môđun artin tựa không trộn lẫn và tính catenary của vành cơ sở

Trang 1

MỞ ĐÀU

Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan tối đại duy

nhất là m; 4 là một R®-mơđun Artin, Ä⁄ là một R#-môđun hữu hạn sinh với

chiều Krull dim M = d

Năm 2002, N T Cường và L T Nhàn [6] đã nghiên cứu tính chất sau đây đối với một môđun Artin 4:

Annz(0 :¿p)=p với mỗi iđêan nguyên tố p 5 Anns44

và họ gọi tính chất này là tính chat (*) Tinh chất (+) luôn đúng khi vành cơ sở là đầy đủ theo tôpô m-adic Khi vành # không đầy đủ, họ đã chỉ ra ví dụ về sự tồn tại môđun Artin không thỏa mãn tính chất (+ ) Cũng trong bài báo nảy họ đã chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ để một môđun Artin 4 thỏa mãn tính chất (*) là chiều Noether của 4 bằng chiều Krull của 4 Tính chất này ngày càng được quan tâm trong việc nghiên cứu môđun Artin, môđun hữu han sinh và cầu trúc của vành cơ sở

Năm 2007, N T Cường, N T Dung và L T Nhàn [5] đã chỉ ra mối

liên hệ giữa tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá là iđêan cực đại và tính catenary của vành cơ sở: Môđun đối đồng điều

địa phương cấp cao nhất #„ (Ä⁄) thỏa mãn tính chất (*) khi và chỉ khi vành

R/ Anng( HẠ (M)) là catenary Phát triển kết quả này , L T Nhàn và T.N An [9] đã nghiên cứu một lớp môđun rộng hơn, lớp môđun Artin tựa không trộn

lẫn Một R-môđun Artin 4 được gọi là tựa không trộn lẫn nếu dim#/p = dim#/ Ann, 4 với mọi peminAtt, 4 Trong [9], họ đã chỉ ra mối liên hệ

Trang 2

khơng trộn lẫn Ngồi ra cũng trong bài báo này L T Nhàn và T.N An đã đưa ra điều kiện cần và đủ đề môđun đối đồng điều địa phương 77; (Ä) với giá là iđêan cực đại thỏa mãn tính chất (*) thông qua tính catenary của vành

cơ sở và chiều của môđun #?„ (A⁄) Khi đó kết quả chính trong [5] trở thành hệ quả của kết quả này

Nội dung chính của luận văn là trình bày lại các kết quả trong bài báo

[9] của L T Nhàn và T N An

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương

Chương 1 KIEN THUC CHUAN BI

Trong chương nay, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở của Đại số

giao hoán nhăm làm cơ sở cho việc trình bày Chương 2 như: Iđêan nguyên tố, iđêan tối đại, iđêan nguyên tố liên kết, chiều Krull của vành và mơđun, chiều Noether, Ngồi ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh để nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần Sau

Chương 2 MÔĐUN ARTIN TỰA KHÔNG TRỘN LÀN VÀ TÍNH

CATENARY CỦA VÀNH CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả trong bài báo [9] của Lê Thanh Nhàn và Trần Nguyên An Cụ thể là chúng tôi sẽ trình bày những vấn đề sau

2.1 Môđun Artin tựa không trộn lẫn và tính catenary của vành cơ sở 2.2 Môẩun đối đồng điều địa phương và tính catenary của vành cơ sở

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình

của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng

Trang 3

tan tinh, chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực

hiện luận văn

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo thuộc Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, khoa Toán học, phòng Đào tạo Sau Đại học — Trường Đại hoc Vinh — đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn khoa học

Tác giả xin cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn đã giúp đỡ, tạo điều kiện

thuận lợi cho mỗi học viên chúng tôi trong học tập và nghiên cứu theo chương

trình liên kết đào tạo sau đại học giữa hai Trường Đại học Vĩnh và Đại học

Sai Gon

Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong được sự chỉ bảo của quý thầy, cô và các bạn bè học viên

Trang 4

CHƯƠNG 1

KIEN THUC CHUAN BI

Chương này sẽ trình bày một số khái niệm cơ sở của Đại số giao hoán như: lđêan nguyên tổ và iđêan tối đại, iđêan nguyên tổ liên kết của môđun, phổ và giá của môđun, vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic, biểu diễn

thứ cấp, chiều Krull của vành và môđun, chiều Noether và hệ tham số của

môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, đối ngẫu Matlis, đồng cấu phẳng và một số bỏ đề sử dụng chứng minh ở Chương 2

1.1 Iđêan nguyên tố và iđêan tối đại

Iđêan p của vành # được gọi là /đêan nguyên tổ nếu p # R và Va.beR mà abep thiaep hoac bep

lđêan m của vành # được gọi là idéan đối đại nễu m # R và m không

thực sự chứa trong một iđêan Q # R của #, nghĩa là nếu tồn tại iđêan Ø của vành # mà m Øc # thì Ó = m hoặc Ó = #

1.2 Phổ và giá của môđun

1.2.1 Phố của vành Kí hiệu SpecRR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành ® Khi đó SpecR được gọi là phổ của vành R

Với mỗi iđêan 7 của 8 ta kí hiệu VỢ)={pSpecR|p=1}

1.2.2 Giá của môđun

Tập con SuppÄ⁄ ={peSpeck|M, #0} của Spec# được gọi là giá của môđun M

Với mỗi x e M ta kí hiệu Ann,(x)={ae R|ax =0}

Trang 5

Ta có Ann,(x) va Ann,(1⁄) (hoặc Ann(x) và Ann(M) nếu không đề ý đến vành #) là những iđêan của vành #, Amn,(x)được gọi là linh hóa we

của môđun 4⁄ Hơn nữa, nếu Ä⁄ là R-môđun hữu hạn sinh thì

SuppM = V(Ann,M)={peSpecR|Ann,M cp} 1.3 Idéan nguyén t6 lién két

1.3.1 Định nghĩa Cho A⁄ là một R-môđun Ta gọi iđêan nguyên tố p của R là iđêan nguyên tô liên kết của M nếu tồn tại phần tử x e M, x # 0 sao cho

p=(0:, x)=Ann,(x)

