ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ

ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓLuận văn được chia làm hai chươngCHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊCHƯƠNG 2. ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

LỜI CẢM ƠN 4

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 ĐA TẠP KHẢ VI 5

1.2 TÁC ĐỘNG CỦA MỘT NHÓM TRÊN MỘT TẬP HỢP VÀ KHÔNG GIAN QUỸ ĐẠO 11

CHƯƠNG II ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ 21

2.1 Định nghĩa đa tạp Stiefel 21

2.2 Mệnh đề: V p, n = { X R pxn , rank X = p} là tập mở Zariski trong R pxn 22

2.3 Định nghĩa đa tạp Grassmann 22

2.4 Một số cách xây dựng đa tạp Grassmann 22

2.5 Dạng chính tắc và ngăn schubert của không gian xạ ảnh 27

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

LỜI NÓI ĐẦU

Ta đã được biết nhiều về hình học xạ ảnh Về mặt tập hợp, không gian xạảnh là tập tất cả các đường thẳng của không gian affine cùng đi qua một điểm

và một tập hợp như vậy được gọi là bó đường thẳng Vậy không gian tất cảcác mặt phẳng cùng đi qua một điểm; hay tổng quát hơn là tập tất cả các p-phẳng (p2) của không gian affine cùng đi qua một điểm là không gian gì?Không gian tổng quát này chính là không gian Grassmann hay đa tạpGrassmann Đa tạp Grassmann này có các tính chất gì liên quan đến hình họcnói chung, hình học đại số nói riêng?

Với mong muốn hiểu biết tốt hơn vấn đề vừa nêu nên dưới sự hướng dẫncủa PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán, tôi chọn đề tài:

“ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ”

Luận văn được chia làm hai chương

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số các khái niệm, định nghĩa, tính chất liên quan chuẩn bị cho nội dung chính của luận văn như đa tạp khả vi,tác động củamột nhóm trên một tập hợp và không gian quỹ đạo và một số kiến thức liên quan

CHƯƠNG 2 ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT

HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ

Trong chương này trình bày một số định nghĩa về đa tạp Stiefel, đa tạpGrassmann ; trình bày và chứng minh một số tính chất hình học và tính chấthình học đại số của nó Đây là một trong những nội dung chính của đề tài

nhưng hầu hết các chứng minh là do chúng tôi trình bày, sắp xếp theo cáchhiểu của bản thân Ngoài ra, có một số kết quả, nhất là những kết quả về tínhchất hình học đại số của đa tạp Grassmann, đều do chúng tôi phát biểu vàchứng minh, chứ chưa được đề cập trong tài liệu tham khảo.

LỜI CẢM ƠN

Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc của mình tới Phó Giáo sư – Tiến sĩ Nguyễn Huỳnh Phán – người

đã nhiệt tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề tài: từviệc gợi ý, cung cấp các tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương phápthực hiện và truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình thựchiện luận văn đến việc chỉnh sửa và hoàn chỉnh nội dung của bài luận

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học,khoa Toán của Trường Đại học Vinh và khoa quản lý Sau đại học củaTrường Đại học Đồng Tháp đã giúp tôi hoàn thành tất cả các học phần củaKhóa học, nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và các phươngpháp học tập hữu ích; giúp tôi hoàn thành các học trình, đặc biệt là luận văntốt nghiệp

Xin chân thành cảm ơn sự quan các bạn cùng khóa học, gia đình đãđộng viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văntốt nghiệp

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số các khái niệm, định nghĩa, tính chất liên quanchuẩn bị cho nội dung chính của luận văn như đa tạp khả vi,tác động của mộtnhóm trên một tập hợp và không gian quỹ đạo và một số kiến thức liên quan

1.1 ĐA TẠP KHẢ VI

Trong mục này trình bày lý thuyết về đa tạp khả vi như là định nghĩa,

ví dụ minh họa, một số tính chất của đa tạp khả vi và có chứng minh chi tiết

1.1.1 Định nghĩa

 Giả sử M là T2 không gian Nếu U mở trong M và U* là tập mở trong

n

R và :U U* đồng phôi thì ( , )U  được gọi là một bản đồ của M

 Với p U thì  ( )p R n, nên  ( )p x x1 , , , 2 x n Khi đó x x1 , , , 2 x nđược gọi là tọa độ của p đối với ( , )U  và ( , )U  được gọi là hệ tọa độ địa

* 1 là liên tục: điều này hiển nhiên vì 1 là phép chiếu.

