Một số tính chất chọn lọc về hệ động lực rời rạc

Một số tính chất chọn lọc về hệ động lực rời rạc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN NGUYÊN BÌNH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - năm 2009

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN NGUYÊN BÌNH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC

Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH VŨ NGỌC PHÁT

Thái Nguyên - năm 2009

Mục lục

Một số kí hiệu dùng trong luận văn 5

2.1.1 ổn định của các hệ rời rạc tuyến tính 15

2.1.2 ổn định của các hệ rời rạc phi tuyến 16

2.1.3 ổn định của hệ rời rạc tuyến tính có trễ 18

2.2 ổn định hoá các hệ rời rạc 25

2.2.1 Bài toán ổn định hoá 25

2.2.2 ổn định hoá của hệ tuyến tính 27

Chương 3 ổn định và ổn định hoá bền vững các hệ có trễ 323.1 Sự ổn định hoá bền vững của hệ có trễ 32

3.2 Sự ổn định bền vững và ổn định hoá bền vững của hệ có trễvới nhiễu phi tuyến 37

Lời nói đầu

Lý thuyết định tính các hệ động lực là một trong những hướng nghiêncứu quan trọng trong lý thuyết phương trình vi phân và sai phân Trong lýthuyết đó, tính ổn định là một trong những tính chất tiêu biểu, có nhiều ứngdụng trong thực tế, được quan tâm nghiên cứu trong những thập kỷ gần đây.Được bắt đầu nghiên cứu từ cuối thế kỷ XIX bởi nhà toán học V.Lyapunov vàđến nay đã trở thành một hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyếthệ thống và ứng dụng Các công trình của Luapunov có nhiều kết quả và ýtưởng xuất sắc có giá trị nền tảng cho những nghiên cứu sau này và hơn thếnó còn có ý nghĩa đặt nền móng cho toàn bộ lý thuyết định tính của phươngtrình vi phân thường Hai phương pháp do ông đề xuất là phương pháp mũLyapunov (phương pháp thứ nhất) và phương pháp hàm Lyapunov (phươngpháp thứ hai hay phương pháp trực tiếp) vẫn là hai cách tiếp cận chính khinghiên cứu về ổn định Đến những năm 60 của thế kỷ XX, cùng với sự pháttriển của lý thuyết điều khiển, người ta cũng bắt đầu nghiên cứu tính ổn địnhcủa các hệ điều khiển Bài toán nghiên cứu tính ổn định các hệ điều khiểnđược gọi là bài toán ổn định hoá.

Bài toán ổn định cho các hệ rời rạc là một trong những bài toán quantrọng trong lý thuyết định tính các hệ động lực Bài toán này từ trước chođến nay nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước,có thể kể ra đây một số tác giả như Ladas, Agarwal, Gabasov and Kirillova,Myskis, Hoàng Hữu Đường, Nguyễn Khoa Sơn, Vũ Ngọc Phát, Nguyễn VănMinh,

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương và phần tài liệu tham khảo.Chương 1: Cơ sở toán học.

Chương 2: ổn định và ổn định hóa các hệ rời rạc.

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k ∈ Z+, (1)theo hai hướng khác nhau Một kết quả nghiên cứu theo hướng bất đẳng thứcma trận và kết quả còn lại nghiên cứu dựa trên tính điều khiển được của cặpma trận hệ số [A, B].

Chương 3 trình bày một số nghiên cứu mới ở đây chúng tôi xét các hệrời rạc tuyến tính không chắc chắn (uncertain) có trễ

x(k + 1) = (A + DaFa(k)Ea)x(k)+(B + DbFb(k)Eb)x(k − h)

+(C + DcFc(k)Fc)u(k) k ∈ Z+, (2)và các hệ rời rạc không chắc chắn có trễ với nhiễu phi tuyến

x(k + 1) =(A + DaFa(k)Ea)x(k) + (B + DbFb(k)Eb)x(k − h)+ f (k, x(k), x(k − h)), k ∈ Z+, (3)x(k + 1) =(A + DaFa(k)Ea)x(k) + (B + DbFb(k)Eb)x(k − h)

+ (C + DcFc(k)Ec)u(k) + f (k, x(k), x(k − h), u(k)), k ∈ Z+,(4)trong đó x(k) ∈ Rn là biến trạng thái, u(k) ∈ Rm là biến điều khiển,A, B, C, Da, Ea, Db, Eb, Dc, Ec là các ma trận hằng cho trước với số chiềuthích hợp, Fa(k), Fb(k), Fc(k) là các ma trận không chắc chắn chưa biết vớisố chiều thích hợp thoả mãn k Fa(k) k≤ 1, k Fb(k) k≤ 1, k Fc(k) k≤ 1,f (.) là hàm phi tuyến.

