Môđun artin và tính catenary của giá không trộn lẫn

Môđun artin và tính catenary của giá không trộn lẫn

2.2_ Tính chất (*) của đối đồng điều địa phương cấp cao nhất

3 Tính catenary của giá không trộn lân

3.1 Một số tính chất cơ sở về tính catenary 3.2 Tính catenary của giá không trộn lẫn 33 VídU Q Q Q Q Q Q HQ HQ Quà và và vi

Tài liệu tham khảo 13 18 19 22

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Nhân dịp này tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô và gia đình

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS.TSKH Nguyễn Tự Cường, PGS.TS Nguyễn Quốc Thắng ở Viện Toán học Hà Nội; các thầy cô giáo ở Khoa

Toán và Phòng Đào tạo sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và giúp đố tôi trong sudt thoi gian hoc tập tại trường

Tôi cũng rất cảm ơn cán bộ, giáo viên Trung tâm KTH HN & GDTX Phổ Yên , Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Phổ Yên, tỉnh Thái Nguyên,

nơi tôi đang công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành kế hoạch học tập của mình

Tôi cũng xin bày tfó sự quý mến của mình tới vợ tôi và các con, các

bạn tôi, những người đã luôn động viên, khuyến khích tôi hoàn thành công VIỆC

Tính catenary cho các vành được quan tâm nghiên cứu đầu tiên bởi W, Krull từ năm 1937 Những công trình của W Krull, M Nagata, I S Cohen,

D Ferand va M Raynaud, L J Ratliff, R Heitmann, M Brodmann vé

tính catenary đã làm giàu đẹp lí thuyết này, nó cho thấy sự liên quan chặt chẽ với nhiều lĩnh vực khác của Đại số Giao hoán như vành định chuẩn,

môđun Cohen-Macaulay tối đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết, các

phương pháp đồng điều, các mở rộng vành siêu việt Có 2 lớp vành

cafenary quan trọng được biết đến đầu tiên Lớp vành thứ nhất được chỉ

ra bởi W Krull năm 1937, và ông được coi là người đặt nền móng nghiên cứu các giả thuyết về dãy iđêan nguyên tố Ông chỉ ra rằng nếu #' là một trường thì mọi #'—đại số hữu hạn sinh đều là vành catenary Lớp vành catenary tiếp theo là các vành địa phương đầy đủ theo tôpô ma—adIic Tính catenary của lớp vành này được chứng minh bởi I S Cohen năm 1946, ở đó ông đã chỉ ra tính catenary cho vành các chuôi luỹ thừa hình thức trên một trường và sau đó chứng minh rằng mỗi vành địa phương đầy đủ là vành thương của một vành các chuối luỹ thừa hình thức Hầu hết các vành được biết đến trong những áp dụng của toán học đều là catenary Ví dụ đầu tiên về vành không catenary được Nagata [Na] phát hiện vào năm 1956 Cho đến nay, việc nghiên cứu tính catenary cho các vành vẫn rất được quan

tâm bởi nhiều nhà toán học trên thế giới Đặc biệt, gần đây Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn [CDN] đã thông qua nghiên

cứu môđun Artin để đặc trưng tính catenary cho các vành Noether và giá

không trộn lần của các môđun hữu hạn sinh

Cho (,m) là một vành Noether địa phương, 4 là f-môđun Artin và

M 1a R-m6dun hittu han sinh Khi dé Anng(M/pM) = p véi moi idéan nguyên tố p 2 Anne M Vi thé, theo suy nghi d6i ngau, N T Cuong va

L T Nhan [CN] đã xét tính chất sau cho các môđun Artin A:

Amnp(0 :4 p) = p với mọi iđêan nguyên tố p 2 Anng A (x)

