Tính chất của môđun Artin

Tính chất của môđun Artin

Lời cảm ơn

Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Nguyễn Thị Dung, người thầy trực tiếphướng dẫn và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi, tạo mọi điều kiện thuận lợi chotôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn GS TSKH Nguyễn Tự Cường, GS TSKH LêTuấn Hoa, PGS TS Nguyễn Quốc Thắng ở Viện Toán học Hà Nội, cùng toànthể Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên và phòng Đào tạosau Đại học, trân trọng cảm ơn PGS TS Lê Thanh Nhàn cùng các thầy côgiáo khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã tận tình giảng dạyvà giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường và thực hiện đề tài này.Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến cha mẹ, người thân, bạn bè, đặcbiệt là chồng tôi, đã luôn ủng hộ, động viên và khuyến khích tôi hoàn thànhkế hoạch học tập, cũng như thực hiện thành công đề tài của mình.

Mở đầu

Cho (R, m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại

AnnRM/pM = p, với mọi iđêan nguyên tố p chứa AnnRM Một câu hỏitự nhiên được đặt ra là liệu rằng có một tính chất tương tự như vậy cho mọimôđun Artin trên vành giao hoán bất kỳ hay không N T Cường và L T.Nhàn [5] đã chỉ ra rằng nhìn chung câu trả lời cho câu hỏi trên là phủ định,và ở đó, họ đã giới thiệu một lớp môđun Artin thoả mãn câu trả lời khẳng

gọi là tính chất linh hoá tử) nếu

AnnR(0 :A p) = p, ∀p ∈ V (AnnRA) (∗)

môđun Artin bằng lý thuyết chiều Ta đã biết rằng một trong những công cụđể nghiên cứu môđun Artin là khái niệm chiều Noether được đưa ra bởi R.N Robert [14] và D Kirby [7] Bên cạnh đó, một cách tự nhiên, người ta

một tương đương giữa phạm trù các môđun Noether và môđun Artin Vì thế,

RA = dim

là tìm điều kiện khi nào xảy ra dấu đẳng thức Kết quả chính của [5, Mệnh đề

L T Nhàn [3] cho phép ta nghiên cứu tính catenary của tập giá không

Usupp M = Supp(M/UM(0)) là giá không trộn lẫn của môđun M Xuất

chính là ý tưởng để L T Nhàn và T N An [13] tiếp tục nghiên cứu tính chất

nghĩa bởi

{p ∈ Spec R | HpRi−dim(R/p)

p (Mp) 6= 0}.

và với giả thiết này, họ mở rộng công thức liên kết với bội cho các môđun

R/ AnnRM và tính chất không trộn lẫn của vành R/p, với p ∈ Supp M.

nghĩa trong việc nghiên cứu các môđun Artin mà còn thông qua đó có thểhiểu rõ hơn cấu trúc của các môđun hữu hạn sinh.

Mục đích của luận văn là trình bày lại một cách chi tiết các kết quả về

catenaricity of rings and local cohomology modules" của L T Nhàn và T.N An ở tạp chí Đại số năm 2008 và một phần bài báo của N T Cường, N.T Dung và L T Nhàn "Top local cohomology and the catenaricity of theunmixed support of a finitely generated module" trên tạp chí Communicationin Algebra năm 2007.

Luận văn được chia làm hai chương Chương I dành để hệ thống lại một sốkiến thức về môđun Artin, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether, vành catenary,

môđun Artin và chứng minh đặc trưng tính catenary của tập giá không trộnlẫn Usupp M thông qua tính chất (∗) của môđun đối đồng điều địa phương

với p ∈ SuppRM.

