Tính chất của môđun con s cốt yếu và môđun e cs

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ I H C ĐÀ N NG ĐINH THANH HUY N TÍNH CH T C A MÔĐUN CON S-C T Y U VÀ MÔĐUN E-CS LU N V N TH C S KHOA H C Đà N ng – N m 2015 B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ I H C ĐÀ N NG ĐINH THANH HUY N TÍNH CH T C A MÔĐUN CON S-C T Y U VÀ MƠĐUN E-CS Chun ngành: Ph ng pháp Tốn s c p Mã s : 60.46.40 LU N V N TH C S KHOA H C Ng ih ng d n khoa h c: TS TR Đà N ng – N m 2015 NG CƠNG QUỲNH L IăCAMăĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực, có nguồn gốc rõ ràng chưa công bố công trình khoa học Tác giả luận văn ĐinhăThanhăHuy n M CăL C M ăĐ U 1.Tính c p thi t c a đề tài M c tiêu nghiên c u c a đề tài Đ i tư ng ph m vi nghiên c u Phương pháp nghiên c u B c c đề tài CH NGă1: KI NăTH CăC ăB N 1.1 Đ NH NGHƾA VĨ Vệ D 1.2 M T S TệNH CH T .9 CH NGă2: MỌĐUNăCS 15 2.1 KHÁI NI M VĨ M T S Vệ D 15 2.2 M T S TệNH CH T 17 2.3 MÔĐUN CS V I ACC TRÊN CÁC H NG T TR C TI P 27 CH NGă3: MỌĐUNăE-CS 32 3.1 MÔĐUN CON S-C T Y U VĨ E-Đ I C T Y U 32 3.2 MÔĐUN E-CS 38 K TăLU NăVĨăKI NăNGH 47 DANHăM CăTĨIăLI UăTHAMăKH O 49 DANHăM CăCÁCăKụăHI U N M : N môđun c a môđun M N e M : N môđun c t y u c a môđun M N : N môđun đ i c t y u c a môđun M M N  M M iI : Tổng tr c ti p môđun Mi v i tập ch s I i M : N h ng t tr c ti p c a M iI i : Tích Đềcác c a môđun Mi iI i : Tập h p mà m i phần t m t tổng c a tập h p Mi , iI M M ăĐ U Tínhăc păthi tăc aăđ ătƠi Lý thuy t vành mơđun đóng m t vai trò quan trọng đ i s k t h p V i s tổng qt hóa khơng gian vectơ ta có đư c mơđun ph m trù đặc trưng vành R L p môđun n i x m t nh ng công c để nghiên c u lý thuy t vành môđun vành khơng giao hốn Trong nh ng thập niên 60, 70 khái ni m môđun n i x khẳng đ nh đư c s quan trọng lý thuy t mơđun s tổng qt c a đ i s hi n đ i ng d ng môđun n i x , người ta nghiên c u nhiều khái ni m m i chẳng h n như: Môđun liên t c, môđun n a liên t c,…Các mơđun có m t tính ch t chung tính ch t mở r ng c a môđun con, môđun c t y u m t h ng t tr c ti p D a vào tính ch t chung đó, vào năm 1977, Chatters Hajarnavis đưa khái ni m môđun CS (hay môđun mở r ng) Khi mơđun CS đời lý thuy t mơđun phát triển m nh m có nhiều ng d ng quan trọng vi c nghiên c u lý thuy t vành… Gần đây, vi c nghiên c u môđun CS phát triển m nh nhờ s nghiên c u tính ch t mở r ng c a môđun thương cyclic Trong nh ng k t qu đ t đư c có Đ nh lý Osofsky-Smith m t đ nh lý r t quan trọng Nhờ có đ nh lý mà m t s v n đề trư c b bác b đư c gi i quy t phương pháp khác Trong đề tài xét m t trường h p tổng qt c a mơđun CS môđun e-CS thông qua khái ni m môđun s-c t y u nghiên c u nh ng tính ch t c a Đây m t v n đề hồn tồn m i có nhiều tính ch t cần đư c nghiên c u Đó lý chúng tơi chọn đề tài « Tính chất mơđun s-cốt yếu mơđun e-CS » 2.ăăM cătiêuănghiênăc uăc aăđ ătƠi T khái ni m b n, xây d ng nên khái ni m môđun s-c t y u, mơđun e-CS nghiên c u tính ch t c a Đ iăt ngăvƠăph măviănghiênăc u 3.1 Đối tượng nghiên cứu Nghiên c u khái ni m tính ch t c a lý thuy t môđun 3.2 Phạm vi nghiên cứu Nghiên c u t tài li u, giáo trình lý thuy t môđun tài li u liên quan đ n môđun CS Ph ngăphápănghiênăc u Trong luận văn, phương pháp s d ng nằm lƿnh v c sau đây: Lý thuy t môđun, lý thuy t vành B ăc căđ ătƠi Luận văn đư c chia làm ba chương v i phần mở đầu, k t luận ki n ngh , danh m c ký hi u tài li u tham kh o Chương 1: Trình bày đ nh nghƿa, ví d tính ch t b n có liên quan đ n luận văn Chương 2: Trình bày đ nh nghƿa m t s tính ch t c a mơđun CS Chương 3: Trình bày đ nh nghƿa, m t sơ tính ch t c a môđun s-c t y u, e-đ i c t y u môđun e-CS Luận văn bắt đầu t tháng năm 2013, đư c th c hi n hoàn thành t i Khoa sau đ i học Trường Đ i học Sư ph m Đà Nẵng dư i s hư ng dẫn c a TS.Trương Công Quỳnh CH NGă1 KI NăTH CăC ăB N Trong toàn b luận văn, vành đư c xét vành k t h p có đơn v ký hi u môđun môđun ph i unita m t vành R 1.1 Đ NHăNGHƾAăVĨăVệăD Đ nhănghƿa 1.1.1 Cho môđun M N  M Môđun N đư c gọi c t y u M, ký hi u N  e M, n u b t kì mơđun K c a M v i N  K  suy K  N u N môđun c t y u c a M, ta nói M mở r ng c t y u c a N Víăd 1.1.2 Mơđun M  e M; n e , n  Đ nhă nghƿa 1.1.3 Cho môđun M N  M Môđun N đư c gọi đ i c t y u M, ký hi u N M, n u b t kì mơđun K c a M v i N+ K  M suy K  M Đ nhănghƿaă1.1.4.ăMôđun U đư c gọi n u b t kỳ môđun A B khác c a U A B  0, hay mơđun khác không c a U môđun c t y u U Đ nhănghƿaă1.1.5 Cho R-môđun M M đư c gọi có chiều Goldie (hay chiều đều) h u h n n u M không ch a tổng tr c ti p vô h n mơđun khác khơng Ngư c l i ta nói M có chiều Goldie vơ h n S h ng t khác không l n nh t c a tổng tr c ti p môđun M đư c gọi s chiều Goldie (hay chiều uniform) c a M đư c kí hi u Gdim(M) (hay U dim(M)) Víă d 1.1.6 B= m , v i m, n -mơđun * b t kỳ  A, B  A B=[m,n] A= n ,  0, ([m,n] b i s chung nh nh t c a m, n) Đ nhănghƿa 1.1.7 Cho môđun M N  M Môđun N đư c gọi đóng M n u N khơng có m t mở r ng th c s M Nói cách khác, N đư c gọi đóng M n u v i môđun K  c a M mà N  e K K= N Víăd 1.1.8 Cho A B hai môđun c a M th a mãn M= A B mơđun B đóng M Đ nhănghƿa 1.1.9 Cho môđun M N  M Môđun K c a M đư c gọi bao đóng c a mơđun N M n u K m t môđun t i đ i M cho N  e K Víăd 1.1.10 Xét - mơđun, có bao đóng Đ nhănghƿa 1.1.11 Cho M R N  M N đư c gọi h ng t tr c ti p c a môđun M n u tồn t i môđun P c a M cho M  N  P Ta nói P môđun ph c a N M Đ nhănghƿa 1.1.12 Cho môđun M N, H  M Môđun H đư c gọi m t phần bù c a N M n u H môđun t i đ i M th a mãn H  N= Đ nhănghƿa 1.1.13 (1) M t môđun M khác không đư c gọi môđun đơn trường h p khơng có nh ng mơđun không tầm thường (2) Cho họ (Mi)i I m t tập h p nh ng môđun đơn c a M N u 35 Chứng minh: (a) Gi s L c t y u M L  K  M L  N  M L  M v i N L L K N K M K M K e M , K K , e NL M e M N u L  M v i N K  M K và L e M Do Vì N K e M b) Đư c suy t K (a) Gi s K e M v i N  L  K  M L  K  M Do L  K e M N e M Khi K  M v i K e M L e M Đ nhănghƿaă3.1.6 Cho M môđun, ta đ nh nghƿa: Rade (M )  N e M / N c c đ i M } Socs (M )    N M / N c c tiểu M } L M 36 Đ nhălỦă3.1.7 Cho M môđun Khi (1) Rade (M )  N  M / N (2) Socs ( M )  L  M / L s e M} M} Chứng minh: (1) L y U  N  M / N e M Gi s L e M K l n nh t M, L  K N u khơng ta có K  L  M Mà L s e M M K  M (mâu thuẫn ) Suy U  Rade (M ) Mặt khác, v i x Rade (M ) Gi s xR không e-đ i c t y u M Đặt   B / B  M , B s M xR  B  M Rõ ràng  tập khác r ng c a l p môđun c a M Theo Bổ đề Zorn,  có phần t c c đ i, gọi B0 Chúng ta khẳng đ nh B0 l n nh t M Gi s ngư c l i tồn t i môđun C c a M ( C  M ) cho B0  C 37 B0  C Do xR  C  xR  B0  M C s M , suy C  , điều mâu thuẫn v i tính ch t c c đ i c a B0 Vì B0 c c đ i M B0 s M Do x  Rade (M )  Bo xR  B0 T suy xR  B0  M , kéo theo B0  M (mâu thuẫn ) Vì xR e M , nên Rade (M )  U Do Rade (M )  N  M / N (2) L y S  L  M / L S M Gi s L S e M} M K M Gi s ngư c l i, K  L  , K  (mâu thuẫn) Do SocS (M )  S, S  Soc(M )  SocS (M ) S môđun n a đơn N u S không ph i môđun c a SocS (M ) tồn t i môđun đơn T cho T  S T không đ i c t y u M L y K m t môđun th c s c a M cho K  T  M (a) N u K T  T  K , Do K  M (mâu thuẫn) (b) N u K T  M  K  T v i H  M N u H M K  H  H  K môđun th c s c a M H  ( H  K) / K môđun c a M / K Mà M / K  T môđun đơn Do 38 H  suy K Suy ra, T S M  T  S  K (mâu thuẫn) M (mâu thuẫn) Do S  Socs (M ) Đ nhănghƿa 3.1.8 Cho M L mơđun (1) M t tồn c u g : M  N e- đ i c t y u n u Kerg (2) M t đơn c u f : M  N s-c t y u n u Imf S e M M M nhăđ 3.1.9 (1) Cho M N mơđun Một tồn cấu g : M  N e-đối cốt yếu với đơn cấu cốt yếu h, gh tồn cấu h tồn cấu (2) Một đơn cấu f : M  N s-cốt yếu với toàn cấu đối cốt yếu h, fh đơn cấu h đơn cấu Chứng minh: (1) L y g : M  N m t toàn c u K  Kerg 39 Khi tồn t i nh t m t đẳng c u v : M / K  N, cho v  g v i  : M  M / K Do đó, v i đồng c u h, v h  gh toàn c u n u ch n u  h toàn c u "  " N u g e-đ i c t y u, K e M Do  h tồn c u, ta có Im h  K  M , mà h đơn c u c t y u, nên Im h s M Im h  M Vậy h toàn c u "  " L y L m t môđun c t y u c a M L y iL : L  M m t phép nhúng iL c t y u N u K  L  M  iL tồn c u Theo gi thi t iL tồn c u L  M Vì K e M , g e- đ i c t y u (2) L y f : M  N m t đơn c u I  Im f "  "Gi s f s-c t y u Khi I S N Gọi h : N  K m t toàn c u đ i c t y u cho hf đơn c u Chúng ta s ch ng minh h đơn c u Thật vậy, ta có Ker(h) đ i c t y u N Kerh  I  Vì I e M Kerh  Vậy h đơn c u 40 "  " L y L m t môđun đ i c t y u c a N cho I  L  Gọi p : N  N / L tồn c u tắc Khi đó, p toàn c u đ i c t y u Hơn n a, ta có pf đơn c u p ph i đơn c u Điều có nghƿa L  Vì I s M , f s-c t y u 3.2 MỌĐUNăE-CS Đ nhănghƿa 3.2.1 M t môđun M đư c gọi e-CS n u mơđun đóng N c a M ch a m t môđun h u h n sinh s-c t y u m t h ng t tr c ti p Đ nhă nghƿaă 3.2.2 M t môđun M đư c gọi môđun ef-mở r ng n u mơđun đóng có ch a m t môđun h u h n sinh c t y u m t h ng t tr c ti p c a M Bổăđ ă3.2.3 Cho môđun M Chúng ta xét điều kiện sau: (1) M môđun CS (2) M môđun e-CS (3) M mơđun ef-mở rộng 41 Khi (1)  (2)  (3) Chứng minh: (1)  (2) Vì M CS nên mơđun đóng c a M m t h ng t tr c ti p (2)  (3) Cho M e-CS Gọi N m t mơđun đóng c a M ch a m t môđun h u h n sinh c t y u Khi N ch a m t môđun h u h n sinh s-c t y u h ng t tr c ti p c a M Vậy M môđun ef-mở r ng M nhăđ 3.2.4 Mọi hạng tử trực tiếp môđun e-CS e-CS Chứng minh: Cho M môđun e-CS, gi s M= A B Chúng ta cần ch ng minh A e-CS Thật vậy, gọi K m t môđun đóng c a M ch a m t mơđun h u h n sinh s-c t y u Vì A mơđun đóng c a M, nên K mơđun đóng c a M Theo gi thi t K m t h ng t tr c ti p c a M, 42 nghƿa tồn t i s phân tích M = K  H v i H mơđun c a M Theo Luật Modular có A= K  (H  A) Vậy K m t h ng t tr c ti p c a A Do A e-CS Bổăđ 3.2.5 Mọi mơđun đóng mơđun e-CS mơđun e-CS Chứng minh: Gi s N đóng M M mơđun mơđun e-CS L y X mơđun đóng ch a môđun s-c t y u h u h n sinh N Do N đóng M nên X đóng M X ch a mơđun s-c t y u h u h n sinh Mặt khác M e-CS nên X h ng t tr c ti p M, X h ng t tr c ti p N Vậy N e-CS Bổăđ ă3.2.6 Một môđun không phân tích e-CS Chứng minh: Cho M m t môđun e-CS, M khơng phân tích đư c V i x  M , x  xR c t y u m t h ng t tr c ti p A c a M Do đó, A= M xR c t y u M Do M 43 Đ nhănghƿaă3.2.7 M t môđun M đư c gọi môđun f-mở r ng n u môđun h u h n sinh c t y u m t h ng t tr c ti p c a M H ăqu 3.2.8 Cho M môđun cho mơđun M có mở rộng cốt yếu cực đại Nếu M f-mở rộng M ef-mở rộng Chứng minh: Cho M m t môđun f-mở r ng L y L mở r ng c t y u c c đ i c a mơđun K h u h n sinh K c t y u m t h ng t tr c ti p H c a M Suy L c t y u M Theo gi thi t, H  L T suy ra, L m t h ng t tr c ti p c a M Do đó, M ef-mở r ng M nhăđ 3.2.9 Cho M môđun e-CS Nếu hạng tử trực tiếp địa phương hạng tử trực tiếp M M môđun CS Chứng minh: Gi s M môđun e-CS 44 L y K m t mơđun đóng khác khơng c a M M i  x  K, xR c t y u m t mơđun đóng A c a K Do K đóng M, A đóng M h ng t tr c ti p c a M Theo Bổ đề Zorn, tồn t i m t h ng t tr c ti p đ a phương c c đ i N v i N  I Ai v i Ai  K Theo gi thi t, N h ng t tr c ti p c a M, nên M  N  N ' V i N  môđun c a M Vì K  N  ( K  N ' ) Gi s K  N  tồn t i A 0, A m t h ng t tr c ti p c a M Suy A m t h ng t tr c ti p c a K  N Vì N  A h ng t tr c ti p đ a phương c a M, điều mâu thuẫn v i gi thi t Do K  N  nên K= N Suy M môđun CS M nhăđ 3.2.10 Cho M R-môđun e-CS Nếu R thỏa mãn ACC ideal phải dạng r (m), m M M chứa hạng tử trực tiếp cực đại địa phương N  iI Ni với Ni môđun với i  I 45 Trong đó, với m M , ta kí hiệu r (m)  r  R mr  0 Chứng minh: Cho M môđun e-CS Do R th a mãn ACC ideal trái c a r (m), m M , chọn m t