VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ
2.5.4Định nghĩa:
Mỗi đa tạp con Uk của không gian xạ ảnh Pn gọi là một ngăn k – chiều
2.5.5Hệ quả: 1 n n k k P U =
= U và các Uk của là rời nhau, khác rỗng. Nói cách khác đi, họ {Uk;1≤ ≤k n} là một phân hoạch của không gian xạ ảnh Pn
Ký hiệu S1,n ={( ) ( ) ( ) ( )0 , 1 , 2 ,..., n } với thứ tự được cho bởi ( ) ( )a ≤ b ⇔ ≤a b. Thứ tự này biến S1, n thành một dàn (tức là, từ thứ tự này, với hai phần tử a, b bất kỳ của tập hợp, ta luôn xác định được phần tử cận dưới đúng, ký hiệu bởi a∧b và xác định được phần tử cận trên đúng, ký hiệu
bởi a∨ b. Thế thì hai phép toán cảm sinh ∧ ∨, này thỏa mãn 4 tiên đề: Giao hoán, kết hợp và lũy đẵng, tức là: a∨ (a∧ b) = a và a∧(a∨ b) = a). Dàn S1, n gọi là dàn Schubert.
Về sau ta sẽ đề cập đến dàn Schubert tổng quát hơn Sp, n với p > 1. Từ Hệ quả 2.5.5 ta có nhận xét sau
2.5.6Nhận xét:
Tương ứng mỗi ngăn k – chiều Uk của Pn với một phần tử (k) của dàn schubert S1,n là một song ánh. Nhờ song ánh này, ta sẽ trình bày một phương
pháp mới để nghiên cứu tôpô của không gian xạ ảnh Pn là thay vì nghiên cứu
trực tiếp nó, ta nghiên cứu dàn S1,n rồi thông qua đặc trưng đại số của S1,n để
đưa ra các kết luận về tôpô của Pn. Cụ thể ta có kết quả đầu tiên sau đây.
2.5.7Định lý:
Ngăn Ul thuộc bao đóng Uk ( trong Pn) của ngăn Uk khi và chỉ khi (L)
≤ (k) trong dàn schubert (S1,n, )≤ (U1 ⊂Uk ⇔( ) ( )l ≤ k ) . Vì vậy, ngăn Ul
nằm hoàn toàn trên biên của ngăn Uk khi và chỉ khi l < k.
Chứng minh:
Giả sử Ul ⊆Uk và lớp [ ] UX ∈ l. Thế thì tồn tại dãy { m }
k
X U
⊂