đặc trưng của môđun cohen–macaulay dãy qua tính chất phân tích tham số

Ta nói môđun M là môđun Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi tồntại một hệ tham số x nào đó sao cho x có tính chất phân tích tham số.Bây giờ, ta hạn chế sự quan tâm của câu hỏi trên cho hệ

- -

LÊ THỊ MAI QUỲNH

ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN COHEN–MACAULAY DÃY

QUA TÍNH CHẤT PHÂN TÍCH THAM SỐ

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG

Chương II Phân tích tham số và môđun Cohen-Macaulay dãy 14

2.2 Đa thức Hilbert-Samuel của môđun Cohen-Macaulay dãy 27

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn

Tự Cường Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất của mình

Lời nói đầu

Cho R là vành địa phương Noether với iđêan tối đại m và M là R−môđun hữu hạn sinh với dim M = d Cho x = x1, , xd là hệ tham sốcủa M và q = (x1, , xd) là iđêan tham số của M sinh bởi x Với mỗi

số Ta nói môđun M là môđun Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi tồntại một hệ tham số x nào đó sao cho x có tính chất phân tích tham số.Bây giờ, ta hạn chế sự quan tâm của câu hỏi trên cho hệ tham số tốt của

M Khi đó một môđun Cohen-Macaulay dãy có thể được đặc trưng bởitính chất phân tích tham số của một hệ tham số tốt như thế nào Nội dung

đó được trình bài trong bài báo Parametric decomposition of powers ofparameter ideals and sequentially Cohen-Macaulay modules của tác giảNguyễn Tự Cường và Hoàng Lê Trường Bài báo sẽ ra ở tạp chí " Proc.Amer Math Soc."

Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách hệ thống và chitiết kết quả của bài báo trên Luận văn được chia làm 2 chương

Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" là chương giới thiệu một số kiến thứccơ bản về đại số giao hoán như hệ tham số, dãy chính quy, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay dãy

Chương 2 "Phân tích tham số và môđun Cohen-Macaulay dãy" trìnhbày một số bổ đề từ đó đi đến định lý chính của chương nói về đặc trưngcủa môđun Cohen-Macaulay dãy qua phân tích tham số và hệ quả của nó.

Định lý phát biểu rằng

Định lý 2.1.6 Cho (R, m) là vành địa phương Noether M là R− môđunhữa hạn sinh Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

(i) M là môđun Cohen-Macaulay dãy

(ii) Mọi hệ tham số tốt của M có tính chất phân tích tham số

(iii) Tồn tại hệ tham số tốt của M có tính chất phân tích tham số

Ngoài ra chương này còn trình bày mối quan hệ giữa môđun Macaulay dãy M và biểu thức của hàm Hilbert-Samuel thông qua địnhlý

Cohen-Định lý 2.2.3 Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M là lọc chiều của M

và đặt Di = Di/Di−1 với mọi i = 1, , t, D0 = D0.Khi đó các mệnh đềsau là tương đương:

(i) M là môđun Cohen-Macaulay dãy

(ii) Với bất kỳ iđêan tham số tốt q của M, đẳng thức

đúng với mọi n ≥ 0

Phần cuối cùng của chương sẽ xây dựng ví dụ nhằm làm sáng tỏ cáckết quả chính đã nêu ở trên

1.1.1 Định nghĩa Cho (R, m) là vành địa phương Noether, M là R−môđun hữu hạn sinh với dim M = d Tập các phần tử x = (x1, x2, , xd),

xi ∈ m , ∀i = 1, , d thoả mãn lR(M/xM ) < ∞ được gọi là một hệtham số của M

Giả sử (R, m) là vành địa phương Noether, M là R− môđun hữu hạnsinh với dim M = d Mệnh đề sau đây nêu lên một số tính chất cơ bảncủa hệ tham số

1.1.2 Mệnh đề [1, Mệnh đề A.4] Cho x1, x2, , xt ∈ m khi đó

Fq,M(n) = l(M/qn+1M )

1.1.5 Mệnh đề [7, Định lý 13.2] Cho R = Lt≥0Rt là vành phân bậcNoether R0 là vành Artin và M là R- môđun phân bậc hữa hạn sinh Giả

d − 1

+ã ã ã+ed(q, M )

Số e0(q, M )được gọi là số bội Zaziski-Samuel Khi q sinh bởi một hệ tham

số x = {x1, x2, , xd} ta ký hiệu e0(q, M ) = e(x, M )

1.2 Dãy chính quy và môđun Cohen-Macaulay

Trong phần này ta sẽ trình bày một số khái niệm về dãy chính quy, đó làkhái niệm cơ bản để định nghĩa độ sâu của một môđun từ đó đưa đến địnhnghĩa của vành và môđun Cohen-Macaulay

1.2.1 Định nghĩa Cho R là vành giao hoán và M là R− môđun Một phần

tử x ∈ R được gọi là M− chính quy nếu 0 :M x = 0, tức là xa 6= 0 với

∀a ∈ M, a 6= 0 Một dãy các phần tử x1, , xncủa R được gọi là M−dãychính quy nếu (x1, , xn)M 6= M và xi là M/(x1, , xi−1)M − chínhquy với mọi i = 1, , n

Các mệnh đề sau đây nêu lên các tính chất cơ bản của dãy chính quy.1.2.2 Mệnh đề [8, Bổ đề 16.4] Cho M là R− môđun khi đó các mệnh

đề sau tương đương:

(i) Dãy x1, , xn là dãy M− chính quy.

(ii) Dãy x1, , xi là dãy M− chính quy và xi+1, , xn là dãyM/(x1, , xi)M − chính quy với mọi 1 ≤ i ≤ n − 1

1.2.3 Mệnh đề [7, Định lý 16.1] Nếu x1, , xn là dãy M− chính quythì với mọi số nguyên dương α1, , αn ta có {xα 1

1.2.5 Mệnh đề [1, Mệnh đề 1.2.12] Nếu M là R− môđun hữu hạn sinhtrên vành địa phương Noether và x1, , xt là dãy M− chính quy thì

x1, , xt là một phần của hệ tham số của M

Với định nghĩa về dãy chính quy nêu trên cho phép đi đến khái niệm độsâu của một môđun, để từ đó đi đến khái niệm môđun Cohen-Macaulay.1.2.6 Định nghĩa Cho I là iđêan của vành R, M là R− môđun hữu hạnsinh sao cho M 6= IM Khi đó độ dài cực đại của dãy M− chính quy của

I gọi là độ sâu của iđêan I đối với R− môđun M, kí hiệu depth R(I, M).Nếu (R, m) là vành địa phương Noether, ta có thể kí hiệu độ sâu của R−môđun M là depthRM hoặc có thể đơn giản hơn là depth M

1.2.7 Mệnh đề [1, Mệnh đề 1.2.13] Cho (R, m) là vành địa phươngNoether, M là R− môđun hữu hạn sinh Ta có khẳng định sau

depth M ≤ dim R/p ≤ dim M, ∀p ∈ Ass M

Và tiếp theo ta nhắc lại khái niệm môđun Cohen- Macaulay

1.2.8 Định nghĩa Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu

M = 0 hoặc M 6= 0 và depth M = dim M Vành R gọi là vành Macaulay nếu nó là R− môđun Cohen-Macaulay

Cohen-Mệnh đề sau nêu lên các đặc trưng cơ bản của môđun Cohen-Macaulay.1.2.9 Mệnh đề [7, Định lý 17.3] (1) Nếu M là môđun Cohen-Macaulaythì với ∀p ∈ Ass M ta có dim R/p = dim M

(2) Nếu x1, , xd ∈ m là dãy M− chính quy thì M là môđun Macaulay khi và chỉ khi M/(x1, , xd)M là môđun Cohen-Macaulay.1.2.10 Mệnh đề [7, Chú ý 136] Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thìmọi hệ tham số của M là dãy M− chính quy

Cohen-1.2.11 Bổ đề [3, Bổ đề 2.2] Cho N là môđun con của M thoả mãndim N < dim M và M/N là môđun Cohen-Macaulay Cho x1, , xi làmột phần của hệ tham số của M khi đó (x1, , xi)M ∩N = (x1, , xi)N.Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo i

Với i = 1 ta phải chứng minh x1M ∩ N = x1N Ta luôn có x1N ⊆

x1M ∩ N ta chứng minh x1M ∩ N ⊆ x1N Thật vậy, lấy y ∈ x1M ∩ Nkhi đó y ∈ x1M và y = x1m với m ∈ M suy ra y = x1m ∈ N hay

x1m + N = 0 + N trong M/N tức x1(m + N ) = 0 suy ra m + N = 0hay m ∈ N Do đó y = x1m ∈ x1N

Giả sử i > 1 Ta luôn có (x1, , xi)N ⊆ (x1, , xi)M ∩ N (1).Lấy a ∈ (x1, , xi)M ∩ N khi đó a = x1a1+ ã ã ã + xiai trong đó aj ∈ Mvới mọi j = 1, , i vì a ∈ N nên ai ∈ (N + (x1, , xi−1)M ) : xi Mặtkhác, vì dãy x1, , xi là M/N− chính quy và

(N + (x1, , xi−1)M ) :M xi = N + (x1, , xi−1)M

nên ta có ai ∈ N + (x1, , xi−1)M, ai = x1b1+ ã ã ã + xi−1bi−1+ c trong

đó bj ∈ M, j = 1, ã ã ã , i − 1 và c ∈ N Suy ra theo giả thiết quy nạp ta có

a − xic ∈ (x1, , xi−1)M ∩ N = (x1, , xi−1)N

Do đó a ∈ (x1, ã ã ã , xi)N Vậy (x1, , xi)M ∩N ⊆ (x1, , xi)N (2)

Từ (1) và (2) ta có (x1, , xi)M ∩ N = (x1, , xi)N

1.3 Môđun Cohen-Macaulay dãy

Trong phần này ta đưa ra định nghĩa và một số tính chất cơ bản về lọcchiều và môđun Cohen-Macaulay dãy, trước tiên ta nhắc lại khái niệm lọcchiều của môđun

1.3.1 Định nghĩa (1) Một lọc các môđun con của M là một họ

F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = Mtrong đó Mi là các môđun con của M Lọc các môđun con F của M

được gọi là thoả mãn điều kiện chiều nếu dim Mi−1 < dim Mi với mọi

i = 1, 2, , t.(2) Một lọc thoả mãn điều kiện chiều

D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M

được gọi là lọc chiều của M nếu nó thoả mãn 2 điều kiện sau(a) D0 = Hm0(M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ 0 của M ứngvới iđêan tối đại m

(b) Di−1 là môđun con lớn nhất của Di sao cho dim Di−1 < dim Di vớimọi i = 1, 2, , t

Mệnh đề sau sẽ cho ta thấy sự tồn tại của lọc chiều.

1.3.2 Mệnh đề [2, Chú ý 2.3] Lọc chiều của môđun M luôn tồn tại vàduy nhất Hơn nữa nếu D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M là lọc chiều của

M với dim Di = di thì ta có

dim(R/p j )≥d i+1

Njvới mọi i = 1, 2, , t − 1 trong đó

1.3.3 Định nghĩa Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M là lọc thoả mãn

điều kiện chiều và dim Mi = di Một hệ tham số x = {x1, x2, , xd}của

M được gọi là hệ tham số tốt tương ứng với lọc F nếu

Mi ∩ (xdi+1, xdi+2, , xd)M = 0với mọi i = 1, 2, , t − 1

Mọi hệ tham số tốt tương ứng với lọc chiều được gọi là hệ tham số tốtcủa M.

Nhận xét(1) Nếu hệ tham số x = {x1, x2, , xd} là hệ tham số tốt tương ứng vớilọc F thì xα 1

1 , , xαd

d cũng là hệ tham số tốt tương ứng với lọc F với mọi

số nguyên dương α1, , αd.(2) Một hệ tham số tốt của M cũng là hệ tham số tốt tương ứng với bất

kỳ lọc thoả mãn thoả mãn điều kiện chiều nào của M

1.3.4 Bổ đề [2, Bổ đề 2.5] Luôn tồn tại hệ tham số tốt của M

Chứng minh Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M là lọc chiều của M vớidim Di = di Theo mệnh đề 1.3.2 ta có Di = T

1.3.5 Bổ đề [3, Bổ đề 2.1] Cho x = {x1, x2, , xd}là hệ tham số tốt của

M khi đó Di = 0 :M xj với mọi j = di + 1, , di+1, i = 0, 1, , t − 1

và do đó 0 :M x1 ⊆ 0 :M x2 ⊆ ⊆ 0 :M xd.Chứng minh Ta có Di ⊆ 0 :M xj với mọi j ≥ di Thật vậy, lấy x ∈ Di

vì Di là môđun con của M nên x ∈ M Suy ra xjx ∈ (xdi+1, , xd)M,

∀j = di+1, , dhơn nữa xjx ∈ Di Nên suy ra xjx = 0hay x ∈ 0 :M xj

Ta còn phải chứng minh rằng 0 :M xj ⊆ Di với mọi di < j < di+1

Giả sử 0 :M xj 6⊆ Di và s là số nguyên lớn nhất sao cho 0 :M xj 6⊆ Ds−1khi đó t ≥ s > i và 0 :M xj = 0 :Ds xj Vì ds ≥ di+1 ≥ j, xj là phần tửtham số của Ds và dim 0 :M xj < ds do đó 0 :M xj ⊆ Ds−1 điều này vô

lý với việc chọn s Do vậy 0 :M xj = Di.Trong phần tiếp theo ta sẽ trình bày khái niệm và một vài tính chất đặctrưng của môđun Cohen-Macaulay dãy được sử dụng trong luận văn này.Trước hết ta có định nghĩa sau

1.3.6 Định nghĩa Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay dãynếu với lọc chiều D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M mỗi môđun Di/Di−1 làCohen-Macaulay với i = 1, 2, , t

Mệnh đề tiếp theo coi như điều kiện tương đương với định nghĩa môđunCohen-Macaulay dãy

1.3.7 Mệnh đề [2, Định lý 3,9] Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M làlọc chiều của M với dim Di = di và x = (x1, x2, , xd) là hệ tham sốtốt của M Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

(1) M là môđun Cohen-Macaulay dãy

(2) (x1, , xdi) là dãy chính quy trên M/Di−1 với i = 1, , t

(3) depth M/Di−1 = di với i = 1, , t

1.3.8 Bổ đề [3, Hệ quả 2.3] Cho x = {x1, x2, , xd} là hệ tham sốtốt của môđun Cohen-Macaulay dãy M Khi đó (x1, , xd)M ∩ Di =(x1, , xdi)Di với mọi i = 1, , t − 1

Chứng minh Ta có Di là môđun con của M, dim Di < M và M là môđun

Cohen-Macaulay dãy nên(x1, , xd)M ∩ Di = (x1, , xdi, xdi+1, , xd)M ∩ Di

= (x1, , xdi)M ∩ Di + (xdi+1, , xd)M ∩ Di

= (x1, , xdi)M ∩ Di

mà (x1, , xdi) là một phần của hệ tham số của M nên theo bổ đề 1.2.11

ta có (x1, , xdi)M ∩ Di = (x1, , xdi)Di

Chương 2

Phân tích tham số của luỹ thừa iđêan tham số và môđun Cohen-Macaulay dãy

Trong chương này ta sẽ trình bày nội dung chính của luận văn Nội dungchình được chia làm ba tiết Tiết một trình bày về đặc trưng của môđunCohen-Macaulay dãy qua phân tích tham số Tiết hai sẽ trình bày về đathức Hilbert-samuel của môđun Cohen-Macaulay dãy và trong tiết ba sẽ

đưa ra một số ví dụ nhằm làm sáng tỏ các kết quả đã nêu ở trên

2.1 Đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay dãy qua phân

đúng với mọi n thì ta nói x = x1, , xd có tính chất phân tích tham số.

Ta sẽ chứng minh trong tiết này rằng M là môđun Cohen-Macaulay dãykhi và chỉ khi tồn tại một hệ tham số tốt x nào đó của M để sao cho x cótính chất phân tích tham số Ta bắt đầu bằng bổ đề về tính chất phân tíchtham số của dãy các phần tử chính quy

2.1.2 Bổ đề Cho s là một số nguyên dương và y1, , yslà M− dãy chínhquy của các phần tử trong m Khi đó

Chứng minh Ta kí hiệu y = (y1, , ys) và y(α) = (yα1

Đặt S = R n M là iđêan hoá của M trên R Khi đó S = R n M lànhóm cộng và phép nhân trong S được định nghĩa như sau

(a, x)(b, y) = (ab, ay + bx), ∀a, b ∈ R, ∀x, y ∈ M

Đặt fi = (yi, 0), (i = 1, , s), ta sẽ chứng minh dãy f = f1, , fs làS− chính quy, tức là

(f1, , fi)S : fi+1 = (f1, , fi)S, i = 0, , s − 1

Ta luôn có (f1, , fi)S : fi+1 ⊇ (f1, , fi)S do đó ta chỉ cần phảichứng minh (f1, , fi)S : fi+1 ⊆ (f1, , fi)S, i = 0, , s − 1 là đủ.Lấy bất kỳ g ∈ (f1, , fi)S : fi+1, tức là g = (u, x), u ∈ R, x ∈ M

và gfi+1 ∈ (f1, , fi)S, suy ra (u, x)(yi+1, 0) =

f1, , fs là S− chính quy Từ đây áp dụng [6, Định lý 2.4] ta có(f )nS = \

α∈Λ s,n

TiÕp theo ta sÏ chøng minh r»ng

2.1.3 Bổ đề Cho s là một số nguyên dương và y1, , ys là một dãy cácphần tử của m thoả mãn (y1, , ys)nM = T

i < s.Chứng minh (i) Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử s ≥ 2 và chỉcần chứng minh bổ đề đúng với i = s − 1 là đủ

1 , , yαs−1

s−1 ) nên yn = (y1, , ys−1)n được sinhbởi các phần tử có dạng yβ 1

x ∈ (y1, , ys−1)nM +ys0M = M Mặt khác, nếu x ∈ (y1, , ys−1)nM +

Ta chứng minh (1) như sau Lấy tuỳ ý α = (α1, , αs) ∈ Λs,k+n.Nếu αs ≤ k, dễ thấy yk

sM ⊆ (yα1

1 , , yαs

s )M, từ đó suy ra x − y ∈(yα1

1 , , yαs

s )M Tóm lại ta luôn có x − y ∈(yα1

Để chứng minh (2) ta lấy phần tử sinh tuỳ ý f của (y1, , ys)k+nM,giả sử f viết dưới dạng f = yβ1

với k, m ≥ 1, i < s Khi đó ta chọn được α = (α1, , αi+1) ∈ Λi+1,k+msao cho x 6∈ (yα 1

1 , , yαi

i , yαi+1 i+1 )M Vì x ∈ yk

i+1M nên ta có αi+1 ≥

k + 1 Mặt khác do x ∈ (y1, , yi)mM nên x sinh bởi các phần tử dạng

yki+1M ∩ (y1, , yi)mM ⊆ yi+1k (y1, , yi, yi+1)M + (y1, , yi)m+1Mvới ∀k, m ≥ 1.

Chứng minh Theo bổ đề 2.1.3(ii) ta có

yi+1k M ∩ (y1, , yi)mM ⊆ (y1, , yi, yi+1)k+mM

do vậy nếu ta chứng minh được(y1, , yi, yi+1)k+mM ⊆ yi+1k (y1, , yi, yi+1)M + (y1, , yi)m+1Mvới ∀k, m ≥ 1 thì bổ đề được chứng minh

Thật vậy, lấy a ∈ M và (n1, , ni, ni+1) ∈ Zi+1sao cho n1+ã ã ã+ni+1 =

1 yni

i yni+1 −k i+1 )a ∈ yi+1k (y1, , yi+1)M.Nếu ni+1 < khay ni+1 ≤ k − 1khi đó n1+ã ã ã+ni = k+m−ni+1 ≥ m+1suy ra yn1

1 yni

i yni+1 i+1 a ∈ (y1, , yi)m+1M do đó

yn1

1 yni

i yni+1 i+1 a ∈ yi+1k (y1, , yi+1)M + (y1, , yi)m+1M

Vậy ta có(y1, , yi, yi+1)k+mM ⊆ yi+1k (y1, , yi+1)M + (y1, , yi)m+1Mvới mọi k, m ≥ 1 và 1 ≤ i < s

2.1.5 Bổ đề Cho x = {x1, x2, , xd} là một hệ tham số của môđun M

có tính chất phân tích tham số Khi đó với ∀1 ≤ i < j ≤ d sẽ tồn tại một

số nguyên k ≥ 1 sao cho qiM : xnj = qiM + 0 :M xkj với ∀n ≥ k

Chứng minh Để chứng minh bổ đề trước hết ta chứng minh

xnjM ∩ qiM ⊆ xnj(xj, qi)M, ∀n ≥ 1

Thật vậy, giả sử ngược lại Khi đó, theo định lý Giao Krull sẽ tồn tại một

số nguyên n ≥ 1 sao cho

xnjM ∩ qiM ⊆ xnj(xj, qi)M + qmi Mnhưng xn

jM ∩ qiM ⊆ xnj(xj, qi)M + qm+1i M (điều này vô lý) Do đó

xnjM ∩ qiM ⊆ xnj(xj, qi)M.Như vậy xn

j(qiM : xnj) ⊆ xnjM ∩ qiM ⊆ xnj(xj, qi)M Do đó qiM : xnj ⊆(xj, qi)M + 0 :M xni Lấy k  0 sao cho

qiM : xkj = qiM : xk+1j

0 :M xkj = 0 :M xk+1jKhi đó qiM : xnj ⊆ (xj, qi)M + 0 :M xkj với ∀n ≥ k Lấy a ∈ qiM : xnj,

ta viết a = xjb + x1b1+ ã ã ã + xibi+ c trong đó c ∈ 0 :M xkj Vì xn

ja ∈ qiM