Đặc trưng của môđun cohen–macaulay dãy qua tính chất phân tích tham số

Đặc trưng của môđun cohen–macaulay dãy qua tính chất phân tích tham số

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -

LÊ THỊ MAI QUỲNH

ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN COHEN–MACAULAY DÃY QUA TÍNH CHẤT PHÂN TÍCH THAM SỐ

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG

THÁI NGUYÊN NĂM 2008

Chương II Phân tích tham số và môđun Cohen-Macaulay dãy 14

2.2 Đa thức Hilbert-Samuel của môđun Cohen-Macaulay dãy 27

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH NguyễnTự Cường Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất của mìnhđến thầy.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn, PGS.TSNguyễn Quốc Thắng cùng toàn thể các thầy cô giáo ở Khoa Toán và PhòngĐào tạo sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đãtận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại trường.Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt thành và chu đáo của NCSTrần Nguyên An, bạn Hoàng Lê Trường phòng đại số trong quá trình thựchiện luận văn này.

Lời nói đầu

Cho R là vành địa phương Noether với iđêan tối đại m và M là R−môđun hữu hạn sinh với dim M = d Cho x = x1, , xd là hệ tham sốcủa M và q = (x1, , xd) là iđêan tham số của M sinh bởi x Với mỗisố nguyên dương n, ký hiệu

Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách hệ thống và chitiết kết quả của bài báo trên Luận văn được chia làm 2 chương.

Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" là chương giới thiệu một số kiến thứccơ bản về đại số giao hoán như hệ tham số, dãy chính quy, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay dãy.

Chương 2 "Phân tích tham số và môđun Cohen-Macaulay dãy" trìnhbày một số bổ đề từ đó đi đến định lý chính của chương nói về đặc trưngcủa môđun Cohen-Macaulay dãy qua phân tích tham số và hệ quả của nó.Định lý phát biểu rằng

Định lý 2.1.6 Cho (R, m) là vành địa phương Noether M là R− môđunhữa hạn sinh Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

(i) M là môđun Cohen-Macaulay dãy.

(ii) Mọi hệ tham số tốt của M có tính chất phân tích tham số.(iii) Tồn tại hệ tham số tốt của M có tính chất phân tích tham số.

Ngoài ra chương này còn trình bày mối quan hệ giữa môđun Macaulay dãy M và biểu thức của hàm Hilbert-Samuel thông qua địnhlý

Cohen-Định lý 2.2.3 Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M là lọc chiều của Mvà đặt Di = Di/Di−1 với mọi i = 1, , t, D0 = D0.Khi đó các mệnh đềsau là tương đương:

(i) M là môđun Cohen-Macaulay dãy.

(ii) Với bất kỳ iđêan tham số tốt q của M, đẳng thứcl(M/qn+1M ) =

n + didi

l(Di/qDi)đúng với mọi n ≥ 0.

(iii) Tồn tại iđêan tham số tốt q của M sao cho đẳng thứcl(M/qn+1M ) =

n + didi

l(Di/qDi)đúng với mọi n ≥ 0.

Phần cuối cùng của chương sẽ xây dựng ví dụ nhằm làm sáng tỏ cáckết quả chính đã nêu ở trên.

Kiến thức chuẩn bị

Mục đích của chương này là nhắc lại một số kiến thức cơ bản về đại sốgiao hoán được sử dụng trong luận văn bao gồm định nghĩa, các mệnh đềvà bổ đề về hệ tham số, dãy chính quy, môđun Cohen-Macaulay, môđunCohen-Macaulay dãy.

1.1 Hệ tham số

Trong phần này ta sẽ đưa ra khái niệm và một số tính chất cơ bản về hệtham số, đây là một khái niệm quan trọng xuyên suốt quá trình thực hiệnluận văn này.