Phần kết luận của luận văn tổng kết lại toàn bộ các kết quả đã đạt được.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

không nhất thiết địa phương (giả thiết địa phương khi cần sẽ được nêu trong

Chương này dành để nhắc lại một số kiến thức cơ bản được dùng phục vụcho các chứng minh ở chương sau của luận văn: Cấu trúc của môđun Artin,biểu diễn thứ cấp, chiều Noether, số bội của môđun Artin, môđun đối đồngđiều địa phương, tính catenary, catenary phổ dụng và thớ hình thức của vànhvà môđun,

1.1 Môđun Artin

là m1, , mr thì

A = Γm1(A) ⊕ ⊕ Γmr(A) và Supp A = {m1, , mr}.

Amj ∼= Γ

Kí hiệu 1.1.2 Để cho thuận tiện, từ giờ trở đi ta đặt

Cho (R, m) là vành địa phương Nhắc lại rằng đầy đủ theo tô pô m-adic

quan hệ tương đương xác định bởi cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan

mt, t = 0, 1, 2, Rb được trang bị hai phép toán hai ngôi: phép cộng, phép

b

Cho (R, m) là vành địa phương, đầy đủ Đặt E = E(R/m)là bao nội xạ

àM : M −→ DD(M ) = HomR(HomR(M, E), E)

f ∈ Hom(M, E) Khi đó ta có kết quả sau của E Matlis được trình bàytrong [9, Định lý 4.2] (xem thêm [15, Định lý 2.1]).

Mệnh đề 1.1.4.

af ∈ R : f (x) = afx, ∀x ∈ E.

(iv) Ann M = Ann D(M ), và nếu M là R-môđun sao cho `R(M ) < ∞,thì `R(D(M )) = `R(M ).

1.2 Biểu diễn thứ cấp

Lý thuyết biểu diễn thứ cấp được đưa ra bởi I G Macdonald [8] được xemnhư là đối ngẫu với lý thuyết phân tích nguyên sơ quen biết cho các môđunNoether và đây là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các môđun Artin.

M = N1+ + Nn thành tổng hữu hạn các môđun con pi-thứ cấp Ni Nếu

M = 0hoặcM có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn được Biểu

diễn được Khi đó ta có

AttRM00 ⊆ AttRM ⊆ AttRM0∪ AttRM00.

nhau Từ đó ta có các kết quả sau (xem [15, Hệ quả 1.12, Hệ quả 2.7]).Mệnh đề 1.2.3 Các mệnh đề sau là đúng.

(i) AttRA = {bp∩ R :bp ∈ Att

bRA}.

1.3 Chiều Noether và số bội của môđun Artin

dim M = dim R/ AnnRM = sup

p∈Ass M

Khái niệm đối ngẫu với chiều Krull cho một môđun Artin được đưa ra bởiR N Roberts [14] và sau đó D Kirby [7] đổi tên thành chiều Noether đểtránh nhầm lẫn với chiều Krull đã được định nghĩa cho các môđun Noether.Các thuật ngữ về chiều Noether được dùng trong luận văn là theo [7].

được định nghĩa bằng quy nạp như sau:Khi A = 0,đặt N-dimRA = −1.

Với A 6= 0, cho một số nguyên d ≥ 0, ta đặt N-dimRA = d nếu

N-dimRA < d là sai và với mỗi dãy tăng A0 ⊆ A1 ⊆ các môđun

n > n0.

n > n0 Do đó, Mn+1/Mn = 0, vì thế N-dimR(Mn+1/Mn) = −1 < 0,

N-dimRM = 0 Ngược lại, giả sử N-dimRM = 0 Khi đó, lấy một dãy

tăng bất kỳ N0 ⊆ N1 ⊆ ⊆ Nn ⊆ các môđun con của M Theo định

Chiều Noether cho môđun Artin có nhiều tính chất theo một nghĩa nàođó đối ngẫu với chiều Krull cho môđun hữu hạn sinh Ta đã biết rằng đối

và `R(M ) < ∞ Từ Định nghĩa 1.3.1 ta có một số tính chất sau về chiềuNoether.

0 −→ A0 −→ A −→ A00 −→ 0

N-dimRA = max{N-dimRA0, N-dimRA00}.

