Môđun artin tựa không trộn lẫn và tính catenary của vành cơ sở

1 MỞ ĐẦU Cho (R, m) vành giao hoán địa phương Noether với iđêan tối đại m; A R-môđun Artin, M R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d Năm 2002, N T Cường L T Nhàn [6] nghiên cứu tính chất sau môđun Artin A: AnnR (0 :A p) = p với iđêan nguyên tố p  AnnR A họ gọi tính chất tính chất (  ) Tính chất (  ) ln vành sở đầy đủ theo tôpô m-adic Khi vành R khơng đầy đủ, họ ví dụ tồn mơđun Artin khơng thỏa mãn tính chất (  ) Cũng báo họ điều kiện cần đủ để mơđun Artin A thỏa mãn tính chất (  ) chiều Noether A chiều Krull A Tính chất ngày quan tâm việc nghiên cứu môđun Artin, môđun hữu hạn sinh cấu trúc vành sở Năm 2007, N T Cường, N T Dung L T Nhàn [5] mối liên hệ tính chất (  ) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá iđêan cực đại tính catenary vành sở: Môđun đối đồng điều d địa phương cấp cao H m  M  thỏa mãn tính chất (  ) vành d R/ AnnR( H m ( M ) ) catenary Phát triển kết , L T Nhàn T N An [9] nghiên cứu lớp môđun rộng hơn, lớp môđun Artin tựa không trộn  / p = lẫn Một R-môđun Artin A gọi tựa không trộn lẫn dim R  / Ann A với p min Att A Trong [9], họ mối liên hệ dim R   R R tính catenary vành, tính chất (  ) chiều môđun Artin tựa khơng trộn lẫn Ngồi báo L T Nhàn T N An i đưa điều kiện cần đủ để môđun đối đồng điều địa phương H m  M  với giá iđêan cực đại thỏa mãn tính chất (  ) thơng qua tính catenary vành i sở chiều môđun H m  M  Khi kết [5] trở thành hệ kết Nội dung luận văn trình bày lại kết báo [9] L T Nhàn T N An Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm sở Đại số giao hốn nhằm làm sở cho việc trình bày Chương như: Iđêan nguyên tố, iđêan tối đại, iđêan nguyên tố liên kết, chiều Krull vành môđun, chiều Noether, Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương MƠĐUN ARTIN TỰA KHƠNG TRỘN LẪN VÀ TÍNH CATENARY CỦA VÀNH CƠ SỞ Trong chương trình bày kết báo [9] Lê Thanh Nhàn Trần Nguyên An Cụ thể chúng tơi trình bày vấn đề sau 2.1 Mơđun Artin tựa khơng trộn lẫn tính catenary vành sở 2.2 Môđun đối đồng điều địa phương tính catenary vành sở Luận văn hoàn thành hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến cô hướng dẫn, người dành cho tác giả hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm túc trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo thuộc Chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, khoa Toán học, phòng Đào tạo Sau Đại học – Trường Đại học Vinh – tận tình giảng dạy hướng dẫn khoa học Tác giả xin cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho học viên học tập nghiên cứu theo chương trình liên kết đào tạo sau đại học hai Trường Đại học Vinh Đại học Sài Gòn Mặc dù cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong bảo quý thầy, cô bạn bè học viên Tác giả Điêu Thị Thu Hương CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số khái niệm sở Đại số giao hoán như: Iđêan nguyên tố iđêan tối đại, iđêan nguyên tố liên kết môđun, phổ giá môđun, vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic, biểu diễn thứ cấp, chiều Krull vành môđun, chiều Noether hệ tham số môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, đối ngẫu Matlis, đồng cấu