MỘT TÍNH CHẤT về LINH hóa tử của MÔĐUN ARTIN

Bộ GIáO DụC Và ĐàO TạO trờng đại học vinh Một tính chất Về linh hóa tử môđun artin luận văn thạc sỹ toán học Vinh - 2010 Bộ GIáO DụC Và ĐàO TạO trờng đại học vinh lê thị thu Một tính chất Về linh hóa tử môđun artin luận văn thạc sỹ toán học Chuyên ngành: đại số - lý thuyết số mà số: 60.46.05 Cán hớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Hồng Loan Vinh - 2010 mục lục Mở đầu Chơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phỉ vµ giá môđun 1.2 Tập iđêan nguyên tè liªn kÕt ………… .7 1.3 Sự phân tích nguyên sơ môđun Noether 1.4 Vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m- adic 1.5 Chiều Krull môđun 10 1.6 HÖ tham sè 10 1.7 §èi ngÉu Matlis 11 1.8 Biểu diễn thứ cấp môđun Artin .11 1.9 ChiÒu Noether môđun Artin 12 1.10 Môđun đối đồng điều ơng 13 địa ph- Chơng Một tính chất linh hoá tử môđun ARTIN .15 2.1.Tính chất (*) môđun Artin 15 2.2 Tính chất (*) môđun đối đồng điều địa phơng 22 KÕt luËn 28 Tài liệu tham khảo Më đầu Cho ( R, m) vành giao hoán, địa phơng, Noether với iđêan cực đại m; a R-môđun Artin M Rmôđun hữu h¹n sinh víi chiỊu Krull dim M  d  Tríc hÕt ta thÊy r»ng nÕu p iđêan nguyên tố R chứa AnnRM, ®ã p  SuppM nªn Mp 0 Theo Bỉ ®Ị Nakayama ta suy  M pM   Mp p pMp   p  Supp M pM , tức p AnnR Vì M pM Do ta có: Ann M pM p với iđêan nguyên R tố p AnnRM Một cách tự nhiên, lớp môđun Artin A, Nguyễn Tự Cờng Lê Thanh Nhàn [5] ®· xét tính chất sau họ gọi tính chất tính chất (*): AnnR (0: A p)= p với iđêan nguyên tố p  AnnRA Tuy nhiên tính chất (*) lại không cho tất môđun Artin A, kể trờng hợp A  H md ( M ) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao môđun hữu hạn sinh M với giá iđêan cực đại m Mục đích Luận văn dựa vào báo [5] cđa Nguyễn Tự Cường, Lª Thanh Nhàn [6] Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung Lê Thanh Nhàn để nghiên cứu tính chất (*) mơđun Artin tính chất (*) mơđun đối đồng điều địa phương cấp cao H md ( M ) Ngoài phần Mở đầu, Kết Luận Tài liệu tham khảo, Luận văn đợc chia làm chơng Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chơng trình bày số kiến thức sở ại số giao hoán có sử dụng Luận văn Ngoài trích dẫn số kết đà có nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chơng 2: Một tính chất linh hoá tử môđun Artin Trong phần trình bày tính chất (*) môđun Artin tính chất (*) môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 11 năm 2010 Trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, ngời đà hớng dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo nghiêm khắc suốt trình học nghiên cứu Cũng xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học, thầy cô giáo khoa Toán tổ Đại số đà giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trờng