Một số tính chất của môđun mở rộng và p mở rộng

2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH THÁI VĂN THÁI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN MỞ RỘNG VÀ P-MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH THÁI VĂN THÁI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN MỞ RỘNG VÀ P-MỞ RỘNG CHUYÊN NGÀNH:ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG NGHỆ AN – 2012 MỤC LỤC Trang Bảng ký hiệu…………………………………………………………………2 Lời nói đầu ………………………………………………………………… Chương I Kiến thức sở ……………………………………………… 1.1 Mơđun cốt yếu …………………………………………………… 1.2 Mơđun đóng phần bù………………………………………… 10 Chương II Môđun mở rộng p-mở rộng………………………………….17 2.1 Môđun mở rộng……………………………………………………… 17 2.2 Môđun p-mở rộng……………………………………………………….24 Kết luận …………………………………………………………………….31 Tài liệu tam khảo ……………………………………………………………32 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU , , , , : Tương ứng tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức M/N : M môđun thương môđun N MN : Hai môđun M N đẳng cấu với MN : Tổng trực tiếp hai môđun M N  Mi : Tổng trực tiếp môđun ( M i )iI NM : N môđun môđun M N e M : N môđun cốt yếu môđun M N  M : N hạng tử trực tiếp môđun M u dim( M ) : Chiều môđun M □ : Kết thúc chứng minh I LỜI NÓI ĐẦU Cùng với phát triển toán học đại nói chung, lý thuyết mơđun nhà tốn học quan tâm đạt nhiều kết Vào năm 1977, Chatters Hajarnavis đưa khái niệm CS-môđun (Extending Module) Khi lớp CS-môđun đời lý thuyết mơđun phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết vành Đặc biệt, Đinh Văn Huỳnh, P F Smith, R Wisbauer, A Harmanci, Nguyễn Việt Dũng, Ngô Sỹ Tùng,…là người nghiên cứu đạt nhiều kết nhiều CS-môđun Lớp (1-C1)-môđun mở rộng thực lớp CS-môđun lớp CS-môđun nhiều nhà tốn học ngồi nước nghiên cứu Một môđun M thoả mãn điều kiện (C1) với môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M ta gọi môđun thoả mãn điều kiện (C1) CS-môđun Một môđun M gọi p-mở rộng môđun cyclic M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Như rõ ràng lớp CS-môđun môđun p-mở rộng Luận văn dựa báo [5] M A Kamal and O A Elmnophy (2005), On P-extending modules, Acta Math, Univ Comenianae, Vol LXXIV, 2, pp.279-286 làm tài liệu để nghiên cứu số tính chất mơđun mở rộng p-mở rộng Vì vậy, đề tài luận văn là: Một số tính chất mơđun mở rộng pmở rộng Ngoài lời mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo kết luận, luận văn chia làm chương : Chương I Kiến thức sở Chương II Môđun mở rộng p-mở rộng Luận văn bắt đầu thực từ tháng năm 2012 hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS TS hướng dẫn, thầy tận tình dìu dắt, chu đáo, giúp tác giả độc lập suy nghĩ, vững tin bước đường đầu nghiên cứu khoa học, dành cho tác giả ý kiến đạo quý