Tuy nhiên tính chất (*) nhìn chung lại không đúng cho các môđun Artin

A, kể cả khi 4 là môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất #72 (1M),

trong đó dim M = d Kí hiệu Ứn;(0) là môđun con lớn nhất của M có

chiêu nhỏ hơn đ Đặt Usupp M⁄ = Supp(Mf/Ux;(0)) Ta gọi Ủsupp Mƒ là giá không trộn lan của môđun Mĩ Kết quả chính của bài báo [CDN] là đưa

ra 03 đặc trưng về tính catenary của giá không trộn lẫn của Ä⁄ thông qua

tinh chat (*) cua H4(M), thong qua m6i quan hệ giữa các tập ;(0) và

Uøg(0), và thông qua các hệ tham số của môđun hữu hạn sinh M/Uj,(0) và cua modun Artin H“(M)

Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách chi tiết các kết quả trên về tính catenary của giá không trộn lẫn Usupp M trong bài báo của

Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn [CDN] ``7op

local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely

generated module, Comm Algebra, (5)35 (2007), 1691-1701"

Luận văn gồm 3 chương Chương I noi vé tính chất (*) của các môđun

Artin, va cũng là những kiến thức chuẩn bị cho 2 chương sau Chương II đặc trưng tính chất (*) của đối đồng điều địa phương cấp cao nhất thông

qua quan hệ giữa ;;(0) và Uœ(0) và quan hệ giữa các hệ tham số cua

M/Uj,(0) va H“(M) Chuong III dac trung tinh catenary cia gid khong tron lan Usupp M Cuối chương HI 1a mot vi du minh hoa cac két qua trong toàn luận văn.

Một tính chất linh hoá tử của môđun

Artin

Trong suốt chuong nay, cho (R,m) 1a mét vanh Noether dia phương với

Iđêan tối đại duy nhất m, cho A là -môđun Artin va M la R-modun hitu hạn sinh

Trước hết ta xét một tính chất cơ sở của các môđun hữu hạn sinh Ä⁄ như sau: Giả sử p là Iđêan nguyên tố của chứa Ànng M Khi đó p € Supp M@ va do dé M, 4 0 Theo Bo dé Nakayama ta suy ra

(M/pM) p = My/pMp # 9

Vì thế p € Supp(M/pM), ttc la p D Annp(M/pM) Vi vay ta luôn có Annp(M/pM) = p với mọi Iđêan nguyên tố p 2 Anng M

Rất tự nhiên, theo suy nghĩ đối ngẫu, N T Cuong và L T Nhan [CN]

đã xét tính chất sau đối với các môđun Artin A:

Amnp(0 :4 p) = p với mọi iđêan nguyên tố p 2 Anng A (x)

Tuy nhiên tính chất (*) lại không đúng cho các môđun Artin A Ké ca

trường hợp khi 4 = ?/723( 1) là môđun đối đồng điều địa phương cấp 5

cao nhất của một môđun hữu hạn sinh M tng véi giá cực đại (môđun này

luôn là Artin) thì Á cũng không nhất thiết thỏa mãn điều kiện (*), điều

này sẽ thể hiện ở các Chương II và III của luận văn này

Mục đích của Chương I là nghiên cứu tính chất (*) của các môđun Artin Trong Tiết 1.1, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị như đối ngẫu Matlis, tính phẳng và phẳng hoàn toàn của các đồng cấu vành và biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin Tiết 1.2 của luận văn dành để trình bay một đặc trưng của tính chất (*) của môđun Artin Tiết cuối của Chương

đưa ra mối quan hệ giữa tính chất (*) và chiều Noether của các môđun Artin

1.1 Kiến thức chuẩn bị

4) Đối ngâu Matlis Kí hiệu F(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư

R/m của l Xét hàm tử (—) = Homp(—, E(R/m)) từ phạm trù các R—môđun đến chính nó Vì /⁄(/m) là môđun nội xạ nên 2(—) là hàm tử khớp Ta gọi D(—) là đối ngẫu Mailis Kí hiệu ? là vành đầy đủ theo

topd m—adic cua R Gia sử L la —môđun, kí hiệu L 1a R—-modun day du cua L theo top6 m—adic

1.1.1 Bo đề (xem [Ma], [BS]) Các phát biểu sau là đúng

(i) Anng Ù = Anng D(L) Đặc biệt, b # 0 nếu và chỉ nếu D(L) # 0 (H) Nếu L có độ dài hữu hạn thi D(L) L Trong trường hợp này ta