Việc nghiên cứu tính ổn định hóa bền vững của hệ (4) là việc mở rộngnghiên cứu tính ổn định bền vững của hệ (2) và tính ổn định hoá bền vững củahệ (3) Khó khăn ở đây là phải tìm được điều khiển ngược u(k) = h(x(k))

để hệ (2) và (4) là ổn định hoá được, mà như chúng ta đã biết điều này khôngphải khi nào cũng thực hiện được với một hệ rời rạc có trễ bất kỳ Mặt khácđiều kiện đặt ra cho hàm f(.) cũng là một trở ngại trong quá trình nghiêncứu, ở đây chúng tôi đã giả thiết điều kiện tăng trưởng cho f(.), tức là tronghệ (3) f(.) là hàm có tính chất

Em xin cảm ơn các thầy cô của ĐH Thái Nguyên và Viện Toán học đãtận tình giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học.

Tôi xin cảm ơn Trường ĐH Kinh tế & QTKD Thái Nguyên, khoa Khoahọc cơ bản trường ĐH Kinh tế & QTKD Thái Nguyên, khoa Toán trườngĐHSP Thái Nguyên, khoa Sau Đại học trường ĐHSP Thái Nguyên đã quantâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện kế hoạch học tập củamình.

Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đã cổ vũ động viên tôi trongsuốt quá trình làm luận văn.

Một số kí hiệu dùng trong luận văn

• Z+ là tập tất cả các số nguyên không âm; R+ tập tất cả các số thựckhông âm; Rn

và chuẩn véc tơ là k k; Rnìr không gian các ma trận (n ì r) chiều.

• AT ma trận chuyển vị của ma trận A; Ma trận A được gọi là đối xứngnếu A = AT; I là ma trận đơn vị.

• Sp(A) tập tất cả các giá trị riêng của A.

• λmax(A) = max{Reλ : λ ∈ Sp(A)}; λmin(A) = min{Reλ : λ ∈Sp(A)}.

• k A klà chuẩn của ma trận A, được định nghĩa bởi k A k= (Pn

|aij|2)12.• Ma trận A được gọi là xác định không âm, kí hiệu là A ≥ 0, nếu

n; Ma trận A được gọi là xác định dương nếu

n

Chương 1

Cơ sở toán học

1.1 Phương trình vi phân và sai phân

Xét phương trình vi phân(

˙x = f (t, x), t ∈ I = [t0, t0 + b],

x(t0) = x0, x ∈ Rn, t0 ≥ 0, (1.1)trong đó f(t, x) : I ì D −→ Rn

, D = {x ∈ Rn :k x − x0 k≤ a}.Nghiệm x(t) của (1.1) là hàm khả vi liên tục thoả mãn

˙x = Ax + g(t), t ≥ 0,

x(t0) = x0, t0 ≥ 0, (1.2)với A là ma trận hằng, g(t) : [0, ∞) −→ Rn là hàm khả tích, người ta chứngminh được (1.2) luôn tồn tại duy nhất nghiệm cho bởi công thức Cauchy sau

Đối với hệ không dừng(

˙x = A(t)x + g(t), t ≥ 0,

x(t0) = x0, t0 ≥ 0, (1.4)trong đó A(t) là hàm liên tục theo t và k A(t) k≤ m(t), với m(t), g(t) là cáchàm khả tích thì hệ (1.4) cũng có nghiệm duy nhất Nghiệm này biểu diễnqua ma trận nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất

Bên cạnh các hệ phương trình vi phân ta cũng xét các hệ sai phân tươngứng, xét hệ

x(k + 1) = f (k, x(k)), k = 0, 1, 2, (1.6)trong đó f(.) : Z+

x(k + 1) = A(k)x(k) + g(k), k ∈ Z+, (1.7)thì với điều kiện ban đầu x(0) = x0 tuỳ ý và dãy

g = {g(0), g(1), , g(k − 1), },

nghiÖm x(k) t¹i b­íc k > 0 cho bëi c«ng thøc Cauchyx(k) = F (k, 0)x0 +

Ta cã thÓ biÓu diÔn c«ng thøc cña F (k, s) nh­ sau

F (k, s) = Ăk − 1).Ăk − 2) Ăs), k ≥ s ≥ 0, F (k, k) = Ị

NÕu Ặ) lµ ma trËn h»ng th× F (k, s) = Ak−s, k ≥ s ≥ 0 vµ khi ®ãnghiÖm cña hÖ tuyÕn tÝnh dõng víi thêi gian rêi r¹c lµ