 Giả sử Giả sử M là T2 không gian

 Atlat cực đại Agọi là cấu trúc khả vi thì  i  j1 là vi phôi với mọi i, j

 Khi nói M là đa tạp khả vi thì ta chỉ cần chỉ ra một Atlat với số bản đồ

ít nhất có thể để tính toán các phép tính khả vi trên nó

Ví dụ 1: Lấy M S1  x y; /x2 y2 1 Ta đã chứng minh được U 1 ; 1

và U ;  là hai bản đồ của M

Nhận xét: Cho M là đa tạp n – chiều Ta thấy nếu N là tập mở trong M thì N

( ; )a b  a1; ;a b m; ; ;1 b n

Khi đó  U V fi j, i j i j là một Atlat của tập tích Đềcác M N

Vậy M N là một đa tạp (m + n ) – chiều

Ví dụ 2 : Xét GL(n, R) ={các tự đẳng cấu tuyến tính của Rn} Khi đóGL(n, R) là đa tạp khả vi n2 - chiều

Chứng minh: Ta đồng nhất Mat(n n, R) R   n2

Xét ánh xạ det : Mat(n n, R)   R

ign ij

Cho nên khi đó:

 det là ánh xạ (chính xác là hàm số) khả vi

 det (1 ,0) det (0,1 ) GL(n,R)

suy ra GL(n,R) là mở trong Rn2

Do đó GL(n,R), đa tạp khả vi n2 - chiều.

1.2 TÁC ĐỘNG CỦA MỘT NHÓM TRÊN MỘT TẬP HỢP VÀ

KHÔNG GIAN QUỸ ĐẠO

1.2.1 Định nghĩa tác động của một nhóm trên một tập hợp

Cho G là nhóm và E là tập hợp Ta nói một phép toán trái của G trên E

hoặc nói nhóm G tác động trái trên tập hợp E nếu có ánh xạ từ G  E vào E;(s, x)  s x thỏa mãn 2 điều kiện sau:

 e x = x với mọi x trong E

 (s.t).x = s.(t.x) với mọi t,s trong G và mọi x trong E

Từ định nghĩa ta suy ra s-1 (s) x = x với mọi x và mọi s, do đó với mọi s

 G, ánh xạ x  s.x là song ánh từ E vào E với ánh xạ ngược là x  s-1.x

1.2.2 Định nghĩa không gian quỹ đạo

Mỗi x  E, tập G.x = {s.x ; s  G} gọi là G - quỹ đạo hoặc là quỹ đạo

của x ( đối với phép toán của G trong E)

Tập Sx = {s G; s.x = x } là một nhóm con của G, gọi là ổn định

tử của x Ánh xạ s  s.x từ G lên G.x phân tích được thành

G tác động trung thành trong E nếu x  

G A   A và G.A = A khi và chỉ khi G A A

Tập hợp thương E/G gọi là không gian các quỹ đạo

Bây giờ giả sử G là nhóm topo và E là không gian topo Ta nói

G tác động liên tục trên E nếu ánh xạ ( , )s x  s.x liên tục

1.2.3 Ví dụ không gian quỹ đạo

Nếu H là nhóm con của nhóm G, thế thì với các phép toán ( s, x)

 s.x và (s,x)  s.x.s-1 thì H tác động trên G

Với phép toán đầu , ổn định tử của mọi s trong G là nhóm đơn vị{e} và quỹ đạo là các lớp ghép phải H.s