1.1.1 Định nghĩa Cho (R, m) là vành địa phương Noether, M là R−môđun hữu hạn sinh với dim M = d Tập các phần tử x = (x1, x2, , xd),xi ∈ m , ∀i = 1, , d thoả mãn lR(M/xM ) < ∞ được gọi là một hệtham số của M.

Giả sử (R, m) là vành địa phương Noether, M là R− môđun hữu hạnsinh với dim M = d Mệnh đề sau đây nêu lên một số tính chất cơ bảncủa hệ tham số.

5

1.1.2 Mệnh đề [1, Mệnh đề A.4] Cho x1, x2, , xt ∈ m khi đódim(M/(x1, , xt)M ) ≥ dim M − t.

Đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi x1, x2, , xt là một phần của hệ tham sốcủa M.

1.1.3 Mệnh đề [8, Chú ý 15.20] Nếu x1, , xd là hệ tham số của M thìvới mọi số nguyên dương α1, , αd ta có xα1

1 , , xαd

d cũng là hệ tham sốcủa M.

1.1.4 Định nghĩa Cho M là môđun hữu hạn sinh trên vành địa phươngNoether (R, m) với dim M = d, q là iđêan định nghĩa của M ( tức làl(M/qM ) < ∞) Khi đó ta định nghĩa một hàm số gọi là hàm Hilber-Samuel

Fq,M(n) = l(M/qn+1M ).

1.1.5 Mệnh đề [7, Định lý 13.2] Cho R = Lt≥0Rt là vành phân bậcNoether R0 là vành Artin và M là R- môđun phân bậc hữa hạn sinh Giảsử rằng R = R0[x1, , xr] và xi bậc di khi đóFq,M(n) là một hàm hữutỷ của n hơn nữa tồn tại đa thức Pq,M(n) với hệ số hữu tỷ bậc d sao chovới n đủ lớn thì

Fq,M(n) = Pq,M(n).

và tồn tại những số nguyên e0(q, M )(> 0), e1(q, M ), , ed(q, M ) saocho

Pq,M(n) = e0(q, M ) n + dd

+e1(q, M ) n + d − 1d − 1

+ã ã ã+ed(q, M ).Số e0(q, M )được gọi là số bội Zaziski-Samuel Khi q sinh bởi một hệ thamsố x = {x1, x2, , xd} ta ký hiệu e0(q, M ) = e(x, M ).

1.2 Dãy chính quy và môđun Cohen-Macaulay

Trong phần này ta sẽ trình bày một số khái niệm về dãy chính quy, đó làkhái niệm cơ bản để định nghĩa độ sâu của một môđun từ đó đưa đến địnhnghĩa của vành và môđun Cohen-Macaulay.

1.2.1 Định nghĩa Cho R là vành giao hoán và M là R− môđun Một phầntử x ∈ R được gọi là M− chính quy nếu 0 :M x = 0, tức là xa 6= 0 với∀a ∈ M, a 6= 0 Một dãy các phần tử x1, , xncủa R được gọi là M−dãychính quy nếu (x1, , xn)M 6= M và xi là M/(x1, , xi−1)M − chínhquy với mọi i = 1, , n.

Các mệnh đề sau đây nêu lên các tính chất cơ bản của dãy chính quy.1.2.2 Mệnh đề [8, Bổ đề 16.4] Cho M là R− môđun khi đó các mệnhđề sau tương đương:

(i) Dãy x1, , xn là dãy M− chính quy.

(ii) Dãy x1, , xi là dãy M− chính quy và xi+1, , xn là dãyM/(x1, , xi)M − chính quy với mọi 1 ≤ i ≤ n − 1.

1.2.3 Mệnh đề [7, Định lý 16.1] Nếu x1, , xn là dãy M− chính quythì với mọi số nguyên dương α1, , αn ta có {xα1

1 , , xαn

n } cũng là dãyM − chính quy.

1.2.4 Mệnh đề [8, Định lý 16.9] Nếu x1, , xn là dãy M− chính quythì với mọi hoán vị của các phần tử x1, , xn ta vẫn được một dãy M−chính quy.

1.2.5 Mệnh đề [1, Mệnh đề 1.2.12] Nếu M là R− môđun hữu hạn sinhtrên vành địa phương Noether và x1, , xt là dãy M− chính quy thìx1, , xt là một phần của hệ tham số của M.

Với định nghĩa về dãy chính quy nêu trên cho phép đi đến khái niệm độsâu của một môđun, để từ đó đi đến khái niệm môđun Cohen-Macaulay.1.2.6 Định nghĩa Cho I là iđêan của vành R, M là R− môđun hữu hạnsinh sao cho M 6= IM Khi đó độ dài cực đại của dãy M− chính quy củaI gọi là độ sâu của iđêan I đối với R− môđun M, kí hiệu depth R(I, M).Nếu (R, m) là vành địa phương Noether, ta có thể kí hiệu độ sâu của R−môđun M là depthRM hoặc có thể đơn giản hơn là depth M.

1.2.7 Mệnh đề [1, Mệnh đề 1.2.13] Cho (R, m) là vành địa phươngNoether, M là R− môđun hữu hạn sinh Ta có khẳng định sau.

depth M ≤ dim R/p ≤ dim M, ∀p ∈ Ass M.

Và tiếp theo ta nhắc lại khái niệm môđun Cohen- Macaulay.

1.2.8 Định nghĩa Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếuM = 0 hoặc M 6= 0 và depth M = dim M Vành R gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là R− môđun Cohen-Macaulay.

Mệnh đề sau nêu lên các đặc trưng cơ bản của môđun Cohen-Macaulay.1.2.9 Mệnh đề [7, Định lý 17.3] (1) Nếu M là môđun Cohen-Macaulaythì với ∀p ∈ Ass M ta có dim R/p = dim M.

(2) Nếu x1, , xd ∈ m là dãy M− chính quy thì M là môđun Macaulay khi và chỉ khi M/(x1, , xd)M là môđun Cohen-Macaulay.1.2.10 Mệnh đề [7, Chú ý 136] Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thìmọi hệ tham số của M là dãy M− chính quy.

Cohen-1.2.11 Bổ đề [3, Bổ đề 2.2] Cho N là môđun con của M thoả mãndim N < dim M và M/N là môđun Cohen-Macaulay Cho x1, , xi làmột phần của hệ tham số của M khi đó (x1, , xi)M ∩N = (x1, , xi)N.Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo i.

Với i = 1 ta phải chứng minh x1M ∩ N = x1N Ta luôn có x1N ⊆x1M ∩ N ta chứng minh x1M ∩ N ⊆ x1N Thật vậy, lấy y ∈ x1M ∩ Nkhi đó y ∈ x1M và y = x1m với m ∈ M suy ra y = x1m ∈ N hayx1m + N = 0 + N trong M/N tức x1(m + N ) = 0 suy ra m + N = 0hay m ∈ N Do đó y = x1m ∈ x1N

Giả sử i > 1 Ta luôn có (x1, , xi)N ⊆ (x1, , xi)M ∩ N (1).Lấy a ∈ (x1, , xi)M ∩ N khi đó a = x1a1+ ã ã ã + xiai trong đó aj ∈ Mvới mọi j = 1, , i vì a ∈ N nên ai ∈ (N + (x1, , xi−1)M ) : xi Mặtkhác, vì dãy x1, , xi là M/N− chính quy và

(N + (x1, , xi−1)M ) :M xi = N + (x1, , xi−1)M

nên ta có ai ∈ N + (x1, , xi−1)M, ai = x1b1+ ã ã ã + xi−1bi−1+ c trongđó bj ∈ M, j = 1, ã ã ã , i − 1 và c ∈ N Suy ra theo giả thiết quy nạp ta có

a − xic ∈ (x1, , xi−1)M ∩ N = (x1, , xi−1)N

Do đó a ∈ (x1, ã ã ã , xi)N Vậy (x1, , xi)M ∩N ⊆ (x1, , xi)N (2).Từ (1) và (2) ta có (x1, , xi)M ∩ N = (x1, , xi)N

1.3 Môđun Cohen-Macaulay dãy

Trong phần này ta đưa ra định nghĩa và một số tính chất cơ bản về lọcchiều và môđun Cohen-Macaulay dãy, trước tiên ta nhắc lại khái niệm lọcchiều của môđun.