(v) Giả sử R là day du theo tép6 m—adic Khi dé D(L) la R—médun

hitu han sinh néu L la Artin

b) Déng cdu phang Gia stt f : R —> S la mot déng cau vanh Khi d6 môi S—môđun Ù đều có cấu trúc là f—môdun, trong đó phép cộng đã sẵn có trong Ù và tích vô hướng của phần tử r € với phần tử m € duoc cho boi tich f(r)m Cau tric R—médun L nhu thế được gọi là cấu tric R—médun xdc dinh boi f Mot dong céu f : R —> S duoc goi là

đồng cấu phẳng nếu S, xét như —~môđun xác định bởi ƒ, là -môđun phăng, tức là với mỗi dãy khớp

0—>ữ—>L:—>Ì”——0 các R—modun, day cam sinh

0——-L'®S—>+>L@S—>L’ @S +0

là khớp Một đồng cấu ƒ : R —> S duoc gọi là đồng cấu phẳng hoàn

foàn nếu Š, xét như ~môđun xác định bởi ƒ, là ?-môđun phẳng hoàn

toàn, tức là môi dãy

(i) Néu f : R —+ S la mot dong cdu phdng thi dnh xa cam sinh f* : Spec S —> Spec R cho boi ƒ*(p) := ƒ~}(p) là toàn ánh

(ii) Néu f : R —+ S là đồng cấu hoàn toàn phẳng va L la R—moédun

khác 0 thì L®p S là S—môdđun khác 0

c) Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin Trong luận văn này, chúng ta cần

một số kết quả về lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin được

giới thiéu boi I G Macdonad [Mac] Lí thuyết này được xem như là đối ngẫu với lí thuyết phân tích nguyên sơ cho môđun Noether: Nhắc lại rằng, một #-môđun L được gọi là /h⁄ cấp nếu phép nhân bởi r trên U là toàn cấu hoặc lũy linh với mọi r € ? Trong trường hợp này, tập các phần tử ” € l sao cho phép nhân bởi r trên Ù là lũy linh lập thành một idéan

nguyên tố p của Ÿ¿ và ta gọi Ù là p-fhứ cấp

Macdonald [Mac] đã chỉ ra rằng mỗi môđun Artin 44 đều có một biểu

diễn thứ cấp A = Ái + + A, trong d6 4; là p;—thứ cấp với mọi ¡ = 1, ,m Trong trường hợp các 4; là không thừa (tức là 4 # >,,„; 4;

với mọi ? = I, ,m) và các iđêan nguyên tố p; là phân biệt thì biểu diễn thứ cấp này được gọi là ứối thiểu Khi đó tập {p, , p„} không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của 44 và được kí hiệu bởi Attp A

Tập Attp A được gọi là ứập các iđêan nguyên tố gắn kết của A

1.1.3 Bồ đề /Mac] Táp các phần tỉ tối thiểu của Attp A chính là tập

chi néu no 18 R—modun con Điều này cho thấy các dàn môđun con cua

A xét như —môđun và f—môđun là như nhau Do đó 4 là f—môđun Artin Quan hệ giữa các tập Attp 4 và Atta 41 được cho bởi công thức sau đây

1.1.4 Bổ đề (xem [Sh]) Attr A= {pNR : p€ Atta 4} 1.2 Tính chất (*) của môđun Artin

Với mỗi Iđêan ƒ của FR ta ki hiéu V (J) là tập các idéan nguyén t6 cua R

chita J Trong tiét nay, chúng ta nhac lại một số kiến thức về tính chat (*) cho các môđun Artin, đồng thời chứng minh một đặc trưng tính chất (*)

của môđun Artin 4 thông qua mối quan hệ giữa các tập V(Anng 4) và tập V(Amna 4) Đặc trưng này cần được sử dụng để chứng minh kết quả