báo đặc biệt động viên suốt trình học tập làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến quý Thầy Cơ khoa Tốn trường Đại học Vinh, Phịng đào tạo sau đại học trường Đại học Vinh, phòng quản lí khoa học sau đại học trường Đại học Đồng Tháp động viên giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban lãnh đạo SGD Đào tạo Đồng Tháp đồng nghiệp động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn theo kế hoạch Mặc dù cố gắng, nhiên nhiều nguyên nhân, luận văn không tránh khỏi sai sót, tác giả mong góp ý chân thành quý Thầy Cô bạn Nghệ An, tháng 10 năm 2012 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương hệ thống lại số kiến thức sở cần thiết để phục vụ cho việc chứng minh luận văn chương sau Tất vành luận văn giả thiết vành có đơn vị, kí hiệu môđun Rmôđun phải unita 1.1 Môđun cốt yếu 1.1.1 Định nghĩa Cho R vành M R-môđun phải Xét A môđun M Môđun A gọi cốt yếu (essential) M với môđun B khác khơng M A  B  , kí hiệu A e M Nếu A mơđun cốt yếu M ta nói M mở rộng cốt yếu (essential extension) A 1.1.2 Ví dụ M £ e M , n¢ Ê e  , " n ( xem -mơđun ) 1.1.3 Tính chất a) Cho A mơđun M Khi A e M  xR  A  , x  , x Ỵ M ìï A £ e N b) Cho A £ N £ M Khi A £ M Û ïí ïï N £ e M ỵ e c) Cho A £ e M B £ e M A Ç B £ e M n n i= i= d) Ai £ M i £ M , Ai £ e M i , " i = 1, , n Ç Ai £ e Ç M i e) Cho A £ N £ M N / A e M / A N e M f) Cho f : M ® N đồng cấu mơđun B £ e N f - ( B) £ e M g) Cho M i £ M , M = å M i Ai £ e M i , " i Ỵ I iỴ I Khi tồn  M i   M i iI iI  A  iI i  Ai e  M i  iI iI Chng minh a) (ị ) Do x ẻ M nờn xR Ê M Mt khỏc, A Ê e M nờn A ầ xR (Ü ) Xét ¹ B £ M tn ti x ẻ B, x Ta cú A ầ xR m xR Ê B suy A ầ B Vậy A £ e M b) () Chứng minh A  N e e Lấy X  N  M , X  Do A  M nên A  X  Vậy A£ e N Chứng minh N e M Lấy Y  M , Y  Do A e M nên A  Y  Mà A  N nên N  Y  Vậy N £ e M () Chứng minh A £ e M e Thật vậy, lấy X  M , X  Do N  M nên N  X  e Đặt B= N  X  N Do A  N nên A  B   A  N  X   A  X  Vậy A e M c)Lấy X  M , X  Do B e M nên B  X  B  X  M Do A e M nên A  (B  X)   (A  B)  X  Vậy A  B e M d) Dùng phương pháp quy nạp theo n, ta chứng minh mệnh đề với n=2 Cho A1 e M1  M , A2 e M  M Chứng minh A1  A2 e M1  M Lấy B  M1  M , B   B  M1 A1 e M1 nên A1  B  10 Đặt X  A1  B  M Vì A2 e M nên A2  X   ( A1  B)  A2   ( A1  A2 )  B   A1  A2 e M1  M e) Ta có A  N  M , N/A  M/A e Chứng minh N  M Lấy X  M , X  Ta chứng minh X  N  Thật ta có X  A / A  M / A Nếu X  A / A   X  A  A X  A  N nên N  X  Nếu X+A/A  N/A e M / A suy X  A / A  N / A  , n  A  : n+A=x+a+A Do n+a'=x+a+a" , a',a"  A, n  N, x  X, x  A Vì x=n+a'-a-a" N nên N  X  Vậy N e M f) Lấy X  M , X  Trường hợp f ( X )   X  ker f  f 1 (0) Vì f 1 (0)  f 1 ( B) (do  B) nên X  f 1 ( B) nên X  f 1 ( B) = X  Vậy f 1 ( B) e M Trường hợp f ( X )  0, f ( X )  N Do B e N nên B  f(X)    b=f(x )  0, b  B, x  X, x   f ( x )  B  x  f 1( B )  x  X  f 1( B ) Vậy f 1 ( B) e M g) Trường hợp Nếu I hữu hạn I  n Ta cần phải chứng minh mệnh đề với n=2 Cho A1 e M1, A2 e M A1  A2 M1  M Ta cần phải chứng minh  e  A1  A2  M  M Thật vậy, A1 e M1, A2 e M Nnên A  A2 e M1  M 11 suy e M1  M Do  M1  M e Xét đồng cấu f1 : M1  M2  M1, x1  x2 x1 Ta có f 1 ( A1 )  A1  M mà A1 e M1 suy A1  M e M1  M Tương tự, xét đồng cấu f : M1  M2  M2 , x1  x2 x2 Ta có f 1 ( A2 )  M1  A2 Vì A2 e M suy A2  M1  e M1  M , (A1  M )  ( A2  M1 )  e M1  M  A1  A2 e M1  M Trường hợp Với I bất kì, ta chứng minh tồn M i I Lấy x   M i Khi đó, có biễu diễn hữu hạn I x  x1  x2   xk , xi  M i k k k Suy tồn M i Ai  M i Do e i 1 i 1 i 1 k x  Mi nên  Mi i 1 I tổng trực tiếp hay  Mi  Mi I I Laáy X  Mi , X  0, suy I x  X, x  có biểu diễn x  x1  x2   xk , xi  Mi n n n i 1 i 1 Do Ai  Mi nên ta có Ai  xR  e i 1 Mặt khác, xR  X n nên Ai  X  suy  Ai  X  I i 1 Vaäy  Ai e  Mi I I □ 1.1.4 Bổ đề Zorn Giả sử ( X , ), X   tập thứ tự thoả mãn điều kiện: Mọi xích X có cận X có phần tử tối đại, nghĩa tồn a  X mà a  x, x  X x  a 1.1.5 Mệnh đề Cho M laø R  môđun Khi tồn A  M , T  M để A  T e M 20 Thật vậy, xét phép chiếu Giả p : M Å M ® M1 sử A £ e B £ M , Ta chứng minh A=B Ta có A £ M1 suy A Ç M = π A đơn cấu Do A = p ( A) £ e p ( B) £ M1 Vì A đóng M nên p ( B) = A £ B (1- p )( B) £ B suy (1- p )B Ç B = mà ta có A£ e B suy (1- p )( B) = hay B = p ( B) £ M1 Do A đóng M nên A=B Vậy A đóng M ii) Giả sử A hạng tử trực tiếp M, ta có M = A Å B Lấy N £ M cho A £ e B suyra A Ç B £ e N Ç B Từ £ e N Ç B suy N Ç B = Xét phép chiếu p : A Å B ® A ta có ker(p ) = B mà N Ç B = nên N Ç ker(p ) = suy p B đơn cấu Vì N nhúng đơn cấu vào môđun A mà A £ N suy A = N □ Vậy A đóng M 2.1.6 Hệ Hạng tử trực tiếp (1-C1)-môđun (1-C1)-môđun Chứng minh Giả sử A £ Å M hay M = A Å B , M thoả (1-C1)-môđun Ta thấy A đóng M, ta chứng minh A (1-C1)-mơđun.Thật vậy, lấy mơđun T đóng A, A đóng M sử dụng Bổ đề 5, ta có T đóng M mà M (1-C1)-môđun nên T £ Å M suy M = T Å K , K £ M Mặt khác, M = A Å B T £ A suy tồn C = A Ç K £ M thoả mãn ( A Ç K ) ÇT = {0} nên A Ç K +T =A suy A = ( A Ç K ) Å T hay A = C Å T suy T £ Å A Vậy A (1-C1)-môđun 2.1.7 Bổ đề Nếu M (1-C1)-mơđun Khi mơđun đóng M (1-C1)-môđun 21 Chứng minh Giả sử N mơđun đóng M U mơđun đóng M ( mơđun A đóng mơđun B mà mơđun B đóng mơđun C mơđun A đóng mơđun C) Khi U đóng M Vì M (1-C1)-môđun nên U hạng tử trực tiếp M, nghĩa M = U Å X với X mơđun M Vì U £ N nên theo luật Mođunlar, ta có N = U Å( X Ç N ) Như U hạng tử trực tiếp N hay N (1-C1)-môđun □ 2.1.8 Mệnh đề Giả sử M (1-C1)-môđun X Å U mơđun đóng M, X hạng tử trực tiếp M U mơđun Khi X Å U hạng tử trực tiếp M Chứng minh Vì