THPT Đông Sơn 2, đồng nghiệp tổ Toán, anh, chị bạn lớp Cao học 16 Đại số Lý thuyết số đà giúp đỡ động viên suốt trình học tập Mặc dù đà có nhiều cố gắng, song luận văn không tráng khỏi thiếu sót Tôi mong nhận đợc ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn để luận văn đợc hoàn thiện Vinh, tháng 11 năm 2010 Chng Kiến thức sở Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm sở Đại số giao hốn có sử dng Lun nh: Phổ giá môđun, phân tích nguyên sơ môđun, vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m -adic, chiều Krull môđun, hƯ tham sè, ®èi ngÉu Matlis, biƠu diƠn thø cÊp môđun Artin, chiều Noether môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phơng 1.1 Phổ giá môđun 1.1.1 Phổ vành Iđêan p vành R đợc gọi iđêan nguyên tố a, b R mà ab p suy a p b p Tập tất iđêan nguyên tố R đợc ký hiệu SpecR gọi phổ vành R Với iđêan I R ta ký hiÖu V (I ) =  p � Spec R, p I 1.1.2 Giá môđun Cho M R -mô đun Ta gọi giá môđun M tập hợp đợc ký hiệu Supp M =  p �Spec R M p �0  �Spec R Với x M ta ký hiệu Ann R  x    a �R / ax  0 ; Ann R M   a �R / aM  0   a �R / ax  0, x �M  Ta cã Ann R x Ann R M iđêan M ; Ann R M đợc gọi linh hoá tử môđun M Hơn M R- môđun hữu hạn sinh Supp M = V (Ann R M ) 1.2 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun 1.2.1 Định nghĩa Cho M R -môđun Ta gọi iđêan nguyên tố p R iđêan nguyên tố liên kết M hai điều kiện tơng đơng sau đợc thoả mÃn : (i) Tồn phần tử x M cho Ann( x )= p ; (ii) M chøa môđun đẳng cấu với R / p Tập iđêan nguyên tố liên kết M đợc ký hiệu AssR M AssR M không ®Ĩ ý ®Õn vµnh R 1.2.2 MƯnh ®Ị Cho R vành giao hoán, có đơn vị R-môđun Khi phát biểu sau : (i) Iđêan nguyên tố p iđêan nguyên tố liên kÕt cđa M vµ chØ M chøa mét môđun M ' cho M ' R / p (ii) Cho �� M ' � M M '' dÃy khớp R -môđun Khi Ass M ' Ass M Ass M '' Ass M ' (iii) Các phần tử tối đại tập {Ann R x : x 0, x M } iđêan nguyên tố liên kết M Vì R vành Noether M Ass M tập hợp khác rỗng 1.2.3 Mệnh đề AssR M Supp M phần tử tối tiểu Supp M ®Ịu thc Ass M 1.2.4 MƯnh ®Ị NÕu M lµ R -môđun Noether Ass M tập hữu hạn 1.3 Sự phân tích nguyên sơ Noether 1.3.1 Định nghĩa Cho vành giao hoán M R môđun (i) Iđêan q R R đợc gọi iđêan nguyên sơ với r R , phép nhân r R / q đơn cấu luỹ linh Trong trờng hợp Rad (q) iđêan nguyên tố, chẳng hạn p ta gọi q p-nguyên sơ (ii) Môđun N M M đợc gọi nguyên sơ tồn iđêan nguyên tố p R cho Ass( M / N )=  p Khi ®ã ta cịng nói N p -nguyên sơ (iii) Cho N môđuncon M Một phân tích nguyên sơ N lµ mét biĨu diƠn N  M �M � �M n , ®ã M i môđun pi -nguyên sơ M Phân tích đợc gọi thu gọn pi đôi phân biệt M i nµo thõa 1.3.2 Chó ý (i) NÕu M M môđun p -nguyên sơ M M M môđun p-nguyên sơ M Vì phân tích nguyên sơ môđun N có thĨ quy vỊ mét ph©n