chính trong Chương II

1.2.1 Chú ý Giả sử # là đầy đủ theo tôpô m—adic Khi d6 D(A) 1a R—môđun hữu hạn sinh Chú ý rằng Anng 4 = Anng D(4) Vì thế áp

dụng tính chất linh hoá tử cho môđun D(A) ta có

Annp(0 :4 p) = Annp(D(0:x4p)) = Annp(D(1)/pD(41)) =p

với mọi Iđêan nguyên tố p 2 Anng 4 = Anng D(4) Do vậy tính chất

(*) luôn đúng cho mọi môđun Artin trên vành địa phương đầy đủ

Tiếc rằng, tính chất (*) không còn đúng khi vành # không đầy đủ

Dưới đây chúng ta trình bày ví dụ về một môđun Artin không thoả mãn

tính chất (*) Chú ý rằng với mỗi số nguyên 7, môđun đối đồng điều địa

phương thứ ¿ với giá cực đại H} (Ä⁄) của Ä⁄ luôn là l—môđun Artin (xem

[BS]).

1.2.2 Ví dụ [CN, Ví dụ 4.4] Tồn tại một môđun Artin trên vành Noether

địa phương không thoả mãn tính chất (*)

Chứng minh Gọi (R,tm) là miền Noether địa phương chiêu 2 được xây dựng bới D Ferrand và M Raynaud [FR] thoả mãn tính chất tồn tại một

iđêan nguyên tố nhúng 4 € Ass # với dim / = 1 Khi đó #!(R) là môđun Artin và ta có đẳng cấu các ƒ-môdun }(R) & H}(R) Theo

[Sh1, Hệ quả 4.9]) ta suy ra q € Atta (H(R)) Theo Bổ dé 1.1.4 ta suy ragQn R € Attr (H,(R)) Chi y rang AssR={pOR : p€ Ass R} (xem [Mat, Định lí 12]) Vì thế ta có qf1# € Ass Do # là miền nguyên

nén Ass R = {0} Do đó 0 =1 € Attp(HT(?P)) Vì thế

Anng (Hà(R)) = ( pCgnlt=0 p€Attn(H-(®))

Chọn 4 = H(P) Khi đó A là -môđun Artin Lấy tuỳ ý một iđêan

nguyên tố p của # sao cho p 4 0 va p $ m Ta đã chứng minh ở trên rằng Anng 4 =0 Do đó p Đ Anng A Lấy 0 zZ z € p Xét dãy khớp

Kết quả chính của tiết này là đặc trưng tinh chat (*) cua médun Artin A

thông qua mối quan hệ giữa các tập V(Anng 4) và tập V(Anna A) Trude

hết chúng ta nhắc lại mối quan hệ sau đây giữa tập Supp Ä va Supp M của một môđun hữu hạn sinh M

Supp M C{pnR: pe Supp M}

LÌ

Vi M 1a hitu han sinh nén Supp M = V(Anng 4⁄) Tương tự, vì M là R—modun hiu han sinh nén Supp M = V(Anng M) Do dé tir B6 dé

1.2.3 ta có V(Anng1⁄) ={pnR : pc V(Anna(M)} Hơn nữa, như

đã nhắc ở tiết trên, mỗi Ï-môđun Artin 4 đều có cấu trúc tự nhiên là

R—modun Artin Vì thế, rất tự nhiên chúng ta hỏi rằng liệu đẳng thức V(Anng4) ={pn R : peV(Aana 4}

là xảy ra cho modun Artin A4 Dưới đây chúng ta chi rang đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi 4A thoả mãn tính chất (*)

1.2.4 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương:

(ï) A thoả mấn tính chất (*)

(ii) V(Annr A) = {pN R: pe V(Anng A)}

Chứng minh ()=>(1) Cho p € V(Anna 4) Khi đó tồn tại một iđêan nguyên tố tối thiểu đ chứa Ann 4 sao cho p > q Theo Bổ đề 1.1.3, mỗi

iđêan nguyên tố tối thiểu chứa Anna 4 đều là một iđêan nguyên tố gắn

kết của R—modun Artin A, do d6 q€ Atta A Theo Bo dé 1.1.4,

AttrA={poR : pe Atts A}

Vi thé qO R € Atte A Suy rag yn R € V(Annpg A) va vi thé ta suy ra pn Re V(Annp4) Do đó