phẳng số bổ đề sử dụng chứng minh Chương 1.1 Iđêan nguyên tố iđêan tối đại Iđêan p vành R gọi iđêan nguyên tố p ≠ R  a,bR mà ab p a p b p Iđêan m vành R gọi iđêan tối đại m ≠ R m không thực chứa iđêan Q ≠ R R, nghĩa tồn iđêan Q vành R mà m  Q  R Q = m Q = R 1.2 Phổ giá môđun 1.2.1 Phổ vành Kí hiệu SpecR tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi SpecR gọi phổ vành R Với iđêan I R ta kí hiệu V( I )  p  SpecR | p  I  1.2.2 Giá môđun   Tập SuppM  p  SpecR | M p  SpecR gọi giá môđun M Với x  M ta kí hiệu Ann R ( x )  a  R | ax  0 Ann R ( M )  a  R | aM  0  a  R | ax  0, x  M  Ta có Ann R ( x) Ann R (M ) (hoặc Ann( x) Ann(M ) không để ý đến vành R) iđêan vành R, Ann R ( x) gọi linh hóa tử mơđun M Hơn nữa, M R-mơđun hữu hạn sinh SuppM  V(Ann R M )  p SpecR | Ann R M  p 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 1.3.1 Định nghĩa Cho M R-môđun Ta gọi iđêan nguyên tố p R iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x  M, x ≠ cho p  (0:R x)  Ann R ( x) Tập iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssRM (hoặc AssM không để ý đến vành R) AssM = { p  SpecR| p = Ann(x) với x  M} 1.3.2 Tính chất (i) p iđêan nguyên tố liên kết M tồn môđun Q M cho Q  R / p (ii) Gọi  = Ann( x) | x  M  Khi p phần tử tối đại  p iđêan nguyên tố liên kết M (iii) R vành Noether M R-môđun Khi đó, AssM  M  Hơn nữa, M R-mơđun Noether tập AssM tập hữu hạn (iv) Cho M R-mơđun N mơđun M AssN  AssM (v) Cho M R-mơđun Khi đó, AssM  SuppM Nếu p  SuppM p tối tiểu SuppM theo quan hệ bao hàm p  AssM 1.4 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m -adic Vành R gọi vành địa phương có iđêan tối đại Cho ( R, m ) vành địa phương với iđêan tối đại m Ta xét R vành tôpô với sở lân cận phần tử iđêan m t , với t = 0,1,2 Chú ý sở lân cận phần tử tuỳ ý r  R gồm lớp ghép r  m t với t = 0,1,2 Khi vành đầy đủ theo tơpơ m -adic R kí  định nghĩa cách thông thường theo ngôn ngữ dãy hiệu R Cauchy sau: Một dãy Cauchy R dãy (rn) phần tử R t cho với t > 0, tồn số tự nhiên n0 để rn  rm  m với n, m  n0 Dãy (rn) gọi hội tụ dãy không với t > tồn số tự t nhiên n0 để rn   rn  m với n  n0 Hai dãy Cauchy  rn   sn  gọi hai dãy tương đương, kí hiệu  rn    sn  dãy  rn  sn  dãy không Khi quan hệ  tập dãy  tập lớp tương đương Cauchy quan hệ tương đương Ta ký hiệu R dãy Cauchy Chú ý  rn   sn  dãy Cauchy dãy  rn  sn  ,  rn sn  dãy Cauchy lớp tương đương dãy  rn  sn  ,  rn sn  không phụ thuộc vào việc chọn đại diện lớp tương đương dãy  rn   rn  sn    rn,  sn,   sn  , , tức  rn    rn   sn    sn,  , ,  trang bị hai phép toán  rn sn    rn sn  Vì R  lập thành vành hai + đồng thời với hai phép toàn này, R Mỗi phần tử r  R đồng với lớp tương đương dãy Cauchy mà tất phần tử dãy r Vì ta có đơn cấu tự nhiên vành  R  R r   r ,  r  dãy mà tất phần tử r Định nghĩa tương tự cho môđun M với sở lân cận phần tử m M  Khi t  R  -môđun với phép nhân vô hướng sau: cho M  , x   x , x ,   M  Ta có ax   a x , a x ,   M  a   a1 , a2 ,   R 1 2 1.5 Chiều Krull vành môđun 1.5.1 Định nghĩa Cho R vành giao hoán Một dãy iđêan nguyên tố R: p0  p1  p2   pn gọi xích nguyên tố có độ dài n (i) Cho p  SpecR Cận tất độ dài xích nguyên tố với p0  p gọi độ cao p , kí hiệu ht(p) Nghĩa