Môđun con cốt yếu và môđun đều

MỞ ĐẦUViệc nghiên cứu lý thuyết môđun cho đến nay được phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết vành.Nghiên cứu cấu trúc vành nguời ta có thể ng

Phan anh thắng

Môđun con cốt yếu

và môđun đều Luận văn thạc sĩ toán học

Vinh 2010–

Bộ giáo dục và đào tạo

trờng ĐạI HọC VINH

Phan anh thắng

Môđun con cốt yếu

CỦA MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ MÔ ĐUN ĐỀU 6

Các ký hiệu được sử dụng trong luận văn chủ yếu dựa theo Anderson,Fuller[4]; N.V Dung - D.V Huynh – P.F Smith và R Wisbauer [7].

Udim M : Chiều đều (chiều Goldie) của một môđun M

B << M : B là đối cốt yếu trong môđun M

MỞ ĐẦU

Việc nghiên cứu lý thuyết môđun cho đến nay được phát triển mạnh mẽ

và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết vành.Nghiên cứu cấu trúc vành nguời ta có thể nghiên cứu đặc trưng qua tính chấtcủa một lớp xác định nào đó của các môđun trên vành đó

Có hai hướng chính để nghiên cứu lý thuyết vành Hướng thứ nhất sửdụng nội tại các tính chất của nó thông qua lớp các idean và hướng thứ hai làđặc trưng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđun trênchúng Về mặt lịch sử hướng thứ nhất phát triển sớm hơn và đưa ra nhữngđịnh nghĩa đặc trưng ban đầu về các lớp vành khá quen thuộc như hiện naynhư vành nửa đơn, các vành tựa Frobenius, vành Artin vành Noether, vànhnửa nguyên tố, vành nửa nguyên sơ… Hướng thứ hai xuất hiện muộn hơnnhưng tỏ ra khá hiệu quả Kết quả đầu tiên và hoàn chỉnh nhất là đặc trưngcủa vành Artin nửa đơn Xuất phát từ đây, người ta đã thu được nhiều đặctrưng vành khác nhau của các lớp vành thoả mãn điều kiên hữu hạn

Trong các lớp môđun, lớp môđun con cốt yếu và môđun đều là nhữnglớp môđun được nhiều người quan tâm ngiên cứu Phải nói rằng sau khi lớpcác CS – môđun ra đời (1977) cho đến nay, lý thuyết môđun được pháttriển mạnh mẽ và có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lýthuyết vành

Để nghiên cứu các lớp môđun và đặc trưng vành, người ta thường xétcác lớp môđun với tính chất của nó như: môđun con cốt yếu, môđun đều…Xuất phát từ ý tưởng trên, hướng nghiên cứu của luận văn tập trungnghiên cứu môđun con cốt yếu và môđun đều, nghiên cứu cấu trúc của môđuncon cốt yếu và môđun đều

Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận vàdanh mục các tài liệu tham khảo.

- Chương 1: Các khái niệm cơ sở Trình bày các khái niệm cơ bản chuẩn

bị cho chương 2 Các khái niệm được đề cập chủ yếu trong chương này là

- Chương 2: Một số tính chất của môđun con cốt yếu và môđun đều.Trên cơ sở xem xét và trình bày các tính chất của môđun con cốt yếu vàmôđun đều, tường minh một số tính chất môđun con cốt yếu và môđun đều.Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tậntình của PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầygiáo hướng dẫn, người đã dành cho chúng tôi sự chỉ bảo tận tình, nghiêmkhắc và đầy lòng nhân ái Tôi xin tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô giáo trongchuyên nghành Đại số & Lý thuyết số – Khoa Toán – Trường Đại học Vinh:PGS TS Nguyễn Thành Quang, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Mai Văn Tư và

TS Nguyễn Thị Hồng Loan, những người đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tạođiều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập tại lớp Cao học khoá 16chuyên ngành Đại số & Lý thuyết số

Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới ban chủ nhiệm Khoa Toán và Khoa sauĐại học trường Đại học Vinh và tất cả bạn đồng nghiệp, đã tạo điều kiện họctập và nghiên cứu cho tôi trong thời gian qua

Luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi mong được sựchỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp

Tác giả

CHƯƠNG ICÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ

Trong toàn bộ luận văn các vành luôn giả thiết là vành kết hợp có đơn

vị, các môđun trên một vành luôn hiểu là môđun phải unita (nếu không nói

gì thêm)

Chương này chúng tôi đưa ra những định nghĩa và một số kết quả cơ bảnliên quan đến luận văn

1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ

1.1.1 Môđun con cốt yếu

Định nghĩa Cho M là một R- môđun phải và N là môđun con của M.

cốt yếu của M, thì ta nói rằng M là mở rộng cốt yếu của N.