Tap cac idéan nguyén tố liên kết của M được kí hiệu là AssgM (hoặc

Ass1⁄ nếu không đề ý đến vành ®)

AssM = {pe SpecR|p = Ann(x) voix € M}

1.3.2 Tính chất (ï) p là iđêan nguyên tố liên kết cua M khi va chỉ khi tồn tại mot médun con Q cua M sao cho O=R/p

() Gọi 3 = {Ann(+x)|xe A⁄Z} Khi đó nếu p là phan tir t6i dai cua thì p là iđêan nguyên tó liên kết của Ä

(iii) R 14 vanh Noether va M là Đ-mơđun Khi đó, AssM⁄ # & khi va chi khiM #0 Hon nita, néu M 1a R-médun Noether thi tập AssM là tập hữu hạn

(iv) Cho M 1a R-médun là môđun con cua M thi AssN Cc AssM

(v) Cho M là R-médun Khi 46, AssM cSuppM Néu peSuppM va p t6i tiéu trong Supp theo quan hé bao ham thi pe AssM

1.4 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m -adic

Trang 6

Cho (,m) là một vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất m Ta xét

R như một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mí, với / = 0,1,2 Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tir tuy y re R gdm cac lop ghép r+m! voit = 0,1,2 Khi đó vành đẩy đủ theo tôpô m -adic của R ki hiệu bởi R được định nghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một đấy Cawuechy trong ® là một dãy (z„) các phần tử của # sao cho với mọi / > 0, tồn tại số tự nhiên zy để z„—r„ em với mọi

h, m >ñnạ

Day („) được gọi là hội về dãy không nếu với mọi / > 0 tổn tại số tự

nhiên ø để 7+—=z„ em” với mọi 7 > nN

Hai dãy Cauchy (z„) và (s„) được gọi là hai dãy /zơng đương, kí hiệu là

(7, ) ~ (s„) nếu dãy (r, -s,) là dãy không Khi đó quan hệ ~ trên tập các dãy

Cauchy là quan hệ tương đương Ta ký hiệu R là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy

Chú ý rằng néu (7,) va (s,) là các day Cauchy thi cdc day (7,+5,), (7,5, ) cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy (x, +s,),

r,5,) là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương

đương của các dãy (¡„) và (s„) tức là nếu (z„)~(r,) và (s,)~(s;) thi

(,+s,)~(r;+s„) và (r„s„)~(r;s,) Vì thế R được trang bị hai phép toán

Trang 7

ROR

rei

trong đó (z) là dãy mà tắt cả các phần tử của nó đều là z

Định nghĩa tương tự cho môđun 3⁄ với cơ sở lân cận của phần tử 0 là

{m'M} Khi đó M là một #-môđun với phép nhân vô hướng như sau: cho

^

a =(a,,a,, )€ R, X=(X.,X;, )€ M Ta có ax =(a,X,,a,X,, )eM 1.5 Chiều Krull của vành và mơđun

1.5.1 Định nghĩa Cho ®# là vành giao hoán Một dãy các iđêan nguyên tố của R: PạP, D; Đ P„ được gọi là một xích nguyên 16 có độ dài n

() Cho peSpec# Cận trên của tất ca các độ dài của các xích nguyên tố với pạ=p được gọi là đồ cao của p, kí hiệu là ht(p) Nghĩa là,

ht(p) = sup {độ cao xích nguyên tố với Dạ =P}-

Cho 7 là một iđêan của # khi đó ta định nghĩa

ht(7) = inf{ht(p) |pSpecR,p 7}

(ii) Can trén của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong # được

gọi là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dimR Ta cé

dim R =sup {ht(p) |pSpeck}

(iii) Cho M 1a mét R-médun Khi do dim(R/Ann,M) duge gọi là chiều Krull của médun M, ki hiéu 1a dim, M (hoac dim M néu ta khong dé y

đến vanh R)

Trang 8

1.5.2 Định ly Cho R la vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó các mệnh đè sau tương đương:

(i) M là R-môäun có độ dài hữu hạn;

(ii) R/Ann,M la vanh Artin;

(iii) dim M = 0

1.6 Chiều Noether và hệ tham sé cia médun Artin

Cho A la mot R-médun Artin Khi đó chiều Krull của vành ÑRÑ/AnngA4 và

do đó là chiều Krull của R-môđun 4 được xác định như sau: dim ®/Anng4 =max {dim R/p: p € Attg(A)}

Nam 1975, R N Robert đã giới thiệu một khái niệm chiều khác cho môđun

Artin mà sau đó vào năm 1990 được R Kirby đổi tên thành chiều Noether đề

tránh nhằm lẫn với khái niệm chiều Krull đã quen biết như đã nói trên đây 1.6.1 Định nghĩa Cho ÄZ là R-môđun Chiểu Noeiher của M, kí hiệu bởi N-

dimM, dugc định nghĩa như sau : Khi Ä⁄ = 0 ta đặt N-dim⁄ = —7 Cho một

số nguyên đ>0 ta đặt N -dimA⁄ = đ nếu N-dimM/< đ là sai và với mỗi

dãy tăng các môđun con Ä⁄¿ c M, c M, c của M, ton tại một số tự nhiên øạ

sao cho N-dim(M, ,/M,„)< d với mọi ứ >ứ

Nhu vay N-dim M = 0 khi và chỉ khi Ä⁄ #0 và A⁄ là Noether

1.6.2 Bỗ đề Véu 40 thì hàm độ dài ((0:,m") là một đa thức theo n khi n

đủ lớn (viết tắt n >0) và

N-dim, 4= deg/(0:, m")= inf{¿|3x,, x, em:/(0:„ (x, ,x,)) <œ}

Từ Bồ đề trên ta có khái niệm hệ tham số cho môđun Artin như sau:

Hệ (5-5 %,) gồm r phan tu cua m, tacd

Trang 9

Hơn nữa nếu N-dim, 4=s thì tồn tại một hệ (x, x,) gồm s phần tử của m

sao cho (0:,(x,, x,)/)<œ Theo Tang và Zakeri năm 1994, hệ đó được gọi là hệ tham số của 4 Một hệ (x, ,x,) VỚI £<s, các phần tử của m được gọi là một phan hệ tham sé cha A néu ta c6 thé bé sung thém cac phan tử X,.¡› „x, em sao cho (x,, ,x,) là hệ tham số của 4 Một phần tử xem được

gọi là phẩn tử tham số của 4 nếu N-đìm,(0:„ x)=N-dim, 4-l

Chú ý rằng 4 có cấu trúc tự nhiên như một -môđun Với cấu trúc này, một tập con của 4 là một R-môđun con nếu và chỉ nếu nó là R-médun con

của 44 Do đó, 4 là R-médun Artin va N-dim, A= N-dim, A Vi thé không

có bắt cứ sự nhằm lẫn nảo, ta có thể viết N-dim 4 thay cho N-dim, 4 hoặc

N-dim 4 R

1.6.3 Ménh dé Cho I la idéan của R sao cho

N-dim,(0:, 7) =N-dim, A-r

Khi đó tần tại một phan hệ tham số của A trong I co dé dai r, va moi phan hé

tham số của A trong I có độ dài r đều là phân hệ tham số tối đại cia A trong

1

1.7 Biểu diễn thứ cấp

Trong mục này ta trình bày khái niệm biểu diễn thứ cấp theo thuật ngữ cua I G Macdonal

1.7.1 Dinh nghĩa (¡) R-môđun 40 được goi 1a thi cấp nếu với mọi reR,

phép nhân bởi z trên 4 hoặc là toàn cấu hoặc là lũy linh Trong trường hợp này Rad(Ann,4) = p là iđêan nguyên tố và ta gọi 4 là p-thứ cấp

Trang 10

10

hoặc 4 có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói 4 là biểu diễn được Biêu diễn thứ cấp này được gọi là /ới tiểu nếu các iđêan nguyên tố p, là đôi một phân biệt và không có hạng tử 4, nào thừa với mọi ¡ =/, ,n

1.7.2 Nhận xét (¡) Khái niệm môđun con nguyên sơ theo một nghĩa nào đó đối ngẫu với khái niệm môđun con thứ cấp

(ii) Néu M, va M> là các môđun con p-thứ cấp của M thì M, + M; cũng là môđun con p-thứ cấp của M Vì thế mọi biểu diễn thứ cấp của A⁄ đều có thể quy về một biểu diễn tối tiêu

1.7.3 Mệnh đề Cho 4= A,+ +A,, trong đó 4, là p,-thit cap, i = 1,2, n

là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của R-môđun A Khi đó tập {p, Ð,} là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A

Tập {p, P,} xác định như trên được gọi là tập cdc idéan nguyên lô gan két cia A, va ki hiéu boi Att, A Các hạng tử 4,, ¡ = 7,2, ,m được gọi là thành phân thứ cấp cô lập Chú ý rằng các thành phần thứ cấp tối tiểu của 4

không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối tiêu của 4

1.7.4 Định lý Cho M là R-môấun Artin Khi đó M có biểu diễn thứ cấp tối

tiểu

1.7.5 Bỗ đề Tap tất cả các phân tử tối tiểu của Attz4 chính là tập các phân tử tối tiểu của V(Ann, A) Đặc biệt

dim(# / Ann, A)=max {dim(R/p)|pe Att, 4}

1.7.6 Bỗ đề Att,A={POR|pe Att, A} Tính chất sau đây đối với một môđun Artin 4:

Trang 11

11

được đưa ra và nghiên cứu bởi N T Cường và L T Nhàn [6] Họ gọi tính chất này là tính chất (*) Tính chất (*) luôn đúng khi vành cơ sở là đầy đủ theo tôpô m-adic

1.7.7 Bỗ đề Phát biểu sau đây là đúng: (i) dim(R/ Ann, A)2N-dim, 4;

đi) Nếu A thỏa tính chat (*) thi dim(R/Ann.4)=N-dim, 4 Chung minh (i) Gia sts = dim(R/ Ann, A) (1)

Néu s =0 thi 4#0 và 4 là Noether Suy ra N-dim, 4 =0

Cho s>0, do đó tổn tại xem sao cho xế p với mọi peAtt,4 mà

dim(#/p)=s Theo Bồ đề 1.7.5, dim(R/Amn,.(0:, x))<s—1

Do đó, theo (1) ta có N-dim,(0:,x)<s—l Theo Bổ để 1.6.2, ta có N-dim, 4<s

(ii) Giả sử N-dim, 4=s Lấy (x,, x,) là một hệ tham số của 4 Đặt 1=(x, ,x,)R Suy ra #„(0:,7)<œ Do đó dim(R/ Ann,(0:„ 7))= 0

Thật vậy, Rad(Ann,(0:,7)) Rad(/+ Ann,4) Vì 4 thỏa mãn tính

chất (*) nên Ann, (0:,/)cAnn,(0:,p)= p với mọi iđêan nguyên tố

p2/+Ann,A4 Do dé Rad(Ann,(0:, /))=Rad(/ + Ann, A) Vi vay

O=dim(R/ Ann ,(0:, /))=dim(R/ (7+ Ann, 4)) 2 dim(R/ Ann, A)—s

Do do dim(R/ Ann, A)<s Suy ra dim(R/ Ann, A)<N-dim, A ma do (i) ta có dim(R/ Ann, A)2N-dim, 4 Vay dim(R/ Ann, 4)=N-dim, A n 1.7.8 Nhận xét Chú ý với bất kỳ -môđun Artin 4 nào thỏa mãn tính chất (*) Do đó, theo Bổ đề 1.77 và Bổ đề 1.75 ta có, N-dim, 4 =