Định nghĩa 1.2.1 Nghiệm x(t) của hệ phương trình (1.1) được gọi là ổnđịnh nếu với mỗi  > 0, t0 ≥ 0 cho trước, tồn tại số δ > 0 (phụ thuộc , t0)sao cho bất kỳ nghiệm y(t) : y(t0) = y(0) của hệ thoả mãn k y0 − x0 k< δthì ta đều có k y(t) − x(t) k< , ∀t ≥ t0.

• Nghiệm x(t) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và có một sốδ > 0 sao cho với k y0 − x0 k< δ thì k y(t) − x(t) k→ 0 khi t → ∞.

• Nghiệm x(t) gọi là ổn định mũ nếu nó là ổn định tiệm cận và thêmvào đó tồn tại các hằng số dương α, M sao cho nếu k y0 − x0 k< δ thìk y(t) − x(t) k< M e−αt với mọi t ≥ t0.

Nhận xét rằng bằng cách đổi biến z = x − y (y là nghiệm bất kỳ) phươngtrình (1.1) đưa được về dạng

˙z = F (t, z), (1.8)trong đó F (t, z) = f(t, z + y) − f(t, y), F (t, 0) = 0 Khi đó nghiên cứu sựổn định của nghiệm x(t) nào đó của hệ (1.1) tương đương với nghiên cứutính ổn định của nghiệm 0 của hệ (1.8) Để đơn giản, từ đây ta sẽ xét hệ(1.1) với giả thiết hệ có nghiệm 0, tức là f(t, 0) = 0, t ∈ R+ Ta nói

• Hệ (1.1) là ổn định nếu với mỗi  > 0, t0 ∈ R+ cho trước, tồn tại sốδ > 0 (phụ thuộc , t0) sao cho bất kỳ nghiệm x(t) : x(t0) = x(0) của hệthoả mãn k x0 k< δ thì k x(t) k<  với mọi t ≥ t0.

• Hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và thêm vào đó tồn tạiδ > 0 sao cho nếu k x0 k< δ thì lim

t→∞ k x(t) k= 0.

• Hệ (1.1) là ổn định mũ nếu nó là ổn định tiệm cận và tồn tại các hằngsố dương α, M sao cho mọi nghiệm x(t) : x(t0) = x0 của (1.1) :k x0 k< δthì k x(t) k< Me−αt với mọi t ≥ t0.

Trong các định nghĩa trên nếu δ không phụ thuộc t0 thì sự ổn định (ổnđịnh tiệm cận) được gọi là ổn định đều (ổn định tiệm cận đều).

Sự ổn định của các hệ rời rạc được định nghĩa tương tự Xét hệ (1.6) ởtrên.

Định nghĩa 1.2.2 Hệ (1.6) gọi là ổn định nếu với mỗi  > 0, k0 ∈ Z+

tồn tại δ > 0 (δ phụ thuộc , k0) sao cho với mọi nghiệm x(k) của hệ màk x(0) k< δ thì k x(k) k<  với mọi k ≥ k0 Hệ là ổn định tiệm cận nếu nóổn định và có một số δ > 0 sao cho lim

t→∞ k x(k) k= 0 với mọi nghiệm x(k)mà k x(0) k< δ.

Lý thuyết định tính phương trình vi phân có hai phương pháp chủ yếunghiên cứu tính ổn định của các nghiệm đó là phương pháp số mũ Lyapunovvà phương pháp dùng hàm Lyapunov (phương pháp trực tiếp) Trong phạmvi của luận văn chúng tôi chỉ nêu một số kết quả chủ yếu về phương phápthứ hai Lyapunov.

Phương pháp thứ hai nghiên cứu sự ổn định là phương pháp dùng hàmLyapunov, đối với phương pháp này chưa có một thuật toán tổng quát nàođể tìm được hàm Lyapunov cho tất cả các phương trình.

