Về linh hóa tử và môđun p mở rộng

1 Mục lục Mục lục Bảng ký hiệu Lời nói đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Tổng trực tiếp 1.2 Môđun cốt yếu 1.3 Mơđun đóng phần bù 12 Chương Linh hóa tử 17 Chương Môđun P-mở rộng 22 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 Bảng ký hiệu M/N M∼ =N : môđun thương M N : M đẳng cấu với N M ⊕N : tổng trực tiếp M N Mi : tổng trực tiếp họ môđun (Mi )i∈I N ≤M : N môđun M N ≤e M : N môđun cốt yếu M N ≤⊕ M : N hạng tử trực tiếp M HomR (N, M ) : tập đồng cấu từ N vào M End(M ) : tập tự đồng cấu M Ker(f) : nhân đồng cấu f Im(f) : ảnh đồng cấu f u.dim(M ) : số chiều mơđun M rR (s) : linh hóa tử phải phần tử s lR (s) : linh hóa tử trái phần tử s I Lời nói đầu Một môđun M gọi thỏa mãn điều kiện (C1 ) với môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M ta gọi lớp môđun thỏa điều kiện (C1 ) lớp môđun mở rộng (extending) Một môđun M gọi P -mở rộng môđun xyclic M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Như rõ ràng lớp môđun mở rộng lớp môđun P -mở rộng Dựa vào báo On P-extending modules Kamal M.A Elmnophy O.A ([5]), quan tâm nghiên cứu lớp mơđun P -mở rộng Cụ thể chúng tơi trình bày chi tiết số tính chất lớp mơđun P -mở rộng mối quan hệ với lớp môđun khác Cũng dựa vào báo trình bày luận văn khái niệm linh hóa tử mơđun dựa vào tính chất linh hóa tử để nghiên cứu lớp mơđun N -P -nội xạ Ngồi Lời mở đầu, Mục lục, Tài liệu tham khảo Kết luận, luận văn chia làm chương: Chương Kiến thức sở Chương Linh hóa tử Chương Môđun P-mở rộng Luận văn tháng 08 năm 2011 hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Ngơ Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, thầy tận tình dìu dắt, chu đáo, giúp tác giả độc lập suy nghĩ, vững tin bước đường đầu nghiên cứu khoa học, dành cho tác giả ý kiến đạo quý báo đặc biệt động viên suốt trình học tập làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến quý thầy Khoa Tốn trường đại học Vinh, Khoa sau đại học trường đại học Vinh, phòng quản lý khoa học sau đại học trường đại học Đồng Tháp động viên giúp đỡ tác giả trình học tập q trình hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo Đồng Tháp bạn bè đồng nghiệp động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn thời gian theo kế hoạch Mặc dù cố gắng, nhiên nhiều nguyên nhân, luận văn không tránh khỏi sai sót, tác giả mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô bạn Tác giả Nguyễn