A hạng tử trực tiếp M ,do M = X Å M , với M1 môđun M Gọi p : M ® M1 phép chiếu tự nhiên Giả sử V mở rộng cốt yếu p (V ) @U Do p (V ) môđun Như vậy, V mơđun đóng M 1, M1 hạng tử trực tiếp M, M (1-C1)-môđun, M1 (1-C1)-môđun Ta thấy, p - 1(V ) ³ p - 1( p(U )) ³ X Å U (vì p ( X ) = ) Ta chứng minh p - 1(V ) £ X Å U Thật vậy, lấy x Ỵ p - 1(V ) suy p( x ) Ỵ V mà x = x' + m1 , x' Ỵ X , m1 Ỵ M nên p( x ) = m1 Ỵ V suy x = x' + m1 Ỵ X Å V hay X Å U £ p - 1(V ) £ X Å V (*) Ta chứng minh X Å U cốt yếu X Å V Thật vậy, gọi Z = ( X Å U ) ÇV Lấy x + u Ỵ X Å U , u ¹ Theo (*) ta có x + u Î X Å V hay x + u = x' + vnênv = x - x' v ¹ nên suy Z ¹ Bởi V nên Z £ e V Từ ta có X Å Z £ e X Å V mà X Å Z £ X Å U nên X Å U £ e X Å V Theo giả thiết X Å U đóng nên X Å U = X Å V Vì M = X Å M V hạng tử trực tiếp M nên M = X Å V Å M , với M2 22 môđun M1 suy X Å V hạng tử trực tiếp M, nghĩa □ X Å U hạng tử trực tiếp M 2.1.9 Mệnh đề Giả sử M = M Å M , với M1, M (1-C1)-mơđun Khi M (1-C1)-mơđun mơđun đóng K M hạng tử trực tiếp M, K Ç M1 = K Ç M = Chứng minh Giả sử M (1-C1)-môđun Khi K £ M mơđun đóng thoả mãn K Ç M1 = K Ç M = Rõ ràng K hạng tử trực tiếp M Ngược lại, môđun đóng K với K Ç M1 = hay K Ç M = hạng tử trực tiếp M Ta chứng minh M (1-C1)-môđun Giả sử L mơđun đóng M tồn phần bù H L cho L Ç M £ e H , ta có H đóng M Theo giả thiết H Ç M1 = nên M = H Å H' với H’ mơđun M Theo luật Mođunlar ta có L = H Å ( L Ç H') Hơn nữa, L Ç H' đóng L, L đóng M nên L Ç H' đóng M Vì theo giả thiết ( L Ç H') Ç M = , L Ç H hạng tử trực tiếp H’, nghĩa H' = ( L Ç H ) Å X với X môđun H’ Mà M = H Å H' suy M = H Å ( L Ç H') Å X = L Å M hay L hạng tử trực tiếp M Vậy M (1-C1)-môđun □ 2.1.10 Bổ đề Cho M1, M2 môđun M = M Å M Khi M2 M1nội xạ môđun N M cho N Ç M = tồn mơđun M’ M cho M = M Å M ' N £ M ' Chứng minh ( Ü ) Giả sử môđun N M với N Ç M = tồn môđun M’ M cho M = M Å M ' N £ M ' Cho L £ M g : L ® M đồng cấu Đặt H = {x - g( x ) x Ỵ L} Khi H mơđun 23 M H Ç M = , theo giả thiết tồn môđun H’ M cho M = M Å H' H £ H' Giả sử p : M ® M phép chiếu tắc (đối với tổng trực tiếp M = M Å H' ) Khi g = p M : M ® M với x Î L ta có g( x ) = p( x - g( x ) + g( x )) = p( x - g( x )) + p g( x ) = p g( x ) = g( x ) Vậy g mở rộng g M1 Do M M1- nội xạ ( Þ ) Nếu M2 M1- nội xạ , gọi p :M ® M phép chiếu tự nhiên Xét biểu đồ giao hốn sau, a = p N ,b = p N Vì M2 M1- nội xạ nên tồn đồng cấu j :M ® M cho j a = b N a M1 M b M j M M 2 1là M2 n M ội M 1Đặt M ' = {x + j ( x ) x Ỵ M } Ta có M ' + M = {nx x Ỵ M Úxx Ỵ M1 }= M + M n ội ội ta có Hơn nữa, với x ẻ M suy x ẽ M ' nên x M ' Ç M = Như x M = M Å M ' Ta lại có " y Ỵ N y=0 y Ï M nên yạ Ỵ M ' suy N £ M ' □ 2.1.11 Bổ đề Cho R vành M R-môđun cho M = M1 Å M Å Å M n tổng trực tiếp hữu hạn môđun M i , i = 1, n , {M i , i = 1, n} họ môđun nội xạ lẫn Khi M (1-C1)mơđun M i (1-C1)-mơđun, i = 1, n Chứng minh (Þ ) Điều kiện cần theo Hệ 6, ta thấy M (1-C1)mơđun M i (1-C1)-mơđun, i = 1, n (Ü ) Giả sử M i (1-C1)-môđun nội xạ lẫn với i = 1, n Ta chứng minh M (1-C1)-môđun quy nạp theo n 24 Ta cần chứng minh cho trường hợp n=2 Giả sử M = M Å M Gọi K môđun đóng M Vì M 1, M2 hạng tử trực tiếp M nên K Ç M1 = K Ç M = Khơng tính tổng qt, giả sử K Ç M = Khi đó, M M1-nội xạ nên theo Bổ đề 10 tồn môđun L M cho M = L Å M K £ L Đặt p : M1 Å M ® M1 phép chiếu tự nhiên, với phần tử x Ỵ L , tồn x1 Ỵ M1 , x2 Ỵ M cho x = x1 + x2 Khi ta có p ( x) = p ( x1 + x2 ) = x1 cho p ( x) = p ( x1 + x2 ) = x1 =0 x = + x2 L Ç M = nên x = x2 = hay ker(p L) = Như p L đơn cấu Bây xét phần tử x1 Ỵ M1 Vì M = L Å M nên tồn x2 ' Ỵ M , x ' Ỵ L cho x1' = x' + x2' suy x' = x1' - x2' Khi p ( x ') = p ( x1 '- x2 ) = x1 ' hay p L tồn cấu Vì p L đẳng cấu hay L @M Gọi K' £ M K @K' Vì K mơđun đóng M nên K đóng L suy K’ đóng M Do M1 (1-C1)-môđun nên K' £ Å M , nghĩa M = K' Å U' Gọi U môđun L mà U @U' Ta chứng minh L = K Å U Tht vy, bt k phn t x ẻ U ầ K £ L Khi p L đẳng cấu nên p ( x) Ỵ p (U Ç K ) p (U ) Ç p ( K ) = U 'Ç K ' =0 hay x=0 L L L L Vậy U Ç K = Lấy phần tử x Ỵ L suy p L ( x) = x ' Ỵ M1 Khi có x1 ' Ỵ K ', x2 Ỵ U ' cho p L ( x) = x ' = x1 '+ x2 ' = p L ( x1 ) + p L ( x2 ) = p L ( x1 + x2 ) hay x = x1 + x2 Vậy L = K Å U 25 Khi M = L Å M = K Å U Å M hay K £ Å M hay M (1-C1)-môđun □ 2.1.12 Bổ đề Giả sử K hạng tử trực tiếp M Khi K phần bù giao mơđun N M K Ç N = K Å N £ e M Chứng minh Giả sử K hạng tử trực tiếp M K phần bù giao môđun N M Khi K Ç N = theo Bổ đề 11, ta có KÅN£e M Ngược lại, Giả sử N, K môđun M K hạng tử trực tiếp M cho K Ç N = K Å N £ e M Khi tồn môđun K’ M cho M = K Å K' Giả sử tồn môđun K1 M cho K £ K1 K1 Ç N = Khi K1 = K1 Ç M = K1 Ç K Å K ' = K Å (K1 Ç K ') Giả sử cú y ẻ K1 ầ K ' Trước hết ¹ yr = n + k, ú yr - k = n ẻ K1 Ç N Bởi vậy, yr = k Ỵ K Ç K' = Mâu thuẫn chứng tỏ K1 Ç K' = K = K1 □ 2.1.13 Mệnh đề Giả sử R vành M R-môđun cho M = M1 Å M Å Å M n tổng trực tiếp môđun M i phân tích bù hạng tử trực tiếp Giả thiết với £ i ¹ j £ n , đơn cấu đẳng cấu Khi phát biểu sau tương đương: i) M (1-C1)-môđun ; ii) M = M i Å M j (1-C1)-mơđun Chứng minh i) Þ ii) hiển nhiên theo Hệ ii) Þ i) Giả sử môđun A = M i Å M j (1-C1)-mơđun với £ i ¹ j £ n Gọi K £ M i ( K mơđun ) f : K ® M j đồng cấu Đặt U = {x - f ( x): x Ỵ K }£ M i Å M j U @K ( Do phép chiếu tự nhiên p : M i Å M j ® M i có p (U ) = K ) mơđun A 26 y Ỵ U ầM j , Ly $ x ẻ K saocho y = x - f (x ) suy x = y + f (x ) ẻ M j ầK =0 Do y=0 U Ç M j = Bởi A (1-C1)-mơđun nên tồn môđun U' £ Å A saocho U £ e U' Do phân tích bù hạng tử trực tiếp nên có: A = U 'Å M i A = U 'Å M j Trường hợp A = U 