Xét hệ phương trình phi tuyến

˙x(t) = f (x(t)), f (0) = 0, t ∈ R+ (1.9)Nhắc lại, một hàm số V (x) : Rn

−→ R là hàm xác định dương nếuV (x) ≥ 0với mọi x ∈ Rn và V (x) = 0 khi và chỉ khi x = 0.

Định nghĩa 1.2.3 Hàm V (x) : D ⊆ Rn

−→ R, D là lân cận tuỳ ý của 0,gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.9) nếu

(i)V (x) là hàm khả vi liên tục trên D.(ii) V (x) là hàm xác định dương.(iii) DfV (x) := ∂V

∂xf (x) ≤ 0, ∀x ∈ D.

Hàm V (x) gọi là hàm Lyapunov chặt nếu nó là hàm Lyapunov và thêmvào đó bất đẳng thức trong điều kiện (iii) là thực sự âm với mọi x nằm ngoàimột lân cận 0 nào đó, tức là:

(iv) ∃c > 0 : DfV (x) ≤ −c k x k, x ∈ D\{0}.

Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ để hệ (1.9) là ổn định tiệm cận.

Định lý 1.2.4 ([3]) Nếu hệ (1.9) có hàm Lyapunov thì ổn định Hơn nữa,nếu hàm Lyapunov đó là chặt thì hệ ổn định tiệm cận đều.

Ví dụ 1.2.5 Xét hệ phương trình vi phân(

x1 = −2x31 + 2x2, t ≥ 0,˙

x2 = −x1 − x32.Lấy hàm V (x) = x2

1 + 2x22, ta cóDfV (x) = 2x1x˙1 + 4x2x˙2

= 2x1(−2x31 + 2x2) + 4x2(−x1 − x32)= −4(x41 + x42).

(I + BA)−1 = I − B(I + AB)−1A.

Chiều ngược lại được chứng minh hoàn toàn tương tự 

Bổ đề 1.3.2 Giả sử A, B, C là các ma trận vuông (n ì n) chiều, B khảnghịch Khi đó ta có các khẳng định sau:

(i) B + AC không suy biến khi và chỉ khi I + CB−1A là không suy biến.(ii) Nếu B + AC không suy biến thì

(B + AC)−1 = B−1 − B−1A(I + CB−1A)−1CB−1.Chứng minh.

(i) Vì B + AC = (I + ACB−1)B nên I + ACB−1 không suy biến, theoBổ đề 1.3.1 ta có I + CB−1A không suy biến.

D1 = a11, D2 =

a11 a12a21 a22

, D3 =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

, , Dn = A.

Định lý 1.3.5 [6] Một ma trận đối xứng là xác định dương (âm) khi và chỉkhi nó có tất cả các giá trị riêng dương (âm).

Bổ đề 1.3.6 Cho A là ma trận khối đối xứng, khi đó tính xác định âm (dương)của ma trận A sẽ không thay đổi khi ta hoán vị lần lượt khối cột i với khốicột j và khối hàng i với khối hàng j.

Chứng minh

Không mất tính tổng quát ta coi i < j Giả sử ma trận khối đối xứng Acó dạng dạng

A =

A11 A12 ã ã ã A1i ã ã ã A1j ã ã ã A1nA21 A22 ã ã ã A2i ã ã ã A2j ã ã ã A2n

ã ã ã ãAi1 Ai2 ã ã ã Aii ã ã ã Aij ã ã ã Ainã ã ã ãAj1 Aj2 ã ã ã Aji ã ã ã Ajj ã ã ã Ajnã ã ã ãAn1 An2 ã ã ã Ani ã ã ã Anj ã ã ã Ann

Sau khi hoán vị lần lựơt khối cột i với khối cột j và khối hàng i với khốihàng j, ma trận A trở thành ma trận A0 có dạng

A0 =

A11 A12 ã ã ã A1j ã ã ã A1i ã ã ã A1nA21 A22 ã ã ã A2j ã ã ã A2i ã ã ã A2nã ã ã ãAj1 Aj2 ã ã ã Ajj ã ã ã Aji ã ã ã Ajnã ã ã ãAi1 Ai2 ã ã ã Aij ã ã ã Aii ã ã ã Ainã ã ã ãAn1 An2 ã ã ã Anj ã ã ã Ani ã ã ã Ann

Để chứng minh bổ đề ta chỉ cần chứng minh tính xác định âm của matrận khối A và A0 là tương đương.