Hoài Ân Chương Kiến thức sở Chương hệ thống lại số kiến thức sở cần thiết để phục vụ việc chứng minh luận văn chương sau Tất vành R luận văn giả thiết vành có đơn vị, kí hiệu mơđun R-môđun phải unita 1.1 Tổng trực tiếp 1.1.1 Định nghĩa Cho M R-môđun, M gọi tổng trực tiếp (tổng trực tiếp trong) họ mơđun (Mi )i∈I , kí hiệu M = Mi , điều kiện sau thỏa mãn: I 1) M = Mi I 2) Mj ∩ Mi = 0, với j ∈ I i=j,i∈I 1.1.2 Bổ đề Môđun M tổng trực tiếp họ môđun (Mi )i∈I phần tử m ∈ M biểu diễn dạng: m = mi1 + mi2 + + , mij ∈ Mij , ij ∈ I Chứng minh Do điều kiện (1) định nghĩa nên có tập hữu hạn I ⊆ I cho phần tử m viết dạng: m = mi I Giả sử cịn có tập hữu hạn I ⊆ I cho m = nj I Do bổ sung thêm hạng tử mi = 0, nj = cách thích hợp vào biểu diễn m nên ta coi I = I = J, m= mi = J nj J Khi với j ∈ J ta có mj − nj = (ni − mi ), i ∈ J i=j Do điều kiện (2) ta suy mj − nj = hay mj = nj Điều xảy với j ∈ J Đó điều phải chứng minh Ngược lại dễ thấy biểu diễn phần tử m ∈ M dạng mi , mi ∈ Mi , dẫn tới điều kiện (1) (2) Định nghĩa 1.1.1✷ 1.1.3 Hệ Giả sử M tổng môđun Mi , M = Mi Khi M tổng trực tiếp từ J mi1 + mi2 + + = 0, suy mij = 0, mij ∈ Mij ≤ j ≤ n 1.1.4 Hệ Môđun M tổng trực tiếp họ môđun (Mi )i∈I ánh xạ Mi −→ M , (mi ) −→ mi đẳng cấu I Mi = {(mi )| i ∈ I, mi ∈ Mi , mi = hầu hết} Trong I 1.1.5 Định nghĩa Cho A mơđun M , kí hiệu A ≤ M Khi A gọi hạng tử trực tiếp M tồn môđun B M cho A ∩ B = A + B = M , M = A ⊕ B Ký hiệu A ≤⊕ M có nghĩa A hạng tử trực tiếp M Mơđun M gọi khơng phân tích M hạng tử trực tiếp M 1.2 Môđun cốt yếu 1.2.1 Định nghĩa Cho A môđun M Ta nói A mơđun cốt yếu M với môđun B = M A∩B = 0, kí hiệu A ≤e M Nếu A môđun cốt yếu M ta nói M mở rộng cốt yếu A 1.2.2 Ví dụ M ≤e M , nZ ≤e Z, ∀n = (xem Z-mơđun) 1.2.3 Tính chất a) Cho A mơđun M Khi A ≤e M ⇔ xR ∩ A = 0, ∀x = 0, x ∈ M A ≤e N e b) Cho A ≤ N ≤ M Khi A ≤ M ⇔ N ≤e M c) Cho A ≤e M B ≤e M A ∩ B ≤e M n e e n Ai ≤ d) Ai ≤ Mi ≤ M , Ai ≤ Mi , ∀i = 1, n i=1 Mi i=1 e) Cho A ≤ N ≤ M N/A ≤e M/A N ≤e M f) Cho f : M −→ N đồng cấu mơđun B ≤e N f −1 (B) ≤e M Mi Ai ≤e Mi , ∀i ∈ I g) Cho Mi ≤ M , M = i∈I Mi = Ai Khi tồn i∈I Mi i∈I e Ai ≤ i∈I i∈I Mi i∈I Chứng minh a) (⇒) Do = x ∈ M nên = xR ≤ M Mặt khác A ≤e M nên A ∩ xR = (⇐) Lấy = B ≤ M suy tồn x ∈ B, x = Ta có A∩xR = mà xR ≤ B suy A ∩ B = Vậy A ≤e M b) (⇒) Chứng minh A ≤e N Lấy X ≤ N ≤ M , X = Do A ≤e M nên A ∩ X = Vậy A ≤e N Chứng minh N ≤e M Lấy Y ≤ M , Y = Do A ≤e M nên A ∩ Y = Mà A ≤ N nên