tÝch thu gän (ii) Khi M R R vành Noether khái niệm môđun nguyên sơ trùng với khái niệm iđêan nguyên sơ Định lý sau khẳng định tồn phân tích nguyên sơ môđun môđun Noether tập iđêan nguyên tố liên kết đợc xác định thông qua phân tích nguyên sơ thu gọn 1.3.3 Định lý Cho M R - môđun Noether N môđun M Khi ®ã ta cã : (i) N cã phân tích nguyên sơ thu gọn; (ii) Nếu N  N1 �N � �N n vµ N  N '1 �N ' � �N m ' hai phân tích nguyên sơ thu gọn N , Ni pi -nguyên sơ, i  1, 2, n  p ,p ' ' vµ Ni ' lµ ., p ' n Vì thế, pi ' -nguyên sơ mn  p1 , p2 , pn  =  p1 , p2 , pn không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn N Hơn n÷a ta cã  p1 , p2 , pn  =Ass( M / N ) (iii) Cho N  N1 �N � �N n , ®ã Ni pi -nguyên sơ, i 1, 2, n phân tích nguyên sơ thu gọn N Nếu pi phần tử tối thiểu tập Ass( M / N ) môđun Ni tơng ứng không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn N 1.3.4 Mệnh đề Cho R vành Noether, M R - môđun hữu hạn sinh N môđun M Khi N môđun nguyên sơ với r R , phép nhân r M / N đơn cấu luỹ linh Trong trờng hợp tập Rad ( Ann( M / N )) iđêan nguyên tố p N p -nguyên sơ 10 chất (*) môđun Artin A thông qua mối quan hệ tập hợp V(annRA) V(Ann R A) Vì M R-môđun hữu hạn sinh nên Supp R(M)= V(AnnRM) Tơng tự, M R -môđun hữu hạn sinh nên Supp R ( M )= V(Ann Rˆ Mˆ ) Do ®ã tríc hÕt ta xÐt mối quan hệ tập hợp SuppRM Supp R M môđun hữu hạn sinh M 2.1.2 Bỉ ®Ị Supp M =  pˆ �R : pˆ �Supp Mˆ  Chøng minh Cho pˆ �Supp Mˆ Khi ®ã pˆ �R �Ann Rˆ Mˆ �R �Ann R M Suy pˆ �R �Supp M V× thÕ Supp M �  pˆ �R : pˆ Supp M Ngợc lại, cho p Supp M Khi M p Vì đồng cấu tự nhiên R R hoàn toàn phẳng nên ánh xạ cảm sinh cho tơng ứng q Spec Rˆ víi thÕ tån t¹i Spec Rˆ � Spec R q R Spec R toàn ánh Vì p Spec R cho p p R Mặt khác ®ång cÊu tù nhiªn R p � Rˆ pˆ cịng đồng cấu hoàn toàn phẳng nên từ M p �0 ta suy �M p �Rˆ pˆ  Mˆ pˆ Do ®ã pˆ �Supp Mˆ VËy Supp M � pˆ �R : pˆ �Supp Mˆ  W Vì M hữu hạn sinh nên Supp M = V (Ann R M ) T¬ng tù, M R -môđun hữu hạn sinh nên Supp Mˆ = V (Ann Rˆ Mˆ ) Do ®ã từ Bổ đề ta có hệ sau 2.1.3 HƯ qu¶ V (Ann R M ) =  pˆ �R : pˆ �V (Ann Rˆ ( Mˆ )  21 Hơn nữa, R -môđun Artin A có cấu trúc tự nhiên R -môđun Artin Vì thế, tự nhiên có câu hỏi sau ®©y :  pˆ �R : pˆ �V (Ann Rˆ V(Ann R A ) = A xảy cho môđun Artin? Định lý dới cho ta thấy đẳng thức xảy A thoả mÃn tính chất (*) 2.1.4 Định lý Các điều kiện sau tơng đơng : (i) A thoà m·n tÝnh chÊt (*) ; (ii) V (Ann R A ) Chøng minh =  pˆ �R : pˆ �V (Ann Rˆ A   (i) � (ii) Cho p V (Ann R A ) Khi tồn iđêan nguyên tố tối thiểu q chứa Ann R A cho p q Do đó, iđêan nguyên tố tối thiểu q chứa Ann R A iđêan nguyên tố gắn kết R -môđun Artin A Suy qˆ �Att R A Mặt khác, ta có Att R A p �R : pˆ �Att Rˆ A  V× thÕ pˆ �R �Att R A Suy pˆ �R �V (Ann R A ) ta suy pˆ �R �V (Ann R A ) Do ®ã V (Ann R A ) � pˆ �R : pˆ �V (Ann R A ) Ngợc lại, cho p V (Ann R A ) Theo gi¶ thiÕt (i), A tháa m·n tÝnh chÊt (*) V× thÕ Ann R  :A p p Rõ ràng iđêan nguyªn tè chøa Ann R  :A p  phải chứa p , p iđêan nguyªn tè bÐ nhÊt chøa Ann R  :A p  V× p �Att R  :A p  vµ Att R  :A p  =  pˆ �R : pˆ � Att Rˆ  :A p nên tồn iđêan nguyên tè pˆ � Att Rˆ  :A p   cho pˆ �R  p Do pˆ � Att Rˆ  :A p   nªn Suy pˆ �V (Ann Rˆ A ) vµ pˆ �R  p , tøc lµ: 22 pˆ �Ann Rˆ ( :A p ) V (Ann A ) �  pˆ �R : pˆ �V (Ann Rˆ A  (ii) � (i) Cho p �V (Ann A ) Theo giả thiết (ii), tồn iđêan nguyên tố pˆ �V (Ann Rˆ A ) cho pˆ �R p Nh đà nói tính chất (*) thỏa mÃn cho môđun Artin A vành đầy đủ R Vì ta có Ann R  :A pˆ   pˆ L¹i pRˆ � pˆ nªn ta cã p �Ann R  :A p  =Ann Suy R  0: A  pRˆ �Ann Rˆ  :A pˆ  �R = pˆ �R  p Ann  :A p p W Nh đà trình bày Chơng 1, môđun R môđun Artin A có hai khái niệm chiều, chiều Krull dim R A vµ chiỊu Noether N  dim R A ta có bất đẳng thức N  dim R A � dim R A Mét vấn đề đặt tìm điều kiện cần đủ để dấu = bất đẳng thức xảy Trớc hết ta có bổ đề sau 2.1.5 Bổ đề Cho A môđun Artin vành địa phơng ( R, m ) Nếu R vành đầy đủ A chứa môđun đẳng cấu với bao nội xạ R / m A thoả mÃn điều kiện (*) Chứng minh Giả sử R đầy đủ Ký hiệu E bao nội xạ R / m Khi HomR ( A; E ) R -môđun hữu hạn sinh Lấy p � V (Ann R A ) tuú ý Do V (Ann R A )= V (Ann R ( HomR ( A; E ) )) nªn HomR ( A; E ) ) V× thÕ ta cã Ann R (0 : p) A = Ann R ( HomR (0 : p) A ; E ) ) 23 p �Supp( = Ann R ( HomR ( A; E ) / pHomR ( A; E ))  p Gi¶ sư A chøa môđun đẳng cấu với E Lấy p � V (Ann R A ) tuú ý, ta cã Ass R p ( ( HomR ( R p ; E ( R / m)))   qR : q � p  Ass R p ( ( HomR ( Rp ; A)) �Ass R p ( ( HomR ( R p ; E ( R / m)) ) Mặt khác nên pR p Ass R p ( ( HomR ( R p ; A)) Do ®ã (0 : pRp ) Hom R ( Rp ; A) p � Ann R (0 : p ) A Do ®ã Suy HomR ( R p ;(o : p) A �0 V× thÕ R �0 p  Ann (0 : p ) A VËy A tho¶ m·n điều kiện (*) W Kết sau điều kiện (*) điều kiện đủ để môđun Artin A có tính chất N dim R A dim R A 2.1.6 Định lý Cho ( R, m ) vành địa phơng A R môđun Artin Nếu A thoả mÃn điều kiƯn (* ) th× N  dim R A  dim R A Chứng minh Theo Định lý 1.9.3 (ii), ta chØ cÇn chØ N  dim R A dim R A đủ Thật vậy, với iđêan a R ta có Rad(Ann R (0 : a) A ) � Rad( a +Ann R A ) Vì A thoả mÃn điều kiện (*) nên với mäi p �V (a  Ann R A ) ta cã Ann R (0 : a) A � Ann R (0 : a ) A V× thÕ Rad(Ann R (0 : a) A ) = Rad( a +Ann R A ) Gi¶ sư r»ng N  dim R A d Khi tồn x1, x2 , , xd �m cho l�(0 : ( x1, x2 , , xd ) R) A  � Do ®ã víi a  ( x1, x2 , , xd ) R , ta cã 24  dim R (0 : ( x1, x2 , , xd ) R) A ) = ( dim R / ( x1, x2 , , xd ) R +Ann R A ) �dim R A  d V× thÕ dim R A �d N dim R A Do định lý đợc chứng minh W 2.1.8 Hệ Cho ( R, m ) vành địa phơng, A R -môđun Artin, R đầy đủ m -adic R Khi ®ã ta cã N  dim R A  dim Rˆ A Chøng minh Theo Bỉ ®Ị 2.1.6 A thoả mÃn điều kiện (*) xét nh R -môđun Theo Định lý 2.1.7 ta có N dim R A dim R A (1) Mặt khác theo tính chất chiều Noether môđun Artin (1.9.2.