Thật vậy, giả sử A là ma trận xác định âm, λ là giá trị riêng nào đó củaA0 Vì λ là giá trị riêng của A0 nên det(A0 − λI) = 0, I là ma trận đơn vịcùng số chiều với A0 Theo tính chất của định thức ta có

det(A0 − λI) = 0 ⇔ det(A − λI) = 0.

Điều đó có nghĩa là nếu λ là giá trị riêng của A0 thì nó cũng là giá trịriêng của A Vì A là ma trận đối xứng xác định âm nên theo Bổ đề 1.3.5 tacó λ < 0, tức là mọi giá trị riêng của A0 là âm, hay ma trận A0 xác định âm.

Chiều ngược lại được chứng minh hoàn toàn tương tự 

Bổ đề 1.3.7 (Schur complement lemma [15]) Với mọi ma trận P − (n ì n)chiều, M −(nìm) chiều và ma trận đối xứng xác định dương Q−(mìm)chiều, ta có

 P MT

M −Q

< 0 ⇔ P + MTQ−1M < 0.

Bổ đề 1.3.8 ( [6]) Cho P ∈ Rnìn là ma trận đối xứng xác định dương,khi dó ATP A cũng là ma trận đối xứng xác định dương với mọi ma trậnA ∈ Rnìn.

Bổ đề 1.3.9 ([16]) Cho E, H và F là các ma trận thực có số chiều thíchhợp và FTF ≤ I Khi đó khẳng định sau là đúng:

EF HT + HFTET ≤ EET + −1HHT,  > 0.

(i) Hệ là ổn định tiệm cận nếu tồn tại q ∈ (0, 1) sao cho k A(k) k≤ q vớimọi k ∈ Z+.

(ii) Nếu A(k) = A+C(k) trong đó A là ma trận ổn định và k C(k) k≤ a,khi đó hệ sẽ ổn định với a đủ nhỏ.

Ví dụ 2.1.3 Xét hệ phương trình

x(k + 1) = 1

2(k + 1)x(k) +1

4(k + 1)yk,y(k + 1) = − 1

2(k + 1)yk, k ∈ Z+,trong đó

A(k) =

12(k + 1)

14(k + 1)

2(k + 1)

Dễ thấy k A(k) k= 3

4(k + 1) ≤ 3

4 = q < 1 nên hệ là ổn định tiệm cận.2.1.2 ổn định của các hệ rời rạc phi tuyến

Định lý 2.1.4 (Định lý Lyapunov cho hệ rời rạc) Xét hệ rời rạc

x(k + 1) = f (k, x(k)), k ∈ Z+ (2.3)Nếu tồn tại hàm số V (x) : Rn

→ R thoả mãn:

(i) ∃λ1 > 0, λ2 > 0 : λ1 k x(k) k2≤ V (x) ≤ λ2 k x(k) k2

(ii) ∃λ3 > 0 : ∆V (x) = V (x(k + 1)) − V (x(k)) ≤ −λ3 k x((k)) k2,k = 0, 1, 2, , mọi nghiệm x(k) của hệ (2.3).

Khi đó hệ 2.3 là ổn định tiệm cận.Hệ quả 2.1.5 Xét hệ phương trình

x(k + 1) = Ax(k), k ∈ Z+ (2.4)Nếu tồn tại hai ma trận đối xứng xác định dương P, Q sao cho

ATP A − P + Q = 0,thì hệ phương trình 2.4 là ổn định tiệm cận.

Chứng minh.

Xét hàm số V (x) = x(k)TP x(k) Do P là ma trận đối xứng xác địnhdương nên điều kiện (i) của Định lý 2.1.4 đương nhiên thoả mãn.

Mặt khác ta có

4V (x) = V (x(k + 1)) − V (x(k)) = x(k + 1)TP x(k + 1) − x(k)TP x(k)= x(k)TATP Ax(k) − x(k)TP x(k) = x(k)T(ATP A − P )x(k)= −x(k)TQx(k) ≤ −λmax(Q) k x(k) k2

Vậy ta có điều phải chứng minh.Ví dụ 2.1.6 Xét hệ phương trình

x(k + 1) = −1

2x(k) +1

8y(k), k ∈ Z+,y(k + 1) = 1

2x(k) −14y(k),trong đó

A =

2 −14

.Lấy ma trận

P =

4 00 6

.Rõ ràng P > 0 và

ATP A =

3 −54

, Q = P − ATP A =

1 54

> 0,do đó hệ trên là ổn định tiệm cận.