N ∩ Y = Vậy N ≤e M (⇐) Chứng minh A ≤e M Thật vậy, lấy X ≤ M , X = Do N ≤e M nên N ∩ X = Đặt B = N ∩ X ≤ N Do A ≤e N nên A ∩ B = ⇒A∩N ∩X =0 ⇒ A ∩ X = Vậy A ≤e M c) Chứng minh A ∩ B ≤e M Thật vậy, lấy X ≤ M , X = Do B ≤e M nên B ∩ X = 0, B ∩ X ≤ M A ≤e M , suy A ∩ (B ∩ X) = ⇔ (A ∩ B) ∩ X = Vậy A ∩ B ≤e M d) Dùng phương pháp quy nạp theo n, ta chứng minh mệnh đề với n = Cho A1 ≤e M1 ≤ M, A2 ≤e M2 ≤ M Ta chứng minh A1 ∩ A2 ≤e M1 ∩ M2 Lấy B ≤ M1 ∩ M2 , B = ⇒ B ≤ M1 A1 ≤e M1 nên A1 ∩ B = Đặt X = A1 ∩ B ≤ M2 Vì A2 ≤e M2 nên A2 ∩ X = ⇒ (A1 ∩ B) ∩ A2 = ⇒ (A1 ∩ A2 ) ∩ B = ⇒ A1 ∩ A2 ≤e M1 ∩ M2 Chú ý: Trường hợp vô hạn không đúng, tức ∞ Ai ≤ Mi , i = 1, +∞ ∞ Ai khơng cốt yếu i=1 e Mi ) i=1 ∞ Ví dụ Ta có nZ ≤ Z, n = Nếu có ∞ e nZ ≤ n=1 Ai , Ai = Z ∀i, i=1 suy ≤e Z (vô lý) e) Ta có A ≤ N ≤ M , N/A ≤e M/A Cần chứng minh N ≤e M Lấy X ≤ M , X = Ta chứng minh X ∩ N = Thật vậy, ta có X + A/A ≤ M/A Nếu X + A/A = ⇒ X + A = A ⇒ X ≤ A ≤ N ⇒ N ∩ X = Nếu X + A/A = N/A ≤e M/A ⇒ X + A/A ∩ N/A = ⇒ tồn n + A = cho n + A = x + a + A ⇒ n + a = x + a + a với a , a ∈ A, n ∈ N , x ∈ X, x ∈ /A ⇒x=n+a −a−a ∈N ⇒ N ∩ X = Vậy N ≤e M f) Lấy X ≤ M, X = Trường hợp f (X) = ⇒ X ≤ kerf = f −1 (0) mà f −1 (0) ≤ f −1 (B) (do ∈ B) ⇒ X ≤ f −1 (B) ⇒ X ∩ f −1 (B) = X = Vậy f −1 (B) ≤e M 10 Trường hợp f (X) = 0, f (X) ≤ N Do B ≤e N nên suy B ∩ f (X) = ⇒ ∃ b = f (x) = 0, với b ∈ B, x ∈ X, x = ⇒ f (x) ∈ B ⇒ x ∈ f −1 (B) ⇒ x ∈ X ∩ f −1 (B) Vậy f −1 (B) ≤e M g) Trường hợp Nếu I hữu hạn |I| = n Ta cần chứng minh mệnh đề với n = Cho A1 ≤e M1 , A2 ≤e M2 A1 ⊕ A2 M1 ⊕ M2 Ta chứng minh A1 ⊕ A2 ≤e M1 ⊕ M2 Thật vậy, A1 ≤e M1 , A2 ≤e M2 ⇒ A1 ∩ A2 ≤e M1 ∩ M2 ⇒ ≤e M1 ∩ M2 ⇒ M1 ∩ M2 = Xét đồng cấu f1 : M1 ⊕ M2 −→ M1 , x1 + x2 −→ x1 Ta có f1−1 (A1 ) = A1 ⊕ M2 Mà A1 ≤e M1 ⇒ A1 ⊕ M2 ≤e M1 ⊕ M2 Tương tự, f2 : M1 ⊕ M2 −→ M2 , x1 + x2 −→ x2 Ta có f2−1 (A2 ) = M1 ⊕ A2 Mà A2 ≤e M2 ⇒ A2 ⊕ M1 ≤e M1 ⊕ M2 Suy (A1 ⊕ M2 ) ∩ (A2 ⊕ M1 ) ≤e M1 ⊕ M2 ⇔ A1 ⊕ A2 ≤e M1 ⊕ M2 Trường hợp Với I ta chứng minh tồn Mi I Lấy x ∈ Mi Khi có biểu thị hữu hạn: I x = x1 + x2 + + xk , xi ∈ Mi k k Mi suy tồn i=1 i=1 Ai ≤e k Mi i=1 16 π : M1 ⊕ M2 −→ M1 Giả sử A ≤e B ≤ M Ta chứng minh A = B Ta có A ≤ M1 suy A ∩ M2 = π|A đơn cấu, dó A = π(A) ≤e π(B) ≤ M1 Vì A đóng M1 nên π(B) = A ≤ B suy (1 − π)B ≤ B suy (1 − π)B ∩ B = mà ta có A ≤e B suy (1 − π)B = hay B = π(B) ≤ M1 Do A đóng M1 nên A = B Vậy A đóng M 2) Giả sử A hạng tử trực tiếp M ta có M = A ⊕ B Lấy N ≤ M cho A ≤e