Với phép toán sau, ổn định tử là nhóm H T(x) , T(x) là tâm của

x, còn quỹ đạo là tập các phần tử hxh-1 với h chạy khắp H

1.2.4 Một số tính chất của không gian quỹ đạo

Chứng minh: A.B là đóng (tương ứng, compact trong E) là do A.B là ảnh của

tập G qua ánh xạ liên tục (s, x)  s.x Ta xét các dãy điểm s x trong A.B n, n

hội tụ về z  E ( sn  A, xn B) Theo giả thiết, tồn tại dãy con sn k  A

  là ánh xạ mở, nghĩa là ảnh của mọi tập mở qua là tập mở trong E G/

 Để ánh xạ f E G : / E’ là liên tục, cần và đủ là hợp thành f :  E E'liên tục

Chứng minh:

 Là do định nghĩa topo trên E/G

 Giả sử V mở trong E, ta cần chứng minh cái bảo hòa của V trong E là

G.V = 1( ( ))  A là mở trong E vì G.V =

s G

s.V, mà V mở trong E nêns.V mở trong E, do đó G.V mở trong E

 Kết luận (iii) là tính chất của topo thương

Với x E, nếu V chạy khắp hệ cơ sở lân cận của x thì  ( )V lập nên hệ cơ

sở lân cận của điểm (x)  E/G

1.2.4.5 Mệnh đề

Nếu G và G’ tác động liên tục trên E và E’ tương ứng, thì GG’ tácđộng liên tục trên EE’ một cách tự nhiên và E E '/G G' E G E G/  '/ '

1.2.4.6 Mệnh đề:

Cho nhóm topo liên thong G tác động liên tục trên E Nếu E/G liênthông thì E liên thông.

Chứng minh: Vì ánh xạ s  s.x liên tục nên mỗi quỹ đạo G.x liên thông.Giả sử tồn tại 2 tập vừa mở vừa đóng rời nhau không rỗng U, V sao cho E =

U V Thế thì với mọi x E, tập U G x và V G x là hai tập mở rời nhau

có hợp bằng G.x, do đó một trong hai tập là rỗng, nghĩa là U và V là các tậpbảo hòa Nhưng khi đó ( )U và (V)là những tập mở rời nhau có hợp bằngE/G, điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy E liên thông

1.2.5 Định nghĩa phân thớ chính

Giả sử nhóm G tác động tự do ( hay không có điểm bất động) trên tập

E Thế thì  x E ánh xạ chính tắc s s x. từ G G.x là song ánh

1.2.5.1 Định lý

Cho nhóm Lie G tác động tự do, khả vi trên đa tạp X (nghĩa là ánh

xạ tác động là ánh xạ khả vi) Giả sử đa tạp quỹ đạo X/G tồn tại, nghĩa là tồntại trên không gian thương X/G một cấu trúc khả vi sao cho phép chiếu chínhtắc  : X  X G/ là ánh xạ khả vi và đồng thời là phép ngập, nghĩa là đạo hàmcủa  là ánh xạ tuyến tính toàn ánh, thế thì:

 ( ,X X G / , ) là một phân thớ Một cách chính xác hơn, mỗi lớp

 x X G/ , có lân cận mở U của  x sao cho tồn tại ánh xạ :U  X lớp C

mà   ( ( ))u u với mọi u U và ánh xạ  : ( , )u s  s ( )  u là một vi phôi của

U G lên 1 (U)

 Giả sử  ( , ) X X s G; x s.yx y       , tức R là đồ thị của tác động vàmọi ( , )x y R, T(x,y) là phần tử duy nhất của G sao cho y = T(x,y).x Khi đó

T là phép ngập từ  và G

Chứng minh:

 Vì  là một phép ngập nên suy ra mọi điểm trong X/G tồn tại lân cận U

và C - ánh xạ :U  X thỏa mãn   ( ( ))u u với mọi u U và tại mỗiu U

, T( )u ( ) u là phần bù của T( )u ( 1( )) u trong T( )u ( ) X Hơn nữa

1

:U G ( )U

  cho bởi ( , )u s  s  (u) là song ánh nên chỉ cần chứng minh 

là phép ngập Điều này được suy ra từ kết quả sau:

Bổ đề: Cho nhóm Lie tác động khả vi trên đa tạp khả vi X sao

cho đa tạp X/G tồn tại Ký hiệu  : X  X G/ Nếu tồn tại  :X G/  X lớp

C sao cho  1X G/ thì  là phép dìm và ánh xạ  :X G X/   X bởi( , )u s s ( )u

   là một phép ngập tràn ứng

Chứng minh: Vì T( )u ( ) ( ) 1  Tu   Tu X G( / ) nên  là một phép dìm (( )

T  đơn ánh) Bây giờ chứng tỏ  là phép ngập tại điểm có dạng u e 0, 

( /X G G ) X

(3) (1) s0.x ( ,u s s01 ) (2) s s01 ( ) u x

 là ánh xạ lớp C Vậy T là thu hẹp của

x y,    (y) (x)  1 lên  , cũng là C ánh xạ ; hơn nữa mọi x X , thu hẹpcủa T lên  x  ( )G x   là một vi phôi đa tạp con này lên G Vậy T là phépngập từ  vào G

1.2.5.2 Định nghĩa:

Nếu các điều kiện ở định lý 1.2.5.1 thỏa mãn, ta nói rằng bộ ba

( ,X X G / , ) là một phân thớ chính với nhóm cấu trúc G Các thớ là các quỹ

đạo, chúng vi phôi với G Trong trường hợp này để ký hiệu G – phân thớchính, ta dùng sơ đồ:

G X



X/G

Ví dụ: cho H là nhóm Lie con của nhóm Lie G, H tác động tự nhiên trên G

bởi H G/  G, H.G = H/G, giả sử đa tạp quỹ đạo G/H là tồn tại, khi đó ta cóphân thớ chính : G H

X u X’

  '

B=X/G v X’/G’=B’ ;( ) u(x) (s)

u x s   Do đó tồn tại C ánh xạ v B:  B' để sơ đồ trên giaohoán Ta thấy nếu  là đẳng cấu nhóm Lie và v là vi phôi thì (u,v) là đẳngcấu phân thớ, khi đó cặp u ,  gọi là đẳng cấu phân thớ chính

1.2.6 Một số tính chất của phân thớ chính

1.2.6.1 Mệnh đề:

Cho G - phân thớ chính ( , , )X B  và G còn tác động khả vi bên trái trên

đa tạp F Khi đó G tác động tự do trên X F bởi ( , ).sx y  (x.s,s y)  1 Với tác

 Đa tạp quĩ đạo tồn tại, ký hiệu là XG F

 Mỗi quĩ đạo ZX G F , ký hiệu F(Z) là phần tử của B bằng  (X)với mọi ( , )x y Z Hơn nữa ( G , , )

F

B F B  là một phân thớ có thớ vi phôi với

F Nói cách khác, nếu U mở trong B sao cho 1U khả tầm thường với nhátcắt C dạng :U  1 U , thì ( , )b y   (b).ylà U – đẳng cấu của U F lên

 Để chứng minh kết luận này, ta giả thiết X tầm thường; B = U Thế thì

F

 là tràn ánh lớp C Mặt khác với x X , đặt s x( ) T , ( ( )) x   x G Ta

có  ( ( ))x x x.s( ) Nếu f X F:   B F cho bởi ( , )x y  (    x s x, 1 )y Ngoài ra f là C ánh xạ nên tồn tại g X: G F  B F lớp C sao cho( , )x y g x y( , ) Ta kiểm được g là ánh xạ ngược của ( , )b y  ( ).b y Từ đây ta

Cho G – phân thớ chính ( , , )X B  và H là nhóm con ( đóng) của G tácđộng trên X bởi thu hẹp của G Thì đa tạp quĩ đạo X/H tồn tại và ( ,X X H / , )

là H – phân thớ chính Hơn nữa nếu mỗi H – quĩ dạo được chứa trong một G– quĩ đạo duy nhất thì tương ứng  đặt H – quĩ đạo với G – quĩ đạo là mộtphân thớ có thớ vi phôi với không gian thuần nhất G/H