Trang 12

12

N-dim 4= dim(ÂÑ/ Ann, 4)= max { dim(R /) : pe Att, 4}

Như vậy nếu 40 thỏa mãn tính chat (*) thi N-dim4 = deg(¢,(0:, 4’)

= inf{>0:Sx,, ,x, em: (0: (xị, x,)) < œ}

=dim#/Ann,4

= max {dim(R/p) | pe Att, 4} trong đó q là một iđêan m -nguyên sơ của #

1.7.9 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương:

()A thỏa mãn tính chat (* );

(ii) V(Anng A) = {POR| Pe V(Ann, A)} 1.8 Môđun đối đồng điều địa phương

1.8.1 Định nghĩa Giả thiết R là vành Noether địa phương, m là iđêan tối đại

duy nhat cia R va M 14 R-médun hữu hạn sinh với chiều Krull dimM = d

Q) Đối đồng điều địa phương lần đầu tiên được định nghĩa bởi A

Grothendick Cho 7 là một iđêan của ® Với mỗi R-môđun M, đặt

T,()= U(0:„ I")=|xeM |SneN,xI" =0} neN

Ta có I,(M) là một médun con ca M V6i moi R-đồng cấu /: Mí —>N, ta

có ƒ(ŒT,(M))c<T,(W) Do đó tồn tại

T,():T,(M)—>T,(N)

xÐ>T,()@)= /),VxeT,(M)

Khi đó E, là một hàm tử cộng tính, hiệp biến, khớp trái từ phạm trù các R-

Trang 13

13

Với mỗi số tự nhiên ¿, hàm tử dẫn xuất phải thứ ¡ của T, được kí hiệu

là H/ và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ ¡ với giá là 7

Với mỗi R-môđun Ä⁄, ta kí hiệu Hi (M) la ‘anh’ cua médun M qua tac

động bởi hàm tử 77/ Khi đó, 77/(M) được gọi là médun doi đồng điều địa phương thứ ¡ của môđun M với giá là J

(ii) Nguoi ta gọi H/(M) (với dimM = d) 1a médun doi đồng điều địa phương cấp cao nhất của môđun M

1.8.2 Định ly (i) Gia sw M la R-médun hitu han sinh Khi do R-médun

Hi (M)la Artin với mọi SỐ tự nhiên ỉ

(1) Giả sử M là R-môãun hữu hạn sinh, khác không, có chiéu Krull dimM = d Khi do, R-médun Hé(M) la Artin

1.8.3 Hé qua Cho peAssM với dimR/p= t Khi đó H.(M)z0 và

peAtt,H! (M)

1.8.4 Dinh ly Gid si M la R-médun hitu han sinh, chiều d Khi đó, H4(M)#0 va AttpH4(M)={peAss,M |dim(R/p)=d}

1.8.5 Dinh lý (Dinh ly chuyển cơ sở phang) Cho R’ la R-đại số phẳng và M là R-môäun Khi đó, ta có R -đẳng cấu Hi(M)®, R'=Hi,(M®, R') voi

mọi ¡>0

1.9 Đối ngẫu Matlis

Trang 14

14

Ta goi ham tir D(—) là đối ngẫu Mailis Giả sử L là R-môđun, kí hiệu ? là ®-mơđun đầy đủ của L theo tôpô m -adic

1.10 Đồng cấu phẳng

Giả sử /:R—>Š là đồng cấu vành Khi đó mỗi S-môđun L đều có cấu trúc là #-môđun, trong đó phép cộng đã có sẵn trong Z và tích vô hướng của phan tử e# với mỗi phần tử me được cho bởi tích ƒ(r)m Cấu trúc R-

médun 7 xác định như thé được gọi là cấu trúc R-môđun xác định bởi //

Một đồng cấu ƒ:R->s được gọi là đông cấu phẳng nếu S xét như R- môđun xác định bởi / là #-môđun phẳng, tức là với mỗi dãy khớp

0—>/'>LrLL">0

các R-môđun, dãy cảm sinh 0> L'@S > L@S > L"@S 0 1a khdp

Một đồng cấu /ý:R->s được gọi là đơng cấu hồn tồn phẳng nêu S xét như #-môđun xác định bởi / là R-môẩun hoàn toàn phẳng, tức là với mỗi dãy 0—>/'>L—L">0 các R-môđun là khớp nếu và chỉ nếu dãy cảm sinh 0—>7®S->L®S—>L"®S-—>0 là khớp

Trang 15

15

CHƯƠNG 2

MODUN ARTIN TUA KHONG TRON LAN

VA TINH CATENARY CUA VANH CO SO

Trong chương này ln giả thiết (®, m) là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan tối đại duy nhất là m; 4 là một R-môđun Artin, Ä⁄ là một

R-môđun hữu hạn sinh với chiéu Krull dim M = d

Năm 2002, N T Cường và L T Nhàn [6] đã nghiên cứu tinh chất sau đây đối với một môđun Artin 4:

Anmnz(0 :¿p)=p với mỗi iđêan nguyên tố p > AnngdA

và họ gọi tính chất này là tính chat (*) Tính chất (* ) luôn đúng khi vành cơ sở là đầy đủ theo tôpô m-adic Khi vành # không đầy đủ, họ đã chỉ ra ví dụ về sự tồn tại môđun Artin không thỏa mãn tính chat (+) Cũng trong bài báo này

họ đã chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ để một môđun Artin 4 thỏa mãn tính

chất (*) là chiều Noether của 4 bằng chiều Krull của 4 Tính chất này ngày càng được quan tâm trong việc nghiên cứu môđun Artin, môđun hữu hạn sinh và cầu trúc của vành cơ sở

