Một số đặc trưng về tính catenary của giá không trộn lẫn

1 Bộ giáo dục đào tạo trờng đại học vinh Nguyễn Thị Bích Phợng Một Đặc trng tính catenary giá không trộn lẫn luận văn thạc sỹ toán học Chuyên ngành: ĐạI số lý thuyếT số M· sè: 60.46.05 Ngêi híng dÉn khoa häc TS Ngun ThÞ Hång Loan Vinh - 2010 Mơc lơc Mơc lục 01 Mở đầu 02 Chơng I Kiến thức chuẩn bị 04 1.1 Iđêan nguyên tố iđêan tối đại 04 1.2 Phổ giá môđun 04 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 05 1.4 Vành địa phơng 06 1.5 Vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m adic 06 1.6 Chiều Krull môđun 07 1.7 Chiều Noether 08 1.8 HƯ tham sè 08 1.9 Ph©n tÝch nguyên sơ 09 1.10 Biểu diễn thứ cấp 10 1.11 Môđun đối đồng điều địa phơng 12 1.12 Đối ngẫu Matlis 13 1.13 Đồng cấu phẳng 14 Chơng Tính Catenary giá không trộn lẫn 16 2.1 Vành catenary 16 2.2 Giá không trộn lẫn 18 2.3 Tính catenary giá không trộn lẫn 23 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Mở đầu Cho R vành giao hoán, Noether R đợc gọi vành catenary với cặp iđêan nguyên tố q p R tồn dÃy nguyên tố bÃo hòa q p dÃy nguyên tố bÃo hòa q p có chung độ dài Tính catenary vành đà đợc quan tâm nghiên cứu W Krull từ năm 1937 Những công trình W Krull, M Nagata, I S Cohen, D Ferand M Raynaud nghiên cứu tính catenary đà làm phong phú lí thuyết này, cho thấy liên quan chặt chẽ với nhiều lĩnh vực khác Đại số giao hoán nh vành định chuẩn, môđun Cohen Macaulay tối đại Có hai lớp vành catenary quan trọng đợc biết đến Lớp vành thứ đợc W Krull báo ông năm 1937 ông đợc coi ngời đặt móng nghiên cứu giả thuyết dÃy iđêan nguyên tố Bài báo đợc công bố vào năm 1946 Cohen đà lớp vành catenary vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m adic Hầu hết vành đợc biết đến áp dụng toán học catenary Năm 1956, Nagata đà phát lớp vành catenary nữa, miền nguyên địa phơng tựa không trộn lẫn đồng thời ông xây dựng lớp miền nguyên không catenary Cho M R môđun Ký hiệu U M (0) môđun lớn M có chiều nhỏ dim M Đặt Usupp M = Supp ( M / U M (0) ) Khi Usupp M đợc gọi giá không trộn lẫn M Bài báo [4] Nguyễn Tự Cờng, Nguyễn Thị Dung Lê Thanh Nhàn năm 2007 đề cập đến môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao tính catenary giá không trộn lẫn môđun hữu hạn sinh Mục đích luận văn dựa vào báo [4], trình bày lại đặc trng tính catenary giá không trộn lẫn Usupp M Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn đợc chia thành hai chơng Chơng I: Kiến thức chuẩn bị Chơng trình bày số khái niệm sở có sử dụng luận văn nhằm làm sở cho việc trình bày chơng II nh: iđêan nguyên tố, iđêan tối đại, iđêan nguyên tố liên kết môđun, phổ giá môđun, vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m adic, môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao Chơng II: Tính catenary giá không trộn lẫn Chơng trình bày đặc trng tính catenary giá không trộn lẫn Usupp M Đó việc tính catenary giá không trộn lẫn Usupp M M tơng đơng với tính d chất linh hóa tử môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao Hm (M) trình bày chứng minh tính chất Luận văn đợc hoàn thành trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn trân trọng đến cô thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học trờng Đại học Vinh, Ban giám hiệu trờng THPT Nguyễn TrÃi, bạn bè, đồng nghiệp gia đình đà tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu Chơng I Kiến thức chuẩn bị Chơng trình bày số khái niệm sở có sử dụng luận văn nh: iđêan nguyên tố, iđêan tối đại, iđêan nguyên tố liên kết môđun, phổ giá môđun, vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m adic, môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao 1.1 Iđêan nguyên tố iđêan tối đại Iđêan P vành R đợc gọi iđêan nguyên tè nÕu P ≠ R vµ ∀ a, b∈ R mà ab P a P b P Iđêan P vành R đợc gọi iđêan tối đại P R P không thực chứa iđêan Q R R, nghĩa tồn iđêan Q vành R mà P Q R Q = P Q = R 1.2 Phổ giá môđun 1.2.1 Phổ vành Kí hiệu Spec R tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi Spec R đợc gọi phổ vành R Với iđêan I R ta kí hiệu V ( I ) = { P ∈ Spec R P I } 1.2.2 Giá môđun Tập { } Supp M = P ∈ Spec R M p Spec R đợc gọi giá môđun M Với x M ta kÝ hiÖu AnnR (x) = { a ∈ R ax = 0} ; AnnR M = { a ∈ R aM = 0} = { a ∈ R ax = 0, ∀ x ∈ M} Ta cã AnnR (x ) AnnR M (hoặc Ann (x ) Ann M không để ý đến vành R) iđêan vành R, AnnRM đợc gọi linh hóa tử môđun M Hơn nữa, M R môđun hữu hạn sinh Supp M = V (AnnR M) = { P ∈ Spec R AnnR M P} 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 1.3.1 Định nghĩa Cho M R - môđun Ta gọi iđêan nguyên tố P R iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x M, x cho P = (0 : R x) = AnnR (x) Tập iđêan nguyên tố liên kết M đợc kí hiệu AssR M (hoặc Ass M không ®Ĩ ý ®Õn vµnh R) Ass M = { P ∈ Spec R P = Ann (x) víi x ∈ M} 1.3.2 Tính chất (i) P iđêan nguyên tố liên kết M tồn môđun Q M cho Q ≅ R / P (ii) Gäi ∑ = { Ann (x) x M} Khi P phần tử tối đại P iđêan nguyên tố liên kết M (iii) R vành Noether M R - môđun Khi Ass M ≠ ∅ vµ chØ M ≠ Hơn M R - môđun Noether tập Ass M tập hữu hạn (iv) Cho M R - môđun N môđun M Ass N Ass M (v) Cho M R - môđun Khi đó: Ass M Supp M NÕu P ∈ Supp M vµ P tèi tiĨu Supp M theo quan hệ bao hàm P Ass M 1.3.3 Bổ đề Giả sử → M ′ → M → M ′′ → dÃy khớp ngắn R môđun Khi ®ã: (i) Ass M ′ ⊆ Ass M ⊆ Ass M ′ ∪ Ass M ′′; (ii) Supp M ⊆ Supp M Supp M 1.4 Vành địa phơng Vành R đợc gọi vành địa phơng có iđêan tối đại 1.5 Vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m adic Cho ( R, m ) vành tựa địa phơng Ta xét R nh vành tôpô với sở lân cận phần tử iđêan m t , t = 0, 1, 2, Chó ý sở lân cận phần tử tïy ý r ∈ R gåm c¸c líp ghÐp r + m t víi t = 0, 1, 2, Khi vành đầy đủ theo tôpô m adic R kí hiệu R đợc định nghĩa cách thông thờng theo ngôn ngữ dÃy Cauchy nh sau: Mét d·y Cauchy R lµ mét d·y (rn ) phần tử R cho với t > , tồn số tự nhiên n0 ®Ĩ rn − rm ∈ m t víi mäi m, n > n0 DÃy (rn ) đợc gọi hội tụ dÃy không với t > tồn số tự nhiên n0 để rn − = rn ∈ m t víi mäi n > n0 Hai d·y Cauchy (rn ) vµ (sn ) đợc gọi tơng đơng, kí hiệu (rn ) : ( sn ) nÕu d·y (rn − sn ) dÃy không Khi quan hệ ~ tập dÃy Cauchy quan hệ tà ơng đơng Ta kí hiệu R tập lớp tơng đơng dÃy Cauchy Chú ý (rn ) (sn ) dÃy Cauchy d·y (rn + sn ), (rn sn ) cịng lµ dÃy Cauchy lớp tơng đơng dÃy (rn + sn ), (rn sn ) kh«ng phơ thc vào việc chọn đại diện lớp tơng đơng dÃy (rn) (sn) tức lµ (rn ) : (rn′ ) vµ (sn ) : (sn ) th× (rn + sn ) : (rn′ + sn ) µ ′ vµ (rn sn ) : ( rn sn ) Vì trang bị phép toán hai + R, với hai phép toán R lập thành vành Mỗi phần tử r R đồng với lớp tơng đơng dÃy Cauchy mà tất phần tử dÃy r Vì ta có đơn cấu tự nhiên vành µ R→R r a ( r) ®ã ( r ) dÃy mà tất phần tử r Do à xem R lµ vµnh cđa vµnh R Khi R = R ta nói R vành đầy đủ theo tôpô m adic ( gọi tắt vành đầy đủ ) Định t nghĩa tơng tự cho môđun M với sở lân cận phần tử { m M} Khi à M R - môđun với phép nhân vô híng nh sau: µ µ µ víi a = (a1 , a2 , ) ∈ R, x = ( x1 , x , ) ∈ M, ta cã ax = ( a1 x1 , a2 x2 , ) ∈ M 1.6 Chiều Krull môđun 1.6.1 Định nghĩa Cho R vành giao hoán Một dÃy giảm iđêan nguyên tố R: P0 P1 P2 Pn đợc gọi xích nguyên tố có độ dài n (i) Cho P Spec R Cận tất độ dài xích nguyên tố với P0 = P đợc gọi độ cao P, kí hiệu ht ( P) Nghĩa ht ( P) = sup { độ cao xÝch nguyªn tè víi P0 = P} Cho I iđêan R ta định nghÜa ht ( I ) = inf { ht ( P) P ∈ Spec R , P ⊇ I } (ii) Cận tất độ dài xích nguyên tố R đợc gọi chiỊu Krull cđa vµnh R, kÝ hiƯu lµ dim R Ta cã dim R = sup { ht ( P ) P ∈ spec R} (iii) Cho M lµ R- môđun Khi dim ( R / AnnR M ) đợc gọi chiều Krull môđun M, kí hiệu dimR M (hoặc dim M ta không để ý đến vành R) Nh vậy, dim R vô hạn ht ( P) vô hạn dim M dim R Chú ý dim M = dim M 1.6.2 Định lý Cho R lµ vµnh Noether vµ M lµ R – môđun hữu hạn sinh Khi mệnh đề sau tơng đơng: (i) M R môđun có độ dài hữu hạn; (ii) R / AnnR M vành Artin; (iii) dim M = 1.6.3 Định lý Cho → M ′ → M → M ′′ → dÃy khớp ngắn R môđun Khi ®ã: dim M = max { dim M ′, dim M ′′} 1.7 ChiỊu Noether 10 Cho M lµ R môđun Chiều Noether M, ký hiệu N dim M, đợc định nghĩa nh sau: Khi M = ta đặt N dim M = − Cho mét sè nguyªn d ≥ ta đặt N dim M = d N dim M < d sai với dÃy tăng môđun M0 M1 M2 M, tồn số tự nhiên n0 cho N − dim ( Mn + / Mn ) < d víi mäi n > n0 Nh vËy N − dim M = vµ chØ M ≠ vµ M lµ Noether 1.8 Hệ tham số Cho R vành giao hoán, địa phơng, Noether với iđêan tối đại m, M R - môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d > (i) Mét hÖ gåm d phÇn tư x : = (x1 , , x d ) m đợc gọi hệ tham sè cña M nÕu l R ( M /(x1 , , x d ) M) < ∞ ( l () kí hiệu độ dài R - môđun) (ii) NÕu x : = (x1 , , x d ) hệ tham số M hệ phần tử (x1 , , xi ) đợc gọi phần hệ tham số với i = 1,2, , d (iii) Iđêan q đợc sinh mét hÖ tham sè x : = (x1 , , x d ) đợc gọi iđêan tham số M víi q = (x1 , , x d ) R Ta cã mét sè tÝnh chÊt sau cđa hƯ tham số (i) Mọi hoán vị hệ tham số R - môđun M hệ tham sè cña M (ii) NÕu x : = ( x1 , , x d ) lµ mét hƯ tham sè cđa M th× víi mäi i = 1,2, , d ta cã dim ( M /( x1 , , xi ) M ) = d − i (iii) xi + ∉℘ víi ℘∈ Ass ( M /( x1 , , xi ) M ) tháa m·n dim R /℘ = d − i víi ∀ i = 1, , d 20 môđun M 2.2.2 Bổ đề Giả sử = I p Ass M N (p ) phân tích nguyên sơ thu gọn môđun M, N (p) p - nguyên sơ Khi U M (0) = I N ( p) p ∈ Ass M , dim R/ p = d 2.2.3 Bæ ®Ò Ass ( M /U M (0)) = { p ∈ Ass M dim R / p = d} Chøng minh Tríc hÕt ta chøng minh Ass ( M /U M (0)) ⊇ { p ∈ Ass M dim R / p = d} LÊy p ∈ Ass M víi dim M = d vµ dim R / p = d Víi mäi q ∈ AssU M (0) dim U M (0) < d nên dim R / q < d Do ®ã, p ∉ AssU M (0) (v× dim R / p = d ) Do dim U M (0) < d = dim M nªn