là, ht(p) = sup {độ cao xích nguyên tố với p0  p } Cho I iđêan R ta định nghĩa ht( I )  inf{ht(p) | p SpecR, p  I } (ii) Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, kí hiệu dimR Ta có dim R  sup ht(p) | p  SpecR (iii) Cho M R-mơđun Khi dim( R / Ann R M ) gọi chiều Krull mơđun M, kí hiệu dim R M (hoặc dim M ta không để ý đến vành R) Như vậy, dim R vơ hạn ht(p) vơ hạn  dim M  dim R Chú ý dim M  dim M 1.5.2 Định lý Cho R vành Noether M R-mơđun hữu hạn sinh Khi mệnh đề sau tương đương: (i) M R-mơđun có độ dài hữu hạn; (ii) R / Ann R M vành Artin; (iii) dim M = 1.6 Chiều Noether hệ tham số môđun Artin Cho A R-mơđun Artin Khi chiều Krull vành R/AnnRA chiều Krull R-mơđun A xác định sau: dim R/AnnRA = max {dim R/p : p  AttR(A)} Năm 1975, R N Robert giới thiệu khái niệm chiều khác cho môđun Artin mà sau vào năm 1990 R Kirby đổi tên thành chiều Noether để tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull quen biết nói 1.6.1 Định nghĩa Cho M R-môđun Chiều Noether M, kí hiệu NdimM, định nghĩa sau : Khi M = ta đặt N - dim M = –1 Cho số nguyên d  ta đặt N - dim M = d N- dim M < d sai với dãy tăng môđun M  M  M  M, tồn số tự nhiên n0 cho N - dim( M n1 / M n )  d với n  n0 Như N- dim M = M  M Noether 1.6.2 Bổ đề Nếu A  hàm độ dài (0:A m n ) đa thức theo n n đủ lớn (viết tắt n  ) N - dim R A  deg (0:A m n ) = inf t | x1, , xt  m : (0 :A ( x1, , xt ) R)   Từ Bổ đề ta có khái niệm hệ tham số cho mơđun Artin sau: Hệ ( x1, , xr ) gồm r phần tử m , ta có N - dim R (0:A ( x1, , xr ) R)  max 0, N - dim R A  r Hơn N - dim R A  s tồn hệ ( x1, , xs ) gồm s phần tử m cho (0:A ( x1, , xs ) R)   Theo Tang Zakeri năm 1994, hệ gọi hệ tham số A Một hệ ( x1, , xt ) với t  s , phần tử m gọi phần hệ tham số A ta bổ sung thêm phần tử xt 1, , xs  m cho ( x1, , xs ) hệ tham số A Một phần tử x m gọi phần tử tham số A N - dim R (0 :A x)  N - dim R A 1  -môđun Với cấu trúc này, Chú ý A có cấu trúc tự nhiên R  -môđun tập A R-môđun R  -mơđun Artin N - dim A  N - dim A Vì khơng A Do đó, A R  R R có nhầm lẫn nào, ta viết N -dim A thay cho N - dim R A N - dim  A R 1.6.3 Mệnh đề Cho I iđêan R cho N - dim R (0 :A I )  N - dim R A  r Khi tồn phần hệ tham số A I có độ dài r, phần hệ tham số A I có độ dài r phần hệ tham số tối đại A I 1.7 Biểu diễn thứ cấp Trong mục ta trình bày khái niệm biểu diễn thứ cấp theo thuật ngữ I G Macdonal 1.7.1 Định nghĩa (i) R-môđun A  gọi thứ cấp với r  R , phép nhân r A toàn cấu lũy linh Trong trường hợp Rad(Ann R A) = p iđêan nguyên tố ta gọi A p -thứ cấp (ii) Cho A R-môđun Một biểu diễn thứ cấp A phân tích A  A1   An thành tổng hữu hạn môđun pi -thứ cấp Ai Nếu A = 10 A có biểu diễn thứ cấp ta nói A biểu diễn Biểu diễn thứ cấp gọi tối tiểu iđêan nguyên tố pi đôi phân biệt khơng có hạng tử Ai thừa với i =1,…,n 1.7.2 Nhận xét (i) Khái niệm môđun nguyên sơ theo nghĩa đối ngẫu với khái niệm môđun thứ cấp (ii) Nếu M1 M2 mơđun p -thứ cấp M M1 + M2 môđun p -thứ cấp M Vì biểu diễn thứ cấp M quy biểu diễn tối tiểu 1.7.3 Mệnh đề Cho A  A1   An , Ai pi -thứ cấp, i = 1,2, ,n biểu diễn thứ cấp tối tiểu R-mơđun A Khi tập p1, , pn  độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối tiểu A Tập p1, , pn  xác định gọi tập