(2) Môđun con N của M được gọi là đóng trong M nếu N không có một

mở rộng cốt yếu trong thực sự trong M Nói cách khác N được gọi là đóng

(3) Môđun con K của M được gọi là bao đóng của môđun con N trong M

Định nghĩa Cho R là một vành, một R - môđun phải khác không M

được gọi là đều nếu với bất kỳ hai môđun con khác không A, B của M ta luôn

có A ∩ B ≠ 0 Hay nói cách khác, M là đều nếu M ≠ 0 và mọi môđun conkhác không của M là cốt yếu trong M.

1.1.3 CS – Môđun

Định nghĩa Một môđun M được gọi là CS – môđun (hay Extending) nếu thoả

mãn, mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M Nóimột cách khác, mọi môđun con đóng trong M là một hạng tử trực tiếp của M

1.1.4 (1 – C 1 ) – Môđun

Định nghĩa Môđun M được gọi là (1 – C 1 ) – môđun (hay có tính chất CS cho

mỗi môđun con đều của M là cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M

1.1.5 Hệ quả Nếu môđun M có tính chất (1 – C 1 ) thì mọi hạng tử trực tiếp của M cũng có tính chất (1 – C 1 ).

Chứng minh Gọi môđun con N là hạng tử trực tiếp của M và U là

môđun con đóng đều trong N Khi đó, theo bổ đề 2.1.6 thì U đóng trong M

N = U ⊕ (N∩U’)

1.1.6 Môđun nội xạ, tựa nội xạ

Định nghĩa Cho M và N là các R – môđun.

– Môđun M được gọi là N – nội xạ nếu với mọi

giao hoán:

M i

g o i= f , trong đó i là phép nhúng đồng cấu.

- Môđun M gọi là môđun nội xạ nếu M là N – nội xạ, với mọi môđun N.

- Môđun M gọi là tựa nội xạ nếu M là M – nội xạ.

1.1.7 Chiều Goldie

Định nghĩa.

(1) Một môđun M trên vành R gọi là chiều Goldie (hay chiều đều, chiều

Uniform) hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con

khác không trong M M được gọi là có chiều Goldie vô hạn trong trường hợp

ngược lại

Số hạng tử khác không lớn nhất của tổng trực tiếp các môđun con của M

được gọi là số chiều Goldie (hay chiều uniform) của M và được ký hiệu là

Gdim (M) (hay Udim (M))

(2) Cho R là vành tùy ý, ta gọi chiều Goldie phải của R là chiều Goldie

Nhận xét:

Gọi N là một môđun con của một R - môđun M

đều hữu hạn, và trong trường hợp này udim M = udim N

Ngược lại, nếu M có chiều đều hữu hạn và udim M = udim N Thì

N ⊂∗

(2) Nếu M = M1 ⊕ ⊕ Mn, thì udim M = udim M1 + + udim Mn

(3) Giả sử N và M/N đồng thời có chiều đều hữu hạn Thì M có chiều

(4) Nếu M có chiều đều hữu hạn thì mọi môđun con của M có chiều đềuhữu hạn

CHƯƠNG 2MỘT SỐ TÍNH CHẤT MÔĐUN CON CỐT YẾU

VÀ MÔĐUN ĐỀU

2.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT MÔĐUN CON CỐT YẾU

2.1.1 Mệnh đề Cho M là một R - môđun, khi đó:

a) N ⊂∗

→ M khi và chỉ khi ∀0 ≠ 0 x ∈ M, Rx∩ N ≠ 0 b) Giả sử K ⊆ N, N⊆M thì K⊂∗

T i

M M

Ngược lại, nếu Rx ∩ N ≠ 0, ∀x ∈ M, x ≠ 0 Khi đó, giả sử ngược lại tồn tại

Lấy 0 ≠ B⊆ M, ta suy ra B ∩ K ≠ 0 Vì K ⊆ N nên B ∩ N ≠ 0

e) Lấy 0 ≠ X ⊆ B, ta cần chứng minh X ∩ f-1(A) ≠0

- Nếu f(X) = 0 thì X ⊆ f-1(0) ⊆ f-1(A) Do đó X ∩ f-1(A) = X≠0

- Nếu 0 ≠ f(X) ⊆ C, do A ⊂∗

→ C nên A ∩ f(X) ≠0Khi đó tồn tại a ≠ 0, a ∈ A và a ∈ f(X) ⇒ a = f(x), với x là phần tử khác 0 nào