Năm 2007, N T Cường, N T Dung và L T Nhàn [5] đã chỉ ra mối liên hệ giữa tính chất (+) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá là iđêan cực đại và tính catenary của vành cơ sở: Môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất #„ (Ä⁄) thỏa mãn tính chất (*) khi và chỉ khi vành

R/ Anna( Hạ (M)) là catenary Phát triển kết quả này , L T Nhàn và T N An

Trang 16

16

chiều của môđun Artin tựa khơng trộn lẫn Ngồi ra cũng trong bài báo này L T Nhàn và T N An đã đưa ra điều kiện cần và đủ để môđun đối đồng điều địa phương H„, (M) với giá là iđêan cực đại thỏa mãn tính chất (+) thông qua tinh catenary của vành cơ sở và chiều của môđun ; (Ä⁄) Khi đó kết quả

chính trong [5] trở thành hệ quả của kết quả này Nội dung chính của chương này là trình bày chỉ tiết các kết quả trong bài báo [9] của L T Nhàn và T N An

2.1 Môđun Artin tựa không trộn lẫn và tính catenary của vành cơ sở Mục đích chính của tiết này là trình bày chứng minh kết quả về mối liên hệ giữa tính chất (* ) của môđun Artin tựa không trộn lẫn 4, tính catenary cua vanh R/Ann,A va chiều của môđun 4 Đây là một trong hai kết quả

chính của [9] (xem Định lý 2.1.11)

Trước hết ta có định nghĩa sau

2.1.1 Định nghĩa Môđun Artin 4 được gọi là đẳng chiều nếu dim(R/p)= dim(R/Ann,4) với mọi iđêan nguyên tố gắn kết pemin Att,A va A được gọi là đø không trộn lẫn nếu -môđun 4 là dang chiều (tức là dim(Â/) =dim(R/ Ann, A) với mọi PpeminAtt,4 Nếu dim(Ê/Ð)= dim(#/ Ann, 4) với mọi ộe Att, A thì ta nói 4 là không trộn lẫn

Trang 17

17

luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa p và q và mọi dãy nguyên tố bão hòa giữa p và q đều có cùng độ dài

2.1.3 Chú ý (¡) Khi ® là vành Noether địa phương thì dim<œ Rõ ràng, nếu dim#<2 thì R là catenary

(ii) Vanh thuong của vành catenary cũng là vành catenary

2.1.4 Định lý Giá sử R là vành địa phương Noether đẳng chiều Khi đó R là vành catenary nếu và chỉ nếu với mỗi iÄêan nguyên tố p của Ñ ta có

ht p+dimR/p=dimR

2.1.5 Định nghĩa Vành R được gọi là cz/enary phổ dụng nêu mỗi R-đại số hữu hạn sinh là catenary

2.1.6 Định lý Giả sử R là tựa không trộn lẫn Khi đó: (i) R la catenary phé dung;

(ii) R, là twa khéng tr6n Ian voi moi ht p+dimR/p=dimR;

(iii) Néu I la iđêan của R thi R/ I la đẳng chiều nếu và chỉ nếu R/I là tựa không trộn lẫn

2.1.7 Mệnh đề Giá sử (R,m) la vành địa phương Noether Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(i) 8 là vành catena1y;

(ii) ht p/q = dimR/q - dimR/p voi moi cp, g,pESpecR;

(ili) ht p, /p, =ht p, /p, +ht p, /p, voi moi p, <P, CP;.P,,P,,P; e Speck 2.1.8 B6 dé Néu A la tua khéng trén lẫn thì 0 :a (xị x,)Ñ cũng là tựa

không trộn lẫn với mọi phần hệ tham số (x), ., X,) cua A

Chứng mỉnh Cho N-dim A=s và (x, x,) là một phần hệ tham số của 4

Trang 18

18

dim(Ê/ Ann, (0 t„ @¡, x,)R)= N-dim(0:, (xị, ,x,)Ñ)=s—r

Lay pemin Att,(0:,(, x,)) Khi đó, theo Nhận xét 1.7.8 ta suy ra

dim(R/)< s —r Cha y rang pd Ann, 4 Do dé f, <P voi p,emin Att, A

nào đó Do 4 là tựa không tron lan nén dim(R/p,)= s

Mặt khác Ðe min V(Ộ, + (x, x,)#) nên ht(/ÿ,) < r [11, Định lý 18] Do đó ta có dim(R/p) =s—ht(p/p,)=s—r Vì thế dim(R/p)= s —r n

Chú ý rằng nếu M là một môđun Noether tựa không trộn lin thi M dang chiều Tuy nhiên điều tương tự không đúng cho các môđun Artin tựa không trộn lẫn Một môđun Artin 4 là tựa không trộn lẫn thì 4 có thể không đẳng chiều Ví dụ sau minh chứng cho điều này

2.1.9 Ví dụ Tồn tại #-môđun Artin 4 tựa không trộn lẫn thì 4 không đăng chiều Thật vậy, cho # là miền nguyên Noether địa phương có chiều là 3 được xây dựng bởi Brodmann và Rotthaus năm 19§3 sao cho ® là một miền nguyên và R/p là trộn lẫn với iđêan nguyên tố peSpecR nao đó Khi đó ton

tai Pe Ass(R/pR) sao cho dim(R/p)<dim(R/p) Vi R 1a mién nguyén nén ta suy ra p40 va P¥M Do do, dim(R/p)=2 va dim(R/P)=1 Lay 04x € p va chon y, z eM sao cho (x, y, z) là một hệ tham số của R Chon ge Ass(R/ (y, z)R) sao cho dim(R/q)=1