tõ d·y khíp → U M ( 0) → M → M / U M ( 0) → 0, theo Bỉ ®Ị 1.3.3, ta cã Ass M ⊆ AssU M (0) ∪ Ass ( M /U M (0)) V× p ∈ Ass M vµ p ∉ AssU M (0) nªn suy p ∈ Ass ( M /U M (0)) VËy Ass ( M /U M (0)) ⊇ { p ∈ Ass M dim R / p = d} (1) Ta chứng minh chiều ngợc lại Ass ( M /U M (0)) ⊆ { p ∈ Ass M dim R / p = d} ThËt vËy, cho p ∈ Ass ( M /U M (0)) Khi ®ã p = AnnR (m ), ®ã, m = m + U M (0) ∈ M /U M (0) V× p = AnnR (m) = { a ∈ R am = 0} = { a ∈ R a m + U M (0) = 0} p R nên 21 m U M (0) Vì tất môđun M có chiều nhỏ d chứa U M (0) mµ m ∉ U M (0) Rm môđun M nên dim Rm = d Suy dim ( Rm + U M (0)) = d Còng tõ dim U M (0) < d = dim M, ta cã d·y khíp → U M (0) → M → M /U M (0) 0, theo Định lý 1.6.3, ta có d = dim M = max { dimU M (0), dim M /U M (0)} V× thÕ suy d = dim ( Rm + U M (0)) = max { dimU M (0), dim ( Rm )} Do dim U M (0) < d nªn dim ( Rm) = d Mặt khác p = AnnR (m) nên dim R / p = dim ( Rm) = d HiÓn nhiªn ta cã AnnR m ⊆ AnnR m = p Do ®ã d = dim R / p ≤ dim ( Rm ) = d Suy dim R / p = dim (Rm ) = d, v× thÕ p iđêan tối tiểu AnnR ( Rm) Do p ∈ Ass ( Rm ) ⊆ Ass M Suy Ass ( M /U M (0)) ⊆ { p ∈ Ass M dim R / p = d} (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Ass ( M /U M (0)) = { p ∈ Ass M dim R / p = d} W Từ bổ đề này, ta thấy iđêan nguyên tố liên kết M /U M (0) có chiều nh Điều đa đến khái niệm sau 2.2.4 Định nghĩa Tập Supp ( M / U M (0)) đợc gọi giá không trộn lẫn môđun M đợc ký hiệu Usupp M Nh vËy Usupp M = Supp ( M / U M (0)) 22 Tõ Bỉ ®Ị 2.2.3, ta cã hƯ qu¶ sau 2.2.5 HƯ qu¶ Supp ( M / U M (0)) = U V ( p ) p ∈ Ass M , dim R / p = d 2.2.6 Bỉ ®Ị Cho p ∈ Supp M Khi ®ã p ∈ Usupp M nÕu vµ chØ nÕu d d p AnnR Hm ( M) Đặc biệt Usupp M = V ( AnnR Hm ( M )) Chøng minh Theo Bỉ ®Ị 1.11.3, ta cã d Att R Hm ( M) = { p ∈ AssR M dim R / p = d} d Theo Bỉ ®Ị 1.10.5, tập iđêan nguyên tố tối tiểu chứa AnnR Hm ( M) d tập phần tử tèi tiĨu cđa tËp Att R Hm (M) V× thÕ theo HƯ qu¶ 2.2.5, ta cã d V ( AnnR Hm (M)) = U V ( p) = Usupp M W p ∈ Ass M, dim R / p = d Mệnh đề sau mối quan hệ Usupp M Usupp M { } ˆ 2.2.7 MƯnh ®Ị Usupp M ⊇ p ∩ R: p ∈ Usupp R M µ µ ˆ ˆ ˆ Chøng minh Cho p ∈ Usupp ¶ Khi ®ã p ⊇ q víi q ∈ AssR M nµo ®ã tháa ˆ M µ { } µ µ ˆ ˆ ˆ m·n ®iỊu kiƯn dim R / q = d V× AssR M = p ∩ R : p Ass M nên suy q R Ass M Hơn nữa, d dim ( R /( q ∩ R )) ≥ dim R / q = d nªn ta cã ˆ ˆ ˆ ˆ dim ( R /(q ∩ R )) = d Vì p R q R nên từ định nghĩa giá không trộn lẫn ta suy p ∩ R ∈ Usupp M VËy { } µ ˆ ˆ Usupp M ⊇ p ∩ R : p UsuppR M W Định lý sau cho điều kiện cần đủ để dấu = mệnh đề xảy 23 { } 2.2.8 Định lý Usupp M = p ∩ R : p ∈ UsuppR M vµ chØ µ d AnnR (0 : H d ( M ) p ) = p với iđêan nguyªn tè p ⊇ AnnR H m (M ) m Chứng minh Trớc hết ta có khẳng định sau { } ˆ ˆ V (AnnR A) = p ∩ R : p ∈ V ( AnnR A) vµ chØ AnnR (0 : A p ) = p víi iđêan nguyên tố p AnnR A, A R - môđun Artin Thật vậy, giả sư AnnR (0 : A p ) = p víi iđêan nguyên tố p AnnR A, A R - môđun Artin, ta chứng minh { } ˆ ˆ V (AnnR A) = p ∩ R : p ∈ V (AnnR A) µ ˆ ˆ Cho pV(AnnR A) Khi tồn iđêan nguyên tè tèi tiĨu q chøa AnnR A µ µ ˆ ˆ cho p ⊇ q Theo Bỉ ®Ị 1.10.5, iđêan nguyên tố tối tiểu chứa AnnR A iđêan nguyên tố gắn kết R - môđun Artin A, q Att R A Theo Bổ đề 1.10.6, ta có { } ˆ ˆ Att R A = p ∩ R : p ∈ AttR A µ ˆ ˆ V× thÕ q ∩ R ∈ Att R A Suy q R V(AnnR A) ta suy ˆ p ∩ R ∈ V(AnnR A) Do ®ã { } ˆ ˆ V (AnnR A) ⊇ p ∩ R : p ∈ V (AnnR A) µ Cho p ∈ V (AnnR A) V× AnnR (0 : A p) = p nên rõ ràng iđêan nguyên tố chứa AnnR (0 : A p) phải chứa p, p iđêan nguyên tố nhỏ nhÊt chøa AnnR (0 : A p) Theo Bỉ ®Ị 1.10.5, ta suy p ∈ Att R (0: A p) Tõ { } ˆ ˆ Att R (0: A p) = p ∩ R : p ∈ Att R (0: A p ) nên tồn iđêan nguyên tố p Att R (0: A p ) cho p R = p Vì 24 ˆ ˆ ˆ p ∈ Att R (0: A p ) nªn p ⊇ AnnR (0 : A p) Vì p V (AnnR A) p R = p, tøc ˆ µ µ µ lµ { } ˆ ˆ V (AnnR A) ⊆ p ∩ R : p ∈ V (AnnR A) µ { } ˆ ˆ VËy V (AnnR A) = p ∩ R : p ∈ V ( AnnR A) µ { } Ngợc lại, từ V (AnnR A) = p ∩ R : p ∈ V (AnnR A) ta cần chứng minh AnnR (0 : A p ) = p với iđêan nguyên tố p AnnR A { } ˆ ˆ Cho p ∈ V (AnnR A) Do V ( AnnR A) = p ∩ R : p ∈ V (AnnR A) nªn suy tån iđêan nguyên tố p V (AnnR A) cho p ∩ R = p Theo tính chất đối à d ngÉu Matlis ta suy AnnR (0 : Hm (M) p) = p Lại có pR p nên ta cã ˆ µ ˆ ˆ p ⊆ Ann (0 : A p) = Ann (0 : A pR ) ⊆ AnnR (0 : A p ) ∩ R = p ∩ R = p µ Suy Ann (0 : A p) = p Khẳng định đợc chứngminh W Từ tính chất tập iđêan nguyên tố liên kết M / U M (0) tập d iđêan nguyên tố gắn kết H m (M ) ta cã d V (AnnR Hm ( M)) = d V (AnnR Hm ( M )) = µ U V (p ) = Usupp M p ∈ Ass M , dim R / p = d U µ µ ˆ ˆ p ∈ Ass M , dim ( R / p ) = d { µ ˆ V (p ) = Usupp R M µ } µ ˆ ˆ V× thÕ Usupp M = p ∩ R : p UsuppR M tơng đơng với điều kiện { } d d ˆ ˆ V (Ann Hm ( M )) = p ∩ R : p ∈ V( AnnR H m ( M ) µ 25 d Do Hm ( M) môđun Artin nên theo khẳng định phần đầu chứng d minh này, đẳng thức xảy AnnR (0: Hm ( M ) p) = p với d iđêan nguyªn tè p ⊇ AnnR Hm ( M) W 2.3 Tính catenary giá không trộn lẫn 2.3.1 Định nghĩa Ta nói Supp M catenary với cặp iđêan nguyên tố p, q Supp M với p q tồn dÃy nguyên tố bÃo hòa xuất phát từ p kết thúc q tất dÃy nguyên tố bÃo hòa nh có chung độ dài 2.3.2 Nhận xét Từ định nghĩa tính catenary Supp M ta thÊy r»ng Supp M lµ catenary vµ chØ vành R / Ann M catenary Do theo kÕt qu¶ cđa R J Ratliff, ta cã Supp M lµ catenary vµ dim R / p = d víi iđêan nguyên tố p Ass M dim R / p + dim M p = d víi mäi p∈Supp M Sư dơng nhËn xÐt vỊ tính chất catenary áp dụng cho giá không trén lÉn Usupp M = Supp ( M / U M (0)) víi chó ý r»ng dim R / p = d với iđêan nguyên tố p Ass M / U M (0), ta cã mƯnh ®Ị sau 2.3.3 Mệnh đề Giá không trộn lẫn Usupp M M lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu dim R / p + dim M p = d víi mäi p Usupp M Trớc trình bày kết báo [4] N T Cờng, N T Dung L T Nhàn ta cần bổ đề sau 2.3.4 Bổ đề Giả thiết R đầy đủ theo tôpô m adic Cho M R -môđun hữu hạn sinh thỏa mÃn tính chất dim R / p = d víi mäi p ∈ Ass M 26 Khi ®ã dim R / p = d − r víi mäi phÇn hƯ tham sè ( x1 , , xr ) cđa M vµ mäi iđêan nguyên tố tối tiểu p M /( x1 , , x r ) M Chøng minh V× ( x1 , , xr ) phần hệ tham sè cđa M nªn theo Mơc 1.8, ta cã dim ( R/ Ann M + ( x1 , , x r ) R ) = dim ( M /( x1 , , x r ) M ) = d − r Thêm nữa, p iđêan nguyên tố tối tiĨu cđa Ann M + ( x1 , , x r ) R nªn ta cã dim R/ p ≤ d r Gọi q iđêan nguyên tố tối tiĨu chøa Ann M cho q ⊆ p V× q AssR M nên theo giả thiết ta có dim R/q = d Hơn nữa, p