(ii) N-dimRA 6 dim R/ AnnRA = max{dim R/p : p ∈ AttRA} và tồn

N-dimRA = N-dim

chiều Noether của chúng và một số tính chất của chiều Noether cho môđun

Artin được xem là đối ngẫu với một số tính chất của chiều Krull cho môđunhữu hạn sinh đã được đưa ra (xem [5], [7], [14], ) Đặc biệt là kết quả sauđược R N Roberts [14, Định lý 6] chứng minh cho trường hợp vành tựa địaphương và sau đó được Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [4, Định lý 2.6]chứng minh cho trường hợp vành giao hoán bất kỳ.

N-dim A = deg(`(0 :A JAn))

= inf{t : ∃x1, , xt ∈ JA sao cho `(0 :A (x1, , xt)R) < ∞}.

Mệnh đề 1.3.4 cho phép ta đưa ra khái niệm hệ bội, số bội, hệ tham số của

hệ x = (x1, , xd) được gọi là hệ tham số của A Một phần tử x ∈ m được

`R(0 :A q) < ∞ Khi đó hàm độ dài `R(0 :A qn+1) luôn là đa thức theo n

bậc N-dim A với hệ số hữu tỷ khi n  0 Theo Bổ đề 1.3.3 (ii), ta có

N-dim A 6 dim A = dim R/ AnnRA 6 dim R.

Vì thế, ta có thể biểu diễn đa thức này dưới dạng

`R(0 :A qn+1) = e

0(q; A)d! n

thì e0(q; A) > 0 và nếu N-dim A < d thì e0(q; A) = 0 Khi N-dim A = d tagọi e0(q; A) là số bội của A ứng với iđêan q.

Trong [4], Cường-Nhàn đã định nghĩa số bội hình thức ứng với một hệ bội

của A và N-dim A = dim R = d thì định nghĩa này tương đương với địnhnghĩa số bội thông qua đa thức Hilbert-Samuel ở trên Mệnh đề sau trong [4]cho ta một số tính chất của hệ bội và số bội cho môđun Artin.

Mệnh đề 1.3.5 Cho x = (x1, , xt) là một hệ bội của A và n1, , nt là

1 , , xnt

(i) `(0 :A x(n)R) 6 n1 nt`(0 :A xR) và e0 x(n); A
= n1 nte0(x; A).

có e0(x; A) = e0(x; A0) + e0(x; A00).

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương

Trước hết, ta nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều địa phương của mộtmôđun tuỳ ý.

HIi(M ) = Ri(ΓI(M )),

Cho 0 −→ L −→ Mf −→ N −→ 0g là một dãy khớp các R−môđun.

phương, ta có dãy khớp dài

0 −→ HI0(L) H

0I(f )

−→ HI0(M ) H

−→ HI0(N )−→ HI1(L) H

1I(f )

−→ HI1(M ) H

−→ HI1(N )−→

−→ HIi(L)H

iI(f )

−→ HIi(M ) H

−→ HIi(N )−→ HIi+1(L) −→

Định lý sau đây của Grothedieck là một kết quả đẹp đẽ về tính triệt tiêuvà không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương.

đó, HIi(M ) = 0, với mọi i > dim M.

Tiếp theo là tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương.

với mọi i ∈ N0.

Các Định lý đổi cơ sở phẳng và Nguyên lý địa phương hoá nâng yếu cũngthường được dùng trong luận văn.

Định lý 1.4.4 [1, Định lý 4.3.2] Giả sử f : R −→ R0 là đồng cấu phẳnggiữa các vành Khi đó

HIi(M ) ⊗R R0 ∼= Hi

I(M ⊗R R0).

dim R/p = t Nếu với mỗi số nguyên i, q ∈ Spec R, q ⊆ p mà ta có

qRp ∈ AttRp(HpRi p(Mp)) thì q∈ AttR(Hmi+t(M )).

Kết quả sau đây của Cường-Nhàn cho ta một cận trên của chiều Noethercủa môđun đối đồng điều địa phương.