Dat A = 8 @C trong đó 8 = H) (R/p) va C = H)(R/q) Khi đó 4 là

mot R-mddun Artin (xem Dinh lý 1.8.2) Theo Hệ quả 1.8.3, peAtt,B Do

Trang 19

19

dim(#/q)=1 nên ta có q Z p Ta chứng minh pz⁄q Thật vậy, nếu pc thì dim (R/q) < dim (R/(x, y, z)R) = 0 Điều này vô lí

Do đó, min Att„4={p, g}.Vi thế 4 là không đẳng chiều Chú ý rằng có

các đắng cấu R-médun H,,(R/p)= H (R/ pR) va H!(R/q)= H’ (R/qR)

Do đó dim(Ê/Â) <1 với moi Ge Att, 4 Do đó 4 là tựa không trộn lẫn n Kết quả dưới đây chỉ ra một điều kiện để một môđun Artin tựa không trộn lẫn là đắng chiều

2.1.10 Bo đề Giá sử A là tựa không trộn lẫn thỏa mãn dim(R/Amn,4)=N-dim4 và I la mét idéan cua R Khi do, A la dang chiéu va dim(R/Ann,(0:, 7))=N-dim(0:, 7)

Chung minh Gia su dim(R/ Ann, A)=N-dim A= s Theo Nhan xét 1.7.8, ta c6 dim(R/ Ann, 4) =s Lay peminAtt,4 Theo Bé dé 1.7.5, dim(#/p)<s

Theo Bổ đề 1.7.6 tồn tai pe Att, sao cho POR=p Khi d6 pq với một Gemin Att, 4 nào đó Do d6, Gr Re Att, theo Bồ đề 1.7.6 Vì p là tối tiểu trong Att,4 nên Ñ#=p Vì 4 là tựa không trộn lẫn nên dim(Â/â)=s Do đó, dim(#/p)>s Suy ra dim(#/p) =s.Vậy 4 là đẳng chiều

Tiếp theo, cho một phần hệ tham số (x¿, x,) của 4, ta chứng minh đăng thức

dim(®#/ Ann.(0:„ (x,, , x„)/)) =N-dim(0: , (xị, , x,„)/)E s—r bằng cách quy nạp theo z-

Cho r = 7 và đặt x = x¿ Lấy pemin V(Ann, 4) sao cho dim(R/p)=s

Trang 20

20

tại ôeminAtt 4 sao cho p=POR Vi 4 1a twa không trộn lẫn nên dim(Ê/B) =s Theo Nhận xét 1.7.8, dim(Â/ Amn;(0:„ x))=~l nên ta suy ra pZRad(Ann , (0 tụ x))=Rad(Ann, 4+ xÂ) Do đó x#Ð và vì thế x£p Suy ra x là phần tử tham số của vành địa phương ®#/Ann,44, tức là

dim(R/(Ann,4+xR))=s—-1 Do d6, dim(R/Ann,(0:, x))<s—1 Theo Bồ đề 1.7.70), dim(R/Amn,(0:„ x))>N-dim(0:„ x) =s—] Suy ra ta có đẳng thức đúng với r = 7 Cho r > 7 Đặt 8 = 0:,(x, x, ,)Ñ Theo giả thiết quy nạp ta có, N-dimZ =dim(R/Ann,8)= s—r + ï

Vì Ø là tựa không trộn lẫn theo Bỏ đề 2.1.8 và x, là phần tử tham số của B nên áp dụng kết quả cho trường hợp z = 7 ta nhận được

N-dim(0:, x,)=dim(R/ Ann, (0:, x,))=s—r Vậy đăng thức đã được chứng minh

Bây giờ, ta có 7 là một iđêan của R Dat N-dim(0:, /)= s — r Theo Mệnh đề 1.6.3, tồn tại một phần hệ tham số (x¡, ,x„) của 4 trong 7 Vì thế theo đẳng thức trên và Bổ đề 1.7.7 (i) ta co

s—r=N-dim(0:, (x,, x,)R)= dim(R/ Ann, (0:, (%,.- %,)R))

2 dim(R/ Ann, (0:, /))

2 N-dim(0:, /)=s—r

Vậy Bồ đề được chứng minh n

Trang 21

21

2.1.11 Định lý Giả sử A là tựa không trộn lẫn Nếu A thỏa mãn tính chất (*) thi vanh R/ Ann, Ala catenary và dim(R/ Ann ,A)= dim(R / Ann 4) ) Ching minh Bat N-dim A = Do A thỏa mãn tính chất (*) nên theo Bồ đề 177) và Nhận xét 1.78, ta có dim(R/Ann,4)=N-dim4= dim(#/ Amn; 4) =s

Mặt khác do 4 là tựa không trộn lẫn và dim(# /Ann,A)=N-dim 4 nén

theo B6 dé 2.1.10, ta cé A la dang chiéu Tir Bé dé 1.7.5 ta suy ra vành R/Ann,4 là đăng chiều Do đó, theo Định lý 2.14 để chứng minh R/Ann,A 1a catenary ta chi cần chỉ ra rằng

dim(R/p)+ht(p/ Ann, 4) =s voi mọi iđêan nguyên 6 p5Amn,4 Lay pe V(Ann, 4) Dat N-dim(0:, p)=s—k Do Ménh dé 1.6.3, tồn tại một phần hệ tham số (x, x,)của 4 chứa trong p Đặt J; = 0 và J, =