iđêan nguyªn tè tèi tiĨu cđa Ann M + ( x1, , x r ) R vµ Ann M ⊆ q p nên ta dễ thấy p iđêan nguyªn tè tèi tiĨu cđa q + ( x1 , , x r ) R Do ®ã ht ( p / q) không vợt r Vì R/q catenary chiều d nên theo Mệnh đề 2.1.5, ta có ht (p / q) + dim R / p = d Suy dim R / p = d − ht (p/q) Do ht ( p / q ) ≤ r nªn dim R/ p = d − ht (p / q) d r Mặt khác dim R / p ≤ d − r cho nªn dim R/ p = d − r W d 2.3.5 Bæ ®Ò Cho p ∈ V ( Ann Hm ( M)) cho dim M p + dim R/ p = d Khi d ®ã Ann (0 : Hm ( M ) p) = p d Chøng minh Gi¶ sư p Ann Hm ( M ) iđêan nguyên tố cña R cho d dim M p + dim R/ p = d Theo Mơc 1.2.1 th× p ∈ V ( Ann Hm ( M)) Đặt dim R / p = d − r Theo gi¶ thiÕt ta suy dim M p = r Vì tồn iđêan nguyên tố q Ass M cho q ⊆ p vµ ht ( p / q ) = r V× dim R / q ≥ dim R / p + ht (p / q) = d nªn ta suy dim R / q = d Chó ý r»ng 27 µ µ dim R / pR = dim R / p = d − r µ à Vì tồn iđêan p ∈ AssR R / pR cho dim R / p = d r Vì à ˆ ˆ ˆ p ∈ AssR R / pR nªn ta cã p ∩ R ∈ Ass R / p Do ®ã p ∩ R = p Chó ý r»ng ánh à xạ tự nhiên R R đồng cấu hoàn toàn phẳng, đồng cấu thỏa mÃn Định lí xuống (xem Mục 1.13) Vì tồn iđêan nguyên tố ˆ ˆˆ ˆ q ∈ Spec R cho q ∩ R = q, q ⊆ p vµ ht ( p / q) r Do à d = dim R / q = dim R / qR µ ˆ ≥ dim R / q µ ˆ ˆˆ = dim R / p + ht (p / q) ≥d−r+r =d µ ˆ µ ˆ Tøc lµ d ≥ dim R / q ≥ d Suy dim R / q = d Hơn nữa, đồng cấu cảm sinh à$ Rq R q hoàn toàn phẳng Mq nên Mq Rq à ˆ R q ≅ M q ≠ Do ®ã từ d tính chất đối ngẫu Matlis ta suy AnnR (0 : Hm ( M ) p ) = p V× vËy ˆ ˆ p ⊆ Ann (0 : H d ( M ) p) ⊆ AnnR (0 : H d ( M ) p) ∩ R = p ∩ R = p µ m m d Do ®ã Ann (0 : H m ( M ) p) = p W 2.3.6 Bổ đề Giả sử N môđun R - môđun hữu h¹n sinh M cho dim M / N = dim M = d Khi phần hệ tham số M phần hệ tham số M / N 28 Chøng minh Gi¶ sư ( x1, , xr ) phần hệ tham số M Khi tồn phần tử x r + , , xd ∈ m cho ( x1 , , xd ) lµ hƯ tham sè cđa M Suy M /(N + ( x1 , , xd ) M ) có độ dài hữu hạn Vì dim M / N = d ta suy ( x1 , , xd ) cịng lµ hƯ tham sè cđa M / N V× vËy ( x1 , , xd ) phần hệ tham số M / N W Định lý sau kết báo [4] N T Cờng, N T Dung L T Nhàn Định lý cho ta thấy đặc trng tính catenary giá không trộn lẫn Usupp M thông qua tính chất linh hóa tử d môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao Hm (M) d 2.3.7 Định lý Usupp M lµ catenary vµ chØ AnnR (0 : Hm ( M ) p ) = p với d iđêan nguyên tố p AnnR Hm ( M ) Chứng minh Giả sử Usupp M catenary, ta chøng minh AnnR (0: H d ( M ) p ) = p m d d víi mäi iđêan nguyên tố p AnnR Hm ( M) Cho p ∈ V ( Ann Hm (M)) V× Usupp M catenary nên dim M p + dim R / p = d Do ®ã theo Bỉ ®Ị 2.3.5, ta cã Ann (0 : d Hm ( M ) d p ) = p V× vËy Hm ( M ) tháa m·n tÝnh chÊt d AnnR (0 : H d ( M ) p) = p với iđêan nguyên tè p ⊇ AnnR Hm ( M ) m 29 d d Ngợc lại, từ AnnR (0: Hm ( M ) p ) = p với iđêan nguyên tố p AnnR Hm ( M) ta cần phải chứng minh Usupp M catenary Theo Mệnh đề 2.3.3, để chøng minh Usupp M lµ catenary ta chøng minh dim R / p + dim M p = d víi mäi p ∈ Usupp M Gi¶ sư p ∈ Usupp M Nếu p = m rõ ràng dim R / m + dim Mm = + dim M = d Do đó, ta giả sử p m Đặt dim R / p = d r Ta cần chứng minh dim M p = r Vì p ⊇ Ann M / U M (0) nªn ta cã dim ( M / U M (0)/ p ( M /U M (0)) ) = dim R / p = d r Vì tồn phần hƯ tham