(ii)) ta cã N  dim Rˆ A  N  dim R A (2) N  dim R A  dim Rˆ A Tõ (1) vµ (2) ta suy W Chú ý điều ngợc lại Định lý 2.1.6 không đúng, tức là, tồn môđun Artin A vành địa phơng ( R, m ) cho N  dim R A  dim R A nhng A lại không thoả mÃn điều kiện (*) Ví dụ sau chứng tỏ điều 2.1.98 Ví dụ Tồn môđun Artin vành địa ph¬ng ( R, m ) cho N  dim R A  dim R A nhng A kh«ng tho· mÃn điều kiện (*) Chứng minh Trớc hết ta giả thiết tồn môđun Artin A' A'' vành địa phơng R có tính chất sau : (i) N  dim R A ' dim R A '  dim R A ''  N  dim R A' ' ; (ii) Tồn iđêan nguyên tè p �V ( Ann R A'' )\ (Ann R A' ) cho Ann R ( : p " ) p A 25 Đặt A A' A" Khi A R -môđun Artin, dim R A  N  dim R A p V (Ann R A ) A không thoà mÃn điều kiện (*) Ann R ( : p  A )  Ann R ( : p  A ' ) � Ann R ( : p  A ) �p " B©y giê tồn môđun Artin A ' A" nh Gọi R miền Noether địa phơng nh Ví dụ 2.1.2 Ký hiÖu S  R  x1 , x2 , , xt t vành chuỗi l thõa h×nh thøc cđa t biÕn x1 , x2 , , xt R A' môđun chuỗi x11 , x21 , , xt1 luỹ thừa ngợc hình thức k trờng k R / m Thế ' A' S -môđun Artin N dim S A t Vì Ann S A' m.S nên ta có dim S  dim ( k  x1 , x2 , , xt  )  t Ký hiÖu A" môđun đối đồng điều địa phơng H m1 ( R) xét nh S - môđun cho việc ®Þnh nghÜa xi A"  víi mäi i 1, 2, , t Khi tập A" R -môđun S - môđun A" Vì A" S- môđun Artin dim S A"  , N  dim S A"  Do ®ã Ann S A"   x1 , x2 , , xt  S Chän p iđêan nguyên tố khác iđêan tối đại cña S cho p thùc sù chøa Ann S A" (luôn chọn đợc iđêan nguyên tố p nh dim S A" ) Khi p không thuộc V (Ann S A' ) Cũng tơng tự nh VÝ dô 2.1.2, ta cã Ann (0 :A p) p W 2.2 Tính chất (*) môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao H md ( M ) chiều Krull dimM Cho M R-môđun hữu h¹n sinh cã = d Chóng ta cã biÕt r»ng H mi M R - môđun Artin víi mäi sè nguyªn i   depthM  i H mi ( M ) �0 ; 26   d  dim M  max i H mi �0 Nh vËy H mi  M  =0, i thâa m·n i  depthM hc víi i  dim M d V× vËy H md ( M ) đợc gọi là môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao M Sau ta nhắc lại số tính chất tập iđêan nguyên tố gắn kết chiều Noether môđun 2.2.1 Bỉ ®Ĩ AttR H md ( M ) =  p �Ass R M : dim R / p  d Đặc biệt dim H md ( M ) = d 2.2.2 Bỉ ®Ĩ N-dim H md ( M ) =dim R / Ann R H md ( M ) = d 2.2.3 Bổ đề Môđun lín nhÊt cđa M cã chiỊu nhá h¬n d tồn Kí hiệu U M (0) môđun lớn M có chiều nhỏ d Kết sau cho ta cách tính toán môđun U M (0) thông qua phân tích nguyên sơ thu gọn môđun M 2.2.4 Bổ đề Giả sử 0= I N ( p) p Ass M phân tích nguyên sơ thu gọn môđun M, N ( p) ( p) nguyên sơ Khi UM (0) = I N ( p) p �Ass M , dim R / p  d Từ bổ đề ta có hệ sau xác định tập iđêan nguyên tố liên kết môđun M/UM (0) 2.2.5 Hệ Ass(M/UM (0) ) =  p �Ass M : dim R / p  d  27 Nh vËy, dùa vµo hệ ta thấy iđêan nguyên tố liên kết M/UM (0) có chiều nh Điều dẫn đến khái niệm sau 2.2.6 Định nghĩa Tập Supp(M/UM (0) ) đợc gọi giá không trộn lẫn môđun M đợc kí hiệu Usupp M Tõ HƯ qu¶ 2.1.6 ta cã hƯ qu¶ sau 2.2.7 Hệ Supp(M/UM (0) ) U V ( p) p �Ass M , dim R / p d Mệnh đề sau cho thấy giá không trộn lẫn có liên quan đến môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao 2.2.8 Mệnh đề Cho p �Supp M Khi ®ã p � Supp M nÕu p AnnRHdm ( M ) Đặc biÖt, Usupp M  V ( AnnRHdm ( M ) ) Chøng minh Theo Bỉ ®Ị 2.2.1 ta cã AttRHdm ( M )   p �Ass M : dim R / q d Hơn nữa, theo Bổ đề 1.8.2 tập phần tử tối thiểu Att R A tập iđêan nguyên tè tèi thiĨu chøa Ann R A Do ®ã tập phần tử tối thiểu Att R H md ( M ) tập iđêan nguyên tè tèi thiĨu cđa tËp Att R H md ( M ) Vì theo Hệ 2.2.7 ta cã V ( p) U Usupp M = V (Att R H md ( M ) ) = W p �Ass M , dim R / p  d 2.2.9 Bổ đề Ta có đẳng thức sau p �Ass M : dim R / p  d  =  pˆ �R : pˆ �Ass Rˆ M , dim Rˆ / pˆ  d  Chøng minh Cho p �Ass M cho dim R / p  d Khi ®ã theo Bỉ ®Ị 2.2.1,ta cã p �Att H dm ( M ) Theo Bỉ ®Ị 1.8.3, tån t¹i 28 pˆ �Att Rˆ H dm( M ) nên theo Bổ đề 2.2.1 ta có p Ass Mˆ vµ dim Rˆ / pˆ = d V× thÕ  p � Ass M : dim R / p  d  � pˆ �R : pˆ �Ass M , dim Rˆ / pˆ  d  Ngợc lại, cho p Ass M với dim R / p = d Đặt p p R Khi p Ass M dim R / p  dim Rˆ / pRˆ  d V× thÕ  p �Ass M : dim R / p  d  � pˆ �R : pˆ �Ass Rˆ M ,dim Rˆ / pˆ  d  W Tõ bổ đề câu hỏi đợc đặt tìm mối quan hệ Usupp M Usupp M ? Tríc hÕt ta cã kÕt qu¶ sau 2.2.10 Bỉ ®Ò Usupp M � pˆ �R : pˆ � Usupp Rˆ Mˆ  Chøng minh Cho pˆ � Usupp Mˆ Khi ®ã pˆ �qˆ víi qˆ �Ass Rˆ M thoả mÃn điều kiện dim R / qˆ = d V× Ass R M =  pˆ �R : pˆ �Ass Mˆ  nªn ta suy p R Ass M Hơn nữa, d dim ( R / ( qˆ dzR)) dim Rˆ / qˆ  d nªn ta cã dim R / (qˆ R) d Vì p R q R nên từ định nghĩa giá không trộn lẫn ta suy pˆ �R � Usupp M W Trong trêng hỵp tổng quát, tập Usupp M p R : p Usupp R M khác Định lí sau hai tập môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao H dm(M) thoả mÃn tính chất (*) Bên cạnh đó, từ tính chất tập iđêan nguyên tố liên kết M/UM(0) tính chất tập iđêan nguyên tố gắn kết cuả Hdm(M) ta nhËn thÊy Rad(Ann(M/UM(0))) = I p �Ass( M / U M(0) 29 p = p I p �Ass M , dim ( R / p )=d p I = = Rad(Ann(Hmd(M)) p AttHmd(M) Điều dễ cho ta cảm giác tập hệ tham số môđun M / U m (0) trïng víi tËp c¸c hƯ tham số Hdm(M) Tuy nhiên, tính chất lại không trờng hợp tổng quát Định lí dới đa đặc trng khác tính chất (*) Hdm(M) thông qua mối quan hệ tập hệ tham số môđun M / U m (0) Hdm(M) 2.2.11 Định lí Các phát biểu sau tơng đơng : (i ) Hdm(M) thoả mÃn tÝnh chÊt (*) (i i) Usupp M=  pˆ �R : pˆ � Usupp Rˆ Mˆ  (iii) Víi hệ x1 , , xd phần tử m ,  x1 , xd  lµ hƯ tham sè cđa Hdm(M) vµ chØ nã lµ hƯ tham sè cña M / U M   Chøng minh.