(x, x;)# với mọi ¡ = /, ,& Với mỗi ¡ cho trước, theo Bồ dé 2.1.8 ta có

0:„ 7, là tựa không trộn lẫn Hơn nữa, theo Bồ đề 2.1.10

dim(R/ Ann, (0:, J,)) =N-dim(0:, J,)=s—i

Vi thé theo Bồ đề 2.1.10, 0:, 7, là đăng chiều Vì 4 thỏa tính chất (*) nên

p=Ann,(0:, p) Suy ra p> Ann, (0:, J,) Theo Bé dé 1.7.5, ta có pSP,

voi mot p, Emin Att, (0:, J,) nao do

Tiép tục lập luận trén, ta nhan dugc mot day idéan nguyén t6 P2P, DP, ,2 2P, DAnn,A trong dd p,eminAtt,(0:, J,) voi moi 7 =

Trang 22

2

Giả thiết tựa không trộn lẫn của 4 trong Định lý 2.1.11 là không bỏ đi được Các ví dụ sau đây chỉ ra điều này

2.1.12 Ví dụ Tổn tại một R-môđun Artin 4 không là tựa không trộn lẫn sao

cho 4 thỏa mãn tính chất (*), nhưng vành #/ Ann z4 không là catenary Chứng minh Giả sử (R, m)) miền nguyên Noether địa phương không catenary có chiều Z>3 (Chú ý rằng năm 1978, Brodmann đã chứng minh rằng một miền nguyên như vậy luôn tổn tai) Kí hiệu #Z(#, m) là bao nội xạ của trường thang du R/m Dat A = E(R/ m) Khi đó 4 là một R-môđun Artin Theo [6, Bồ đề 4.4], 4 thỏa mãn tính chất (*) Do đó, dim(#/ Anng 4)=N-dim44 theo

Nhận xét 1.7.8 Vì R là miền nguyên theo [10, Định lý 2.6], ta có

Att,.4= AssR ={0} Do đó, theo Bổ để 1.7.5 ta có Ann,4=0 Vì thế vành

R/Ann,4= R là không catenary

Ta chứng minh 4 không là tựa không trộn lẫn Chú ý rằng có đẳng cấu Â-môđun E(R/m)>E(Â/m) Do đó theo [10, Định lý 2.6], ta có Att4 =AssR Suy ra Am; 4 =0 va min Ass(R)= min Att, A

Vi R không là catenary nên # cũng không là catenary phố dụng Do đó, theo Dinh ly 2.1.6 ta suy ra  là không đăng chiều Vì thế tồn tại

peminAssR = min Att 4 sao cho dim(Ê /B) < dim R =dim(R/ Ann, A) Vay

4 không là tựa không trộn lẫn n

Ví dụ sau cho thấy chiều ngược lại của Định lý 2.1.11 là không đúng

2.1.13 Ví dụ Tổn tại R-môđun Artin 4 không là tựa không trộn lẫn sao cho R/Ann,4 là catenary và dim(#/ Ann,.4) = dim(Ê/ Ann, 4) nhưng 4 không thỏa mãn tính chất (*)

Trang 23

23

R/p tron lan voi mét idéan peSpecR nao do Chon pe Ass(R/pR) sao cho dim(R/p)<dim(R/p)

Trong chứng minh của Ví dụ 2.1.9, ta cd dim(R/p)=2, dim(R/p)=1 và ôceminAtt; (1(R/p)) Chú ý rằng thành phần Ô-thứ cấp của 7} (R/p)

không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối tiểu của 77! (#/p) (xem [7]) Gọi Z là thành phần Ð-thứ cấp của H}(R/p) xét như Ê-môđun Khi đó Att,B={p} và kéo theo Att,B={p} Lấy xem\p và chọn p, €Ass(R/(p+xR)) sao cho dim(R/p,)=1 Lay yem\p, Khi đó

dim(R/yR)=2 Chon qeAss(R/yR) sao cho dim(R/q)=2 Đặt

C=H?(R/q) Vì ta có đẳng cấu các R-médun HẠ (R/q)> H2 (R/qÑ) nên theo Dinh ly 1.8.4, ta suy ra Att,C ={q} va

Att,C = {qe Ass(R /qR)|dim(R /q) = 2}

Dat A=BOC Khi do 4 la R-médun Artin, Att,4={p, g} va Att A= {p} U {Ge Ass(R/ QR) | dim(R/q) = 2}

Vì yeq\p, va pcp, nén ta cd gZp Do do, Zp voi moi Ge Att.C Do

d6, pe min Att, A Vay A khong là tựa không trộn lẫn

Vì ? là miền nguyên nên # là catenary phổ dụng theo Định lý 2.1.6 Do đó,

vành ®/Amn,.4 là catenary Hơn nữa, theo Bổ đề 1.7.5 ta có

dim(#/ Ann, 4) =2 và dim(R/ Ann,4)=2

Trang 24

24

Chú ý rằng Pp, >pDAnn,4 Vi yeq\p, nén ta suy ra p, Bq Chu y rằng Att ,C ={q} va dim(R/p,)=1 Vi thé,

dim(R/ Ann, (0: p,)) <dim(R/(p, +Ann,C))= dim(R/(p, +q))= 0

Do đó Ann, (0: p,) 1a m-nguyén so va Ann,(0: P,) # Pị-

Từ dãy khớp

0—>R/p->R/p—> R/(p+xR)—>0, ta có dãy khớp cảm sinh

0—> #19 (R/(p+xR))—> HÌ (R/p)~>H} (R/)

Suy ra 0: „ x= HP (R/(p+xR)) va 0: , x có độ dài hữu hạn Vì

Hin( Rip) Hin ( Rip)

xep, nên 0: p, là R-môđun có độ dài hữu hạn Suy ra Amn,(0:; p,)#p, Vì

thế, Ann,(0:,p,)= Ann,(0:; p,)Ann,(0: P,) #P,-

Vậy 4 không thỏa mãn tính chat (*) n

2.2 Môđun đối đồng điều địa phương và tính catenary của vành cơ sở Mục đích của tiết này là trình bày kết quả chính thứ hai trong [9] về