sè ( x1 , , xr ) cđa M / U M (0) p Rõ ràng phần hệ tham số tối đại p, tức không tồn phần tử y p ®Ĩ ( x1 , , xr , y ) lµ phÇn hƯ tham sè cđa M / U M (0) Vì p Usupp M nên theo Định lý 2.2.8, tồn iđêan nguyên tố p ∈ UsuppR M cho p ∩ R = p à Đặt M = M / U M (0) Vì ( x1 , , xr ) phÇn hƯ tham sè cđa M / U M (0) nên theo à Mục 1.8, phần hệ tham số môđun đầy đủ m adic M / U M (0) · µ cđa M / U M (0) Vì M môđun thơng môđun M / U M (0) à dim M = dim M / U M (0) nªn theo Bỉ ®Ị 2.3.6, ( x1, , xr ) cịng µ lµ phÇn hƯ tham sè cđa M Chó ý ( ) p SuppR ả /(x1 , , x r ) M M Vì p p1 với iđêan nguyên tố tối tiểu ( ) p1 ∈ SuppR ¶ /( x1 , , x r − 1) M M µ 30 ( ) ả M Vì x r phần tử tham sè cđa ¶ /( x1 , , xr −1) M , theo Bỉ ®Ị 2.3.4, ta suy x r p1 Đặt p1 = p1 ∩ R Khi ®ã x r ∉ p1 Vì x r p nên ta có p p1 p p1 Lập luận tơng tự, tồn iđêan nguyên tố tối tiểu ( ˆ p2 ∈ SuppR ¶ /(x1 , , x r − ) M M µ ) ˆ cho p1 p2 Đặt p2 = p2 R Khi theo Bổ đề 2.3.6 x r − ∈ p1 / p2 ˆ µ Do ®ã p1 ⊃ p2 vµ p1 ≠ p2 TiÕp tục trình trên, sau r bớc ta nhận đợc dÃy iđêan nguyên tố chứa Ann M p ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ ⊃ pr cho pi ≠ pi + víi mäi i = 1, 2, , r − V× thÕ dim M p = r Khi ®ã dim R/ p + dim M p = d − r + r = d víi mäi p ∈ Usupp M VËy Usupp M lµ catenary W Từ Định lý 2.2.8 Định lý 2.3.7 ta cã hƯ qu¶ sau 2.3.8 HƯ qu¶ Usupp M lµ catenary vµ chØ { } µ ˆ ˆ Usupp M = p ∩ R : p ∈ UsuppR M µ 2.3.9 NhËn xÐt TÝnh catenary giá không trộn lẫn Usupp M M tơng đơng với tính chất linh hóa tử môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao d Hm ( M), nhng không liên quan đến tính chất linh hóa tử môđun đối đồng i điều địa phơng Hm ( M ) khác M (tức môđun cã cÊp thÊp h¬n, i < dim M = d ) 31 Dùng Định lí 2.3.7, đặc trng đợc tính catenary Supp M Trớc hết ta nhắc lại khái niệm lọc chiều 2.3.10 Định nghĩa Lọc chiều M lọc môđun cña M = M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mt = M cho Mi − môđun lớn Mi với dim ( Mi − 1) < dim ( Mi ) víi mäi i = 1, 2, , t Theo Bỉ ®Ị 2.2.1, với R - môđun M tồn môđun lín nhÊt cđa M cã chiỊu nhá h¬n dim M môđun Vì lọc chiều M tồn 2.3.11 Bổ đề Giả sử = M0 M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mt = M lµ läc chiỊu cđa M Khi ®ã Supp M = U i = 1, , t Supp ( Mi / Mi ) Chứng minh Vì giá môđun môđun thơng M chứa giá M nªn ta cã Supp M ⊇ U i = 1, , t Supp ( Mi /Mi − ) Ngợc lại, từ dÃy khớp Mi → Mi → Mi / Mi − → víi i = 1, 2, , t, theo Bỉ ®Ò 1.3.3, ta suy Supp Mi ⊆ Supp Mi −1 ∪ Supp ( Mi / Mi −1 ) Ta cã Supp M ⊆ Supp Mt −1 ∪ Supp ( M / Mt −1 ) ⊆ Supp Mt − ∪ Supp ( Mt −1 / Mt − ) ∪ Supp ( M / Mt −1 ) 32 t ⊆ USupp ( Mi / Mi − ) i =1 t Do ®ã Supp M ⊆ USupp ( Mi / Mi − ) i =1  Supp M ⊇ U Supp ( Mi /Mi −1 )  i = 1, , t  Tõ  ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh t  Supp M ⊆ USupp ( Mi / Mi −1 )  i =1  Supp M = U i = 1, , t Supp ( Mi /Mi − ) W Gi¶ sư = M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mt = M lµ läc chiỊu cđa M vµ dim Mi = di víi mäi i = 1, 2, , t Khi giá không trộn lẫn Usupp Mi Mi chÝnh lµ tËp Supp ( Mi / Mi − ) Do ®ã, dim R / p = di víi mäi p ∈ Ass ( M i / M i ) Theo Bổ đề 2.3.11, Supp M catenary vµ chØ U i = 1, , t Supp ( Mi /Mi − ) lµ catenary tøc lµ Usupp M lµ catenary víi mäi i i = 1, 2, , t Vì theo Định lí 2.3.7, ta có kết sau d 2.3.12 Hệ Supp M lµ catenary vµ chØ AnnR (0 : Hmi ( Mi /Mi − 1) p) = p d với iđêan nguyên tố p AnnR Hmi ( Mi / Mi − ), ∀ i = 1,2, , t Tõ MƯnh ®Ị 2.1.4, ta biÕt r»ng tồn miền nguyên địa phơng Noether không catenary Chú ý miền nguyên chiều catenary (theo Chó ý 2.1.2) Trong mơc nµy, ta xem xét miền nguyên địa phơng Noether không catenary có chiỊu 33 2.3.13 VÝ dơ Cho R lµ miền nguyên Noether địa phơng chiều không catenary Đặt U = { p ∈ Spec R : dim R / p + ht p = 2} ; V = { p ∈ Spec R : dim R / p + ht p = 3} ; Khi ®ã ta cã c¸c tÝnh chÊt sau (i ) U s upp R = Spec R = U ∪ V víi U , V ≠ ∅; (ii ) Ann (0: (iii ) Ann (0: Hm ( R ) p ) = p víi mäi p ∈ V; Hm ( R ) p) ≠ p víi mäi p ∈ U ; µ (iv) Nếu p V tồn p ∈ Supp R /U R (0) ®Ĩ p ∩ R = p; µ µ ˆ ( v ) NÕu p U không tồn p Supp R /U (0) để p R = p; ˆ R 2 ( vi ) N − dim ( Hm ( R )) = vµ dim ( R / Ann Hm ( R )) = Chøng minh (i) Vì R không catenary nên U Do dim R = nªn V ≠ ∅ Râ rµng Spec R = U ∪ V (ii) Tõ chøng minh Định lý 2.3.7, ta suy Ann (0: Hm ( R ) p ) = p víi mäi p ∈ V (iii) Còng suy tõ chøng minh §Þnh lý 2.3.7, ta cã Ann (0: Hm ( R ) p ) ≠ p víi mäi p ∈ U (iv) Tõ (ii) ta cã Ann (0: Hm ( R ) p) = p víi mäi p ∈ V Tõ p∈ V suy µ µ p ∈ Usupp R Theo Định lý 2.2.8 tồn p ∈ Usupp R = SuppR /U R (0) ®Ĩ ˆ µ ˆ p ∩ R = p (v) T¬ng tù (iv), ta cịng cã víi mäi p ∈ U th× không tồn p Supp R /U R (0) để p R = p (vi) Vì U nên tồn iđêan nguyªn tè p ∈ U Chó ý r»ng p m ngợc lại dim R / p + ht (p ) = + = điều vô lí Hơn nữa, p 34 ngợc lại dim R / p + ht (p) = + = điều vô lí Do dim R / p = hc dim R / p = NÕu dim R / p = th× dim R / p + ht (p) = (vô lí) Vì dim R / p = Do đồng cấu phẳng R R hoàn toàn phẳng nên tồn à p Spec R cho $ ∩ R = p V× p ≠ m nên p mR Suy p < dim ( R / p ) ≤ dim R / p = à p Vì dim ( R / p) = Theo (v) ta cã $ ∉ Supp ( R /U R (0)) Tõ ®ã ta suy µ µ ˆ AnnR Hm ( R ) p Hơn nữa, đồng cấu tự nhiên R R phẳng nên thỏa à mÃn Định lí xuống, ht p ht p = Do tồn q ∈ Ass R cho ˆ µ ˆ µ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ q ⊂ p vµ q ≠ p Suy dim ( R / q) ≥ NÕu dim ( R / q) = q Att R Hm (R ) à p ⊇ AnnR Hm (R) (v« lÝ) Do dim ( R / q) = suy q ∈ Att R Hm ( R ) à thÕ q ⊇ AnnR Hm ( R ) Do ®ã µ 2 µ N − dim Hm ( R ) = dim R / Ann R Hm ( R ) ≥ µ 2 µ ˆ mµ N − dim Hm ( R ) ≤ nªn N − dim Hm ( R ) = V× q ∈ Att R Hm ( R ) ∩ Ass R nên ta có q R ∈ Att R Hm ( R ) ∩ Ass R Do R miền nguyên nên q R = V× 2 thÕ = Ann Hm ( R ) VËy dim ( R / Ann Hm ( R )) = KÕt luËn W ... cao Chơng II: Tính catenary giá không trộn lẫn Chơng trình bày đặc trng tính catenary giá không trộn lẫn Usupp M Đó việc tính catenary giá không trộn lẫn Usupp M M tơng đơng với tính d chất linh... Matlis 13 1.13 Đồng cấu phẳng 14 Chơng Tính Catenary giá không trộn lẫn 16 2.1 Vành catenary 16 2.2 Giá không trộn lẫn 18 2.3 Tính catenary giá không trộn lẫn 23 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo... Trình bày số tính chất vành catenary Trình bày định nghĩa số tính chất giá không trộn lẫn Usupp M môđun M Trình bày chứng minh đặc trng tính catenary giá không trộn lẫn Usupp M thông qua tính chất