'Å M i Gọi p i : U' Å M i ® M i phép chiếu tự nhiên Gọi j = p i M Khi U £ e U' nên U’ đóng A U 'Ç M j = suy j đơn cấu, từ giả thiết ta có j đẳng cấu suy A = U 'Å M j Ta gọi a = tắc Khi pj M1 , p j :U' Å M j ® M j phép chiếu với x Î K , x = x - f ( x) + f ( x) , f ( x) Ỵ M j x - f ( x) Ỵ U ' Từ ta có a ( x) = f(x) ) = pj M j ( f ( x)) + pj pj M j ( x) = pj M j ( x - f ( x) + M j ( x - f ( x) = f ( x) , có nghĩa a mở rộng f hay M j M i - nội xạ Trường hợp A = U 'Å M j Gọi p j : U' Å M j ® M j phép chiếu tự nhiên Gọi b = pj M1 Khi với x Ỵ M i , x = x - f ( x) + f ( x) , f ( x) Ỵ M j x - f ( x) Ỵ U ' Từ ta có b ( x) = b ( x - f ( x) + f ( x)) = f ( x) , có nghĩa b mở rộng f hay M i M j - nội xạ Như vậy, môđun M i ( £ i £ n ) nội xạ lẫn áp dụng Bổ đề 11 ta có M (1-C1)-mơđun □ 2.2 Mơđun p- mở rộng 2.2.1 Định nghĩa Cho M R-mơđun Khi M gọi mơđun pmở rộng (principal extending module) môđun xyclic M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Hay nói cách khác, M gọi mơđun 27 p-mở rộng mơđun EC- đóng M hạng tử trực tiếp M 2.2.2 Bổ đề Với mơđun M khơng phân tích được, khẳng định sau tương đương: i) M môđun mở rộng ; ii) M môđun p-mở rộng ; iii) M môđun 2.2.3 Bổ đề Một môđun M vành Noether phải môđun mở rộng M môđun p-mở rộng Chứng minh Giả sử M môđun mở rộng cR e C với C EC-đóng mơđun M Vì R vành Noether nên C có số chiều hữu hạn Theo giả thiết, M mở rộng Khi theo mệnh đề (4) [7] M nmở rộng Do C hạng tử trực tiếp M p-mở rộng Chiều ngược lại hiển nhiên 2.2.4 Hệ Cho M môđun với số chiều hữu hạn Khi mệnh đề sau tương đương : i) M môđun mở rộng ; ii) M môđun P-mở rộng 2.2.5 Hệ Mỗi hạng tử trực tiếp mơđun EC-đóng M EC-đóng 2.2.6 Mệnh đề Cho M  M1  M , với C EC-đóng mơđun M cho C  M1 EC-môđun M Khi M p-mở rộng C EC-đóng mơđun M cho C  M1 =0 C  M2 =0, hạng tử trực tiếp M Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện đủ Thật vậy, giả sử cR e C với C EC-đóng mơđun M Nếu C  M1 =0, theo giả thiết suy C hạng tử trực tiếp M 28 Nếu C  M1  , C  M1 EC-môđun M Giả sử C1 mở rộng cốt yếu lớn C  M1 C Khi C1 ECmơđun M, với C  M2 =0 Do đó, theo giả thiết C hạng tử trực tiếp M, ta viết M  C1  C2 Theo luật mođunlar, ta có C  C1  (C  C2 ) Theo Hệ 5, suy C  C2 EC-đóng mơđun M với (C  C2 )  M1  , C  C2 hạng tử trực tiếp M Vậy C hạng tử trực tiếp M, có nghĩa: M mơđun p-mở rộng □ 2.2.7 Mệnh đề Cho M  M1  M , M1 mơđun với số chiều hữu hạn Khi M môđun p-mở rộng EC-đóng mơđun C M , với C  M1 =0 C có số chiều hữu hạn, hạng tử trực tiếp M Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện đủ Thật vậy, giả sử mR e C với C EC-đóng mơđun M Nếu C  M =0, theo giả thiết suy C hạng tử trực tiếp M Giả sử  c  C  M1 , C1 mở rộng cốt yếu lớn cR C Vì C1 có số chiều hữu hạn nên M1= C1 Theo giả thiết , C1 