đó thuộc X Suy ra x = f-1(a) hay x ∈ f-1(A)

2.1.2 Mệnh đề Cho M là một R - môđun Khi đó, ta có

a) Z(M) là môđun con của M

b) Nếu A là môđun con của M thì Z(A) = A∩ Z(M)

c) Với mỗi x ∈ M, ta gọi r(x) = {λ/λ∈ R, xλ = 0} ta linh hóa tử phải của

x Khi đó x ∈ Z(M) khi và chỉ khi r(x) ⊂∗

Gọi H = {r ∈ R/λx ∈ I} ta có H ⊆ RR Thật vậy, vì λ (r - r’) = λr - λr’ ∈ Inên r - r’ ∈ H Hơn nữa, với mọi a ∈ R ta có λra = (λr)a ∈ I nên r a∈ H Bây

→ RR Như vậy (xλ)H = 0, bởi thế cho

A a

2.1.3 Mệnh đề a) Nếu f: A → B là đẳng cấu thì f(Z(A)) ⊂ Z(B)

b) Xét R - môđun phải M Nếu ⊂∗

b) L ⊕ K là môđun con cốt yếu của M

Chứng minh a) Ta chứng minh L đóng trong M Thật vậy, gọi N là

L ⊂∗

→ N nên ( N ∩ K) ∩ L = N ∩ ( K ∩ L) ≠ 0 Vì K ∩ L = 0 nên ta có điều

vô lý Do đó N = L hay L đóng trong M

tại môđun con cốt yếu L của R để aL ⊆ K.

Chứng minh Giả sử a∈M, đặt L = {r ∈ R/ar∈ K} Khi đó L là iđeanphải của R Thật vậy, L ≠ φ vì 0 ∈ L Giả sử r, r’ ∈ L, r” ∈ R, khi đó ta có

a(r.r”) = (ar).r” ∈ K, do ar ∈ K, K là môđun, nên rr” ∈ L

→ R Xét ánh xạ fa: R → M

2.1.6 Bổ đề Giả sử K là hạng tử trực tiếp của môđun M Khi đó, ta có K là

phần bù giao của môđun con N trong M khi và chỉ khi K ∩ N = 0 và K ⊕ N cốt yếu trong M

Chứng minh Giả sử K là phần bù giao của môđun N và K là hạng tử trực

trong M

Ngược lại, giả sử N, K là các môđun con của M và K là hạng tử trực tiếp của

Khi đó K1 = K1 ∩ M = K1 ∩ K ⊕ K’ = K ⊕ (K1 ∩ K’)

Giả sử có 0 ≠ y ∈ K1∩ K’.Trước hết 0 ≠ y.r = n + k trong đó

2.1.7 Mệnh đề Cho M là R - môđun, khi đó các điều kiện sau đây tương

đương

(i) M thỏa mãn (C 11 )

(ii) Với mọi môđun con đóng L của M luôn tồn tại hạng tử trực tiếp K của M sao cho K là phần bù giao của L trong M

(iii) N là môđun con bất kỳ của M, tồn tại hạng tử trực tiếp K của M sao cho N∩ K = 0 và N ⊕ K cốt yếu trong M

(iv) Với mọi môđun con đóng L của M, tồn tại hạng tử trực tiếp K của M sao cho L ∩ K = 0 và L ⊕ K là môđun con cốt yếu trong M

Chứng minh.

(i) ⇒ (iii) Được suy ra từ Bổ đề 2.1.6

(i) ⇒ (ii) Trực tiếp suy ra từ định nghĩa

(iii) ⇒ (iv) Hiển nhiên

Khi đó tồn tại môđun con đóng B trong M sao cho A cốt yếu trong B Theo

yếu trong M Do đó theo Bổ đề 2.1.6 thì K là phần bù giao của B trong M và

2.1.10 Mệnh đề Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tại môđun

con T của M sao cho A⊕T ⊂∗

(2) K ⊕B là môđun con cốt yếu của M.

Chứng minh (1) Giả sử có một môđun con N của M sao cho K ⊂∗

thế thì, nếu N ≠K, do K ∩B=0, K tối đại nên N ∩B≠0 Ta có

( ∩ ) (= ∩ )∩ = ∩ =0

∩ N B K N B K B

→ N, suy ra N ∩B=0.Điều này vô lý Vậy, K đóng trong M (2) Suy ra từ 2.1.10

2.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT MÔĐUN ĐỀU

2.2.1 Bổ đề Mọi môđun khác không có chiều Goldie hữu hạn luôn chứa một

môđun con đều.