iđêan nguyên tố gắn kết A, kí hiệu Att R A Các hạng tử Ai , i = 1,2, ,n gọi thành phần thứ cấp cô lập Chú ý thành phần thứ cấp tối tiểu A không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối tiểu A 1.7.4 Định lý Cho M R-mơđun Artin Khi M có biểu diễn thứ cấp tối tiểu 1.7.5 Bổ đề Tập tất phần tử tối tiểu Att R A tập phần tử tối tiểu V(Ann R A) Đặc biệt dim( R / Ann R A)  max dim( R / p) | p  Att R A 1.7.6 Bổ đề   Att R A  pˆ  R | pˆ  Att  A R Tính chất sau môđun Artin A: AnnR (0 :A p) = p với iđêan nguyên tố p  AnnR A (  ) 16 chiều môđun Artin tựa không trộn lẫn Ngoài báo L T Nhàn T N An đưa điều kiện cần đủ để môđun đối đồng điều i địa phương H m  M  với giá iđêan cực đại thỏa mãn tính chất (  ) thơng qua i tính catenary vành sở chiều mơđun H m  M  Khi kết [5] trở thành hệ kết Nội dung chương trình bày chi tiết kết báo [9] L T Nhàn T N An 2.1 Mơđun Artin tựa khơng trộn lẫn tính catenary vành sở Mục đích tiết trình bày chứng minh kết mối liên hệ tính chất (  ) mơđun Artin tựa khơng trộn lẫn A, tính catenary vành R / Ann R A chiều môđun A Đây hai kết [9] (xem Định lý 2.1.11) Trước hết ta có định nghĩa sau 2.1.1 Định nghĩa Môđun Artin A gọi đẳng chiều dim( R / p) = dim( R / Ann R A) với iđêan nguyên tố gắn kết p  Att R A A  -môđun A đẳng chiều (tức gọi tựa không trộn lẫn R  / pˆ ) =dim( R  / Ann A ) với dim( R  R pˆ  Att  A Nếu R /p ˆ) = dim( R  / Ann A) với p ˆ  Att  A ta nói A không trộn lẫn dim( R  R R 2.1.2 Định nghĩa Cho q  p iđêan nguyên tố R Một dãy iđêan nguyên tố q = p0  p1   pn = p cho pi  pi1 , i = 0,…,n – 1, gọi dãy iđêan bão hòa q p với i, không tồn iđêan nguyên tố chèn pi pi1 Cho R vành giao hoán, Noether R gọi vành catenary với cặp iđêan nguyên tố q  p R 17 tồn dãy nguyên tố bão hòa p q dãy nguyên tố bão hòa p q có độ dài 2.1.3 Chú ý (i) Khi R vành Noether địa phương dim R   Rõ ràng, dim R  R catenary (ii) Vành thương vành catenary vành catenary 2.1.4 Định lý Giả sử R vành địa phương Noether đẳng chiều Khi R vành catenary với iđêan nguyên tố p R ta có ht p  dim R / p  dim R 2.1.5 Định nghĩa Vành R gọi catenary phổ dụng R-đại số hữu hạn sinh catenary 2.1.6 Định lý Giả sử R tựa không trộn lẫn Khi đó: (i) R catenary phổ dụng; (ii) Rp tựa không trộn lẫn với ht p  dim R / p  dim R ; (iii) Nếu I iđêan R R/ I đẳng chiều R/I tựa không trộn lẫn 2.1.7 Mệnh đề Giả sử (R, m ) vành địa phương Noether Khi điều kiện sau tương đương: (i) R vành catenary; (ii) ht p/ q = dim R / q - dim R / p với q  p, q, p SpecR; (iii) ht p3 / p1  ht p3 / p2  ht p2 / p1 với p1  p2  p3 , p1, p2 , p3  SpecR 2.1.8 Bổ đề Nếu A tựa khơng trộn lẫn :A (x1, …, xr)R tựa không trộn lẫn với phần hệ tham số (x1, …, xr) A Chứng minh Cho N -dim A  s ( x1, , xr ) phần hệ tham số A  / Ann A ) = s Theo Nhận xét 1.7.8, dim( R  R 18  / Ann (0 : ( x , , x ) R ) = N - dim(0 : ( x , , x ) R )  s  r dim( R  A r A r R Lấy pˆ  Att  (0 :A ( x1, , xr ) R) Khi đó, theo Nhận xét 1.7.8 ta suy R  / pˆ )  s – r Chú ý p ˆ  Ann  A Do pˆ1  pˆ với pˆ1  Att  A dim( R R R /p ˆ1) = s Do A tựa không trộn lẫn nên dim( R  ) nên ht(p ˆ / pˆ1 )  r [11, Định lý 18] Mặt khác pˆ  V(pˆ1  ( x1, , xr ) R  /p  / pˆ ) = s – r ˆ )  s  ht(pˆ / pˆ1 )  s  r Vì dim( R Do ta có