V(Anng 4) 2 {pfR: p€V(Anna 4)}

Ngược lại, cho p € V(Annp 4) Theo giả thiết (1), A thoả mãn tính

chất (*) Vì thế Annp(0 :¿ p) = p Rõ ràng mọi Iđêan nguyên tố chứa Amnzp(0 :¿ p) đều phải chứa p, do đó p là iđêan nguyên tố bé nhất chứa

Annz(0 :x4 p) Theo Bổ đề 1.1.3 ta suy ra p € Attp(0 :4 p) Lai vi Attp(0:a4p)={fnR : p€Atta(0:ap)}

nên tồn tại iđêan nguyên tố p € Atta(0 :4 p) sao cho pí\ = p Vì

p C Atta(0 :4 P) nên p —) Amna(0 :4 p) Vi thé p C V (Anna A) va

pnf=gp, tức là

V(Ann 4) C{pn: pc V(Anna 4)}.

(ii)=>(i) Cho p € V(Ann A) Theo gia thiét (11), ton tai idéan nguyén t6

pe V(Anng A) sao cho pb R=p Nhu đã giải thích trong Chú ý 1.2.1, tính chất (*) luôn thoả mãn cho môđun Artin 4 trên vành đầy đủ R Vi thé tacé Anng(0 :4 p) =p Lai do pR C Pf nen ta c6

p C Annp(0:4 p) = Annp(0:4 pR) C Anng(O:4p)N R=pNR=p

đã quen biết cho các môđun hữu hạn sinh Trong suốt luận văn này, chúng tôi dùng thuật ngữ ``chiều Noether” của Kirby [K2]

1.3.1 Định nghĩa Chiều Nocther của A, ki hiéu boi N-dimp A, được định nghĩa bằng quy nạp như sau: Khi A = 0, ta đặt N-dimp A = —1

Cho đ > 0 là một số nguyên không âm Ta đặt N-ding 4 = đ nếu

N-dimp A < d la sai và với mỗi dãy tăng các môđun con 4o C 4¡ C của 4, tồn tại một số tự nhiên mo sao cho N-dimp(Á„/Á„¿1) < đ với mọi

N-dimr A = max{N-dimp A’, N-dimp A”}

R N Roberts [Ro] va D Kirby [K1,2] da chi ra nhiều tính chất đẹp của môđun Artin tương tự như các tính chất về chiều Krull cho các môđun hữu

hạn sinh trên vành địa phương, đặc biệt là kết quả duới đây cho ta 03 điều

kiện tương đương về chiều Noether cho các môđun Artin

1.3.2 Mệnh đề Nếu q là idéan sao cho £(0 :4 q) < œ thì có một đa thức Q(n) với hệ số hữu ty sao cho €p(0:4 q"*") = Q(n) khin > 0 va

N-dimp A = deg(lp(0 :4 q"*"))

= imnf{f >0: 3đz, ,z; Cm: Ép(0 :4 (q, ,2¿)R) < ©} Mệnh đề 1.3.2 cho phép ta định nghĩa khái niệm hệ tham số cho môđun Artin Khái niệm này sẽ được dùng trong Chương II để đặc trưng tính chất

(*) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất

1.3.3 Định nghĩa Một hệ (zị, , zz) gồm đ = N-dim A4 phần tử của m được gọi là hệ ham số của A nếu /(Ö :A (z, ,#øa)R) < œ Một hệ (Z1, ,;¿) VỚI ¿ < d, các phần tử của m được gọi là phản hệ tham số

cua A néu ta có thể bổ sung thêm các phần tử z;„¡, , z„ của m sao cho

(z, , zz) là hệ tham số của A4 Một phần tử z € m được gọi là phần tu

tham số của A nếu có thể bổ sung thêm N-dimp 4 — 1 phần tử trong m

để được một hệ tham số của A

Từ Mệnh đề 1.3.2 ta suy ra kết quả sau đây

1.3.4 Hệ quả Nếu d = N-dimg 4 > 0 rhì

N-dimpr(0 :4 2) > N-dimg A—1, Ve Em

và đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x là phần tử tham số của A Tương

f, VỚI ¡ <d ta co

N-dimp(0 A (#1, " xj) > N-dimp A — 1, Vx1, ,4; Em đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x1, ,2; la phần hệ tham số của A