HIi(M ) là Artin, với mọi i = 1, , t Khi đó ta có

N-dimR(HIi(M )) 6 i,

với mọi i = 0, 1, , t.

N-dimR(HId(M )) = d

dim M = d Khi đó

AttR(Hmd(M )) = {p ∈ AssRM | dim R/p = d}.

1.5 Tính catenary phổ dụng, tính không trộn lẫn và thớhình thức

là đẳng chiều nếu dim R/p = dim M với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu

p ∈ min(Ass M ) Tiết này dành để nhắc lại một số tính chất của lớp vànhvà môđun catenary phổ dụng và không trộn lẫn Trước hết ta nhắc lại một sốkhái niệm sau (xem [10] và [12]).

p, q ∈ Supp M sao cho p ⊂ q, thì mọi dãy bão hoà các iđêan nguyên tố

dim R/p + ht p = dim R, với mọi iđêan nguyên tố p của R, và rõ ràngrằng Supp M là catenary nếu và chỉ nếu R/ AnnRM là catenary Do đó,

dim R/p + dim Mp = dim M, với mọi p ∈ Supp M.

hữu hạn sinh đều là catenary.

i = 1, , t Vì thế, S đẳng cấu với vành thương của vành đa thức Vì vành

Định nghĩa 1.5.4 (Xem [12]) VànhR được gọi là không trộn lẫn (unmixed)nếu dim( bR/bp) = dim R với mọi iđêan nguyên tố bp ∈ Ass bR và vành R

dim bR/bp = dim bR với mọi iđêan nguyên tố tối thiểubp ∈ Ass bR.

Sau đây là một số kết quả về mối liên hệ giữa tính catenary phổ dụng vàtựa không trộn lẫn.

không trộn lẫn Khi đó

tựa không trộn lẫn.

Bổ đề 1.5.6 [10, Định lý 31.7] Các mệnh đề sau là tương đương

dim bR/bp = dim R/p, với mọi bp ∈ min Ass bR/p bR.

Để đi đến khái niệm vành thớ và thớ hình thức của vành, trước hết ta cầnnhắc lại khái niệm và các kết quả về môđun phẳng như sau.

L −→ L00 −→ 0 các R-môđun, dãy cảm sinh

0 −→ L0 ⊗ N −→ L ⊗ N −→ L00 ⊗ N −→ 0

là khớp Một R-môđun N được gọi là phẳng hoàn toàn nếu dãy 0 −→L0 −→ L −→ L00 −→ 0 các R-môđun khớp khi và chỉ khi dãy cảm sinh

0 −→ L0 ⊗ N −→ L ⊗ N −→ L00 ⊗ N −→ 0

là khớp.

Cho ϕ : R −→ S là một đồng cấu vành và L là S-môđun Khi đó L có

và y ∈ L, ry = ϕ(r)y Đồng cấu vành ϕ : R −→ S được gọi là đồng cấu

(phẳng hoàn toàn).

và chỉ nếu nó phẳng hoàn toàn.

Chương 2

Tính catenary phổ dụng và tính khôngtrộn lẫn của vành địa phương và cácmôđun đối đồng điều địa phương

công thức liên kết với bội của M Brodmann và R Y Sharp [2] Hơn nữa, các

2.1 Tính chất linh hoá tử

AnnRM Khi đó p ∈ SuppRM và do đó Mp 6= 0 Theo Bổ đề Nakayamata suy ra

(M/pM )p = Mp/pMp 6= 0.

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu có một tính chất tương tự như vậycho mọi môđun Artin trên vành giao hoán bất kỳ hay không Câu trả lời chocâu hỏi này nhìn chung là phủ định (xem [5, Ví dụ 4.3]), và ở đó, họ đã giớithiệu một lớp môđun Artin thoả mãn câu trả lời khẳng định của câu hỏi trênnhư sau.

AnnR(0 :A p) = p, ∀p ∈ V (AnnRA) (∗)

có nhiều tính chất "tốt", đặc biệt liên quan chặt chẽ đến chiều Noether củamột môđun Artin.

dimRA = max{dim R/p | p ∈ AttRA}.