dim( R  Chú ý M môđun Noether tựa không trộn lẫn M đẳng chiều Tuy nhiên điều tương tự không cho môđun Artin tựa không trộn lẫn Một mơđun Artin A tựa khơng trộn lẫn A khơng đẳng chiều Ví dụ sau minh chứng cho điều 2.1.9 Ví dụ Tồn R-mơđun Artin A tựa khơng trộn lẫn A khơng đẳng chiều Thật vậy, cho R miền nguyên Noether địa phương có chiều  miền xây dựng Brodmann Rotthaus năm 1983 cho R nguyên R / p trộn lẫn với iđêan nguyên tố p  SpecR Khi tồn  / pR  ) cho dim( R  /p  miền nguyên nên ˆ )  dim( R / p) Vì R pˆ  Ass( R  /p  Do đó, dim( R / p)  dim( R ˆ )  Lấy ≠ x  ta suy p  pˆ  m p chọn y, z  m cho (x, y, z) hệ tham số R Chọn q  Ass(R/ (y, z)R) cho dim( R / q) =1 Đặt A = B  C B = H 1m ( R / p) C = H m1 ( R / q) Khi A R-mơđun Artin (xem Định lý 1.8.2) Theo Hệ 1.8.3, pˆ  Att  B Do R p  Att R B theo Bổ đề 1.7.6 ta có Att R B  p Vì dim( R / q) =1, theo Định lý 1.8.4 ta có Att RC  q Vì dim( R / p)  19 dim( R / q) =1 nên ta có q  p Ta chứng minh p  q Thật vậy, p  q dim (R / q )  dim (R / (x, y, z)R) = Điều vơ lí Do đó, Att R A  p, q Vì A khơng đẳng chiều Chú ý có  -môđun H ( R / p)  H ( R  / pR  ) H ( R / q)  H ( R  / qR ) đẳng cấu R   m m mR mR  / qˆ )  với qˆ  Att A Do A tựa khơng trộn lẫn Do dim( R  R  Kết điều kiện để môđun Artin tựa không trộn lẫn đẳng chiều 2.1.10 Bổ đề Giả sử A tựa không trộn lẫn thỏa mãn dim( R / Ann R A)  N - dim A I iđêan R Khi đó, A đẳng chiều dim( R / Ann R (0:A I ))  N - dim(0:A I ) Chứng minh Giả sử dim( R / Ann R A)  N - dim A = s Theo Nhận xét 1.7.8, ta  / Ann A) =s Lấy p  Att A Theo Bổ đề 1.7.5, dim( R / p)  s có dim( R  R R Theo Bổ đề 1.7.6 tồn pˆ  Att  A cho pˆ  R  p Khi pˆ  qˆ với R qˆ  Att  A Do đó, qˆ  R  Att R A theo Bổ đề 1.7.6 Vì p tối tiểu R  / qˆ )  s Do Att R A nên qˆ  R  p Vì A tựa khơng trộn lẫn nên dim( R đó, dim( R / p)  s Suy dim( R / p)  s Vậy A đẳng chiều Tiếp theo, cho phần hệ tham số (x1, , xr) A, ta chứng minh đẳng thức dim( R / Ann R (0 :A ( x1, , xr ) R))  N - dim(0 :A ( x1, , xr ) R) = s – r cách quy nạp theo r Cho r = đặt x = x1 Lấy p  V(Ann R A) cho dim( R / p)  s Khi đó, theo Bổ đề 1.7.5 ta suy p  Att R A Do đó, theo Bổ đề 1.7.6 tồn 20 pˆ  Att  A cho p  pˆ  R Vì A tựa không trộn lẫn nên R /p  / Ann (0 : x))  s 1 nên ta suy ˆ )  s Theo Nhận xét 1.7.8, dim( R dim( R  A R  ) Do xpˆ xp Suy pˆ  Rad(Ann  (0 :A x))  Rad(Ann  A  xR R R x phần tử tham số vành địa phương R / Ann R A , tức dim( R / (Ann R A  xR))  s  Do đó, dim( R / Ann R (0:A x))  s 1 Theo Bổ đề 1.7.7(i), dim( R / Ann R (0 :A x))  N - dim(0 :A x)  s  Suy ta có đẳng thức với r = Cho r > Đặt B = :A ( x1, , xr 1 ) R Theo giả thiết quy nạp ta có, N - dim B  dim( R / Ann R B) = s – r + Vì B tựa khơng trộn lẫn theo Bổ đề 2.1.8 xr phần tử tham số B nên áp dụng kết cho trường hợp r = ta nhận N - dim(0 :B xr )  dim( R / Ann R (0 :B xr )) = s – r Vậy đẳng thức chứng minh Bây giờ, ta có I iđêan R Đặt N - dim(0 :A I ) = s – r Theo Mệnh đề 1.6.3, tồn phần hệ tham số ( x1, , xr ) A I Vì theo đẳng thức Bổ đề 1.7.7 (i) ta có s – r = N - dim(0 :A ( x1, , xr ) R) = dim( R / Ann R (0 :A ( x1, , xr ) R )) ≥ dim( R / Ann R (0 :A I )) ≥ N - dim(0 :A I ) = s – r Vậy Bổ đề chứng minh Định lý sau kết tiết  21 2.1.11 Định lý Giả sử