Môđun con cốt yếu và (1- c1) môđun

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ______________________ NGUYỄN TRẦN MỸ PHƯƠNG TRANG MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ ( 1 – C 1 ) MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN 2014 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH _______________________ NGUYỄN TRẦN MỸ PHƯƠNG TRANG MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ ( 1 – C 1 ) MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ : 60 46 01 04 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. NGÔ SỸ TÙNG NGHỆ AN 2014 2 MỤC LỤC trang MỤC LỤC………………… …………………………………………………… 1 MỞ ĐẦU………………… …………………………………………………… 2 CHƯƠNG 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun con cốt yếu và môđun con bé ………… ………………………… 4 1.2 Tính chất của môđun con cốt yếu và môđun con bé ……………………. 5 CHƯƠNG 2 : MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ ( 1 – C 1 ) MÔĐUN 2.1 Các điều kiện (C i ) của môđun………………… ………… ………………13 2.2 Tính chất của ( 1 – C 1 ) môđun.……….………… …… 14 2.3 Tổng trực tiếp các môđun đều ……………………………………… ….18 KẾT LUẬN ………………… ……………………… 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………… ……………………… 27 3 MỞ ĐẦU Môđun con A của môđun M được gọi là cốt yếu (hay lớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có : A ∩ B ≠ 0 ( một cách tương đương nếu A ∩ B = 0 thì B = 0 ). Khi đó ta cũng nói rằng M là mở rộng cốt yếu của A và kí hiệu A * ⊂ M. Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại nói chung, lý thuyết môđun đã được các nhà toán học rất quan tâm và đã đạt được nhiều kết quả. Trên cơ sở yếu tố nội xạ, người ta đã mở rộng ra nhiều lớp môđun. Các lớp môđun như: môđun giả nội xạ, môđun giả nội xạ cốt yếu đã được nghiên cứu bởi S. K. Jain and S. Singh (1967), M. L. Teply (1975), A. A. Tuganbaev (1978), Đinh Quang Hải, lớp môđun nội xạ cốt yếu đã được nghiên cứu và phát triển bởi He Qun. Vào năm 1977, Chatters và Hajarnavis đưa ra khái niệm CS – môđun (Extending Module). Khi các lớp CS – môđun ra đời thì lý thuyết môđun đã phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết vành. Đặc biệt, Đinh Văn Huỳnh, P. F. Smith, R.Wisbauer, A. Harmanci, Nguyễn Việt Dũng, Ngô Sỹ Tùng, là những người nghiên cứu và đạt nhiều kết quả về CS – môđun. Dựa trên tài liệu tham khảo chính là [2] và [4], luận văn tìm hiểu lớp (1 – C 1 ) môđun trên cơ sở các kến thức về môđun con cốt yếu. Vì vậy đề tài luận văn của chúng tôi có tên là : “Môđun con cốt yếu và ( 1 – C 1 ) môđun” Mục đích của luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo, trình bày lại một số tính chất của môđun con cốt yếu và ( 1 – C 1 ) môđun. 4 Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn dự kiến chia thành 2 chương. Trong chương 1, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm cơ sở của Lý thuyết vành và môđun như : môđun, môđun con và các tính chất của nó dưới dạng một bổ đề hay định lý. Ở chương 2, đây là nội dung chính của Luận văn. Chương này được chia thành 3 tiết, tiết đầu tiên chúng tôi trình bày về khái niệm ( 1 – C 1 ) môđun và CS – môđun theo [1] và [2]. Tiết hai chúng tôi dùng để trình bày các kết quả chính trong [2] là các tính chất của ( 1 – C 1 ) môđun bởi môđun con cốt yếu và tiết 3 dành cho việc khảo sát tính chất CS của một tổng trực tiếp các môđun đều. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của Thầy PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, Người đã hết lòng giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, đồng thời tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn Thầy PGS.TS. Lê Quốc Hán, PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, Cô GVC.TS. Nguyễn Thị Hồng Loan, Cô GV.TS. Đào Thị Thanh Hà và Thầy TS. Thiều Đình Phong. Tác giả xin cảm ơn quý Thầy Cô trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số khoa Toán, Phòng Sau Đại học của Trường Đại học Vinh, Phòng QLKH&SĐH của Trường Đại học Đồng Tháp, bạn bè gần xa và gia đình đã tạo điều kiện cho tác giả thực hiện tốt luận văn này. Nghệ An, tháng 9 năm 2014. 5 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn bộ luận văn này, vành luôn được giả thiết là vành có đơn vị, kí hệu là 1 và các môđun luôn hiểu là môđun phải unita. Trong chương này chúng tôi xin nêu một số kiến thức về môđun cốt yếu và môđun con bé . 1.1 Môđun con cốt yếu và môđun con bé. 1.1.1 Định nghĩa (Môđun con cốt yếu). a) Môđun con A của R – môđun M gọi là cốt yếu (hay lớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có 0A B ≠I (một cách tương đương, 0A B =I thì 0B = ). Khi đó, ta cũng nói rằng M là mở rộng cốt yếu của A và kí hiệu *A M ⊂ . b) Đồng cấu : A B α → được gọi là cốt yếu khi và chỉ khi ( ) *Im B α ⊂ . 1.1.2 Ví dụ. 1) Với mỗi môđun M, ta đều có *M M ⊂ . 2) Vành số nguyên Z xem như môđun trên chính nó. Khi đó, mỗi iđêan khác không trong Z tức là các môđun con khác không của Z - môđun Z đều cốt yếu. Thật vậy, đối với hai iđêan khác không bất kỳ aZ và bZ ta đều có: 0 Zab aZ b≠ ∈ I (vì , 0a b ≠ ). 6 1.1.3 Nhận xét. Từ định nghĩa, ta có: 0M ≠ và *A M⊂ thì 0A ≠ . 1.1.4 Định nghĩa (Môđun con bé). Môđun con H của M được gọi là đối cốt yếu ( hay bé ) nếu với mỗi môđun con E ≠ M ta đều có H + E ≠ M ( một cách tương đương, H + E = M ⇒ E = M ). Khi đó ta kí hiệu H 0 ⊂ M 1.1.5 Ví dụ. 1) Đối với mỗi môđun M ta đều có 0 0 ⊂ M. 2) Trong Z – môđun tự do chỉ có môđun tầm thường 0 là đối cốt yếu. 3) Mỗi môđun con hữu hạn sinh trong Q Z là đối cốt yếu trong Q Z . Thật vậy, giả sử H là môđun con của Q, sinh bởi tập { q 1 , q 2 , q 3 , , q n } ⊂ Q Và E là môđun con của Q sao cho H + E = Q. Khi đó { q 1 , q 2 , q 3 , , q n } ∪ E Là một hệ sinh của Q Z và chính bản thân E là một hệ sinh của Q. Do đó E = Q. Điều này chứng tỏ H 0 ⊂ M.  1.2 Một số tính chất của môđun con cốt yếu và môđun con bé. Một số tính chất cơ bản của môđun con cốt yếu được thể hiện thông qua các bổ đề và hệ quả sau. 7 1.2.1 Bổ đề (Bổ đề 5.1.5 trong [3]) (a) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A B C M⊂ ⊂ ⊂ thì *A M ⊂ kéo theo *B C⊂ . (b) Nếu * , 1,2, , i A M i n⊂ = thì 1 * n i i A M = ⊂ I . (c) Nếu : M N ϕ → là đồng cấu môđun và *B N⊂ thì ( ) 1 *B M ϕ − ⊂ . (d) Cho : A B α → , : B C β → là các đơn cấu cốt yếu. Khi đó, : A C βα → cũng là đơn cấu cốt yếu. Chứng minh. (a). Giả sử 0U ≠ là môđun con của C. Khi đó U cũng là môđun con khác không của M. Ta có, * 0A M A U⊂ ⇒ ≠I . Mà 0A B B U⊂ ⇒ ≠I . Do đó *B C⊂ . (b). Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Với 1n = , mệnh đề đúng theo giả thiết. Giả sử mệnh đề đúng với 1n − , tức là: 1 1 * n i i A A M − = = ⊂ I Giả sử 0U ≠ là môđun con của M. Do * n A M⊂ , nên 0 n A U ≠I . Suy ra ( ) ( ) 0 0 n n A A U A A U≠ ⇒ ≠I I I I . Điều này chứng tỏ * n A A M⊂I hay 1 * n i i A M = ⊂ I . (c). Giả sử U M⊂ và ( ) 1 0U B ϕ − =I , suy ra ( ) 0B U ϕ =I . 