Phan anh thắng Môđun cốt yếu môđun Chuyên ngành: đại số & lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS TS NGÔ Sỹ TùNG Vinh - 2010 MC LC Trang M U Chng 1 CC KHI NIM C S 1.1 Cỏc nh ngha v vớ d 3 1.1.1 Mụun ct yu 1.1.2 Mụun u 1.1.3 CS mụun 1.1.4 (1 C1) mụun 1.1.5 H qu 1.1.6 Mụun ni x, ta ni x 1.1.7 Chiu Goldie Chng MT S TNH CHT CA MễUN CON CT YU V Mễ UN U 2.1 Mt s tớnh cht ca mụun ct yu 6 2.2 Mt s tớnh cht ca mụun u 14 KT LUN 33 TI LIU THAM KHO 34 CC K HIU DNG TRONG LUN VN Cỏc ký hiu c s dng lun ch yu da theo Anderson, Fuller[4]; N.V Dung - D.V Huynh P.F Smith v R Wisbauer [7] K M KM : K l mt mụun ct yu ca mụun M : K l mụun ca mụun M Hom( N , M ) : Tp tt c cỏc ng cu mụun t N n M : Phộp nhỳng A : Thu hp ca trờn A NM : Mụun N ng cu vi M M i : Tng trc tip cỏc mụun Mi, i I Udim M : Chiu u (chiu Goldie) ca mt mụun M l(M) : di ca mụun M B [...]... tiếp hữu hạn những môđun con đều 2.2.5 Bổ đề Giả sử M là một môđun và K ⊆ L là những môđun con của M sao cho K là một môđun đóng trong L và L là môđun đóng trong M Thì K là môđun đóng trong M Chứng minh Xem [6,1.10] 2.2.6 Định lí Cho R là vành tùy ý Một R - môđun M là (1 - C 1) - môđun với chiều Goldie hữu hạn nếu và chỉ nếu (i) M là một tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều, và (ii) Mọi hạng tử... cho các môđun con đóng của M là không bé, khi đó M là một môđun đều (iii) Giả sử A và B là các môđun đẳng cấu với nhau Khi đó A là môđun bé nếu và chỉ nếu B là môđun bé 26 Chứng minh Ta nhắc lại rằng một môđun M chỉ có duy nhất một môđun con tối đại chứa tất cả các môđun con thực sự của M, khi đó ta gọi M là môđun địa phương (i) Bởi vì N là môđun con của M do đó E(M) = E(N) ⊕ Y với một môđun con Y nào... N là môđun con bé của E(N), hay N là môđun bé (ii) Giả sử H là môđun con khác 0 bất kỳ của M, ta cần chứng minh H cốt yếu trong M Bởi Bổ đề Zorn, tồn tại một môđun con đóng N của m sao cho H ⊂ ∗ → N Bởi vì M là địa phương nên tồn tại môđun tối đại K chứa tất cả các môđun con thực sự của M Nếu N ≠ M, khi đó N ⊆ K và mỗi môđun con thực sự L của M thì N + L ⊆ K hay N + L ≠ M, và do đó N là môđun con bé... CHẤT MÔĐUN ĐỀU 2.2.1 Bổ đề Mọi môđun khác không có chiều Goldie hữu hạn luôn chứa một môđun con đều Chứng minh Giả sử ngược lại rằng, M không chứa một môđun con đều Cụ thể: Nếu M không là đều thì tồn tại những môđun con khác không K 1, L1 của M sao cho K1 ∩ L1 = 0 Khi đó K1 không là môđun đều nên tồn tại những môđun con khác không K2, L2 của K1 sao cho K2 ∩ L2 = 0 Ta lại có K2 không là môđun đều nên ta... phải xạ ảnh P Bởi vì R là vành liên tục phải nên chúng ta đã biết rằng J = Z(R R), nghĩa là J và R - môđun phải suy biến Khi đó tồn tại các R - môđun A và B sao cho J ≅ A/B và B là môđun con cốt yếu của A Từ đó và bởi P là môđun con của J nên