Mệnh đề 2.1.2 [5, Mệnh đề 4.5] Nếu A thoả mãn tính chất (∗) thì ta có

điều kiện tối đại Vì thế ta có thể chứng minh được rằng môđun con lớn nhất

p∈Ass M

N (p)là phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun

UM(0) = \

p∈Ass M,dim R/p=d

N (p).

Từ bổ đề trên, ta có thể tính được tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun

Ass(M/UM(0)) = {p ∈ Ass M : dim R/p = d}.

Định nghĩa 2.1.4 TậpSupp(M/UM(0)) được gọi là giá không trộn lẫn của

Từ định nghĩa trên và vì

AttRHmd(M ) = {q ∈ Ass M : dim R/q = d},

hơn nữa theo Mệnh đề 1.2.2, (i), tập các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa

Usupp M = V (AnnRHmd(M )) = [

p∈AssRM,dim R/p=d

R/ AnnRM là catenary và nếu M là đẳng chiều thì Supp M là catenary

nếu dim R/p + dim Mp = d, với mọi p ∈ Usupp M.

Một kết quả thú vị trong [3] đã chỉ ra rằng mặc dù ta có đẳng thức

N-dim Hmd(M ) = dim R/ AnnRHmd(M )
nhưng nhìn chung Hmd(M )

Định lý 2.1.6 [3, Định lý 4.1] Các mệnh đề dưới đây là tương đương:(i) Usupp M là catenary.

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Cho p ∈ Var(AnnR(Hmd(M ))) Vì Usupp M là

Ann(0 :Hd

m(M ) p) = p Vì vậyHmd(M ) thoả mãn tính chất (∗).

dim R/p + dim Mp = d với mọip ∈ Usupp M Giả sử p ∈ Usupp M Nếu

dim R/m + dim Mm = 0 + dim M = d.

dim Mp = r Vì p ⊇ AnnR(M/UM(0)) nên

Rad Ann M/UM(0)/p(M/UM(0))
= Rad(AnnR(M/UM(0)) + p) = p.

Do đó ta có

dimM/UM(0)/p(M/UM(0))= dim R/p = d − r.

để(x1, , xr, y)là phần hệ tham số củaM/UM(0) Vìp ∈ Usupp M nên tồn

Vì(x1, , xr)là phần hệ tham số củaM/UM(0)nên nó cũng là phần hệ tham

p ∈ Supp

M1/(x1, , xr−1) cM1.

Vì xr là phần tử tham số của Mc1/(x1, , xr−1) cM1 nên xr tránh tất cả cáciđêan nguyên tố liên kết có chiều cao nhất của Mc1/(x1, , xr−1) cM1 Vì thếtheo [3, Bổ đề 4.2] ta suy ra xr ∈/ bp1 Đặt p1 = bp1 ∩ R Khi đó xr ∈ p/ 1 Vì

tố tối thiểu

p2 ∈ Supp

M1/(x1, , xr−2) cM1.

p⊃ p1 ⊃ ⊃ pr

2.2 Tính chất linh hoá tử và bội của môđun đối đồng điềuđịa phương

cấp cao nhất tương đương với tính catenary của giá không trộn lẫn của môđun

không nhất thiết thoả mãn cho các môđun đối đồng điều địa phương cấp

i < d.

M Brodmann và R Y Sharp [2], đồng thời cũng mở rộng được công thức

Trước hết ta có định nghĩa sau.

Định nghĩa 2.2.1 [2] Tập

{p ∈ Spec R : HpRi−dim(R/p)

p (Mp) 6= 0}

psdi(M ) = sup{dim R/p : p ∈ PsuppiRM }.

Cho (R, m) là vành thương của vành Gorenstein (S, n) với dim S = r.

thế ExtiS(M, S) cũng có cấu trúc là R-môđun Ký hiệu E = E(R/m)

HomR(ExtiS(M, S), E) = D(ExtiS(M, S)).Đặt

KMi = Extr−iS (M, S) ∀i = 0, 1, , dim M.