N A ∩ B ≤e N ∩ B Từ ≤e N ∩ B suy N ∩ B = Xét phép chiếu π : A ⊕ B −→ A ta có ker(πB) = mà N ∩ B = nên N ∩ ker(π) = ⇒ π|B đơn cấu Vì N nhúng đơn cấu vào môđun A mà A ≤ N ⇒ A = N Vậy A đóng M ✷ 17 Chương Linh hóa tử 2.1 Định nghĩa 1) Cho M R-môđun m ∈ M Tập hợp rR (m) = {r ∈ R : mr = 0} gọi linh hóa tử phần tử m, tập hợp rR (M ) = {r ∈ R : mr = 0, ∀m ∈ M } gọi linh hóa tử mơđun M Một mơđun M gọi trung thành rR (M ) = 2) Cho R vành S tập khác rỗng vành R a) Linh hóa tử phải S R tập hợp rR (S) = {x ∈ R : sx = 0, ∀s ∈ S} b) Linh hóa tử trái S R lR (S) = {x ∈ R : xs = 0, ∀s ∈ S} Nếu tập S gồm phần tử s ∈ R ta viết rR (s) lR (s) tương ứng 2.2 Mệnh đề Cho M R-mơđun phải Khi Nếu S ⊆ M rR (S) iđêan phải R Chứng minh 18 Giả sử a, b hai phần tử thuộc R cho a, b ∈ rR (S), từ suy sa = 0, sb = Khi với s bất kỳ, s ∈ S ta có s(a − b) = sa − sb = 0, suy a − b ∈ rR (S) Lấy r ∈ R, ta có s(ar) = (sa)r = suy ar ∈ rR (S) Vậy rR (S) iđêan phải R✷ 2.3 Định nghĩa Cho M , N R-môđun M gọi N-P-nội xạ (N-principally injective) đồng cấu từ mơđun xyclic N đến M mở rộng tới đồng cấu từ N đến M Hay nói cách khác, M gọi N-P-nội xạ với m ∈ M n ∈ N thỏa mãn rR (n) ⊆ rR (m) tồn f ∈ HomR (N, M ) cho m = f (n) 2.4 Định nghĩa Cho M R-mơđun Khi M gọi mơđun tựa P-nội xạ M môđun M-P-nội xạ 2.5 Mệnh đề Cho M N R-môđun, S = End(M ) Khi điều kiện sau tương đương: 1) M N -P -nội xạ 2) Với m ∈ M n ∈ N cho rR (n) ⊆ rR (m), ta có Sm ⊆ HomR (N, M )n 3) Với m ∈ M n ∈ N cho rR (n) ⊆ rR (m), tồn phần bù C M N ⊕ M thỏa mãn n − m ∈ C N ⊕ M = C ⊕ M 4) Với n ∈ N , lM rR (n) = HomR (N, M )n 5) Với n ∈ N a ∈ R, lM [aR ∩ rR (n)] = lM (a)+HomR (N, M )n Chứng minh (1 ⇒ 2) Lấy m ∈ M n ∈ N cho rR (n) ⊆ rR (m) Vì M N -P -nội xạ nên tồn đồng cấu f : N −→ M xác định 19 cho m = f (n) Lấy φ ∈ S φ(m) = φ[f (n)] = φf (n), φf ∈ HomR (N, M )n suy φ(m) ∈ HomR (N, M )n Do đó, Sm ⊆ HomR (N, M )n (2 ⇒ 3) Lấy m ∈ M, n ∈ N cho rR (n) ⊆ rR (m) Khi ta chọn đồng cấu φ = iM ∈ End(M ) Lúc theo (2) φ(m) = iM (m) = m ∈ HomR (N, M )n Tức tồn đồng cấu f : N −→ M xác định cho m = f (n) Tiếp theo ta chứng minh N ⊕M = f ⊕M , f = {n−f (n) : n ∈ N } ≤ N ⊕M Thật vậy, lấy a = [n −f (n )]+m ∈ f ⊕M Vì n − f (n ) ∈ N nên a ∈ N ⊕ M suy f ⊕ M ⊆ N ⊕ M Ngược lại, lấy a = n + m ∈ N ⊕ M Khi ta viết lại a = [n − f (n )] + f (n ) + m Vì n − f (n ) ∈ f f (n ) + m ∈ M nên a ∈ f ⊕ M suy N ⊕ M ⊆ f ⊕ M Do C = f phần bù M N ⊕ M với N ⊕ M = C ⊕ M n − m ∈ C (3 ⇒ 4) Giả sử n ∈ N x ∈ lM rR (n) = {m ∈ M : mrR (n) = 0} Ta cần chứng minh rR (n) ⊆ rR (x) Thật vậy, lấy r ∈ rR (n) x ∈ lM rR (n) nên xr = nghĩa r ∈ rR (x), suy rR (n) ⊆ rR (x) Theo (3) tồn phần bù C M N ⊕M với n−x ∈ C N ⊕ M = C ⊕ M Vì thế, tồn đồng cấu f : N −→ M cho C = f Từ n − x ∈ C suy n − x = n − f (n ), với n ∈ N Vì n = n x = f (n ) = f (n) Do x ∈ HomR (N, M )n, lM rR (n) ⊆ HomR (N, M )n Ngược lại, lấy m ∈ HomR (N, M )n Khi tồn đồng cấu f ∈ HomR (N, M )n cho f (n) = m Với r ∈ rR (n) tức ta có nr = 0, suy mr = f (n)r = f (nr) = f (0) = Do 20 HomR (N, M )n ⊆ lM rR (n) Suy điều phải chứng minh lM rR (n) = HomR (N, M )n (4 ⇒ 5) Lấy n ∈ N , a ∈ R, x ∈ lM [aR ∩ rR (n)], x[aR ∩ rR (n)] = Ta cần chứng minh rR (na) ⊆ rR (xa) Thật vậy, lấy r ∈ rR (na) tức ta có (na)r = n(ar) = 0, suy ar ∈ aR ∩ rR (n) Do (xa)r = x(ar) = 0, điều nghĩa r ∈ rR (xa) Do theo (4) ta có lM rR (xa) ⊆ lM rR (na) = HomR (N, M )na Vì xa = f (na) = f (n)a, với f ∈ HomR (N, M ) Do đó, (x−f (n))a = x − f (n) ∈ lM (a) Vì thế, x ∈ lM (a) + HomR (N, M )n lM [aR ∩ rR (n)] ⊆ lM (a) + HomR (N, M )n Mặt khác, giả sử x ∈ lM (a) + HomR (N, M )n, x = m + f (n), với m ∈ lM (a), f ∈ HomR (N, M ) Vì xa = ma + f (n)a = f (na) Giả sử ar ∈ aR ∩ rR (n), x(ar) = f (na)r = f (nar) = 0, x ∈ lM [aR ∩ rR (n)] Do lM (a) + HomR (N, M )n ⊆ lM [aR ∩ rR (n)] Từ suy điều phải chứng minh là: lM [aR ∩ rR (n)] = lM (a) + HomR (N, M )n (5 ⇒ 1) Lấy m ∈ M n ∈ N cho rR (n) ⊆ rR (m), lM rR (m) ⊆ lM rR (n) Theo (5) ta có lM rR (n) = lM [1R ∩ rR (n)] = lM (1) + HomR (N, M )n = HomR (N, M )n, tồn đồng cấu f : N −→ M xác định cho f (n) = m Do M N -P -nội xạ✷ 2.6 Mệnh đề Cho M mơđun N-P-nội xạ, M X-P-nội xạ với môđun X N Nếu thêm điều kiện X hạng tử trực tiếp N M N/X-P-nội xạ 21 2.7 Bổ đề Cho M môđun N-P-nội xạ K ≤⊕ M K N-P-nội xạ 2.8 Bổ đề Cho {Mi }i∈I họ mơđun Khi tích trực tiếp Mi N-P-nội xạ Mi N-P-nội xạ, với i ∈ I i∈I 2.9 Mệnh đề Nếu M môđun tựa P-nội xạ S = End(M ) SH = SK, H, K mơđun M đẳng cấu với Chứng minh Vì H ∼ = K nên tồn đẳng cấu σ : H −→ K Với k ∈ K, k = σ(h) với h ∈ H rR (h) = rR (k) Vì M mơđun tựa P-nội xạ nên Sh = Sk (theo Mệnh đề 2.5), Sk ⊆ SH, với k ∈ K Suy SK ⊆ SH Ngược lại, Vì K ∼ = H nên tồn đẳng cấu δ : K −→ H Với h ∈ H, h = δ(k) với k ∈ K rR (k) = rR (h) Vì M môđun tựa P-nội xạ nên Sk = Sh (theo Mệnh đề 2.5), Sh ⊆ SK, với h ∈ H Suy SH ⊆ SK Từ suy điều cần chứng minh SH = SK ✷ 22 Chương Môđun P-mở rộng 3.1 Định nghĩa Cho M R-mơđun