tồn tại môđun con C của A chứa B mà P ≅ C/B Xét dãy khớp 0 → B → C → C/B → 0 (1) Vì C/B ≅ P là môđun xạ ảnh, do đó dãy (1) là chẻ ra và nghĩa là B là hạng tử trực... Mệnh đề Giả sử R là một vành nửa hoàn chỉnh và có chiều Goldie phải hữu hạn Khi đó R không có một idean phải xạ ảnh khác 0 nào được chứa trong căn Jacobsson J(B) của R và mọi môđun con đóng đều của R(ω) là hạng tử trực tiếp nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng đều của R(ω) là không bé Chứng minh Rõ ràng nếu mọi môđun con đóng đều của R(ω) là hạng tử trực tiếp thì các môđun con đóng đều của R(ω) là không... - C 1) - môđun 2.2.7 Hệ quả Bất kỳ CS – môđun là (1 – C 1)- môđun Chứng minh Vì M là CS – môđun nên theo định nghĩa 1.3, mỗi môđun con của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp Do vậy mỗi môđun con đều cũng cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp, và dẫn đến M là (1 - C 1) – môđun theo định nghĩa 1.4 23 2.2.8 Bổ đề Nếu M có một sự phân tích trực tiếp hữu hạn M = M1 ⊕ M2 ⊕ … ⊕ M n trong đó mỗi vành tự đồng... đó áp dụng Định lý 2.2.16, thì R là QF - vành 2.2.18 Hệ quả Đối với một vành nửa hoàn chỉnh R, các phát biểu sau đây là tương đương (i) R là QF - vành (ii) R là tự nội xạ phải và mỗi môđun con đều của R( ω) được chứa trong một môđun con hữu hạn sinh của R( ω) (iii) R là liên tục phải, R R⊕ RR là CS - môđun và mỗi môđun con đều của R(ω) được chứa trong một môđun con hữu hạn sinh (của R( ω)) Chứng minh... - môđun Nếu M có chiều Goldie hữu hạn, thì M là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều Chứng minh Là hệ quả hiển nhiên của Bổ đề 2.2.19 và Bổ đề 2.2.20 2.2.24 Mệnh đề Giả sử M là (1 - C1) - môđun và A là môđun con đóng của M Nếu A có chiều Goldie hữu hạn, thì A là hạng tử trực tiếp của M Chứng minh Như ta đã biết, mỗi môđun con đóng trong một môđun con đóng là một môđun con đóng Do vậy nếu U là đều. .. Chứng minh Giả sử K là phần bù giao của môđun N và K là hạng tử trực tiếp của M khi đó K ∩ N = 0 và theo Mệnh đề 2.1.4 ta có K ⊕ N là cốt yếu trong M Ngược lại, giả sử N, K là các môđun con của M và K là hạng tử trực tiếp của M với K ∩ N = 0; K ⊕ N cốt yếu trong M Khi đó tồn tại môđun con K’ của M sao cho M = K ⊕ K’ Giả sử tồn tại môđun con K1 của M sao cho K ⊆ K1 và K1 ∩ N = 0 Khi đó K1 = K1 ∩ M = K1 ... cú chiu u hu hn thỡ mi mụun ca M cú chiu u hu hn 10 CHNG MT S TNH CHT MễUN CON CT YU V MễUN U 2.1 MT S TNH CHT MễUN CON CT YU 2.1.1 Mnh Cho M l mt R - mụun, ú: a) N M v ch x M, Rx N ... 1.1.4 (1 C1) mụun 1.1.5 H qu 1.1.6 Mụun ni x, ta ni x 1.1.7 Chiu Goldie Chng MT S TNH CHT CA MễUN CON CT YU V Mễ UN U 2.1 Mt s tớnh cht ca mụun ct yu 6 2.2 Mt s tớnh cht ca mụun u 14 KT LUN 33 TI...2 môđun Chuyên ngành: đại số & lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn