H i−dim(R/ bb p) b
2.3 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn
ởchương trước, ta đã nhắc lại khái niệm và một số tính chất của vành catenary phổ dụng và thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Trong tiết này, chúng ta sẽ khảo sát tính chất (∗) cho các môđun đối đồng điều địa phương Hmi(M) có cấp i < d, qua đó thu lại được một số kết quả về tính catenary phổ dụng của vành địa phương. Định lí dưới đây là một trong những kết quả chính của phần này.
Định lý 2.3.1. Giả sử rằng Hmi(M) thoả mãn tính chất (∗) với mọi i < d. Khi đó vànhR/plà không trộn lẫn với mọi p∈ AssM và vànhR/AnnRM là catenary phổ dụng.
Chứng minh. Lấy p ∈ AssRM và giả sử R/p là trộn lẫn. Khi đó theo Định nghĩa 1.5.4, tồn tại bp ∈ Ass(R/pb Rb) và số nguyên k < d sao cho
dim(R/b bp) = k < dim(R/p). Vì đồng cấu tự nhiên R −→ Rb là phẳng nên theo [10, Định lý 23.2, (ii)], ta có
AssMc= [
q∈AssM
Vì thếbp ∈ AssM .c Theo [2, Hệ quả 11.3.3], ta có
(AssMc)k ⊆ Att
b
R(Hmk(M)),
trong đó ta ký hiệu tập (AssMc)k = {bp ∈ AssMc: dim(R/b bp) = k}. Vì vậy từdim(R/b bp) = k suy rabp ∈ Att
b
R(Hmk(M)),kéo theobp⊇ Ann
b
R(Hmk(M)). Do đó theo Bổ đề 1.3.3, (iii) ta có
N-dim(Hmk(M)) = dim(R/b Ann
b
R(Hmk(M)))> dim(R/b bp) =k. Chú ý rằng theo Mệnh đề 1.4.6, (i), ta lại có N-dim(Hmk(M)) 6 k. Điều này suy ra N-dim(Hmk(M)) = k. Theo công thức về chiều Noether trong Mệnh đề 1.3.4, tồn tại một dãy phần tử x1, . . . , xk ∈ m sao cho độ dài của môđun 0 :Hk
m(M) (x1, . . . , xk)R là hữu hạn. Đặt I = (x1, . . . , xk)R. Vì k < dim(R/p) nên ta có
ht (I +p)/p6k < dim(R/p).
Vì thế phải tồn tại iđêan nguyên tố q chứa I + p sao cho q 6= m. Điều này kéo theoAnnR(0 :Hk
m(M) q)làm−nguyên sơ, vì vậyAnnR(0 :Hk
m(M) q) 6= q. Mặt khác, vì bp ∈ Ass(R/pb Rb) nên theo [10, Định lý 23.2, (i)], ta có
bp ∩ R = p. Lại vì bp ∈ Att
b
R(Hmk(M)) nên theo Mệnh đề 1.2.3,(i) ta có p ∈ AttR(Hmk(M)). Suy ra
q⊇ p ⊇AnnR(Hmk(M)).
Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết là Hmi (M) thoả mãn tính chất (∗)
với mọi i < d. Do đó điều giả sử là vô lý, tức R/plà không trộn lẫn với mọi p ∈ AssM.
Phần còn lại của định lý là chứng minh R/AnnRM là vành catenary phổ dụng. Để chứng minh điều này, theo Bổ đề 1.5.6 (i)⇔(ii), ta cần phải chứng minh vànhR/plà tựa không trộn lẫn, với mọi iđêan nguyên tố p⊇ AnnRM.
Thật vậy, lấy p ∈ Var(AnnRM). Khi đó tồn tại q ∈ min(AssM) sao cho q ⊆ p. Theo khẳng định đầu tiên của định lý, ta có R/q là không trộn lẫn. Vì R/p là đẳng chiều nên theo Bổ đề 1.5.5, (ii), ta có R/p ∼= (R/q)/(p/q) là tựa không trộn lẫn.
Định lý trên cho ta ngay một hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.3.2. Giả sử rằng Hmi (M) thoả mãn tính chất (∗) với mọi i < d. Khi đó Hmd(M) cũng thoả mãn tính chất (∗).
Chứng minh. Chú ý rằng vành R/AnnR(Hmd(M)) là vành thương của vành R/AnnR(M). Vì Hmi(M) thoả mãn tính chất (∗) với mọi i < d nên vành R/AnnRM là catenary phổ dụng theo Định lý 2.3.1. Vì vành thương của một vành catenary lại là vành catenary nên vành R/AnnR(Hmd(M)) là vành catenary. Lại vì Var(AnnR(Hmd(M))) = UsuppRM nên ta lại có tập giá không trộn lẫn UsuppRM cũng là catenary. Vì vậy, Hmd(M) thoả mãn tính chất (∗) theo Định lý 2.1.6.
Theo Hệ quả 2.2.4, nếu R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là Cohen-Macaulay thì Hmi(M) thoả mãn tính chất(∗)với mọi i. Tuy nhiên, nếu thiếu một trong hai giả thiết đó thì điều này không còn đúng nữa. Ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 2.3.3. Tồn tại vành Noether địa phương (R,m) sao cho tồn tại chỉ số i < dimRđểHmi(R)không thoả mãn tính chất(∗)nhưng hoặcRlà catenary phổ dụng hoặc tất cả các thớ hình thức của R là Cohen-Macaulay.
Chứng minh. Cho (R,m) là miền nguyên địa phương Noether, catenary phổ dụng và có chiều dimR > 3 sao cho Rb có một iđêan nguyên tố nhúng (xem [1, Ví dụ 3.1]). Theo Định lý 2.3.1, tồn tại i < dimR sao cho Hmi (R)
không thoả mãn tính chất (∗) và R có vành thớ hình thức không Cohen- Macaulay.
Trong [12], M. Nagata đã đưa ra một câu hỏi như sau: Cho (R,m)là miền nguyên Noether địa phương vàp ∈ SpecR, nếu giả sửRlà không trộn lẫn thì R/p có là không trộn lẫn không? Brodmann và Rotthaus [BR] đã xây dựng một miền nguyên Noether địa phương(R,m)chiều3thoả mãn điều kiệnRblà miền nguyên và R/pb Rb có một iđêan nguyên tố nhúng với p ∈ SpecR. Điều này đã đưa ra câu trả lời phủ định cho câu hỏi của Nagata. Với miền nguyên này ta có thể kiểm tra môđun đối đồng điều địa phương Hm2(R) không thoả mãn tính chất (∗). Vì vậy điều khẳng định ngược lại của Định lý 2.3.1 là không đúng. Kết quả dưới đây sẽ đưa ra một tiêu chuẩn cho tính không trộn lẫn của vành R/p với iđêan nguyên tốp ∈ SuppM.
Định lý 2.3.4. Giả sử rằngM là không trộn lẫn vàHmi(M)thoả mãn tính chất
(∗) với mọi i < d. Khi đó vành R/p là không trộn lẫn với mọi p ∈ SuppM sao cho dim(R/p) >d−1.
Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh khẳng định sau. Nếu iđêan nguyên tố gắn kếtbp ∈ Att b R(Hmk(M))vàdim(R/b bp) =kthìbp ∈ Ass b R(Mc).Thật vậy, vì b
Rlà vành địa phương đầy đủ nên bằng lý luận tương tự như trong chứng minh Bổ đề 2.2.2 với chú ý rằng dimRb
b
p = dimRb−dim(R/b bp) = dimRb−k, áp dụng đối ngẫu Matlis trong Mệnh đề 1.2.3, (ii) và Nguyên lý nâng địa phương [2, Định lý 11.3.2] cho iđêanbp và i = 0, ta có bp∈ Att b R(Hmk(M)) ⇔bpRb b p ∈ Att b R b p H0 bpRb b p (Mc bp) ⇔bpRb b p ∈ Ass b R b p ExtdimR−kb b R b p (Mc bp,Rb b p) ⇔bpRb b p ∈ Ass b R b p (ExtdimR−kb b R (M ,c Rb)) b p ⇔bp ∈ Ass b R ExtdimR−kb b R (M ,c Rb) ⇒bp ∈ Ass b RM .c
Bây giờ, ta chứng minh định lý. Theo giả thiết M là không trộn lẫn, nghĩa là dim(R/p) = d với mọi p ∈ AssM. Lấy p ∈ SuppM thỏa mãn
dim(R/p) > d − 1. Nếu dim(R/p) = d thì p ∈ AssM và do đó R/p là không trộn lẫn theo Định lý 2.3.1. Cho dim(R/p) = d−1. Giả sử R/plà trộn lẫn, khi đó tồn tại bp ∈ Ass(R/pb Rb) sao cho
dim(R/b bp) =k < dim(R/p) = d−1.