A tựa khơng trộn lẫn Nếu A thỏa mãn tính chất (  )  / Ann A) ) vành R / Ann R A catenary dim( R / Ann R A) = dim( R  R Chứng minh Đặt N - dim A = s Do A thỏa mãn tính chất (  ) nên theo Bổ đề 1.7.7(ii) Nhận xét 1.7.8, ta có dim( R / Ann R A)  N - dim A =  / Ann A) = s dim( R  R Mặt khác A tựa không trộn lẫn dim( R / Ann R A)  N - dim A nên theo Bổ đề 2.1.10, ta có A đẳng chiều Từ Bổ đề 1.7.5 ta suy vành R / Ann R A đẳng chiều Do đó, theo Định lý 2.1.4 để chứng minh R / Ann R A catenary ta cần dim( R / p)  ht(p / Ann R A)  s với iđêan nguyên tố p  Ann R A Lấy p  V(Ann R A) Đặt N - dim(0 :A p)  s  k Do Mệnh đề 1.6.3, tồn phần hệ tham số ( x1, , xk ) A chứa p Đặt J0 = Ji = ( x1, , xi ) R với i = 1, ,k Với i cho trước, theo Bổ đề 2.1.8 ta có :A J i tựa không trộn lẫn Hơn nữa, theo Bổ đề 2.1.10 dim( R / Ann R (0 :A J i ))  N - dim(0:A J i ) = s – i Vì theo Bổ đề 2.1.10, :A J i đẳng chiều Vì A thỏa tính chất (  ) nên p  Ann R (0 :A p) Suy p  Ann R (0 :A J k ) Theo Bổ đề 1.7.5, ta có p  pk với pk  Att R (0 :A J k ) Tiếp tục lập luận trên, ta nhận dãy iđêan nguyên tố p  pk  pk 1   p0  Ann R A pi  Att R (0 :A J i ) với i = 0, ,k Vì :A J i đẳng chiều nên dim( R / pi )  s  i Do đó, pi  pi1 với i Suy ht(p / Ann R A)  k dim( R / p)  ht(p / Ann R A)  s  22 Giả thiết tựa không trộn lẫn A Định lý 2.1.11 không bỏ Các ví dụ sau điều 2.1.12 Ví dụ Tồn R-môđun Artin A không tựa khơng trộn lẫn cho A thỏa mãn tính chất (  ), vành R / Ann R A không catenary Chứng minh Giả sử (R, m ) miền ngun Noether địa phương khơng catenary có chiều d  (Chú ý năm 1978, Brodmann chứng minh miền nguyên tồn tại) Kí hiệu E(R, m ) bao nội xạ trường thặng dư R/ m Đặt A = E(R/ m ) Khi A R-mơđun Artin Theo [6, Bổ đề 4.4], A thỏa mãn tính chất (  ) Do đó, dim(R/ AnnR A)=N-dimA theo Nhận xét 1.7.8 Vì R miền nguyên theo [10, Định lý 2.6], ta có Att R A  AssR  0 Do đó, theo Bổ đề 1.7.5 ta có Ann R A  Vì vành R / Ann R A  R không catenary Ta chứng minh A không tựa không trộn lẫn Chú ý có đẳng cấu  -mơđun E ( R / m )  E ( R /m  ) Do theo [10, Định lý 2.6], ta có R  Suy Ann A  Ass( R  )  Att A Att  A  Ass R   R R R Vì R khơng catenary nên R khơng catenary phổ dụng Do đó,  khơng đẳng chiều Vì tồn theo Định lý 2.1.6 ta suy R   Att A cho dim( R  / pˆ )  dim R   dim( R  / Ann A) Vậy pˆ  Ass R   R R  A không tựa khơng trộn lẫn Ví dụ sau cho thấy chiều ngược lại Định lý 2.1.11 không 2.1.13 Ví dụ Tồn R-mơđun Artin A khơng tựa không trộn lẫn cho  / Ann A) , A không R / Ann R A catenary dim( R / Ann R A)  dim( R  R thỏa mãn tính chất (  ) Chứng minh Gọi R miền nguyên địa phương Noether có chiều  miền nguyên xây dựng Brodmann Rotthaus năm 1983 cho R 23  / pR  ) cho R / p trộn lẫn với iđêan p  SpecR Chọn pˆ  Ass( R  / pˆ )  dim( R / p) dim( R /p ˆ)  Trong chứng minh Ví dụ 2.1.9, ta có dim( R / p)  , dim( R pˆ  Att  ( H 1m ( R / p)) Chú ý thành phần pˆ -thứ cấp H m1 ( R / p) R không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối tiểu H 1m ( R / p) (xem [7]) Gọi  -mơđun Khi B thành phần pˆ -thứ cấp H 1m ( R / p) xét R Att Rˆ B  pˆ  kéo p1  Ass( R / ( p  xR )) dim( R / yR )  theo Att R B  p Lấy cho dim( R / p1 )  Lấy Chọn q  Ass( R / yR ) cho x m \ p chọn y  m \ p1 