Đối với hệ không dừng có nhiễu phi tuyến ta có định lý sau.Định lý 2.1.7 [3] Xét hệ phương trình

x(k + 1) = A(k)x + g(k, x), k ∈ Z+ (2.5)Giả sử

(i) Tồn tại q ∈ (0, 1) sao cho k A(k) k≤ q, ∀k ∈ Z+.(ii) k g(k, x) k≤ L(k) k x k, ∀k ∈ Z+ với lim

k→∞supL(k) = 0.Khi đó hệ (2.5) là ổn định tiệm cận.

k→∞supL(k) = 0 và q < 1, nên có một số  > 0 đủ nhỏ vàmột số N > 0 đủ lớn sao cho

q + L(k) < q + , ∀k > N.Do đó,

k x(k) k≤k x0 k (q + L(0))(q + L(N − 1))(q + )k−N, ∀k > N.Từ đó suy ra k x(k) k→ 0 khi k → ∞ Định lý được chứng minh.2.1.3 ổn định của hệ rời rạc tuyến tính có trễ

Xét hệ rời rạc có trễ

x(k + 1) = Ax(k) + Bx(k − h), k ∈ Z+, (2.6)trong đó x(.) ∈ Rn, A, B là ma trận hằng, h ≥ 0 cho trước, điều kiện banđầu của hệ là

x(0) = x(−1) = = x(−h) = x0.

Như vậy với mỗi x0 cho trước hệ luôn có nghiệm xác định, nghiệm ở bướck được truy hồi từ k − h bước trước đó.

Định nghĩa 2.1.8 Hệ (2.6) gọi là ổn định tiệm cận không phụ thuộc độ chậmnếu với bất kỳ h ≥ 0 nào thì hệ cũng là ổn định tiệm cận.

Để đơn giản ta vẫn nói hệ ổn định tiệm cận thay cho nói hệ ổn định tiệmcận không phụ thuộc độ chậm Định lý dưới đây cho ta điều kiện đủ để hệ(2.6) là ổn định tiệm cận.

Định lý 2.1.9 [14] Hệ (2.6) là ổn định tiệm cận nếu một trong hai điều kiệnsau đây xảy ra

(i) Tồn tại hai ma trận đối xứng xác định dương P, W sao cho X(P ) BTP A

ATP B −W

< 0, (2.7)trong đó X(P ) = ATP A + W + BTP B − P.

(ii) Tồn tại hai ma trận đối xứng xác định dương Π, Z sao cho X(Π) ATΠB

BTΠA −Z

< 0, (2.8)trong đó X(Π) = BTΠB + Z + ATΠA − Π.

Chứng minh.Xét hàm

+ x(k)TQx(k) − x(k)TP x(k) − x(k − h)TQx(k − h)

=x(k)T[ATP A + Q − P ]x(k) + 2x(k)TATP Bx(k − h)

+ x(k − h)T[BTP B − Q]x(k − h) (2.9)(i) Đưa (2.9) về dạng chính tắc bằng cách sau

∆Vk = − [M x(k − h) + N x(k)]T[M x(k − h) + N x(k)]+ x(k)T[NTN + ATP A + Q − P ]x(k)

= − x(k − h)TMTM x(k − h) − 2x(k)TNTM x(k − h)+ x(k)T[ATP A + Q − P ]x(k).

Đồng nhất (2.10) và (2.9) ta được

MTM = Q − BTP B,NTM = −ATP B.Điều kiện để có ma trận M là

Q − BTP B > 0 (2.11)Khi đó

M = [Q − BTP B]12và

N = −[Q − BTP B]−12BTP A.

Theo Định lý 2.1.4, hệ (2.6) sẽ ổn định tiệm cận nếu có điều kiện (2.11)và

NTN + ATP A + Q − P < 0, (2.12)tức là

ATP B[Q − BTP B]−1BTP A + ATP A + Q − P < 0.Đặt W = Q − BTP B thì Q = W + BTP B, ta có

ATP BW−1BTP A + ATP A + W + BTP B − P < 0.Theo Bổ đề (1.3.7) ta có điều phải chứng minh.