Khi M gọi môđun P-mở rộng môđun xyclic M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Hay nói cách khác, M gọi mơđun P-mở rộng mơđun EC-đóng M hạng tử trực tiếp M 3.2 Bổ đề Với mơđun M khơng phân tích được, khẳng định sau tương đương: 1) M môđun mở rộng 2) M môđun P-mở rộng 3) M môđun 3.3 Bổ đề Một môđun M vành Noether phải môđun 1-mở rộng M môđun P-mở rộng Chứng minh Giả sử M môđun 1-mở rộng cR ≤e C với C EC-đóng mơđun M Vì R vành Noether nên C có số chiều hữu hạn Theo giả thiết, M 1-mở rộng, theo Mệnh đề (4) [4] M n-mở rộng Do đó, C hạng tử trực tiếp M P-mở rộng Chiều ngược lại hiển nhiên 3.4 Hệ Cho M môđun với số chiều hữu hạn Khi phát biểu sau tương đương: 1) M môđun mở rộng 2) M môđun 1-mở rộng 23 3) M môđun P-mở rộng 3.5 Hệ Mỗi hạng tử trực tiếp mơđun EC-đóng M EC-đóng 3.6 Mệnh đề Cho M = M1 ⊕M2 , với C EC-đóng mơđun M cho C ∩ M1 EC-môđun M Khi M Pmở rộng C EC-đóng mơđun cho C ∩ M1 = C ∩ M2 = hạng tử trực tiếp M Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện đủ Thật vậy, giả sử cR ≤e C với C EC-đóng mơđun M Nếu C ∩ M1 = , theo giả thiết suy C hạng tử trực tiếp M Nếu C ∩ M1 = 0, C ∩ M1 EC-môđun M Giả sử C1 mở rộng cốt yếu lớn C ∩ M1 C Khi C1 EC-đóng mơđun M ,với C1 ∩ M2 = Do theo giả thiết C1 hạng tử trực tiếp M Ta viết M = C1 ⊕ C2 Theo luật modular ta có C = C1 ⊕ (C ∩ C2 ) Theo Hệ 3.5, suy C ∩ C2 EC-mơđun đóng M với (C ∩ C2 ) ∩ M1 = 0, C ∩ C2 hạng tử trực tiếp M Suy C hạng tử trực tiếp M , có nghĩa M mơđun P -mở rộng✷ 3.7 Mệnh đề Cho M = M1 ⊕ M2 , M1 có số chiều hữu hạn Khi M P-mở rộng EC-đóng mơđun C M, với C ∩ M1 = C có số chiều hữu hạn, hạng tử trực tiếp M 24 Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện đủ Thật vậy, giả sử mR ≤e C với C EC-đóng mơđun M Nếu C ∩ M1 = 0, theo giả thiết suy C hạng tử trực tiếp M Giả sử = c ∈ C ∩ M1 C1 mở rộng cốt yếu lớn cR C Vì M1 có số chiều hữu hạn nên M1 = C1 Theo giả thiết C1 hạng tử trực tiếp M Ta viết M = C1 ⊕K, C = C1 ⊕C ∗ , C ∗ = K ∩ C đóng M Giả sử m = c1 + c∗ , với c1 ∈ C1 c∗ ∈ C ∗ Vì C ∗ hạng tử trực tiếp EC-đóng mơđun C nên theo Hệ 3.5 C ∗ EC-đóng Nếu C ∗ ∩ M1 = theo giả thiết C ∗ hạng tử trực tiếp C hạng tử trực tiếp M Mặt khác, C ∗ ∩ M1 = lập lại bước chứng minh ta có C ∗ = C2 ⊕ C3 , C2 hạng tử trực tiếp C2 ∩ M1 = Tiếp tục theo trình tự trên, dừng lại hữu hạn bước (do M1 mơđun có số chiều hữu hạn) Và cuối ta có: C = C1 ⊕ C2 + + Cn , Ci hạng tử trực tiếp M (i = 1, 2, , n − 1) Cn chứa