Một tính chất về linh hoá tử của môđun artin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ HẰNG THU MỘT TÍNH CHẤT VỀ LINH HĨA TỬ CỦA MƠĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC VINH - 2010 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ HẰNG THU MỘT TÍNH CHẤT VỀ LINH HĨA TỬ CỦA MƠĐUN ARTIN CHUN NGÀNH: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: T.S.NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN VINH - 2010 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phổ giá môđun 1.2 Sự phân tích ngun sơ mơđun Noether 1.3 Vành địa phương đầy đủ theo pôtô m -adic 1.4 Chiều Krull môđun 1.5 Hệ tham số 1.6 Đối ngẫu Matlis 1.7 Biểu diễn môđun Artin 1.8 Chiều Noether môđun Artin 10 1.9 Môđun đối đồng điều địa phương 11 1.10 Giá không trộn lẫn 12 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ LINH HĨA TỬ CỦA MÔĐUN ARTIN 15 2.1 Tính chất (*) mơđun Artin 15 2.2 Tính chất (*) môđun đối đồng điều địa phương 23 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 MỞ ĐẦU Cho ( R, m) vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m A R - môđun Artin M R - môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M  d  Trước hết ta thấy p iđêan nguyên tố R chứa AnnRM, p  SuppM nên Mp  Theo Bổ đề  pM   Mp pMp  Vì p Supp  M pM  , tức  M pM  Do ta ln có: Ann  M pM   p với iđêan  Nakayama ta suy M p p  AnnR R nguyên tố p  AnnRM Một cách tự nhiên, lớp môđun Artin A, Nguyễn Tự Cường Lê Thanh Nhàn [5] xét tính chất sau họ gọi tính chất tính chất (*): AnnR (0: A p) = p với iđêan nguyên tố p  AnnRA (*) Tuy nhiên tính chất (*) lại không cho tất môđun Artin A, kể trường hợp A  H md (M ) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao môđun hữu hạn sinh M với giá iđêan cực đại m Mục đích luận văn dựa vào báo [5] Nguyễn Tự Cường, Lê Thanh Nhàn [6] Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung Lê Thanh Nhàn để nghiên cứu tính chất (*) môđun Artin môđun đối đồng điều địa phương cấp cao H md ( M ) Ngoài phần Mở đầu, Kết Luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia làm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức sở đại số giao hốn có sử dụng luận văn Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương 2: Một tính chất linh hố tử mơđun Artin Trong phần này, chúng tơi trình bày tính chất (*) mơđun Artin tính chất (*) mơđun đối đồng điều địa phương cấp cao Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2010 trường Đại học Vinh hướng dẫn cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cô, người hướng dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo nghiêm khắc suốt trình học nghiên cứu Cũng này, xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn, khoa Sau Đại học, thầy giáo khoa Toán tổ Đại số giúp đỡ suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Đơng Sơn 2, đồng nghiệp tổ Tốn, anh, chị bạn lớp cao học 16 Đại số Lý thuyết số giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tráng khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm sở đại số giao hóa có sử dụng luận văn như: Phổ giá mơđun, phân tích ngun sơ môđun, vành địa phương đầy đủ theo tôpô m -adic, chiều Krull môđun, hệ tham số, đối ngẫu Matlis, biễu diễn thứ cấp môđun Artin, chiều Noether môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, giá không trộn lẫn 1.1 Phổ giá môđun 1.1.1 Phổ vành Iđêan p vành R gọi iđêan nguyên tố  a, b  R mà ab  R suy a  p b  p Tập tất iđêan nguyên tố R ký hiệu SpecR gọi phổ vành R Với iđêan I R ta ký hiệu V ( I ) =  p  Spec R, p  I  1.1.2 Giá môđun Cho M R – mô đun Ta gọi giá môđun M tập ký hiệu Supp M =  p  Spec R M p    Spec R Với x  M ta ký hiệu Ann R  x   a  R / ax  0 ; Ann R M  a  R / aM  0  a  R / ax  0, x  M  Ta có Ann R  x  Ann R M iđêan M ; Ann R M gọi linh hoá tử môđun M Hơn Supp M = V (Ann R M ) 1.2 Sự phân tích nguyên sơ Noether 1.2.1 Định nghĩa Cho R vành giao hốn M R -mơđun (i) Iđêan q  R R gọi iđêan nguyên sơ với r  R , phép nhân r R / q đơn cấu luỹ linh.Trong trường hợp Rad (q) iđêan nguyên tố, chẳng hạn p ta gọi q p -nguyên sơ (ii) Môđun N  M M gọi nguyên sơ tồn iđêan nguyên tố p R cho Ass( M / N )=  p Khi ta nói N p nguyên sơ (iii) Cho N mơđuncon M Một phân tích ngun sơ N biểu diễn N  M1  M   M n , M i môđun pi -nguyên sơ M Phân tích gọi thu gọn pi đơi phân biệt khơng có M i thừa 1.2.2 Chú ý (i) Nếu M M môđun p -nguyên sơ M M1  M mơđun p -ngun sơ M Vì phân tích ngun sơ mơđun N quy phân tích thu gọn (ii) Khi M  R R vành Noether khái niệm mơđun nguyên sơ trùng với khái niệm iđêan nguyên sơ Định lý sau khẳng định tồn phân tích ngun sơ mơđun mơđun Noether tập iđêan nguyên tố liên kết xác định thơng qua phân tích ngun sơ thu gọn 1.2.3 Định lý Cho M R - môđun Noether N môđun M Khi ta có (i) N có phân tích nguyên sơ thu gọn (ii) Nếu N  N1  N2   Nn ; N  N '1  N2'   Nm' ; hai phân tích nguyên sơ thu gọn N , N i pi -nguyên sơ, i  1, 2, n N i ' pi ' -nguyên sơ, m  n  p1 , p2 , pn  =  p '1 , p '2 , p 'n  Vì thế,  p1 , p2 , pn  không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn N Hơn ta có  p1 , p2 , pn  =Ass( M / N ) (iii).Cho N  N1  N2   Nn , N i pi -nguyên sơ, i  1, 2, n , phân tích nguyên sơ thu gọn N Nếu pi phần tử tối thiểu tập Ass( M / N ) mơđun N i tương ứng khơng phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn N 1.2.4 Mệnh đề Cho R vành Noether, M R - môđun hữư hạn sinh N mơđun M Khi N mơđun nguyên sơ với r  R , phép nhân r M / N đơn cấu luỹ linh.Trong trường hợp tập Rad ( Ann( M / N )) iđêan nguyên tố p N p nguyên sơ 1.3 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic 1.3.1 Định nghĩa Trong luận văn này, Vành A gọi vành địa phương A vành Noether A có iđêan tối đại Vành A gọi vành tựa địa phương A có iđêan tối đại khơng thiết Noether Vành A gọi vành nửa địa phương A có hữư hạn iđêan tối đại 1.3.2 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic Cho ( R, m ) vành địa phương.Ta xét R vành tôpô với sở lân cận phần tử iđêan mt , t  0,1, Chú ý sở lân cận phần tử tuỳ ý r  R gồm lớp ghép r  mt , t  0,1, Khi vành đầy đủ theo tơpơ m -adic R kí hiệu Rˆ , định nghĩa cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy sau:Một dãy Cauchy R dãy ( rn ) phần tử R cho với t , tồn số tự nhiên n0 để rn  rm  mt với n, m n0 Dãy ( rn ) gọi hội tụ dãy không t tồn số tự nhiên n0 để rn - = rn  mt t với n >n0 Hai dãy Cauchy ( rn ) ( sn ) gọi tương đương, ký hiệu ( rn )  ( sn ) dãy ( rn - sn ) dẫy khơng Khi quan hệ  tập dẫy Cauchy quan hệ tương tương Ta ký hiệu Rˆ tập lớp tương đương dãy Cauchy Chú ý rằng, ( rn ) v ( sn ) dãy Cauchy dãy ( rn + sn ), ( rn , sn ) dãy Cauchy lớp tương đương dãy ( rn + sn ), ( rn , sn ) không phù thuộc vào chọn đại diện lớp tương đương dãy Cauchy ( rn ) v ( sn ), tức ( rn )  ( r 'n ) ( sn )  ( sn ) ( r 'n ) +( sn )  (r, n) + ( s 'n ) ( rn sn )  (r, n s ' n ) Vì Rˆ trang bị hai phép tốn ngơi + ; với phép toán, Rˆ lập thành vành Mỗi phần tử r  R đồng với lớp tương đương dãy Cauchy mà tất phần tử dãy r Vì ta có đơn cấu tự nhiên vành R  Rˆ r (r ) ( r ) dãy mà tất phần tử r 1.4 Chiều Krull môđun Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành R : p0  p1   pn gọi xích ngun tố có độ dài n Cho p Spec R Cận tất độ dài xích nguyên tố với p0=p gọi độ cao p, ký hiệu ht ( p) , nghĩa ht ( p) =sup { độ dài xích nguyên tố với p0=p } Cho I iđêan R ta định nghĩa ht ( I )  inf ht ( p) / p  Spec R, p  I  Cận tất xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, ký hiệu dimR Cho A R -mơđun dim( R / AnnR A ) gọi chiều Krull mơđun A , kí hiệu dim R A (hoặc dim M ta không để ý đến vành R ) Chú ý rằng: - dim A = dim Aˆ - dim R vơ hạn ht ( P) vơ hạn dim A  dim R 1.5 Hệ tham số 1.5.1 Định nghĩa Cho R vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m ; M R -môđun hữư hạn sinh có chiều Krull dim M  d (i) Một hệ gồm d phần tử x : ( x1 , x2 , , xd ) m gọi hệ tham số M l (M / ( x1, x2 , , xd )M )  (ở l (*) kí hiệu độ dài R môđun) (ii) Iđêan sinh hệ tham số gọi iđêan tham số (iii).Nếu x : ( x1 , x2 , , xd ) hệ tham số mơđun M hệ phần tử ( x1 , x2 , , xi ) gọi phần hệ tham số với i  1, 2, d 1.5.2 Một số tính chất hệ tham số (i) Mọi hoán vị hệ tham số môđun M hệ tham số M 16 Chứng minh: Gọi ( R, m) miền Noether địa phương chiều xây dựng thỗ mãn tính chất tồn iđêan nguyên tố nhúng qˆ  Ass Rˆ với dim Rˆ / qˆ  Khi H m1 ( R) mơđun Artin ta có đẳng cấu Rˆ  môđun H m1 ( R)  H m1ˆ ( Rˆ ) Từ suy qˆ  Att Rˆ ( H m1ˆ ( Rˆ )) Mặt khác: Att R A =  pˆ  R : pˆ  Att Rˆ A  , qˆ  R  AttR( H m1 ( R) ) Lại có Ass R =  pˆ  R : pˆ  Ass R  Vì ta có qˆ  R  Ass R Do R miền nguyên nên Ass R  0 Do  qˆ  R  Att R ( H m1 ( R) ) Vậy nên p  qˆ  R = Ann R ( H m1 ( R)) = p Att R ( H m1 ( R) ) Chọn A  H m1 ( R) Khi A R -môđun Artin Lấy tuỳ ý iđêan nguyên tố p R cho p  p  m Ta chứng minh Ann R A  Do p  AnnR A