CHƯƠNG II

ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ

tạp Grassmann ; trình bày và chứng minh một số tính chất hình học và tínhchất hình học đại số của nó Đây là một trong những nội dung chính của đềtài, nó bao gồm nhiều kết quả đã được đề cập trong các tài liệu tham khảo,nhưng hầu hết các chứng minh là do chúng tôi trình bày, sắp xếp theo cáchhiểu của bản thân Ngoài ra, có một số kết quả, đặc biệt là những kết quả vềtính chất hình học đại số của đa tạp Grassmann, đều do chúng tôi phát biểu và

tự chứng minh, chứ chưa có trong các tài liệu tham khảo

2.1 Định nghĩa đa tạp Stiefel

Ký hiệu Rpxn là tập hợp các ma trận cấp pn lấy phần tử trên trường sốthực R Ký hiệu Vp,n là tập tất cả các bộ phận gồm p vectơ độc lập tuyến tínhtrong không gian vectơ n chiều Rn Mỗi bộ thế này còn gọi là một p- mụctiêu Vp,n được gọi là đa tạp Stiefel các p – mục tiêu trong Rn Ta sẽ đồng

hạng bằng p (rankX = p)

2.2 Mệnh đề: Vp, n = { X Rpxn , rank X = p} là tập mở Zariski trong Rpxn.

Chứng minh: Từ định nghĩa ta thấy, X Vp,n khi và chỉ khi mọi định thứccon cấp p của X đều triệt tiêu Mỗi ma trận X, có tất cả C định thức con cấp n p

p như vậy, mà mỗi chúng, như đã nói ở Ví dụ 2, mục 1.1.3, Chương I, là một

đa thức thuần nhất bậc p gồm p2 biến Như vậy, phần bù của Vp,n trong khônggian ma trận Rp n là nghiệm của một họ C các đa thức Do đó nó là một n p

tập đóng đại số Zariski, cho nên Vp, n là một tập mở Zariski với cấu trúc tôpô

tự nhiên

2.3 Định nghĩa đa tạp Grassmann

Đa tạp Grassmann Gp, n là họ tất cả các p- phẳng cùng đi qua 1 điểmtrong không gian afin Rn Khi p = 1, như ta đã biết, đó là không gian xạ ảnh

Pn-1 Như vậy, khái niệm đa tạp Grassmann là sự tổng quát hóa khái niệmkhông gian xạ ảnh

2.4 Một số cách xây dựng đa tạp Grassmann

Trong mục này ta sẽ trình bày các cách xây sựng đa tạp Grassmann

2.4.1 Ta xét một tác động của nhóm tuyến tính tổng quát GL(p,R) tất cả các

ma trận thực, cấp pp không suy biến trên Vp, n cho bởi : ( , )T X  TX,

( , )

T GL p R , X  Vp, n (nhân ma trận T với bên trái ma trận X) Tác độngnày là giải tích và tự do, nghĩa là ánh xạ :GL p R V( , ) p n,  V p n, xác địnhbởi ( , )T X  TXlà ánh xạ giải tích và TXX  T I p ( ma trận đơn vịcấp p x p) Thật vậy, phép nhân hai ma trân T và x cho ta một họ pn ánh xạtọa độ tương ứng với các phần tử thứ (i,j) của ma trân tích TX Phần tử thứ (i,j) xác định bởi hàng i (i = 1, 2, …, p) của ma trận T nhân với cột j (j = 1, 2,

…, n) của ma trận X, nên nó có dạng

ti1xj1 + ti2xj2 + … + tipxjp

Đây là một đa thức thuần nhật bậc 2, 2p biến (là các biến ti1, ti2, , tip , xj1 ,

xj2…., xjp) Nên phép nhân hai ma trận là ánh xạ giải tích, nghĩa là tác độngtrên là giải tích

Không gian quỹ đạo của tác động này, ký hiệu bởi Gp n,  Vp n, / GL p R ( , )

2.4.2 Mệnh đề: Mỗi quỹ đạo của tác động này được đồng nhất với một phẳng trong không gian afin Rn, nên không gian quỹ đạp

p n p n

G V GL p R cũng sẽ được gọi là đa tạp Grassmann