8 Do đó ( ) 0U ϕ = , vì *B N⊂ . Từ đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 er 0 0U K B U B U ϕ ϕ ϕ ϕ − − − ⊂ = ⊂ ⇒ = =I . Điều này dẫn đến ( ) 1 *B M ϕ − ⊂ . (d). Giả sử U C⊂ và ( ) Im 0U βα =I . Do β là đơn cấu, nên ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 0 Im Im ImU U U β β βα β βα β α β − − − − − = = = =I I I . Mà ( ) *Im B α ⊂ , nên suy ra ( ) 1 0 0U U β − = ⇒ = . Do đó, ( ) *Im C βα ⊂ . Theo giả thiết , α β là đơn cấu nên βα là đơn cấu cốt yếu.  1.2.2 Bổ đề (Bổ đề 5.1.6 trong [3]) Cho A là môđun con của M R . Khi đó ta có: [ ] * , 0, 0 rA M m M m r R m A⊂ ⇔ ∀ ∈ ≠ ∃ ∈ ≠ ∈ . Chứng minh. ( ) ⇒ . Giả sử 0, m m M≠ ∈ , khi đó 0mR ≠ . Do *A M ⊂ nên 0A mR ≠I . Từ đó suy ra r R ∃ ∈ sao cho 0mr ≠ và mr A∈ . ( ) ⇐ . Ngược lại, giả sử B là môđun con khác không của M . Khi đó, lấy 0 m B≠ ∈ và tồn tại r R ∈ sao cho 0 mr A≠ ∈ . Vì mr B∈ nên 0A B ≠I . Điều này chứng tỏ *A M ⊂ .  Từ bổ đề 1.2.2, ta suy ra một số tính chất cơ bản của môđun con cốt yếu thông qua các hệ quả sau. 9 1.2.3 Hệ quả. Giả sử M = ∑ I i M , A i * ⊂ M với I ∈ i và A = ∑ I i A = ⊕ I A i. . Khi đó A * ⊂ M và M = ⊕ I M i. . Chứng minh. Trước hết ta chứng minh A * ⊂ M cho trường hợp I = { 1,2,…,n} bằng phương pháp quy nạp theo n. Với n = 1 mệnh đề đúng theo giả thiết. Giả sử mệnh đề đúng cho n – 1, tức là ( A 1 + … + A n-1 ) * ⊂ ( M 1 + … + M n-1 ) Giả sử m ∈ M là một phần tử khác không tùy ý, M = m 1 + m 2 + … + m n-1 + m n ∈ M i . Nếu m 1 + m 2 + … + m n-1 + m n = 0 thì m = m n ≠ 0 và do đó theo bổ đề trên tìm được r ∈ R sao cho 0 ≠ mr = m n r ∈ A n . Từ đó mrs ∈ A. Do tổng các A i là tổng trực tiếp nên mrs ≠ 0. Điều này chứng tỏ A * ⊂ M. Bây giờ ta xét trường hợp I là tập tùy ý. Khi đó với 0 ≠ m ∈ M ta có biễu diễn hữu hạn M = m i1 + m i2 + … + m in Không mất tình tổng quát có thể giả thiết rằng M = m 1 + … + m n ∈ ∑ = n i i M 1 = M 0 Khi đó theo chứng minh trên nếu đặt A 0 * ⊂ M 0 và do đó theo bổ đề tìm được r ∈ R sao cho 0 ≠ mr ∈ A 0 ⊂ A. 10 [...]... (H) + K = K, và ta có điều phải chứng minh CHƯƠNG 2  15 MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ ( 1 – C1) MÔĐUN Chương này là phần nội dung chính của luận văn, chúng tôi tìm hiểu và trình bày các điều kiện (Ci) của môđun, trình bày các khái niệm và một số tính chất cơ bản của của ( 1 – C1) môđun, cũng như tổng trực tiếp các môđun con đều dựa vào tính chất của môđun con cốt yếu 2.1 Các điều kiện (Ci) của môđun 2.1.1 Định... dụng các điều kiện liên tục và lớp CS – môđun, Luận văn trình bày một số tính chất của lớp ( 1 – C1) môđun dựa trên các tính chất của môđun con cốt yếu 3 Trình bày một số tính chất của tổng trực tiếp các môđun con đều dựa trên khái niệm ( 1 – C1) môđun và môđun con cốt yếu TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận ( 2001 ), Cơ Sở Lý Thuyết Vành và Mô Đun, NXB Giáo Dục, Hà... với ( 1 – C1 ) môđun có chiều Goldie hữu hạn 2.3.14 Hệ quả Một môđun M là ( 1 – C1 ) môđun có chiều Goldie hữu hạn nếu và chỉ nếu (i) M là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều (ii) Mọi hạng tử trực tiếp của M có chiều Goldie2 là ( 1 – C1 ) môđun 27  KẾT LUẬN Luận văn đã đề cập, tìm hiểu và trình bày các vấn đề sau : 1 Khảo sát và hệ thống các khái niệm về môđun con cốt yếu và môđun con bé, bên cạnh... là ( 1 – C1 ) môđun