x Lấy  x  p Xét dãy khớp  R   R  R / xR  Dãy cảm sinh dãy khớp dài môđun đối đồng điều địa phương x  H m0 ( R / xR)  H m1 ( R)   H m1 ( R) Từ ta có: H m0 ( R / xR)  :H ( R ) x  :A x m Vì H m0 ( R / xR) R -mơđun có độ dài hữu hạn nên :A x có độ dài hữu hạn Do x  p nên :A p  :A x :A x có độ dài hữu hạn Vì Ann R (0 :A p) iđêan m -nguyên sơ, điều chứng tỏ Ann (0 :A p)  p Vậy A khơng thỗ mãn tính chất (*)  17 Với iđêan I vành R, kí hiệu V(I) tập iđêan nguyên tố chứa I Bây chung ta trình bày đặc trưng tính chất (*) môđun Artin A thông qua mối quan hệ tập hợp V(AnnRA) V(AnnR Rˆ A) Vì M R-môđun hữu hạn sinh nên SuppR(M)= V(AnnRM) Tương M R-mơđun hữu hạn sinh nên Supp Rˆ ( Mˆ )= V(Ann Rˆ Mˆ ) Do trước hết ta xét mối quan hệ tập hợp SuppRM Supp Rˆ Mˆ môđun hữu hạn sinh M 2.1.3 Bổ đề Supp M =  pˆ  R : pˆ  Supp Mˆ  Chứng minh Cho pˆ Supp Mˆ Khi pˆ  R  Ann Rˆ Mˆ  R  Ann R M Suy pˆ  R Supp M Vì Supp M   pˆ  R : pˆ  Supp Mˆ  Ngược lại, cho p Supp M Khi M p  Vì đồng cấu tự nhiên R  Rˆ hoàn toàn phẳng nên ánh xạ cảm sinh Spec Rˆ  Spec R cho tương ứng qˆ  Spec Rˆ với qˆ  R  Spec R tồn ánh Vì tồn pˆ Spec Rˆ cho p  pˆ  R Vì đồng cấu tự nhiên Rp  Rˆ pˆ đồng cấu hoàn toàn phẳng nên từ M p  ta suy  M p  Rˆ pˆ  Mˆ pˆ Do pˆ Supp Mˆ Vậy: Supp M   pˆ  R : pˆ  Supp Mˆ   Vì M hữu hạn sinh nên Supp M = V (Ann R M ) Tương tự, Mˆ Rˆ môđun hữu hạn sinh nên Supp Mˆ = V (Ann Rˆ Mˆ ) Do từ Bổ đề ta có hệ sau 2.1.4 Hệ V (Ann R M ) =  pˆ  R : pˆ V (Ann Rˆ (Mˆ )  18 Hơn nữa, R -mơđun Artin A có cấu trúc tự nhiên Rˆ -mơđun Artin Vì thế, tự nhiên hỏi liệu đẳng thức (Ann R A ) =  pˆ  R : pˆ V (Ann Rˆ A  xảy cho môđun Artin ? Dưới đẳng thức xảy A thoả mãn tính chất (*) 2.1.5 Định lý Các điều kiện sau tương đương (i) A thỗ mãn tính chất (*) (ii) V (Ann R A ) =  pˆ  R : pˆ V (Ann Rˆ A  Chứng minh (i)  (ii) Cho pˆ V (Ann Rˆ A ) Khi tồn iđêan nguyên tố tối thiểu qˆ chứa Ann Rˆ A cho pˆ  qˆ Theo bổ đề 3.1.3, iđêan nguyên tố tối thiểu qˆ chứa Ann Rˆ A iđêan nguyên tố gắn kết Rˆ -môđun Artin A , qˆ  Att R A Theo bổ đề 3.1.4, Att R A   pˆ  R : pˆ Att Rˆ A  Vì pˆ  R Att R A Suy pˆ  R V (Ann R A ) ta suy pˆ  R V (Ann R A ).Do V (Ann R A )   pˆ  R : pˆ V (Ann R A )  Ngược lai, cho p V (Ann R A ) Theo giả thiết (i), A thỏa mãn tính chất (*).Vì Ann R  :A p   p Rõ ràng iđêan nguyên tố chứa Ann R  :A p  phải chứa p , p iđêan nguyên tố bé chứa Ann R  :A p  Theo bổ đề 3.1.3 ta có p Att R  :A p  Do lại có Att R  :A p  =  pˆ  R : pˆ  Att Rˆ  :A p   nên tồn iđêan nguyên tố pˆ  Att Rˆ  :A p   cho pˆ  R  p Vì pˆ  Att Rˆ  :A p   nên pˆ  Ann Rˆ ( :A p ) Suy pˆ V (Ann Rˆ A ) pˆ  R  p , tức là: 19 V (Ann A )   pˆ  R : pˆ V (Ann Rˆ A  (ii)  (i) Cho p V (Ann A ).Theo giả thiết (ii), tồn iđêan nguyên tố pˆ V (Ann Rˆ A ) cho pˆ  R  p Như nói 2.1.4 tính chất (*) ln thỏa mãn cho mơđun Artin A vành đầy đủ Rˆ Vì ta có Ann Rˆ  :A pˆ   pˆ Lại có pRˆ  pˆ nên ta có p  Ann R  :A p  =Ann R 0 : A  pRˆ  Ann Rˆ  :A pˆ   