1.3.1 Định nghĩa (1) Một lọc các môđun con của M là một họF : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M

trong đó Mi là các môđun con của M Lọc các môđun con F của Mđược gọi là thoả mãn điều kiện chiều nếu dim Mi−1 < dim Mi với mọii = 1, 2, , t.

(2) Một lọc thoả mãn điều kiện chiều

D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M

được gọi là lọc chiều của M nếu nó thoả mãn 2 điều kiện sau

(a) D0 = Hm0(M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ 0 của M ứngvới iđêan tối đại m.

(b) Di−1 là môđun con lớn nhất của Di sao cho dim Di−1 < dim Di vớimọi i = 1, 2, , t.

Mệnh đề sau sẽ cho ta thấy sự tồn tại của lọc chiều.

1.3.2 Mệnh đề [2, Chú ý 2.3] Lọc chiều của môđun M luôn tồn tại vàduy nhất Hơn nữa nếu D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M là lọc chiều củaM với dim Di = di thì ta có

Njvới mọi i = 1, 2, , t − 1 trong đó

Hệ tham số tốt là một khái niệm quan trọng được sử dụng trong luậnvăn này, từ định nghĩa về lọc chiều nêu trên ta có định nghĩa về hệ thamsố tốt như sau.

1.3.3 Định nghĩa Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M là lọc thoả mãnđiều kiện chiều và dim Mi = di Một hệ tham số x = {x1, x2, , xd}củaM được gọi là hệ tham số tốt tương ứng với lọc F nếu

Mi ∩ (xdi+1, xdi+2, , xd)M = 0với mọi i = 1, 2, , t − 1.

Mọi hệ tham số tốt tương ứng với lọc chiều được gọi là hệ tham số tốtcủa M.

1.3.4 Bổ đề [2, Bổ đề 2.5] Luôn tồn tại hệ tham số tốt của M.

Chứng minh Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M là lọc chiều của M vớidim Di = di Theo mệnh đề 1.3.2 ta có Di = T

Nj trong đó0 =

1.3.5 Bổ đề [3, Bổ đề 2.1] Cho x = {x1, x2, , xd}là hệ tham số tốt củaM khi đó Di = 0 :M xj với mọi j = di + 1, , di+1, i = 0, 1, , t − 1và do đó 0 :M x1 ⊆ 0 :M x2 ⊆ ⊆ 0 :M xd.

Chứng minh Ta có Di ⊆ 0 :M xj với mọi j ≥ di Thật vậy, lấy x ∈ Di

vì Di là môđun con của M nên x ∈ M Suy ra xjx ∈ (xdi+1, , xd)M,∀j = di+1, , dhơn nữa xjx ∈ Di Nên suy ra xjx = 0hay x ∈ 0 :M xj.Ta còn phải chứng minh rằng 0 :M xj ⊆ Di với mọi di < j < di+1.

Giả sử 0 :M xj 6⊆ Di và s là số nguyên lớn nhất sao cho 0 :M xj 6⊆ Ds−1khi đó t ≥ s > i và 0 :M xj = 0 :Ds xj Vì ds ≥ di+1 ≥ j, xj là phần tửtham số của Ds và dim 0 :M xj < ds do đó 0 :M xj ⊆ Ds−1 điều này vôlý với việc chọn s Do vậy 0 :M xj = Di.

Trong phần tiếp theo ta sẽ trình bày khái niệm và một vài tính chất đặctrưng của môđun Cohen-Macaulay dãy được sử dụng trong luận văn này.Trước hết ta có định nghĩa sau.

1.3.6 Định nghĩa Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay dãynếu với lọc chiều D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M mỗi môđun Di/Di−1 làCohen-Macaulay với i = 1, 2, , t.

Mệnh đề tiếp theo coi như điều kiện tương đương với định nghĩa môđunCohen-Macaulay dãy.

1.3.7 Mệnh đề [2, Định lý 3,9] Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M làlọc chiều của M với dim Di = di và x = (x1, x2, , xd) là hệ tham sốtốt của M Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

(1) M là môđun Cohen-Macaulay dãy.

(2) (x1, , xdi) là dãy chính quy trên M/Di−1 với i = 1, , t.(3) depth M/Di−1 = di với i = 1, , t.

1.3.8 Bổ đề [3, Hệ quả 2.3] Cho x = {x1, x2, , xd} là hệ tham sốtốt của môđun Cohen-Macaulay dãy M Khi đó (x1, , xd)M ∩ Di =(x1, , xdi)Di với mọi i = 1, , t − 1.

Chứng minh Ta có Di là môđun con của M, dim Di < M và M là môđun

Cohen-Macaulay dãy nên

(x1, , xd)M ∩ Di = (x1, , xdi, xdi+1, , xd)M ∩ Di

= (x1, , xdi)M ∩ Di + (xdi+1, , xd)M ∩ Di= (x1, , xdi)M ∩ Di

mà (x1, , xdi) là một phần của hệ tham số của M nên theo bổ đề 1.2.11ta có (x1, , xdi)M ∩ Di = (x1, , xdi)Di.

Phân tích tham số của luỹ thừa iđêantham số và môđun Cohen-Macaulaydãy

Trong chương này ta sẽ trình bày nội dung chính của luận văn Nội dungchình được chia làm ba tiết Tiết một trình bày về đặc trưng của môđunCohen-Macaulay dãy qua phân tích tham số Tiết hai sẽ trình bày về đathức Hilbert-samuel của môđun Cohen-Macaulay dãy và trong tiết ba sẽđưa ra một số ví dụ nhằm làm sáng tỏ các kết quả đã nêu ở trên.

2.1 Đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay dãy qua phântích tham số

Cho (R, m) là vành địa phương Noether, M là R− môđun hữa hạn sinhvới dim M = d Cho x = {x1, x2, , xd} là hệ tham số của môđun Mvà q là iđêan sinh bởi x1, x2, , xd Với số nguyên dương n, s ta có tập

1 , , xαdd ).

15

2.1.1 Bổ đề Với các ký hiệu trên ta có qnM ⊆ T

q(α)MChứng minh Vì q(α)M = (xα1

1 , , xαd

d ) nên qnM được sinh bởi cácphần tử có dạng xβ1

2.1.2 Bổ đề Cho s là một số nguyên dương và y1, , yslà M− dãy chínhquy của các phần tử trong m Khi đó

(y1, , ys)nM = \

1 , , yαss )Mvới mọi n ≥ 1.

Chứng minh Ta kí hiệu y = (y1, , ys) và y(α) = (yα1

1 , , yαss ).

Việc chứng minh bổ đề trên trong vành R là hoàn toàn tương tự nhưxét trong vành đa thức Z[X1, , Xs] và do đó ta có thể thay thế y bởiX = X1, , Xs Ta biết rằng dãy X là Z[X1, , Xs]− chính quy, vậycó thể giả sử y là Z[X1, , Xs]− chính quy.

Đặt S = R n M là iđêan hoá của M trên R Khi đó S = R n M lànhóm cộng và phép nhân trong S được định nghĩa như sau

(a, x)(b, y) = (ab, ay + bx), ∀a, b ∈ R, ∀x, y ∈ M.