Nếu M là chiều Goldie hữu hạn, thì M là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều Chứng minh Là hệ quả hiển nhiên của bổ đề 2.3.2 và bổ đề 2.3.3  2.3.7 Mệnh đề Giả sử M là ( 1 – C1 ) môđun và A là môđun con đóng của M Nếu A có chiều Goldie hữu hạn, thì A là hạng tử trực tiếp của M Chứng minh Như ta đã biết, mỗi môđun con đóng trong một môđun con đóng là một môđun con đóng Do vậy... Định nghĩa CS – môđun Cho M là R – môđun phải Ta xét điều kiện sau : (C1 ) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M (C2) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M (C3) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A I B = 0 thì... và mọi môđun con khác không là cốt yếu trong U 2.2Tính chất của ( 1 – C1) môđun 2.2.1 Định lý (Định lý 4.14 trong [2]) Giả sử R là một vành và M là R – môđun sao cho M = ⊕ M i là tổng trực tiếp i∈I của các môđun đều Mi và sự phân tích đó của M là bù hạng tử trực tiếp Giả thiết rằng Mi không nhúng được đẳng cấu thực sự vào Mj , ∀ i ≠ j ∈ I Khi đó các phát biểu sau đây là tương đương : i) M là CS – môđun; ... tiếp của M (1) Một môđun M được gọi là CS – môđun (hay extending module), nếu M thõa mãn điều kiện (C1) trên (2) Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C2) (3) Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C3) (4) Một vành R gọi là CS – vành (liên tục, tựa liên tục) phải nếu R R là CS – môđun (liên tục, tựa liên tục) như một R – môđun phải R 16 Tương... ∈ M(K)} Từ tính cốt yếu của A ⊕ M(J) trong M ta kiểm tra được rằng π K (A) là cốt yếu trong M(K) và từ đó A cốt yếu trong A’ Bởi A đóng ta phải có A = A’ và do đó π K (A) = M( K) Từ đó suy ra rằng M = A ⊕ M(J) 20 Nghĩa là A là hạng tử trực tiếp của M và M là môđun CS Định lý đã được chứng minh xong  2.3 Tổng trực tiếp các môđun đều 2.3.1 Định nghĩa Môđun M được gọi là ( 1 – C 1 ) môđun ( hay có tính... các môđun con đều), nói gọn M là ( 1 – C 1 ) môđun hay M có ( 1 – C 1 ) nếu mỗi môđun con đều của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, có thể xem thêm trong [2]) 2.3.2 Bổ đề Nếu M là (1 – C1 )môđun, khi đó các hạng tử trực tiếp của M cũng là ( 1 – C 1) môđun Chứng minh Giả sử N là một hạng tử trực tiếp của M và U là môđun con đóng đều của N Suy ra U đóng trong M Bởi M có ( 1 – C 1 ) môđun, ... Chứng minh Giả sử A là môđun con đóng khác 0 của M Khi đó bởi bổ đề 2.3.3, A chứa một môđun con đều U Gọi V là bao đóng của U trong A, bởi vì A đóng trong M do vậy V là môđun con đóng đều của M Bởi M có ( 1 – C 1) do đó V là hạng tử trực tiếp của M  22 2.3.5 Bổ đề Giả sử M là ( 1 – C1 ) môđun và X ⊕ U là một môđun con đóng của M, trong đó X là hạng tử trực tiếp của M và U là môđun đều Khi đó X ⊕ U . THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun con cốt yếu và môđun con bé ………… ………………………… 4 1.2 Tính chất của môđun con cốt yếu và môđun con bé ……………………. 5 CHƯƠNG 2 : MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ ( 1 – C 1 ) MÔĐUN 2.1 Các điều. và các môđun luôn hiểu là môđun phải unita. Trong chương này chúng tôi xin nêu một số kiến thức về môđun cốt yếu và môđun con bé . 1.1 Môđun con cốt yếu và môđun con bé. 1.1.1 Định nghĩa (Môđun. có tên là : Môđun con cốt yếu và ( 1 – C 1 ) môđun Mục đích của luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo, trình bày lại một số tính chất của môđun con cốt yếu và ( 1 – C 1 ) môđun. 4 Ngoài