R = pˆ  R  p Suy Ann  :A p   p Như trình bày chương 1, mơđun R -mơđun Artin A có khái niệm chiều, chiều Krull dim R A chiều Noether N  dimR A ta ln có bất đẳng thức N  dimR A  dim R A Một vấn đề đặt jà tìm điều kiện cần đủ để dấu ‘’=’’ bất đẳng thức xảy Trước hết ta có Bổ đề sau 2.1.6 Bổ đề Cho môđun Artin vành địa phương ( R, m ) Nếu R đầy đủ A chứa môđun đẳng cấu với bao nội xạ R / m A thoả mãn điều kiện (*) Chứng minh Giả sử R đầy đủ Ký hiệu E bao nội xạ R / m Khi HomR ( A; E ) R -môđun hữu hạn sinh Lấy p  V (Ann R A ) tuỳ ý Do V (Ann R A )= V (Ann R ( HomR ( A; E ) )) nên p Supp( HomR ( A; E ) ) Vì ta có Ann R (0 : p) A = Ann R ( HomR (0 : p) A ; E) ) = Ann R ( HomR ( A; E ) / pHomR ( A; E))  p Giả sử A chứa môđun đẳng cấu với E Lấy p  V (Ann R A ) tuỳ ý, ta có Ass R p ( ( HomR ( Rp ; E( R / m)))  qR : q  p  20 Mặt khác Ass R p ( ( HomR ( Rp ; A))  Ass R p ( ( HomR ( Rp ; E( R / m)) ) nên pR p  Ass R p ( ( HomR ( Rp ; A)) Do (0 : pRp ) Hom ( R ; A)  R p Suy HomR ( Rp ;(o : p) A  Vì p  Ann R (0 : p) A Do p  Ann R (0 : p) A Vậy A thoả mãn điều kiện (*) Kết sau điều kiện (*) điều kiện đủ để môđun Artin có tính chất N  dimR A  dimR A 2.1.7 Định lý Cho là( R, m ) vành địa phương R -môđun Artin Nếu A thoả mãn điều kiện (*) N  dimR A  dimR A Chứng minh Theo định lý 1.8.4(ii), cần N  dim R A  dim R A đủ Thật vậy, với iđêan a R ta có Rad(Ann R (0 : a) A )  Rad( a +Ann R A ) Vì A thoả mãn điều kiện (*) nên với p V (a  Ann R A ) ta có Ann R (0 : a) A  Ann R (0 : a) A Vì Rad(Ann R (0 : a) A )=Rad( a +Ann R A ) Giả sử N  dimR A  d Khi tồn x1, x2 , , xd  m cho l (0 : ( x1, x2 , , xd ) R) A  Do với a  ( x1, x2 , , xd ) R , ta có  dimR (0 : ( x1, x2 , , xd ) R) A ) = ( dim R / ( x1, x2 , , xd ) R +Ann R A )  dimR A  d Vì dim R A  d  N  dimR A 2.1.8 Hệ Cho là( R, m ) vành địa phương R -môđun Artin.Gọi Rˆ đầy đủ m -adic R Khi ta có N  dimR A  dimRˆ A 21 Chứng minh Theo bổ đề 2.1.6 A thoả mãn điều kiện (*) xét Rˆ mơđun Theo định lý 2.1.7 ta có N  dimRˆ A  dimRˆ A (1) Mặt khác, theo tính chất chiều Noether mơđun Artin (1.8.2.(ii)) ta có N  dimRˆ A  N  dimR A (2) Từ (1) (2) ta suy N  dimR A  dimRˆ A  Chú ý điều ngược lại định lý không đúng, tức tồn môđun Artin A vành địa phương ( R, m ) cho N  dimR A  dimR A A lại không thoả mãn điều kiện (*), nghĩa chiều ngược lại định lý 2.1.7 khơng 2.1.9 Ví dụ Tồn mơđun Artin vành địa phương ( R, m ) cho N  dimR A  dimR A A khơng thỗ mãn điều kiện (*) Chứng minh Trước hết ta giả thiết tồn môđun Artin A' A'' vành địa phương R có tính chất sau (i) N  dimR A'  dimR A' dim''R N  dimR A'' (ii) Tồn iđêan nguyên tố p V ( Ann R A'' )\ (Ann R A' ) cho Ann R ( : p  A )  p " Đặt A  A'  A" Khi A R -mơđun Artin, dimR A  N  dim R A p V (Ann R A ) A khơng thỗ mãn điều kiện (*) Ann R ( : p  A )  Ann R ( : p  A' )  Ann R ( : p  A )  p " Bây tồn môđun Artin A ' A" Gọi R miền Noether địa phương ví dụ 22 Ký hiệu S  R  x1 , x2 , , xt   t  