hạng tử trực tiếp M Ta viết M  C1  K , C  C1  C* , C*  K  C đóng M Giả sử m  c1  c* , với c1  C1 c*  C* Vì C* hạng tử trực tiếp EC-đóng mơđun C nên theo Hệ C* EC-đóng Nếu C*  M1 =0, theo giả thiết suy C* hạng tử trực tiếp C hạng tử trực tiếp M Mặt khác, C*  M1  lặp lại bước chứng minh ta có C*  C2  C3 , C2 hạng tử trực tiếp C2  M1  29 Tiếp tục theo trình tự trên, dừng lại hữu hạn bước ( M1 có số chiều hữu hạn ) Và cuối ta có: C  C1  C2   Cn , Ci hạng tử trực tiếp M (i=1,2,…,n-1) Cn chứa môđun cốt yếu xyclic môđun với Cn  M1  Do Cn hạng tử trực tiếp M suy C hạng tử trực tiếp M, hay M môđun p-mở rộng  2.2.8 Hệ Cho M  M1  M , M1 môđun với số chiều hữu hạn Khi M mơđun p-mở rộng EC-đóng mơđun C M cho C  M1 =0 C  M2 =0, hạng tử trực tiếp M 2.2.9 Định nghĩa Cho M R-mơđun Khi M gọi mơđun fp-mở rộng mơđun EC-đóng M có số chiều hữu hạn hạng tử trực tiếp M 2.2.10 Mệnh đề Cho M  M1  M , M mơđun fp-mở rộng EC-đóng mơđun C M với số chiều hữu hạn cho C  M1 =0 C  M2 =0, hạng tử trực tiếp M 2.2.11 Mệnh đề Cho M  M1  M với M1 môđun nửa đơn Khi M mơđun p-mở rộng EC-đóng mơđun C M cho C  M1 =0, hạng tử trực tiếp M Chứng minh Điều kiện cần chứng minh dễ dàng Ta chứng minh điều kiện đủ Thật vậy, giả sử C EC-đóng mơđun C M Nếu C  M1 =0, theo giả thiết suy C hạng tử trực tiếp M Ngược lại, C  M1  Vì M1 mơđun nửa đơn, suy C  M1  M1 C  C  M1  C* , C* EC-đóng mơđun M C*  M1  nên C* hạng tử trực tiếp M , suy C hạng tử trực tiếp M □ 30 2.2.12 Định nghĩa Cho M  M1  M R-môđun Khi M2 gọi M1 -EC-nội xạ EC- đóng mơđun N M1 đồng cấu từ N đến M mở rộng tới đồng cấu từ M1 tới M2 Hay nói cách khác, M gọi M1 -EC-nội xạ EC- đóng mơđun N M cho N  M2  tồn N’  M cho N  N ' M=N '  M2 2.2.13 Bổ đề Giả sử M  M1  M M2 M1 -EC-nội xạ, : 1) M2 K -EC-nội xạ, với K  M1 ; 2) H M1 -EC-nội xạ, với H  M2 ; 3) H K -EC-nội xạ, với K  M1 H  M2 Chứng minh 1) Giả sử K môđun M N EC- đóng mơđun K  M2 với N  M2  Khi N EC- đóng mơđun M Vì M2 M1 -EC-nội xạ , tồn N’  M cho N  N ' M=N '  M2 , suy K  M2  (K  M2 )  ( N '  M2 )  ( N '  (K  M2 ))  M2 N  N '  (K  M2 ) Do M2 K -EC-nội xạ, với K  M1 2) Giả sử H hạng tử trực tiếp M N EC-đóng mơđun M1  H với N  H  Khi N EC-đóng mơđun M, N  M2  Vì M2 M1 -EC-nội N’  M cho N  N ' M=N '  M2 Vì xạ H  M2 nên nên tồn M2  H  H ' , suy M1  H  ( M1  H)  ( N'  H  H' )  H  ( M1  H)  ( N'  H' ) V ì N  N' nên N  (M  H)  ( N'  H' ) Từ suy H M1 -EC-nội xạ, với H  M2 3) Suy từ (1) (2) 31 2.2.14 Mệnh đề Cho M  M1  M ,với M môđun p-mở rộng M2 M1 -EC-nội xạ Khi ta có M  C  M1'  M2 , M1'  M1 , với mơđun đóng C M thỏa C  M2  Chứng minh Giả sử cR e C với C EC-đóng mơđun M thỏa C  M2  Đặt X  M1  (C  M2 ), c1R e X , với c  c1  c2 , c1  M1 , c2  M2 Giả sử N1 mở rộng cốt yếu lớn X M1, N1 EC-đóng mơđun M1 Vì M1 P-mở rộng nên N1  