phần t m M cho r (m) c c đ i r ( x),0  x  M theo tính ch t c a môđun e-CS, tồn t i h ng t tr c ti p K c a M cho mR c t y u K Gi s K phân tích đư c Thì tồn t i môđun khác không K1 K2 c a K cho K  K1  K2 Vì có m  m1  m2  m1  K1 , m2  K2 N u m1  m  m2  K2 mR  K1  Suy K1  (mâu thuẫn) Do đó, m1  Ta th y r (m)  r (m1) Do tính c c đ i c a m, r (m)  r (m1 ) Tương t , m2  r (m)  r (m2 ) Bởi m1  mR c t y u K Tồn t i r1 , r2  R cho  m1r1  mr2  (m1  m2 )r2  m1r2  m2 r2 T đó, m2 r2  r2  r (m2 ) \ r (m) (mâu thuẫn) 46 Vì K khơng phân tích đư c Theo Bổ đề 3.2.5, K môđun e-CS Bổ đề 3.2.6, K Suy ra, m i h ng t tr c ti p c a M ch a m t h ng t tr c ti p Theo Bổ đề Zorn, M ch a h ng t tr c ti p c c đ i đ a phương N   Ni v i Ni môđun c a M v i m i i  I iI 47 K TăLU N VĨăKI NăNGH Luận văn tìm hiểu h th ng hóa đư c k t qu sau: Trình bày đ nh nghƿa m t s tính ch t c a môđun CS, môđun e-c t y u s-đ i c t y u Trình bày m t s đ nh nghƿa h th ng hoá đư c m t s k t qu môđun e-CS: - Cho môđun M Chúng ta xét điều ki n sau: (1) M môđun CS (2) M môđun e-CS (3) M môđun ef-mở r ng Khi (1)  (2)  (3) (Bổ đề 3.2.3) - Mọi h ng t tr c ti p c a m t e-CS e-CS (M nh đề 3.2.4) - Mọi mơđun đóng c a mơđun e-CS môđun e-CS (Bổ đề 3.2.5) - M t môđun khơng phân tích đư c e-CS n u ch n u (Bổ 48 đề 3.2.6) - Cho M m t môđun e-CS N u h ng t tr c ti p đ a phương c a M m t h ng t tr c ti p c a M Thì M m t môđun CS (M nh đề 3.2.9) - Cho M m t R-môđun e-CS N u R th a mãn ACC ideal ph i c a d ng r (m), m M M ch a m t h ng t tr c ti p đ a phương c c đ i N  iI Ni v i Ni v i m i i  I (M nh đề 3.2.10) 49 DANHăM CăTĨIăLI UăTHAMăKH O Ti ngăVi t [1] Trương Công Quỳnh Lê Văn Thuy t, Giáo trình lý thuyết vành mơđun, NXB ĐH Hu , 2013 Ti ngăAnh [1] Nguy n Vi t Dũng, Đinh Văn Huỳnh, Patrick F.Smith and Robert Wisbauer, Extending Modules, Pitman, London,1994 [2] Nguy n Chi n, Lê Văn Thuy t, On EF-Extending Modules, Southeast Asian Bulletin of Mathematic, 26 (2003), 909–916 [3] Lê Văn Thuy t, R Wisbauer, Extending Property for Finitely Generated Submodules, Vietnam Journal of Mathematic, 25(1) (1997), 65-73 [4] D.X Zhou and X.R Zhang, Small-Essential Submodules and Morita Duality, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 35(2011), 10511062 ... x môđun CS 4) Môđun t n i x môđun CS 17 5) M i Z -môđun xoắn t h u h n sinh môđun CS Chứng minh 5: L y A Z -môđun t xoắn h u h n sinh, B môđun c a A C môđun c a A B cho C/B môđun xoắn c a A/B Suy... môđun c a M Theo Luật Modular có A= K  (H  A) Vậy K m t h ng t tr c ti p c a A Do A e- CS Bổăđ 3.2.5 Mọi mơđun đóng mơđun e- CS mơđun e- CS Chứng minh: Gi s N đóng M M môđun môđun e- CS L y X môđun. .. u Khi N ch a m t môđun h u h n sinh s- c t y u h ng t tr c ti p c a M Vậy M môđun ef-mở r ng M nhăđ 3.2.4 Mọi hạng tử trực tiếp môđun e- CS e- CS Chứng minh: Cho M môđun e- CS, gi s M= A B Chúng