3 vành chuỗi luỹ thừa hình thức t biến x1 , x2 , , xt R A' mơđun chuỗi luỹ thừa ngược hình thức k  x11 , x21 , , xt1  trường k  R / m Thế A' S - môđun Artin N  dim S A'  t Vì Ann S A'  m.S nên ta có dimS  dim ( k  x1 , x2 , , xt )  t Ký hiệu A" môđun đối đồng điều địa phương H m1 ( R) xét S - môđun cho việc định nghĩa xi A"  với i  1, 2, , t Khi tập A" R -mơđun S - mơđun A" Vì A" S - môđun Artin dimS A"  , N  dimS A"  Do Ann S A"   x1 , x2 , , xt  S Chọn p iđêan nguyên tố khác iđêan tối đại S cho p thực chứa Ann S A" (luôn chọn iđêan nguyên tố p dimS A"  ) Khi p khơng thuộc V (Ann S A' ) Cũng tương tự ví dụ trên, ta có Ann (0 :A p)  p Vậy A khơng thỗ mãn tính chất (*)  Tuy nhiên tiết này, nói lại tính chất (*)của mơđun Artin A thông qua mối quan hệ tập V (Ann R A ) tập V (Ann Rˆ A ) Trước hết nhắc lại mối quan hệ sau tập Supp M tập Supp Mˆ môđun hữư hạn sinh M 2.1.10 Hệ Đối với R -môđun Artin A  H m1  R  ví dụ 2.1.2, từ định lý 2.1.5, ta suy V (Ann R A )   pˆ  R : pˆ V (Ann Rˆ A  23 2.2 Tính chất (*) mơđun đối đồng địa phương cấp cao HMd(M) Trong phần này, giả thiết  R, m  vành Noether địa phương M R -môđun hữu hạn sinh với dim M  d Chúng ta biết H mi  M  R môđun Artin với số nguyên i H mi  M  =0, i thoã mãn i  depth M i  dim M = d Vì vậy, môđun H md  M  gọi môđun đối đồng điều địa phương cấp cao M Kí hiệu U M (0) mơđun lớn M có chiều nhỏ d Mơđun lớn U M (0) tồn nhất.Chú ý U M (0) xây dựng thơng qua phân tích ngun sơ thu gọn môđun M Giả sử n = Ni i 1 phân tích nguyên sơ thu gọn môđun M , Ni pinguyên tố.Khi U M (0) = Ni p Ass M ,dim R / p  dim M Vì vậy, Ass(M/UM (0) ) =  p  Ass M : dim R / p  d  Do iđêan nguyên tố liên kết  M / U M    có chiều Điều dẫn đến khái niệm sau 2.2.1 Định nghĩa Tập Supp(M/UM (0) ) gọi giá không trộn lẫn môđun M kí hiệu Usupp M 2.2.2 Hệ Supp(M/UM (0) )  V ( p) p Ass M ,dim R / p  d 2.2.3 Mệnh đề Cho p Supp M Khi p  Supp M d p  AnnRH m (M ) Đặc biệt, Usupp M  V ( AnnRHdm (M ) ) 24 Chứng minh Theo Bổ đề 1.10.1 ta có AttRHdm (M )   p Ass M : dim R / q  d  Hơn nữa, theo bổ đề 1.7.2, tập phần tử tối thiểu Att R A tập iđêan nguyên tố tối thiểu chứa Ann R A Do tập phần tử tối thiểu Att R H md (M ) tập iđêan nguyên tố tối thiểu tập Att R H md (M ) Vì theo bổ đề 1.10.5 ta có V ( p) = V (Att R H md ( M ) ) = Usupp M p Ass M ,dim R / p  d 2.2.4 Bổ đề  p  Ass M : dim R / p  d  =  pˆ  R : pˆ  Ass Rˆ M ,dim Rˆ / pˆ  d  Chứng minh Cho p Ass M cho dim R / p  d Khi theo Bổ đề 1.10.1, p Att H dm ( M ) Theo Bổ đề 1.7.3, tồn pˆ Att Rˆ H dm( M ) nên theo Bổ đề 1.10.1 ta có pˆ  Ass Mˆ dim Rˆ / pˆ = d Vì  p  Ass M : dim R / p  d    pˆ  R : pˆ  Ass M ,dim Rˆ / pˆ  d  Ngược lại, cho pˆ  Ass Mˆ với dim Rˆ / pˆ = d Đặt p  pˆ  R Khi p Ass M dim R / p  dim Rˆ / pRˆ  d Vì  p  Ass M : dim R / p  d    pˆ  R : pˆ  Ass Rˆ M ,dim Rˆ / pˆ  d  Vì thế, tự nhiên người ta muốn hỏi quan hệ Usspp M Usspp Mˆ 2.2.5 Bổ đề Usspp M   pˆ  R : pˆ  Usspp Rˆ Mˆ  