(i) � (ii) Tõ tÝnh chÊt cđa c¸c tập iđêan nguyên tố liên kết M / U M tập iđêan nguyên tè g¾n kÕt cđa Hdm(M) ta cã V  Ann Hdm(M) U R/ p d V  p  =Usupp M ;  = p�AssM ,dim   V  Ann Hdm(M)  = U   pˆ �AssMˆ ,dim Rˆ / pˆ  d V  pˆ  =Usupp M Vì điều kiện (ii) tơng đơng víi ®iỊu kiƯn V  Ann Hdm(M)  =  pˆ �R : pˆ �V  Ann Hdm(M)   30 Theo Mệnh đề 2.1.5, điều kiện có đẳng thức tơng đơng với điều kiện Hdm(M) thoả mÃn điều kiện (*) Vậy ta đà chứng minh đợc (i) tơng đơng với (ii) (i) (iii) Cho x1 , xd  lµ mét hƯ tham sè cđa Hdm(M) Gọi I iđêan R sinh x1 , , xd Theo giả thiết (i), với iđêan nguyên tố p R chứa I +AnnHdm(M), ta cã    0: p = Ann : d p � Ann Hm  M  H md  M   I V× thÕ Rad( I +Ann H md ( M ) ) = p I p �Spec R, p �I  Ann H md ( M ) �Rad((Ann Hdm(M) I ))  Suy Rad( I +Ann H md ( M ) ) = Rad(Ann :H d m (M ) tham sè cña H md ( M ) nên độ dài môđun hạn Do ®ã  Ann :H d m (M ) I   I ) V×  0: H md ( M )  x , x  1, I d là hệ hữ iđêan m -nguyên sơ Vì từ bao hàm thức ta suy I +Ann H md ( M ) lµ iđêan m -nguyên sơ Mặt khác Rad(Ann H md ( M ) ) = Rad(Ann  M / U M    ) nªn theo lËp luËn ë phần trên, ta suy iđêan nguyên sơ Vì thÕ  x , x  1, d I +Ann  M / U M    lµ m - hệ tham số môđun M / U M Ngợc lại, gi¶ sư r»ng  x , x  1, d  M / U    Khi ®ã Ann  M / IM  U    M M lµ mét hƯ tham sè cđa iđêan m -nguyên sơ Vì Rad( Ann M / IM  U M    )=Rad( I +Ann  M / M / U M    ) 31 nªn I +Ann  M / M / U M    m -nguyên sơ Do ( I +Ann H md ( M ) ) lµ  x , x  l (0 : H d ( M ) I ) , tức m iđêan m -nguyên sơ Vì 1, d hệ tham số H md ( M )  (iii) � (i) Gi¶ sư p �V (Ann H md ( M ) ) Đặt N- dim :H d m (M )  p  d  r Do ®ã tån phần tử x1 , , xr p cho chúng lập thành phần hệ tham số H md ( M ) PhÇn hƯ tham sè tối đại p ngợc lại ta tìm đợc phần tử y p cho x1 , , xr , y lËp thµnh d r mét hÖ tham  = N- dim :H � N- dim(0 :H d m (M sè p ) d m (M ) cña H md ( M ) , ( x1 , , xr , y ) R)  d  r  , điều vô lý Giả sử :H d ( M ) ( x1 , , xr , y ) R  A1  A2   An m lµ mét biĨu diƠn thø cÊp tèi thiĨu cña :H d m (M ) ( x1 , , xr ) R , Ai qi -thø cÊp víi mäi i  1, 2, n Với y m ta ý y phÇn tư tham sè cđa :H d m (M ) ( x1 , , xr ) R nÕu vµ chØ nÕu y �qi víi mäi i tho¶ m·n N- dim Ai  d  r V× ( x1 , , xr ) phần hệ tham số tối đại H md ( M ) p nªn ta cã p� U   dim Ai  d  r Do ®ã qi p �qi víi số i thoả mÃn dim Ai  d  r Theo gi¶ thiÕt (iii), ta cã thÓ kiÓm tra r»ng ( x1 , , xr ) phần hệ tham số tối đại cđa M / U M (0) p V× tồn iđêan nguyên tố 32 q Ass M / U / ( x1 , , xr ) M / U M (0) ) M (0) cho dim R / q  d  r vµ p �q V× q �Supp  M / U M (0) ( x1 , , xr ) M / U M (0) ) nên p q Do dim R / q  d  r V× A i q i- thứ cấp nên theo tính chất chiÒu Noether ta cã N- dim A i � dim R / q i Vì p q i nên d  r  N- dim A i �dim R / q i �dim R / q  d  r d Do p q i từ ®ã ta cã p � Att (0 : H m ( M ) ( x1 , , xr ) R ) cho d d pˆ �R  p Tõ ®©y ta suy p � Ann (0 : H m ( M ) p ) � Ann Rˆ (0 : H m ( M ) pˆ ) d �R  pˆ �R  p VËy Ann (0 : H m ( M ) chÊt (*) p )  p , hay H md ( M ) tho¶ mÃn tính W Kết luận 33 Đối với lớp môđun Artin A, Nguyễn Tự Cờng Lê Thanh Nhàn [5] ®· xét tính chất sau họ gọi tính chất Tính chất (*): AnnR (0: A p)= p với iđêan nguyên tố p  AnnRA TÝnh chÊt (*) không cho tất môđun Artin A, kể trờng hợp A H md ( M ) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao môđun hữu hạn sinh M với giá iờan cc i m Trong luận văn này, chủ yếu dựa vào [5], [6] tài liệu có liên quan, đà trình bày đợc kết sau đây: Đặc trng tính chất (*) môđun Artin A thông quan hệ tập V (Ann R A ) vµ tËp qua mèi V (Ann Rˆ A ) (Định lý 2.1.5) ; Tính chất (*) điều kiện đủ để môđun Artin A có tÝnh chÊt N  dim R A  dim R A (Định lý 2.1.7) ; Đặc trng tính chất (*) môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao nhÊt H md  M  th«ng qua mèi quan hệ giá không trộn lẫn Usupp M M giá không trộn lẫn Usupp M M (Định lý 2.2.11); Đặc trng tính chất (*) môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao H md M thông qua mối quan hệ tập hệ tham số môđun hữu hạn sinh M / U M môđun Artin H md M (Định lý 2.2.11) 34 Ti liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số đại, NXB ĐHQG Hà nội [2] Nguyễn Đức Hậu (2009), Phương pháp nghiên cứu Môđun Artin vành giao hoán, Luận văn Thạc sỹ toán học, Trường Đại học Vinh [3] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, NXB ĐHSP Tiếng Anh [4] M.F Atiyah and I.G.Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra, Reading, Mass [5] N.T.Cuong and L.T.Nhan (2002), On Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J Math., 30,121-130 [6] N.T Cuong, N.T Dung and L.T Nhan (2007), Top Local Cohomology and the Catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module Comm Algebra, 35(5), 1691-1701 35 ... cấp môđun Artin .11 1.9 ChiÒu Noether môđun Artin 12 1.10 Môđun đối đồng điều ơng 13 địa ph- Chơng Một tính chất linh hoá tử môđun ARTIN .15 2.1 .Tính chất (*) môđun Artin. .. nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chơng 2: Một tính chất linh hoá tử môđun Artin Trong phần trình bày tính chất (*) môđun Artin tính chất (*) môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao Luận văn... lµ R -môđun Artin, không môđun Noether dim R ( M )  Ch¬ng Một tính chất linh hoá tử môđun ARTIN Cho ( R, m) vành giao hoán, địa phơng, Noether với iđêan cực đại m a R -môđun Artin M Rmôđun