Khi dim( R / q)  Đặt  -môđun H ( R / q)  H ( R  / qR  ) nên C  H m2 ( R / q) Vì ta có đẳng cấu R  m mR theo Định lý 1.8.4, ta suy Att RC  q  / qR  ) | dim( R  / qˆ )  Att R C  qˆ  Ass( R   Đặt A  B  C Khi A R-mơđun Artin, Att R A  p, q  / qR  ) | dim( R  / qˆ )  2} Att  A  {pˆ}  {qˆ  Ass( R R Vì y q \ p1 p  p1 nên ta có q  p Do đó, qˆ  pˆ với qˆ  Att  C Do R đó, pˆ  Att  A Vậy A không tựa không trộn lẫn R  miền nguyên nên R catenary phổ dụng theo Định lý 2.1.6 Do đó, Vì R vành R / Ann R A catenary Hơn nữa, theo Bổ đề 1.7.5 ta có  / Ann A)  dim( R / Ann A)  dim( R  R R Cuối ta chứng minh A không thỏa mãn tính chất (  ) 24 Chú ý p1  p  Ann R A Vì y q \ p1 nên ta suy p1  q Chú ý Att RC  q dim( R / p1 )  Vì thế, dim( R / Ann R (0 :C p1 ))  dim( R / ( p1  Ann R C )) = dim( R / (p1  q)) = Do Ann R (0 :C p1 ) m -nguyên sơ Ann R (0 :C p1 )  p1 Từ dãy khớp x  R / p  R / p  R / (p  xR)  , ta có dãy khớp cảm sinh x  H m0 ( R / ( p  xR))  H m1 ( R / p)  H m1 ( R / p) Suy 0: i ( R / p) Hm x  H m0 ( R / (p  xR)) : i ( R / p) Hm x có độ dài hữu hạn Vì xp1 nên 0:B p1 R-mơđun có độ dài hữu hạn Suy Ann R (0:B p1)  p1 Vì thế, Ann R (0:A p1 )  Ann R (0:B p1)  Ann R (0:C p1)  p1 Vậy A khơng thỏa mãn tính chất (  )  2.2 Mơđun đối đồng điều địa phương tính catenary vành sở Mục đích tiết trình bày kết thứ hai [9] i điều kiện cần đủ để môđun đối đồng điều địa phương H m  M  với giá iđêan cực đại thỏa mãn tính chất (  ) thơng qua tính catenary vành sở i chiều môđun H m  M  (xem Định lý 2.2.4) Trước hết chúng tơi trình bày số Bổ đề cần dùng cho chứng minh kết 2.2.1 Bổ đề Giả sử N R-mơđun biễu diễn Khi điều kiện sau N  Att R N  25 Kết sau đưa chứng minh năm 1975 R Y Sharp gọi tính chất dịch chuyển địa phương hóa tổng quát yếu 2.2.2 Định lý Cho p  SuppM cho dim R / p  t Giả sử i  số nguyên q iđêan nguyên tố với q  p cho qRp  Att R ( H pi R ( M p )) p p Khi q  Att R ( H mi t ( M )) Cho i  số nguyên Năm 2002, Brodmann Sharp định nghĩa giả giá thứ i M, kí hiệu PsuppiR M sau   R / p) PsuppiR M  p  SpecR | H piRdim( (M p )  p Kết sau chứng minh [8, Định lý 3.1] 2.2.3 Bổ đề Cho i  số nguyên Khi H mi (M ) thỏa tính chất (  ) PsuppiR M  V(Ann R ( H mi ( M ))) Định lý sau kết tiết Đây kết thứ hai [9] 2.2.4 Định lý Giả sử H mi (M ) tựa không trộn lẫn Các điều kiện sau tương đương: (i) H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (  ); (ii) Vành R / Ann R ( H mi ( M )) catenary  / Ann ( H i ( M ))) dim( R / Ann R ( H mi ( M )))  dim( R  m R Chứng minh (i)  (ii): Được suy từ Định lý 2.1.11 (ii)  (i): Theo Bổ đề 2.2.3, ta cần chứng minh Psuppi M  V(Ann R ( H mi ( M ))) 26 R / p) Lấy p  PsuppiR M Khi H pi Rdim( ( M p )  Theo Bổ đề 2.2.1, tồn p iđêan nguyên tố gắn kết qRp  Att R ( H pi Rdim( R / p) ( M p )) với iđêan nguyên tố p p q  p Suy q  Att R ( H mi ( M )) theo Định lý 2.2.2 Do đó, ta có p  q  Ann R ( H mi ( M )) Vì PsuppiR M  V(Ann R ( H mi ( M ))) Ngược lại, lấy p  V(Ann R ( H mi ( M ))) Đặt N - dim H mi ( M )  k Khi  / Ann ( H i ( M )))  k theo Nhận xét 1.7.8, dim( R  m theo giả thiết R dim( R / Ann R ( H mi (M )))  k Từ Bổ đề 1.7.5, ta có pq với q  Att R ( H mi ( M )) Vì H mi ( M ) đẳng chiều theo Bổ đề 2.1.10, nên ta dim( R / q)  k có