Chứng minh Cho pˆ Usspp Mˆ Khi pˆ  qˆ với qˆ  Ass Rˆ Mˆ thoả mãn điều kiện dim Rˆ / qˆ Vì Ass R M =  pˆ  R : pˆ  Ass Mˆ  nên ta suy pˆ  R Ass M Hơn nữa, d  dim ( R / (qˆ  R))  dim Rˆ / qˆ  d nên ta có dim R / (qˆ  R)  d Vì pˆ  R  qˆ  R nên từ định nghĩa giá không trộn lẫn ta suy pˆ  R UssppM 25 Nhìn chung, tập UssppM  pˆ  R : pˆ  Usspp Rˆ Mˆ  khác Định lí sau hai tập đối đồng * điều địa phương cấp cao H dm(M) thoả mãn tính chất ( ) Bên cạnh đó, từ tính chất tập iđêan ngun tố liên kết M/UM(0) tính chất tập iđêan nguyên tố gắn kết cuả Hdm(M) ta nhận thấy Rad(Ann(M/UM(0))) = p p Ass( M / U M(0) = p p Ass M , dim ( R / p )=d = p = Rad(Ann(Hmd(M)) d p AttHm (M) Điều dễ cho ta cảm giác tập hệ tham số môđun M / U m (0) trùng với tập hệ tham số Hdm(M) Tuy nhiên, tính chất lại khơng trường hợp tổng quát Định lí đưa đặc trưng khác tính chất (*) Hdm(M) thơng qua quan hệ tập hệ tham số môđun M / U m (0) Hdm(M) 2.2.6 Định lí Các phát biểu sau tương đương (i) Hdm(M) thoả mãn tính chất (*) (i i) UssppM=  pˆ  R : pˆ  Usspp Rˆ Mˆ  (iii) Với hệ x1 , , xd phần tử m ,  x1 , xd  hệ tham số Hdm(M) hệ tham số M / U M   Chứng minh.(i)  (ii) Từ tính chất tập iđêan nguyên tố liên kết M / U M   tập iđêan nguyên tố gắn kết Hdm(M) ta có V  Ann H m(M) d  = pAssM ,dim R / p   d V  p  =Usupp M ; 26 V  Ann H m(M) d  =  V  pˆ  =Usupp Mˆ  pˆ AssMˆ ,dim Rˆ / pˆ  d Vì điều kiện (ii) tương đương với điều kiện V  Ann H m(M) d d  pˆ  R : pˆ  V  Ann H m(M)    = Theo mệnh đề 2.1.5, điều kiện có đẳng thức tương đương với điều kiện Hdm(M) thoả mãn điều kiện (*) Vậy ta chứng minh (i) tương đương với (ii) (i)  (iii) Cho  x1 , xd  hệ tham số Hdm(M).Gọi I iđêan R sinh x1 , , xd Theo giả thiết (i), với iđêan nguyên tố p R chứa d I + Ann H m(M), , ta có     p = Ann :H d  M  p  Ann :H d  M  I m m Vì Rad( I +Ann H md (M ) ) = p p Spec R, p  I  Ann H md ( M ) d  Rad((Ann H m(M) I )) Suy Rad( I +Ann H md (M ) )=Rad(Ann) Vì  x1, , xd  hệ tham số H md (M )  nên độ dài môđun :H d m (M )    I hữu hạn.Do Ann :H d ( M ) I iđêan m m nguyên sơ Vậy từ bao hàm thức ta suy I +Ann H md (M ) iđêan m nguyên sơ Lại Rad(Ann H md (M ) ) = Rad(Ann  M / U M    ) nên theo lập luận phần trên, ta suy iđêan I +Ann  M / U M    m nguyên sơ Vì  x1, , xd  hệ tham số môđun  M / U M    Ngược lại, giả sử  x , x  1, d hệ tham số Ann  M / IM  U M  0  iđêan m -nguyên sơ  M / U  0 M Khi 27 Vì Rad( Ann  M / IM  U M  0  )=Rad( I +Ann  M / M / U M    ) nên I +Ann  M / M / U M    m -nguyên sơ Do ( I +Ann H md (M ) ) iđêan  m -nguyên sơ Vì l :H d ( M ) I m   , tức  x , x  1, hệ tham số d H md ( M )  (iii)  (i) Giả sử p V (Ann H md (M ) ) Đặt N- dim :H d m (M )  p  d  r Do tồn phần tử x1 , , xr  p cho chúng lập thành phần hệ tham số H md ( M ) Phần hệ tham số tối đại p ngược lại ta tìm phần tử y  p cho x1 , , xr , y lập thành hệ tham số H md ( M ) , d r  = N- dim :H d m (M ) p   N- dim(0 :H d m (M ) ( x1 , , xr , y ) R)  d  r 1 , điều vô lý.Giả sử :H d ( M ) ( x1 , , xr , y ) R  A1  A2   An m biểu diễn thứ cấp tối thiểu :H d m (M ) ( x1 , , xr ) R , Ai qi -thứ cấp với i  1, 2, n Với y  m ta ý y phần tử tham số :H d ( M ) ( x1 , , xr ) R m y  qi với i thoả mãn N- dim Ai  d  r Vì ( x1 , , xr ) phần tử hệ tham số tối đại H md (M ) p nên ta có p dim Ai  d  r qi , p  qi với số i thoả mãn   dim Ai  d  r Theo giả thiết (iii), ta kiểm tra ( x1 , , xr ) phần hệ tham số tối đại M / U M (0) p Vì tồn iđêan nguyên tố q  Ass  M / U M (0) ( x1 , , xr )M / U M (0) ) 28 cho dim R / q  d  r p  q Vì q  Supp  M / U M (0) ( x1 , , xr )M / U M (0)  nên p  q dim R / q  d  r Vì A i q i thứ cấp nên theo tính chất chiều Noether ta có N- dim A i  dim R / q i Vì p  q i nên d  r  N- dim A i  dim R / q i  dim R / q  d  r Do p  q i từ ta có p  Att (0 : H md (M ) ( x1 , , xr ) R) cho pˆ  R  p Từ ta suy p  Ann (0 : H md (M ) p)  Ann Rˆ (0 : H md (M ) pˆ ) R  pˆ  R  p Vậy Ann (0 : H md (M ) p)  p , hay H md (M ) thoả mãn tính chất (*) 29 KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN Tóm lại luận văn này, dựa chủ yếu vào [5] [6] tài liệu có liên quan chúng tơi hồn thành việc sau đây: Trình bày số kiến thức tính chất (*) cho mơđun Artin, đồng thời chứng minh đặc trưng tính chất (*) môđun Artin thông qua mối quan hệ tập V(Ann R A ) tập V (Ann Rˆ A ) Nêu đặc trưng tính chất (*) cho mơđun đối đồng địa phương cấp cao H md  M  thong qua mối quan hệ giá không trộn lẫn UsuppM M giá không trộn lẫn Usupp Mˆ Mˆ Chỉ đựoc tính chất (*) cho H md  M  đặc trưng thông qua mối quan hệ tập hệ tham số môđun hữu hạn sinh M / U M   môđun Artin H md  M  30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số đại, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Đức Hậu (2009), Phương pháp nghiên cứu Môđun Artin vành giao hoán, Luận văn Thạc sỹ toán học, Trường Đại học Vinh [3] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module vành, NXB ĐHSP Tiếng Anh [4] M.F Atiyah and I.G.Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra, Reading, Mass [5] N.T.Cuong and L.T.Nhan (2002), On Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J.Math., 30, 121-130 [6] N.T.Cuong, N.T Dung and L.T.Nhan (2007), Top Local Cohomology and the Catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module.Comm Algebra, 35(5), 1691-1701 ... Chương MỘT TÍNH CHẤT VỀ LINH HỐ TỬ CỦA MƠĐUN ARTIN Trong chương này, chúng tơi trình bày tính chất (*) mơđun Artin tính chất (*) mơđun đối đồng điều địa phương cấp cao 2.1 Tính chất (*) môđun Artin. .. diễn môđun Artin 1.8 Chiều Noether môđun Artin 10 1.9 Môđun đối đồng điều địa phương 11 1.10 Giá không trộn lẫn 12 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ LINH HĨA TỬ CỦA... AnnRM Một cách tự nhiên, lớp môđun Artin A, Nguyễn Tự Cường Lê Thanh Nhàn [5] xét tính chất sau họ gọi tính chất tính chất (*): AnnR (0: A p) = p với iđêan nguyên tố p  AnnRA (*) Tuy nhiên tính chất