Ta đã biết rằng nếu Ả⁄ là một môđun hữu han sinh thi phần tử z € m là phần tử tham số của Ä⁄ nếu và chỉ nếu z € p với mọi p € AssM thoa man dim R/p = dim M Hon nifa, néu J 1a idéan cua R sao cho dim M/IM = dim M — r thi t6n tai m6t phan hệ tham số của / trong T có độ dài r Các mệnh đề sau đây, được chứng minh bởi Z Tang và H Zakeri [TZ], cho ta các kết quả tương tự về đặc trưng một phần tử z € m là

phần tử tham số của môđun Artin 4 và sự tồn tại một phần hệ tham số của

môđun Artin 4 trong một idéan J cua R Cac ménh dé nay sé duoc ding

trong Chương II để chứng minh một đặc trung tinh chat (*) cua modun

đối đồng điều địa phương cấp cao nhất

1.3.5 Mệnh đề Cho N-ding A = đ và A = 4i + + A„ là một biểu

diễn thứ cấp tối thiểu của A với A;¡ là p;—thứ cấp Cho z € ta Khi đó x

la phan tu tham sé cua A néu va chi néu x € p; voi moi i thod man tinh

Kí hiệu dinp 4 = dim(/ Anng 4) Khi đó N-dimp 4 = 0 nếu và

chỉ nếu dinpạ Ả = 0, nếu và chỉ nếu 4 có độ dài khác 0 và hữu hạn, nếu và chỉ nếu ?‡/ Anng; 4 là vành Artin Trường hợp tổng quát ta chỉ có

N-dinp A < dimp A Hơn nữa, với môđun Artin A4 = H} (?) như trong

Ví dụ 1.2.2 ta có ding 4 = 2> 1 = N-dimp 4 Mệnh đề sau đây chỉ ra

rằng tính chất (*) là đủ để đăng thức về chiều ở trên xảy ra 1.3.7 Mệnh đề CN

(i) N-dimg A < dim(R/ Ann A)

(ii) Nếu A thoa man tinh chat (*) thi N-dimp A = dim p A

Trong tiết sau chúng ta sẽ thấy rằng điều ngược lại của Mệnh đề

1.3.7,(1) 1a khong ding: Khi dim VM = d thi môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất #74 (\ƒ) luôn có tính chất

dimg H¢(M) = d = N-dimg H¢(M)

nhung tinh chat (*) nhìn chung vẫn không thoả man cho H“(M)

Nhắc lai rang A có cấu trúc tự nhiên như là R—modun Artin và các dàn môđun con của 4 xét như /?—môđdun và xét như —môđun là như nhau

Vì thế từ định nghĩa chiều Noether ta có N-dinp 4 = Ñ-dima 44 Theo

Chú ý 1.2.1, tính chất (*) là đúng cho R—modun Artin A Vi thé theo

Mệnh đề 1.3.7 ta cé N-dimg A = dim(R/ Anng A) Theo Bé dé 1.1.3,

tập các idéan nguyén tố tối thiểu của ] chứa Ann ạ 4 và tập các Iđêan

nguyên tố gắn kết tối thiểu trong Atta 4 là như nhau Vì thế ta có

dim(R/ Anng A) = max{dim(R/p) : $ € Att A}

Tương tự ta cũng có dim(R/ Ann A) = max{dim(R/p) : p € Attp A} Vi thé ta có các quan hệ sau đây:

Tính chất (*) của đối đồng điều địa phương cấp cao nhất

Trong suốt chương này, luôn giả thiết ( J,m) là vành Noether địa phương

va M là -môđun hữu hạn sinh véi dim M = d Ki hiéu Ứạ;(0) là môđun con lớn nhất của Ä⁄ có chiều nhỏ hơn d Chú ý rằng môđun con lớn nhất Ù;(0) như thế luôn tồn tại và duy nhất (xem Bổ đề 2.2.1) Đặt

supp M = Supp(M/U;(0)) Ta gọi Dsupp MỸ là giá không trộn lân

của Ä⁄ Mục đích của Chương II là đặc trưng tính chất (*) cho môđun đối

đồng điều địa phương cấp cao nhất H“(M) thong qua mối quan hệ giữa

214 khong tron lan Usupp M cua M va gia khong tron lẫn Usupp M của

M Đồng thoi, tinh chat (*) cho H4(M) citing duoc đặc trưng thông qua mối quan hệ giữa các tập hệ tham số của môđun hữu hạn sinh M⁄/U;(0) và cua modun Artin H4(M) Cac két qua chính của chương này sẽ được trình bày trong Tiết 2.2

18

2.1 Giá không trộn lân

Nhác lại rằng H} (Ä⁄) là -môđun Artin với mọi số nguyên ¿ và

depth M = min{i : H'(M) 40};

dim M = max{i : H'(M) z 0}

Vì thé H’,(M) = 0 với mọi ¿ < 0 và mọi ¿ > d Nguoi ta goi H4(M) là môđun đối đồng điều cấp cao nhất của Ä⁄ Trước hết, chúng ta nhắc lại các tính chất quan trọng sau đây về tập các iđêan nguyên tố gắn kết và

chiều Noether của môđun này

2.1.1 Bo dé (BS) Attr H4(M) = {p € Assp M : dim R/p = đ} Đặc biét, dim H4(M) = d

2.1.2 Bo dé [CN, Hé qua 3.6] N-dim H“4(M) = dim H¢(M) = d

2.1.3 B6 dé Médun con lén nhdt cia M cé chiéu nho hon d luén tôn tai

và duy nhất

Chứng minh Gọi T` là tập các môđun con của ⁄ có chiều nhỏ hơn đ Khi

đó mođun con 0 thuộc tập I’, ttc la 4 @ Do M là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether nên M là môđun Noether, và vì thế Ï' có phần tử tối đại Gọi / là một phần tử tối đại của Ï` Với mỗi N“ˆ € T ta có

dim(N + N’) = max{dim N, dim N’} < d

Vithé N+ N’€T Do N C N +N‘ va do tinh t6i dai cua N ta suy ra N=N+N’, ttc la NC N Vậy N là môđun con lớn nhất của M có

Ki hiéu Uj,(0) là môđun con lớn nhất của M c6 chiéu nho hon d Két

quả sau đây cho ta cách tính toán médun Uj,(0) thong qua mot phan tích

nguyên sơ thu gọn của môđun con 0 của M

2.1.4 Bổ để (xem JCN1]) Giả sử 0 = () N(p) là một phân tích

2.1.5 Bo đề Ass(⁄/U;;(0)) = {p € Ass M : dim R/p = d}

Chitng minh Cho p € Ass M véi dim R/p = d Vì dim Uạ¿(0) < d nên

dim R/q < d với mọi q € Ass n;(0) Vì thế p € Ass Uj, (0) Lai do Ass M C Ass Uj,(0) U Ass M/Uj,(0)

nên ta cé p € Ass M/Uj,(0) Vi thế

Ass M/Uy,(0) > {p € AssM : dim R/p = d}

Ngược lại cho p € Ass Ä//U;(0) Khi đó p = Annp(m), trong đó ?7m = m+Uy,(0) € M/Uj,(0) Vip 4 R nên rm £ (0) Do đó dim Tềm = d (vì tất cả các môđun con của ⁄ có chiều nhỏ hơn ở đều chứa trong U;(0)) Suy ra dim(m + Ưx;(0)) = d Vì thế

d = dim(Rm + Uj (0)) = max{dim Uj, (0), dim( Rm) }.