MỤC LỤC
Trong phần này ta đưa ra định nghĩa và một số tính chất cơ bản về lọc chiều và môđun Cohen-Macaulay dãy, trước tiên ta nhắc lại khái niệm lọc chiều của môđun. Từ định nghĩa lọc chiều, tồn tại môđun Di sao cho N ⊆ Di và dimN = dimDi. ⊂ Mt = M là lọc thoả mãn điều kiện chiều thì với mỗi Mj luôn tồn tại Di sao cho Mj ⊆ Di và dimMj = dimDi.
Hệ tham số tốt là một khái niệm quan trọng được sử dụng trong luận văn này, từ định nghĩa về lọc chiều nêu trên ta có định nghĩa về hệ tham sè tèt nh sau. Mọi hệ tham số tốt tương ứng với lọc chiều được gọi là hệ tham số tốt của M. , xαdd cũng là hệ tham số tốt tương ứng với lọc F với mọi số nguyên dương α1,.
(2) Một hệ tham số tốt của M cũng là hệ tham số tốt tương ứng với bất kỳ lọc thoả mãn thoả mãn điều kiện chiều nào của M. Trong phần tiếp theo ta sẽ trình bày khái niệm và một vài tính chất đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay dãy được sử dụng trong luận văn này. Mệnh đề tiếp theo coi như điều kiện tương đương với định nghĩa môđun Cohen-Macaulay dãy.
Phân tích tham số của luỹ thừa iđêan tham số và môđun Cohen-Macaulay dãy. Tiết một trình bày về đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay dãy qua phân tích tham số. Tiết hai sẽ trình bày về đa thức Hilbert-samuel của môđun Cohen-Macaulay dãy và trong tiết ba sẽ.
Phân tích tham số của luỹ thừa iđêan tham số và môđun Cohen-Macaulay dãy. Trong chương này ta sẽ trình bày nội dung chính của luận văn. Nội dung chình được chia làm ba tiết. Tiết một trình bày về đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay dãy qua phân tích tham số. Tiết hai sẽ trình bày về đa thức Hilbert-samuel của môđun Cohen-Macaulay dãy và trong tiết ba sẽ. đưa ra một số ví dụ nhằm làm sáng tỏ các kết quả đã nêu ở trên. 2.1 Đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay dãy qua phân. Với các ký hiệu trên ta có qnM ⊆ T. , xαdd) nên qnM được sinh bởi các phần tử có dạng xβ11. , xd có tính chất phân tích tham số. Ta sẽ chứng minh trong tiết này rằng M là môđun Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi tồn tại một hệ tham số tốt x nào đó của M để sao cho x có tính chất phân tích tham số. Ta bắt đầu bằng bổ đề về tính chất phân tích tham số của dãy các phần tử chính quy. Cho slà một số nguyên dương vày1,. , yslàM−dãy chính quy của các phần tử trong m. Việc chứng minh bổ đề trên trong vành R là hoàn toàn tương tự như. xét trong vành đa thức Z[X1,. Tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng. Cho s là một số nguyên dương và y1,. Giả sử phản chứng rằng không xảy ra bao hàm thức trên, khi đó sẽ tồn tại x ∈ T. Ta chọn số tự nhiên k đủ lớn sao cho. Điều này trái với cách chọn x ban đầu. Để chứng minh bổ. đề ta cần chứng minh 2 khẳng định sau. Mặt khác, dễ thấy. ysβsa trong đó Ps. Tóm lại ta luôn có. Ta sẽ chứng minh bổ đề dựa vào hai khẳng định trên. Điều này mâu thuẫn với cách chọn ban đầu. , yi)mM nên x sinh bởi các phần tử dạng. , xd} là một hệ tham số của môđun M có tính chất phân tích tham số. Khi đó, theo định lý Giao Krull sẽ tồn tại một số nguyên n ≥ 1sao cho.
(iii) Tồn tại hệ tham số tốt của M có tính chất phân tích tham số. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo độ dài t của lọc chiều D của M rằng x có tính chất phân tÝch tham sè. , xd là dãy M− chính quy do đó nó có tính chất phân tích tham số.
Vì mọi hệ tham số của M có tính chất phân tích tham số nên luôn tồn tại một hệ tham số nào đó của M có tính chất phân tích tham số. Ta phải chứng minh M là môđun Cohen-Macaulay dãy hay tương đương với chứng minh Ds/Ds−1,∀s = 1,. Điều này có nghĩa rằng mọi hệ tham số của M là tốt, do đó theo định lý chính nó có tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè.
Vì mọi hệ tham số củaM có tính chất phân tích tham số nên theo.
Hơn nữa, bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi và chỉ khi M là môđun Cohen-Macaulay. Hơn nữa, bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi và chỉ khi ϕ là đẳng cấu hay M là môđun Cohen-Macaulay. VìDt−1 là môđun Cohen-Macaulay dãy và lọc chiều của nó có độ dàit−1 theo giả thiết quy nạp ta có.
Do S là vành chính quy và Z là một phần của hệ tham số chính quy nên.