cốt yếu xyclic môđun với Cn ∩ M1 = Do Cn hạng tử trực tiếp M , suy C hạng tử trực tiếp M , có nghĩa ta có điều phải chứng minh M môđun P -mở rộng✷ 3.8 Hệ Cho M = M1 ⊕ M2 với M1 có số chiều hữu hạn 25 Khi M P -mở rộng EC-đóng mơđun C M thỏa điều kiện C ∩ M1 = C ∩ M2 = 0, hạng tử trực tiếp M 3.9 Định nghĩa Cho M R-mơđun Khi M gọi mơđun FP-mở rộng mơđun EC-đóng M có số chiều hữu hạn, hạng tử trực tiếp M 3.10 Mệnh đề Cho M = M1 ⊕ M2 Khi M F P -mở rộng EC-đóng mơđun C M với số chiều hữu hạn thỏa mãn C ∩ M1 = C ∩ M2 = 0, hạng tử trực tiếp M 3.11 Mệnh đề Cho M = M1 ⊕ M2 với M1 mơđun nửa đơn Khi M mơđun P -mở rộng EC-đóng mơđun C M thỏa mãn điều kiện C ∩ M1 = 0, hạng tử trực tiếp M Chứng minh Điều kiện cần chứng minh dễ dàng Ta chứng minh điều kiện đủ Thật vậy, giả sử C EC-đóng mơđun M Nếu C ∩ M1 = theo giả thiết C hạng tử trực tiếp M Ngược lại C ∩ M1 = Vì M1 đơn, suy C ∩ M1 ≤⊕ M1 C = C ∩ M1 ⊕ C ∗ , C ∗ EC-đóng mơđun M C ∗ ∩ M1 = nên C ∗ hạng tử trực tiếp M , C hạng tử trực tiếp M ✷ 3.12 Định nghĩa Cho M = M1 ⊕ M2 R-mơđun Khi M2 gọi M1 -EC-nội xạ EC-đóng mơđun N M1 đồng cấu từ N đến M2 mở rộng tới đồng cấu từ M1 đến M2 26 Hay nói cách khác, M2 gọi M1 -EC-nội xạ ECđóng mơđun N M cho N ∩ M2 = tồn N ≤ M cho N ≤ N M = N ⊕ M2 3.13 Bổ đề Giả sử M = M1 ⊕ M2 M2 M1 -EC-nội xạ, : 1) M2 K-EC-nội xạ, với K ≤ M1 2) H M1 -EC-nội xạ, với H ≤⊕ M2 3) H K-EC-nội xạ, với K ≤⊕ M1 H ≤⊕ M2 Chứng minh 1) Giả sử K mơđun M1 N EC-đóng môđun K ⊕ M2 với N ∩ M2 = Khi N EC-đóng mơđun M Vì M2 M1 -EC-nội xạ, tồn N ≤ M cho N ≤ N M = N ⊕ M2 , suy K ⊕ M2 = (K ⊕ M2 ) ∩ (N ⊕ M2 ) = (N ∩ (K ⊕ M2 )) ⊕ M2 N ≤ N ∩ (K ⊕ M2 ) Do M2 K-EC-nội xạ 2) Giả sử H hạng tử trực tiếp M2 N ECđóng mơđun M1 ⊕ H với N ∩ H = Khi N EC-đóng môđun M N ∩ M2 = Vì M2 M1 -EC-nội xạ nên tồn N ≤ M cho N ≤ N M = N ⊕ M2 Vì H ≤⊕ M2 nên M2 = H ⊕ H suy M1 ⊕ H = (M1 ⊕ H) ∩ (N ⊕ H ⊕ H ) = H ⊕ (M1 ⊕ H) ∩ (N ⊕ H ) Vì N ≤ N nên N ≤ (M1 ⊕ H) ∩ (N ⊕ H ) Từ suy H M1 -EC-nội xạ 3) Suy từ (1) (2)✷ 27 3.14 Mệnh đề Cho M = M1 ⊕ M2 với M1 P -mở rộng M2 M1 -EC-nội xạ Khi ta có M = C ⊕ M1 ⊕ M2 , M1 ≤ M1 với mơđun đóng C M thỏa C ∩ M2 = Chứng minh Giả sử cR ≤e C với C EC-đóng mơđun M cho C ∩ M2 = Đặt X = M1 ∩ (C ⊕ M2 ), c1 R ≤e X với c = c1 + c2 , c1 ∈ M1 , c2 ∈ M2 Giả sử N1 mở rộng cốt yếu lớn X M1 , N1 EC-đóng mơđun M1 Vì M1 P -mở rộng nên N1 ≤⊕ M1 Khi M1 = N1 ⊕ M1 với M1 ≤ M1 Suy C ⊕M2 = X ⊕M2 ≤e N1 ⊕M2 , nghĩa C ≤ N1 ⊕M2 C phần bù M2 N1 ⊕ M2 Vì M2 M1 -EC-nội