VìM là không trộn lẫn nên mọi iđêan nguyên tố liên kết củaM đều có chiều d, do đó từ dim(R/p) = d−1suy ra phải tồn tại phần tử x∈ p tránh tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M, tức làx là phần tử M- chính quy. Ta có
dim(M/xM) = d−1 = dim(R/p). Suy ra p ∈ min(Ass(M/xM)). Theo [10, Định lý 23.2, (ii)] ta có Ass b R(M /xc Mc) = [ q∈AssR(M/xM) Ass(R/qb Rb). Do đó bp ∈ Ass b
R(M /xc Mc), kết hợp điều kiện dim(R/b bp) = k ta có
bp ∈ Att
b
R(Hmk(M/xM)) theo [2, Hệ quả 11.3.3]. Mặt khác từ dãy khớp ngắn
0 −→ M −→x M −→ M/xM −→0
ta có dãy khớp
0−→ Hmk(M)/xHmk(M) −→Hmk(M/xM) −→ 0 :Hk+1
m (M) x −→0. Khi đó theo Mệnh đề 1.2.2, (ii) ta có
Att b R(Hmk(M/xM)) ⊆ Att b R Hmk(M)/xHmk(M)∪Att b R(0 :Hk+1 m (M) x). Nếu bp ∈ Att b R Hmk(M)/xHmk(M) thì bp ∈ Att b R(Hmk(M)). Vì vậy theo khẳng định ở trên ta có bp ∈ AssMc. Do đó p = bp ∩ R ∈ AssM, mà
dim(R/p) = d − 1, mâu thuẫn với M là không trộn lẫn. Như vậy ta có
bp ∈ Att b R(0 :Hk+1 m (M) x). Suy ra bp ∈ Var(Ann b R(Hmk+1(M))). Khi đó ta có
N-dimR(Hmk+1(M)) > dim(R/b bp) = k theo Bổ đề 1.3.3. Mặt khác lại có
N-dimR(Hmk+1(M)) 6k + 1 theo Mệnh đề 1.4.6, (i). Vậy k 6 N-dimR(Hmk+1(M)) 6 k + 1.
Nếu N-dimR(Hmk+1(M)) = k + 1 thì theo Bổ đề 1.3.3 tồn tại iđêan nguyên tố bq ∈ Att
b
R(Hmk+1(M)) sao cho dim(R/b bq) = k+ 1. Vì vậy lại theo khẳng định trên,bq ∈ AssMc. Vì M là không trộn lẫn nên dim(R/b bq) = d 6= k+ 1, mâu thuẫn. Vậy N-dimR(Hmk+1(M)) = k. Mặt khác vì dim(R/b bp) = k và
bp ∈ Var(Ann
b
R(Hmk+1(M))) nên bp ∈ min Att
b
R(Hmk+1(M)). Theo Mệnh đề 1.2.3 ta có p = bp∩R ∈ AttR(Hmk+1(M)). Do đó
dim(R/AnnR(Hmk+1(M))) > dim(R/p) = d−1> k = N-dimR(Hmk+1(M)). Điều này có nghĩa Hmk+1(M) không thoả mãn tính chất (∗) theo Mệnh đề 2.1.2, mâu thuẫn với giả thiết Hmi(M) thỏa mãn tính chất (∗) với mọi i < d. Vậy R/plà không trộn lẫn với mọi p ∈ SuppM và dim(R/p) >d−1.
Kết luận
Tóm lại, trong luận văn này chúng tôi đã trình bày lại và chứng minh chi tiết các kết quả trong bài báo "On the unmixedness and universal catenaricity of rings and local cohomology modules " của L. T. Nhàn và T. N. An ở tạp chí Đại số năm 2008 và một phần bài báo của N. T. Cường, N. T. Dung và L. T. Nhàn "Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module" trên tạp chí Communication in Algebra năm 2007. Kết quả chính của luận văn gồm các nội dung sau.
1. Hệ thống lại một số tính chất của môđun Artin có liên quan đến nội dung của luận văn: cấu trúc, chiều, bội của môđun Artin; đối đồng điều địa phương, một số tính chất của vành thớ hình thức, vành catenary, catenary phổ dụng.
2. Giới thiệu tính chất(∗)(tính chất linh hoá tử) của môđun Artin và chứng minh đặc trưng tính catenary của tập giá không trộn lẫn UsuppM thông qua tính chất (∗) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất.
3. Đặc trưng được tính chất (∗) của các môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M), qua đó thu được tính đóng của tập giả support PsuppiR(M) và mở rộng được công thức liên kết với bội của M. Brodmann và R. Y. Sharp.
4. Cũng thông qua tính chất (∗) của môđun đối đồng điều địa phuơng Hmi (M), đặc trưng tính chất catenary phổ dụng của vành R/AnnRM và tính chất không trộn lẫn của vành R/p, với p∈ SuppRM.