Chứng minh Giả sử ngược lại rằng, M không chứa một môđun con đều.

Cụ thể:

môđun con khác không K2, L2 của K1 sao cho K2∩ L2 = 0 Ta lại có K2 không

là môđun đều nên ta tiếp tục phân tích như trên dẫn đến M chứa một tổng trực

chiều Goldie vô hạn và điều này mâu thuẫn với giả thiết M có chiều Goldiehữu hạn Vậy M chứa một môđun con đều

2.2.2 Hệ quả Mọi môđun có chiều Goldie hữu hạn luôn chứa môđun con đều

tối đại.

Chứng minh Đặt F = {U ⊆ MU là môđun đều} Trong F xác định một

đều có phần tử lớn nhất Do đó theo bổ đề Zorn, F có phần tử tối đại

Vậy M chứa môđun con đều tối đại

2.2.3 Bổ đề Giả sử M là (1 - C 1 ) - môđun và V ⊕ U là một môđun con đóng của M, trong đó U là môđun con đều và V là một hạng tử trực tiếp của M Khi đó U ⊕ V là một hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh Vì V là hạng tử trực tiếp của M nên ta có M = V ⊕ M1

với một môđun con M1 nào đó của M Gọi: π: M -> M1

vậy X là hạng tử trực tiếp của M1 Ta lại có π-1(X)⊇π-1(π(U)) ⊇V ⊕ U(bởi vì

2.2.4 Bổ đề Cho R là vành tùy ý và một R - môđun M là (1 - C 1 ) - môđun với chiều Goldie hữu hạn Thì M là tổng trực tiếp hữu hạn của những môđun con đều

Chứng minh Gọi U là môđun con đều tối đại của M, thì U là đóng trong

đến U’ là (1 - C1) môđun với chiều Goldie hữu hạn Bằng quy nạp trên chiềuGoldie và Hệ quả 1.5 dẫn đến, U’ là một tổng trực tiếp hữu hạn các môđuncon đều.

Vậy M là một tổng trực tiếp hữu hạn những môđun con đều

2.2.5 Bổ đề Giả sử M là một môđun và K ⊆L là những môđun con của M sao cho K là một môđun đóng trong L và L là môđun đóng trong M Thì K

là môđun đóng trong M.

Chứng minh Xem [6,1.10].

2.2.6 Định lí Cho R là vành tùy ý Một R - môđun M là (1 - C 1 ) - môđun với chiều Goldie hữu hạn nếu và chỉ nếu

(i) M là một tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều, và

(ii) Mọi hạng tử trực tiếp của M có chiều Goldie 2 là một (1 - C 1 ) - môđun Chứng minh Giả sử rằng M là (1 - C1) - môđun với chiều Goldie hữuhạn khác không Khi đó dễ nhận thấy rằng, có (i) bởi Bổ đề 2.2.4 và sử dụng

hệ quả 1.5 ta có (ii)

Bởi vì V đóng đều trong M nên V cũng đóng đều trong K, do đó

2.2.7 Hệ quả Bất kỳ CS – môđun là (1 – C 1 )- môđun

Chứng minh Vì M là CS – môđun nên theo định nghĩa 1.3, mỗi môđun con của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp Do vậy mỗi môđun con đều cũng cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp, và dẫn đến M là (1 - C 1 ) – môđun theo định nghĩa 1.4.

2.2.8 Bổ đề Nếu M có một sự phân tích trực tiếp hữu hạn

M = M 1 ⊕ M 2 ⊕ …⊕ M n

trong đó mỗi vành tự đồng cấu End(M i ) là địa phương, thì sự phân tích này

bù hạng tử trục tiếp.

Chứng minh Xem [4, Corollary 12.7]

2.2.9 Bổ đề Nếu M là một môđun không thể phân tích có độ dài hữu hạn,

thì End(M) là một vành địa phương.

Chứng minh Xem [4, Lemma 12.8]

2.2.10 Định lí Cho R là vành và M là một R - môđun sao cho M =i⊕∈l M i

là một tổng trực tiếp các môđun đều có độ dài lớn nhất bằng hai Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

(i) M là CS - môđun

(ii) M là (1 - C 1 ) - môđun

(iii) M i ⊕ M j mà l(M i ) = l(M j ) = 2 là (1 - C 1 ) - môđun, i ≠ j ∈I

Chứng minh (i) ⇒ (iii) Là hiển nhiên theo Hệ quả 2.2.7

(iii) ⇒ (ii) Giả sử A = Mi ⊕ Mj mà 1(Mi) =1(Mj) = 2 là (1 - C1)