xạ N1 hạng tử trực tiếp M1 nên theo Bổ đề 3.13 M2 N1 -EC-nội xạ, tồn N ≤ N1 ⊕ M2 cho C ≤ N N1 ⊕ M2 = N ⊕ M2 Do N phần bù M2 N1 ⊕ M2 Nhưng C phần bù M2 N1 ⊕ M2 , suy N = C M = M1 ⊕ M2 = N1 ⊕ M1 ⊕ M2 = C ⊕ M1 ⊕ M2✷ 3.15 Hệ Giả sử M = M1 ⊕M2 với Mi P -mở rộng Khi Mi Mj -EC-nội xạ (i = j = 1, 2) với C EC-đóng mơđun M thỏa C ∩Mj = 0, Mi ≤ Mi ta có M = C ⊕Mi ⊕Mj 3.16 Mệnh đề Giả sử M = Mi R-môđun, M (F ) P -mở i∈I rộng M (I \ F ) M (F )-EC-nội xạ với F tập hữu hạn I Khi M P -mở rộng Chứng minh 28 Giả sử c ∈ M C mở rộng cốt yếu lớn cR M Khi cR ≤ M (F ) cR ∩ M (I \ F ) = với F tập hữu hạn I Vì cR ≤e C nên C ∩ M (I \ F ) = Mặt khác M (I \ F ) M (F )-EC-nội xạ C EC-đóng mơđun M , theo Mệnh đề 3.14 C hạng tử trực tiếp M Vậy M P -mở rộng✷ 29 Kết luận Nội dung luận văn trình bày cách hệ thống số kết đạt báo On P-extending modules Kamal M.A Elmnophy O.A ([5]) Cụ thể chúng tơi hồn thành việc sau: Trình bày khái niệm linh hóa tử dựa vào tính chất linh hóa tử nghiên cứu lớp môđun N -P -nội xạ, chứng minh chi tiết kết đạt Trình bày khái niệm môđun P -mở rộng nghiên cứu tính chất lớp mơđun với mối quan hệ với lớp môđun khác 30 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang - Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục [2] Dương Quốc Việt (2009), Lí thuyết module, NXB Đại học sư phạm Tiếng Anh [3] Dung N V., Huynh D V., Smith P F and Wisbauter R (1994), Extending Modules, Pitman, London [4] Kamal M A.(1995), On the decomposition and direct sums of modules, Osaka J Math 32 [5] Kamal M A and Elmnophy O A (2005), On P-extending modules, Acta Math Univ Comenianae, Vol LXXIV, 2, pp.279-286 [6] Kasch (1997), Modules and Ringe, Stuttgrart [7] Mohamed S H and Muller B J (1990), Continuous and Discrete Modules, London Math, Soc Lecture Notes Series 147, Cambridge Univ Press ... môđun xyclic M cốt yếu hạng tử trực ti? ?p M Như rõ ràng l? ?p môđun mở rộng l? ?p môđun P -mở rộng Dựa vào báo On P- extending modules Kamal M.A Elmnophy O.A ([5]), quan tâm nghiên cứu l? ?p môđun P. .. rộng 2) M môđun P- mở rộng 3) M môđun 3.3 Bổ đề Một môđun M vành Noether phải môđun 1 -mở rộng M môđun P- mở rộng Chứng minh Giả sử M môđun 1 -mở rộng cR ≤e C với C EC-đóng mơđun M Vì R vành Noether... M } gọi linh hóa tử mơđun M Một mơđun M gọi trung thành rR (M ) = 2) Cho R vành S t? ?p khác rỗng vành R a) Linh hóa tử phải S R t? ?p h? ?p rR (S) = {x ∈ R : sx = 0, ∀s ∈ S} b) Linh hóa tử trái S