Vì q  Att R ( H mi (M )) nên tồn qˆ  Att  ( H mi ( M )) cho qˆ  R  q Do H mi (M ) tựa không trộn lẫn R  / qˆ )  k Chú ý qˆ  V(Ann ( H i ( M ))) theo Bổ đề 1.7.5 Do nên dim( R  m R   ) Suy H i dim( R /qˆ ) ( M  qˆ )  Vì đồng cấu tự nhiên R  R  qˆ qˆ  Psuppi ( M  q qˆ R qˆ đồng cấu phẳng nên theo Định lý chuyển sở phẳng (Định lý 1.8.5), ta có   qˆ )  H i dim( R /q) ( M )  R  qˆ H ˆi dim( R /qˆ ) (M qRq q q Rqˆ Do Hqi Rdim( R /q) ( M q )  Att R ( HqiRdim R /q ( M q ))  Theo Định lý q q q 2.2.2, ta suy R / q ht p/q Att Rp ( H pi Rdim ( M p ))  p Do R / q ht p/ q H pi Rdim ( M p )  Vì p R / Ann R (H mi (M )) catenary p  q  Ann R ( H mi ( M )) , nên Mệnh đề 2.1.7 ta có i  dim R / q  ht p / q  i  dim R / p 27 Vì thế, H pi Rdim R/ p ( M p )  , tức p  PsuppiR ( M ) Suy p V(Ann R ( H mi ( M )))  PsuppiR M Như ta chứng minh V(Ann R H mi ( M ))  PsuppiR M hay H mi (M ) thỏa mãn điều kiện (  ) Vậy Định lý chứng minh  28 KẾT LUẬN Nội dung Luận văn trình bày lại kết báo [9] L T Nhàn T N An Cụ thể chúng tơi hồn thành việc sau Tìm hiểu số tính chất mơđun Arin tựa khơng trộn lẫn Trình bày chứng minh kết mối liên hệ tính chất (  ) môđun Artin tựa không trộn lẫn A, tính catenary vành R / Ann R A chiều mơđun A (Định lý 2.1.11) Trình bày chứng minh kết điều kiện cần đủ để môđun đối i đồng điều địa phương H m  M  với giá iđêan cực đại thỏa mãn tính chất (  ) thơng qua tính catenary vành sở chiều môđun H mi  M  (Định lý 2.2.4) 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội [2] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất Đại học sư phạm, Hà Nội Tiếng Anh [3] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company [4] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [5] N T Cuong, N T Dung, L T Nhan (2007), On the top local cohomology modules and the catenary of the unmixed support of a finitely generated module, Comm Algebra (5) 35, 1691 - 1701 [6] N T Cuong and L T Nhan (2002), On Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J Math., (2) 30, 121 – 130 [7] I G Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica 11, 23-43 [8] L T Nhan and T N An (2009), On the unmixedness and universal catenaritciy of local rings and local cohomology modules, J Algebra, 321, 303-311 [9] L T Nhan and T N An (2010), On the catenaritciy of Noetherian local rings and quasi unmixed Artinian modules, Comm Algebra, 38, 3728-3736 30 [10] R Y Sharp (1975), “Secondary representations for injective modules over commutative Noetherian, local rings”, Edinburgh Math Soc., 20, 143151 [11] H Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press ... CHƯƠNG MƠĐUN ARTIN TỰA KHƠNG TRỘN LẪN VÀ TÍNH CATENARY CỦA VÀNH CƠ SỞ Trong chương giả thiết (R, m ) vành giao hoán địa phương Noether với iđêan tối đại m ; A R -môđun Artin, M R -môđun hữu hạn... Artin tựa không trộn lẫn tính catenary vành sở Mục đích tiết trình bày chứng minh kết mối liên hệ tính chất (  ) mơđun Artin tựa khơng trộn lẫn A, tính catenary vành R / Ann R A chiều môđun A Đây... sau Tìm hiểu số tính chất môđun Arin tựa không trộn lẫn Trình bày chứng minh kết mối liên hệ tính chất (  ) mơđun Artin tựa khơng trộn lẫn A, tính catenary vành R / Ann R A chiều môđun A (Định