(ii ⇒ iii) cho trường hợp card(J) = card(K) = 1, ta có Mi là Mj - nội xạ

(iii) ⇒ (i) Từ phép chứng minh (iii)⇒ (ii), ta có những môđun

M là CS - môđun

2.2.11 Định lí Giả sử R là một vành và M là một R - môđun sao cho

M=M 1 ⊕ M 2 ⊕ ⊕ M n là tổng trực tiếp của những môđun đều M i và sự phân tích đó là bù hạng tử trực tiếp đều

Giả thiết rằng với mọi1≤ i ≠ j ≤n, mọi đơn cấu M i → M j là một đẳng cấu Khi đó các phát biểu sau tương đương:

(i) M là (1 - C 1 ) - môđun

(ii) M i⊕ M j là (1- C 1 ) - môđun với mọi 1 ≤ i ≠ j ≤ n

Chứng minh (i) ⇒ (ii) là hiển nhiên theo Hệ quả 1.5

(ii) ⇒ (i) Giả sử mọi môđun A = Mi⊕ Mj là (1 - C1) - môđun

1 ≤ i ≠ j ≤ n Gọi K⊂Mi (K là môđun đều) và f: K → Mj là một đồng cấu Đặt

U = {x - f(x):x ∈K} ⊂ Mi ⊕ Mj

có nghĩa A = U’ ⊕Mj Ta gọi α = πj M i, trong đó πj: U’ ⊕Mj →Mj là phép

chiếu chính tắc Khi đó với mọi x ∈K, x =f(x) + (x - f(x)), trong đóf(x)∈Mj và x-f(x)∈U’ Từ đó ta có:

α(x)=πi M i(x) =πi M i (f(x) + (x - f(x)) =πi M i (f(x))+πi M i(x-f(x))=f(x)

Trường hợp 2 A = U’ ⊕ Mj Gọi πj: U’⊕Mj →Mj là phép chiếu và gọi β = πj M i

Khi đó với mọi x ∈Mi, x = x-f(x) + f(x) trong đó f(x) ∈Mj và x-f(x) ∈U’ Từ đó ta có β(x) = β[(x - f(x)) + f(x)] = f(x)

nghĩa là β là một mở rộng của f hay Mj là Mi nội xạ

Như vậy, môđun Mi (1 ≤ i ≤ n) là nội xạ lẫn nhau và ta có M là (1 - C1) - môđun

2.2.12 Hệ quả Giả sử R là một vành và M là một R - môđun sao cho

M = M 1⊕M 2 ⊕ ⊕ M n là tổng trực tiếp của những môđun đều M i có cùng độ dài Giả thiết thêm rằng sự phân tích đó là bù hạng tử trực tiếp đều Khi đó M là (1-C 1 ) môđun nếu và chỉ nếu mọi hạng tử trực tiếp

M i⊕M j là (1-C 1 ) -môđun với mọi 1 ≤ i ≠j ≤ n

Chứng minh Do 1(Mi) = 1(Mj) với mọi i, j = 1, 2 , n nên mọi đơn

Chứng minh Ta nhắc lại rằng một môđun M chỉ có duy nhất một

môđun con tối đại chứa tất cả các môđun con thực sự của M, khi đó ta gọi

M là môđun địa phương

môđun con Y nào đó của E(M) Bây giờ từ N << M do đó N<< E(M) Bởi [10, Lemma 4.2(2)] ta có N là môđun con bé của E(N), hay N làmôđun bé

(ii) Giả sử H là môđun con khác 0 bất kỳ của M, ta cần chứng minh Hcốt yếu trong M Bởi Bổ đề Zorn, tồn tại một môđun con đóng N của m sao

con bé của M Theo (i) ở trên N là môđun bé, khi đó từ giả thiết ta phải có

N = M Vậy M là đều

cho ϕ(A) = B Giả sử A << E(A) Bởi [10, Lemma 4.2 (3)] ta suy ra

ϕ(A)<<ϕ(E(A)), hay B<<E(B)

2.2.14 Mệnh đề Giả sử R là vành nửa hoàn chỉnh sao cho mọi môđun con

đóng của R(ω) là không bé Khi đó R có chiều Goldie phải hữu hạn và mọi môđun con đóngd dều của R(ω) là không bé.

Chứng minh Từ giả thiết R là vành nửa hoàn chỉnh, do vậy bỏi [4,

chapter 27] hoặc [8, Theorem 22.23], R chứa một hệ lũy đẳng trực giao đầy

đủ {e1, en}

R = e1R⊕ ⊕ enR