Theo [1, Định lý 11.2.6] ta có đẳng cấu

Hmi(M ) ∼= Hom(KMi , E), ∀i = 0, 1, , dim M

Vì vành địa phương đầy đủ là vành thương của vành chính quy nên ápdụng công thức đối ngẫu địa phương, ta sẽ chứng minh rằng nếu trên vành

Chứng minh Cho p ∈ Spec(R).Khi đó(Rp, pRp) cũng là vành địa phương.

( cM

bp, bR

nên theo công thức đối ngẫu địa phương và công thức về chiều ở trên ta có

Hi−dim bR/bpbp bR

( cM

bp, bR

p), ERp(Rp/pRp)∼

= HomRp

Extdim bR−i

( cM

bp, bR

bp), ERp(Rp/pRp)∼

= HomRp

p, ERp(Rp/pRp).

Vì thế, Hi−dim bR/bpbp bR

M) = Var(Ann

cM)= Var(Ann

m bR( cM )) = Var(Ann

RHmi (M )).

Do đó ta có điều phải chứng minh.

Định lý sau là kết quả chính của chương, cho ta mối quan hệ giữa tính chất

(ii) Var(AnnR(Hmi (M ))) = PsuppiRM.

psdi(M ) = psdi( cM ) = N-dimR(Hmi (M ))

và {p ∈ PsuppiRM : dim R/p = psdiM }= {bp∩ R : bp ∈ Psuppi

RM , dim( bc R/bp) = psdiM }.c

(i) ⇒ (ii) Giả sử Hmi (M ) thỏa mãn tính chất (∗) Cho p ∈ PsuppiR(M ).

p (Mp) 6= 0 Theo Mệnh đề 1.2.2, (i), tồn

p ⊇ q ⊇ AnnR(Hmi (M )) suy ra PsuppiRM ⊆ Var(AnnR(Hmi (M ))).

dim R/p = dim(R/ AnnR(0 :Hi

m(M ) p))= N-dim(0 :Hi

m(M ) p)= dim bR/ Ann

bR(0 :Hi

m(M ) p)
= max{dim( bR/bp) :bp∈ Att

bR(0 :Hi

m(M ) p)}.

bR(0 :Hi

bp∩ R ⊇ p Hơn nữa, vì dim( bR/bp) = dim R/p nên bp là iđêan nguyên tố tối

RMc, nghĩa là

Hi−dim( bR/bp)b

p bR

p bR

(Mp ⊗ bR

p) ∼= Hi−dim( bR/bp)bp bR

(ii) ⇒ (i) Giả sử rằng Var(AnnR(Hmi (M ))) = PsuppiR(M ) Lấy tuỳ ý

là HpRi−dim(R/p)

p (Mp) 6= 0 Vì dim R/p = dim bR/p bR nên tồn tại iđêan

bp ∈ Ass( bR/p bR) sao cho dim bR/bp = dim R/p Khi đó bp ∩ R = p và bp

cấu phẳng hoàn toàn nên theo Định lý chuyển cơ sở phẳng 1.4.4, ta có

Hi−dim( bR/bp)b

p bR

m(M ) bp) =bp Do đó ta có

p ⊆ AnnR(0 :Hi

m(M ) p) ⊆ Ann

bR(0 :Hi

m(M )bp) ∩ R =bp∩ R = p.

Suy ra AnnR(0 :Hi

m(M ) p) = p hay Hmi (M ) thoả mãn tính chất(∗).

Cuối cùng, giả sử rằng điều kiện (i) và (ii) thoả mãn Theo (ii) ta có

psdiM = dim R/ Ann(Hmi (M ))
Vì thế, theo Mệnh đề 1.3.3, (iii), ta có

psdi(M ) = N-dimR(Hmi (M )) = dim bR/ Ann

R(Hmi (M ))
= psdi( cM ).