(ii) Nếu đưa (2.9) về dạng chính tắc bằng cách sau

4Vk = − [ ˆM x(k − h) + ˆN x(k)]T[ ˆM x(k − h) + ˆN x(k)]+ x(k − h)T[ ˆMTM + Bˆ TP B − Q]x(k − h)= − 2x(k)TNˆTM x(k − h) − x(k)ˆ TNˆTN x(k)ˆ

trong đó

A = −14 0

, B =1

0 14

P =16 00 16

, Q = 2 11 6

,rõ ràng P, Q là xác định dương và

BTP B = 1 11 2

.Khi đó

W = Q − BTP B = 1 00 4

> 0.Từ đó ta xác định được

M = W12 = 1 00 2

, N = −W−12BTP A = 1 00 −12

.Ta có

NTN + ATP A + Q − P = −11 22 −354

< 0.

Vậy tồn tại ma trận P, W thoả mãn định lý nên hệ là ổn định tiệm cận.

Hệ quả 2.1.11 Hệ 2.6 là ổn định tiệm nếu một trong hai điều kiện sau xảyra:

(i) Tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P, R, Λ, Ω nghiệm đúnghệ

ATΛ−1A + Ω + R = P,

BΩ−1BT + Λ = P−1 (2.13)(ii) Tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Π, S, Γ, Σ nghiệm đúnghệ

BTΣ−1B + Γ + S = Π,

AΓ−1AT + Σ = Π−1 (2.14)Chứng minh.

(i) Từ (i) của Định lý 2.1.9 ta có hệ 2.6 ổn định tiệm cận nếu X(P ) BTP A

ATP B −W

< 0,trong đó X(P ) = ATP A + W + BTP B − P.

Theo Bổ đề 1.3.7 điều này tương đương với

AT[P BW−1BTP + P ]A + [W + BTP B] − P < 0.Tức là tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương R sao cho

AT[P BW−1BTP + P ] + [W + BTP B] + R = P.Ký hiệu

Λ−1 = P BW−1BTP + P, (2.15)và áp dụng Bổ đề 1.3.2 ta được

Λ = P−1− B[W + BTP B]−1BT (2.16)Ký hiệu

Ω = W + BTP B,thì

ATΛ−1A + Ω + R = P.

Γ = Z + ATΠA.

Chú ý rằng với phép biến đổi P = Π, W = BTP AZ−1ATP B thì có ngayZ = ATΠBW−1BTΠA Do đó nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác địnhdương P, W để (2.7) là đúng thì cũng tồn tại các ma trận đối xứng xác địnhdương Π, Z để (2.8) đúng và ngược lại.

Hệ quả 2.1.12 Hệ 2.6 là ổn định tiệm cận nếu A hoặc B không suy biến vàtồn tại hai số dương p, q sao cho

1p +

Giả sử B là không suy biến Rõ ràng các ma trận sau là xác định dươngP = X, R = Q, Λ = 1

, Ω = qBTXB.Từ (2.18) ta có

ATΛ−1A + Ω + R = P.Do B không suy biến nên

X = 1q(B

T)−1ΩB−1

cũng không suy biến và

BΩ−1BT = 1qX

−1.Từ đó

BΩ−1BT + Λ = X−1(1p +

q) = X

−1.nên điều kiện của Hệ quả 2.1.11 được thoả mãn.

Nếu A là không suy biến, việc chứng minh hoàn toàn tương tự Hệ quả 2.1.13 Hệ 2.6 là ổn định tiệm cận nếu tồn tại một số α dương saocho

ATA + αI < α[BBT + αI]−1 (2.19)Chứng minh.

Trong Hệ quả 2.1.11 lấy Λ = λI và Ω = ωI với α = λω > 0 thì(

ATA + αI + λR = λP,BBT + αI = ωP−1.Do đó ta có

[BBT+ αI]12[ATA + αI][BBT+ αI]12+ λ[BBT+ αI]12R[BBT+ αI]12 = αI.Từ đó

[BBT + αI]12[ATA + αI][BBT + αI]12 < αI,hay

[ATA + αI] < α[BBT + αI]−1.Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2.1.14 Xét hệ phương trình

x(k + 1) = pa2(k) +pa2y(k) −q

2 x(k − h) −q

2 y(k − h), k ∈ Z+,x(k + 1) = pa

2(k) −pa

2y(k) −q

2 x(k − h) +q

2 y(k − h), h > 0,trong đó

A =

2 −pa2

, B =

1−a2 −

, 0 < a < 1.