Đặt fi = (yi, 0), (i = 1, , s), ta sẽ chứng minh dãy f = f1, , fs làS− chính quy, tức là

(f1, , fi)S : fi+1 = (f1, , fi)S, i = 0, , s − 1.

Ta luôn có (f1, , fi)S : fi+1 ⊇ (f1, , fi)S do đó ta chỉ cần phảichứng minh (f1, , fi)S : fi+1 ⊆ (f1, , fi)S, i = 0, , s − 1 là đủ.Lấy bất kỳ g ∈ (f1, , fi)S : fi+1, tức là g = (u, x), u ∈ R, x ∈ Mvà gfi+1 ∈ (f1, , fi)S, suy ra (u, x)(yi+1, 0) =

(yj, 0)(uj, xj) haylà (uyi+1, xyi+1) = (

u ∈ (y1, , yi)R : yi+1 = (y1, , yi)Rx ∈ (y1, , yi)M : yi+1 = (y1, , yi)M

với i = 0, , s−1 Suy ra (u, x) ∈ (f1, , fi)S do đó g ∈ (f1, , fi)S.Vậy (f1, , fi)S : fi+1 ⊆ (f1, , fi)S, với mọi i = 0, , s − 1 nên(f1, , fi)S : fi+1 = (f1, , fi)S, ∀i = 0, , s − 1 tức là ta có f =f1, , fs là S− chính quy Từ đây áp dụng [6, Định lý 2.4] ta có

(f )nS = \

α∈Λs,n

Tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng

(f )nS = (y)nR ì (y)nM.Thật vậy, lấy tuỳ ý t = P Cβfβ1

1 fβs

s ∈ (f )nS, trong đó βi ≥ 0, i =1, , s,

βi = n, Cβ = (rβ, mβ) ∈ R ì M Ta cót = X(rβ, mβ)(yβ1

1 yβss , 0)= (Xrβyβ1

1 yβs

s ,Xmβyβ1

1 yβs

s ) ∈ (y)nR ì (y)nM.Ngược lại, cho t ∈ (y)nRì(y)nM, tức là t = (P rβyβ1

1 yβs

s ,P mβyβ10

1 yβs0s ),trong đó βi, βi0 ≥ 0,

i , 0), fβi0

i = (yβi0

i , 0), 1 ≤ i ≤ s Ta cót = X(rβyβ1

1 yβs

s , 0) + (0,Xmβyβ01

1 yβs0s )= X(rβ, 0)(fβ1

y(α)M.Từ đây suy ra (y)nM = T

y(α)M, n ≥ 1 hay(y1, , ys)nM = \

1 , , yαss )Mvới mọi n ≥ 1.

2.1.3 Bổ đề Cho s là một số nguyên dương và y1, , ys là một dãy cácphần tử của m thoả mãn (y1, , ys)nM = T

1 , , yαs

s )M với mọin ≥ 1 Khi đó

i+1M ∩ (y1, , yi)mM ⊆ (y1, , yi, yi+1)k+mM với ∀k, m ≥ 1 vài < s.

Chứng minh (i) Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử s ≥ 2 và chỉcần chứng minh bổ đề đúng với i = s − 1 là đủ.

1 , , yαs−1

s−1 ) nên yn = (y1, , ys−1)n được sinhbởi các phần tử có dạng yβ1

1 yβs−1

s−1 , trong đó βi ∈ N, ∀i = 1, , s − 1và s−1P

1 , , yαs−1s−1 )M.

Giả sử phản chứng rằng không xảy ra bao hàm thức trên, khi đó sẽ tồn

x ∈ (y1, , ys−1)nM + yskM, x 6∈ (y1, , ys−1)nM + yk+1s M.Việc chọn như vậy là hoàn toàn xác định vì nếu k = 0 thì hiển nhiên ta cóx ∈ (y1, , ys−1)nM +ys0M = M Mặt khác, nếu x ∈ (y1, , ys−1)nM +