M1 Khi M1  N1  M1' với M1'  M1 Suy C  M2  X  M2 e N1  M2 , nghĩa C  N1  M2 C phần bù N2 N1  M2 Vì M2 M1 -EC-nội xạ N1 hạng tử trực tiếp M1 nên theo Bổ đề 13 M2 N1- EC-nội xạ , tồn N '  N1  M2 cho C  N ' N1  M2  N '  M2 Do N’ phần bù M2 N1  M2 Nhưng C phần bù M N1  M2 , suy N’=C M  M1  M  N1  M1'  M2  C  M1'  M2 □ 2.2.15 Hệ Giả sử M  M1  M ,với Mi môđun p-mở rộng Khi Mi Mj –EC-nội xạ (i  j  1, 2) với C EC-đóng mơđun M thỏa C  M j  0, Mi'  Mi , ta có M=C  M i'  M j 2.2.16 Mệnh đề Giả sử M  M i , R-môđun, M(F) p-mở rộng iI M(I\F) M(F)-EC-nội xạ với F tập hữu hạn I Khi M pmở rộng Chứng minh Giả sử c  M C mở rộng cốt yếu lớn cR M 32 Khi cR  M (F ) cR  M(I\F)=0 với F tập hữu hạn I Vì cR e C nên C  M(I\F)=0 Mặt khác, (M(I\F) M(F)-EC nội xạ C EC–đóng mơđun M Do C hạng tử trực tiếp M Vậy M p-mở rộng □ KẾT LUẬN 33 Nội dung luận văn trình bày cách hệ thống số kết báo [5] M A Kamal and O A Elmnophy (2005), On P-extending modules, Acta Math, Univ Comenianae, Vol LXXIV Cụ thể chúng tơi hồn thành việc sau: 1.Trình bày chứng minh số tính chất Mơđun cốt yếu, Mơđun đóng phần bù, điều kiện (Ci) mơđun Hệ thống số tính chất mơđun mở rộng Trình bày khái niệm số tính chất mơđun p-mở rộng 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Tiến Dũng, Tổng trực tiếp (1-C1) – môđun, luận văn Th.s Toán học, 2005 [2] Lê Thị Huỳnh Nga, (1-C1) – môđun môđun không suy biến, luận văn Th.s Tốn học, 2005 [3] Ngơ Sỹ Tùng, Lê Văn An, Nguyễn Minh Tuấn (2010), Tổng trực tiếp môđun với độ dài hữu hạn, Tạp chí khoa học Đại học Huế, số 59, 149154 [4] Nguyễn Tiến Quang-Nguyễn Duy Thuận (2001), sở lí thuyết mơđun vành, NXB Giaó dục TIẾNG ANH [5] M A Kamal and O A Elmnophy, On P-extending modules, Acta Math, Univ Comenianae, Vol LXXIV, 2(2005), pp.279-286 [6] M A Kamal (1995), On the decomposition and direct sums of modules, Osaka J Math 32 [7] Dung N V., Huynh D V., P F Smith and R Wisbauter (1994), Extending modules, Pitman, London [8] Kasch (1997), Modules and rings, Stuttgrart [9] S H Mohamed and B J Muller (1990), Continuous and Discrete Modules, London Math, Soc Lecture Notes Series 147, Cambridge Uni Press ... tương đương: i) M môđun mở rộng ; ii) M môđun p -mở rộng ; iii) M môđun 2.2.3 Bổ đề Một môđun M vành Noether phải môđun mở rộng M môđun p -mở rộng Chứng minh Giả sử M môđun mở rộng cR e C với C... □ 19 CHƯƠNG MÔĐUN MỞ RỘNG VÀ P- MỞ RỘNG 2.1 Môđun mở rộng 2.1.1 Định nghĩa Môđun M gọi môđun mở rộng (extending module) hay CS -môđun M thoả mãn điều kiện (C1) 2.1.2 Ví dụ -mơđun mở rộng (theo 10...3 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH THÁI VĂN THÁI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN MỞ RỘNG VÀ P- MỞ RỘNG CHUYÊN NGÀNH:ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