điều kiện cần và đủ để môđun đối đồng điều địa phương ?f„„(M') với giá là

iđêan cực đại thỏa mãn tính chất (*) thông qua tính catenary của vành cơ sở và chiều của môđun 1) (M) (xem Định lý 2.2.4)

Trang 25

25

Kết quả sau đây được đưa ra và chứng minh năm 1975 bởi R Y Sharp và được gọi là tính chất dịch chuyển địa phương hóa tổng quát yếu

2.2.2 Định ly Cho peSuppM sao cho dìmR/p=t Giá sử ¡>0 là một số

nguyên và q là iđêan nguyên t6 với CĐ sao cho gk, cAtt (Hy (M,)) Khi dé qe Att,(Hi*"(M))

Cho ¡>0 là một số nguyên Năm 2002, Brodmann va Sharp da dinh

nghĩa giả giá thứ ¡ của M, kí hiệu Psupp„M như sau

Psupp/.M = P eSpeck| Hi" (M,) #0}

Kết quả sau đây đã được chứng minh trong [8, Dinh ly 3.1]

2.2.3 B6 đề Cho ¡>0 là một số nguyên Khi đó H-(M) thỏa tính chat (*) nếu và chỉ nếu Psupp',M = V(Ann, (Hi (M)))

Định lý sau đây là kết quả chính của tiết này Đây là kết quả chính thứ hai trong [9]

2.2.4 Định lý Giá sử HỊ (M) tựa không trộn lẫn Các điều kiện sau tương đương:

(i) Hi (M)théa main tinh chat (*);

(ii) Vanh R/ Ann,(H/(M)) la catenary va

dim(#/ Ann,(H;(M))) =dim(Â/ Ann, (Hạ (M)))

Chung minh (i) => (1): Được suy ra từ Định lý 2.1.1 1

Trang 26

26

Lấy pePsuppjA⁄ Khi đó Aya"? (M,) #0 Theo Bổ đề 2.2.1, tồn tại

iđêan nguyên tố gắn kết qk, € Att, » Age fy (M,)) với iđêan nguyên tố

qCP Suy ra qcAtt,(H/(M)) theo Định lý 2.2.2 Do đó, ta có

p>q>Ann,(Hi(M)) Vi vay Psupp.M c V(Ann,(H/ (M)))

Ngược lại, lấy pe V(Ann, (H/ (M))) Dat N-dimH/ (M)=k Khi do theo Nhận xét 1.7.8, dim(R/ Ann ,(H;,(M))) =k va theo giả thiết thi dim(R/Ann,(Hi(M)))=k Ti Bo dé 17.5, ta có pSq với qemin Att,(// (M)) nào đó Vì /j (M) là đăng chiều theo Bé dé 2.1.10, nên ta có dim(R/q)=k Vì qeminAt,(H/(M)) nên tồn tại ẬcminAtt; (Hà (M)) sao cho â+#=q Do // (A7) là tựa không trộn lẫn nên dim(Â/â)=k Chú ý rằng âeV(Ann,(H(M))) theo Bồ đề 1.7.5 Do đó âe Psupp' (7) Suy ra Henk Ma) 0 Vì đồng cấu tự nhiên R, > Ra

là đồng cấu phẳng nên theo Định lý chuyên cơ sở phẳng (Định ly 1.8.5), ta có

Heth (Ma) Hạt 9(M,)@ Ra, Do đó Hyg (M,) #0 va vi thé Att 2.2.2, ta suy ra tg Haig sm 8M )) # Ø Theo Định lý ¡~dim Ñ/q+ht p/q At (Hy (M,))# gD

Do đó Hộ SEUPS(M z0 Vì R/Ann,(Hi(M)) là catenary và

p2>q>Ann, (Hi (M)), nên Ménh dé 2.1.7 ta cd

Trang 27

27

Vi thé, Hom (M,) #0, tức là pe Psuppj.(Ä⁄Z) Suy ra V(Ann,(H¡(M))) cPsupp,M

Như vậy ta đã chứng minh được V(Ann,H;(M))=Psupp,M hay

Trang 28

28

KET LUAN

Nội dung chính của Luận văn là trình bày lại các kết quả trong bài báo [9] của L T Nhàn và T N An Cụ thể chúng tôi đã hoàn thành được những

viéc sau

1 Tim hiéu mét sé tính chat co ban cia médun Arin tyra không trộn lẫn

2 Trình bày chứng minh kết quả về mối liên hệ giữa tính chất (*) của

môđun Artin tựa không trộn lẫn 4, tinh catenary của vành R/Ann,4 và chiều của môđun 4 (Định lý 2.1.11)

3 Trình bày chứng minh kết quả về điều kiện cần và đủ đề môđun đối đồng điều địa phương ?7„„(Mƒ) với giá là iđêan cực đại thỏa mãn tính chất (+) thông qua tính catenary của vành cơ sở và chiều của môđun

Trang 29

29

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số hiện đại, Nhà xuất bản Đại

học Quốc gia, Hà Nội

[2] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyét module, Nha xuat bản Đại học

sư phạm, Hà Nội

Tiếng Anh

[3] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company

[4] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press

[5] N T Cuong, N T Dung, L T Nhan (2007), On the top local cohomology modules and the catenary of the unmixed support of a finitely generated module, Comm Algebra (5) 35, 1691 - 1701

[6] N T Cuong and L T Nhan (2002), On Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J Math., (2) 30, 121 — 130

[7] I G Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica 11, 23-43

[8] L T Nhan and T N An (2009), On the unmixedness and universal

catenaritciy of local rings and local cohomology modules, J Algebra, 321, 303-311

[9] L T Nhan and T.N An (2010), On the catenaritciy of Noetherian local

Trang 30

30

[10] R Y Sharp (1975), “Secondary representations for injective modules

over commutative Noetherian, local rings”, Edinburgh Math Soc., 20, 143-

151

[11] H Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University