11,..., 1,..., ( i/ i ). i t Supp M Supp M M− = = U W
Giả sử 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂... Mt = M là lọc chiều của M và
=
i i
dim M d với mọi i =1, 2,..., .t Khi đó giá không trộn lẫn Usupp Mi của Mi
chính là tập Supp M M( i/ i−1). Do đó, dim R p d/ = i với mọi 1
( / − ). ∈ i i
p Ass M M Theo Bổ đề 2.3.11, Supp Mlà catenary khi và chỉ khi
11,..., 1,...,
( i/ i )
i t
Supp M M −
=U là catenary tức là Usupp Mi là catenary với mọi 1, 2,..., .
i = t Vì thế theo Định lí 2.3.7, ta có kết quả sau đây.
2.3.12. Hệ quả. Supp Mlà catenary khi và chỉ khi (0 : di( / 1) )
m i i
R H M M
Ann p p
− =
với mọi iđêan nguyên tố di ( / 1), 1,2,..., .
R m i i
p⊇ Ann H M M− ∀ =i t
Từ Mệnh đề 2.1.4, ta biết rằng vẫn tồn tại những miền nguyên địa phơng Noether không catenary. Chú ý rằng mỗi miền nguyên chiều 2 là catenary (theo Chú ý 2.1.2). Trong mục này, ta xem xét một miền nguyên địa phơng Noether không catenary có chiều 3.
2.3.13. Ví dụ. Cho R là miền nguyên Noether địa phơng chiều 3 khôngcatenary. Đặt catenary. Đặt { : / 2 ;} U = p Spec R dim R p ht p∈ + = { : / 3 ;} V = p Spec R dim R p ht p∈ + = Khi đó ta có các tính chất sau
( )i U upp Rs = Spec R U= ∪ V với U V, ≠ ∅; 3( )
( ) (0: )
m
H R
ii Ann p = pvới mọi p V∈ ; 3( )
( ) (0: )
m
H R
iii Ann p ≠ p với mọi p U∈ ;
( )iv Nếu p V∈ thì tồn tại à
à
ˆ / R(0)
p Supp R U∈ để pˆ∩ =R p;
( )v Nếu p U∈ thì không tồn tại à
à
ˆ / (0)
R
p Supp R U∈ để pˆ∩ =R p;
2
( )vi N dim H R− ( m( )) 2= và dim R Ann H R( / m2( )) 3.=
Chứng minh. (i) Vì R không catenary nên U ≠ ∅. Do dim R =3 nên V ≠ ∅. Rõ ràng Spec R U V= ∪ .
(ii) Từ chứng minh Định lý 2.3.7, ta suy ra (0: 3( ) )
m
H R
Ann p = pvới mọi p V∈ .
(iii) Cũng suy ra từ chứng minh Định lý 2.3.7, ta có (0: 3( ) )
m
H R
Ann p ≠p với mọi
.
p U∈
(iv) Từ (ii) ta có (0: 3( ) )
m
H R
Ann p =pvới mọi p V∈ . Từ p V∈ suy ra .
p Usupp R∈ Theo Định lý 2.2.8 thì tồn tại à à
à ˆ / (0) R p Usupp R∈ = SuppR U để ˆ . p ∩ =R p
(v) Tơng tự (iv), ta cũng có với mọi p U∈ thì không tồn tại
à
à
ˆ / R(0)
p Supp R U∈ để ˆp∩ =R p.
(vi) Vì U ≠ ∅ nên tồn tại một iđêan nguyên tố p U∈ . Chú ý rằng p m≠ vì
vì nếu ngợc lại thì dim R p ht p/ + ( ) 3 0 3= + = điều này cũng vô lí. Do đó
/ 1
dim R p = hoặc dim R p/ =2. Nếu dim R p/ =2 thì
/ ( ) 3
dim R p ht p+ = (vô lí).
Vì thế dim R p/ =1. Do đồng cấu phẳng R→àR là hoàn toàn phẳng nên tồn tại
à
p Spec R∈ sao cho $p∩ =R p. Vì p m≠ nên p mRˆ≠ à. Suy ra
à ˆ 0<dim R p( / )≤dim R p/ =1. Vì thế dim R p( / ) 1.à ˆ = Theo (v) ta có $ à à ( / R(0)). p Supp R U∉ Từ đó ta suy ra à m3 ( ) ˆ. R
Ann H R ⊄ p Hơn nữa, vì đồng cấu tự nhiên R →Rà là phẳng nên thỏa mãn Định lí đi xuống, do đó ht p ht pˆ≥ =1. Do đó tồn tại q Ass Rˆ∈ à sao cho
ˆ ˆ
q⊂ p và ˆ ˆ.q≠ p Suy ra dim R q( / ) 2.à ˆ ≥ Nếu dim R q( / ) 3à ˆ = thì ˆ à m3( )
Rq Att H R∈ q Att H R∈
và do đó ˆ à m3( )
R
p ⊇Ann H R (vô lí). Do dim R q( / ) 2à ˆ = suy ra ˆ à m2( )
Rq Att H R∈ và vì q Att H R∈ và vì thế à 2 ˆ R m( ). q⊇ Ann H R Do đó à à 2( ) / 2( ) 2. m R m
N dim H R− =dim R Ann H R ≥
mà N dim H R− m2( ) 2≤ nên N dim H R− m2( ) 2.= Vì ˆ à m2 ( ) à
R
q Att H R∈ ∩ Ass R
nên ta có qˆ∩ ∈R Att H RR m2 ( )∩ Ass R. Do R là miền nguyên nên qˆ ∩ =R 0. Vì
thế 0= Ann H Rm2 ( ). Vậy dim R Ann H R( / m2 ( )) 3.= W
Nội dung của luận văn là trình bày lại chi tiết một phần kết quả chính trong bài báo [4] của N. T. Cờng, N. T. Dung và L. T. Nhàn. Cụ thể là chúng tôi đã hoàn thành đợc những việc sau.
1. Trình bày về một số tính chất của vành catenary.
2. Trình bày định nghĩa và một số tính chất của giá không trộn lẫn Usupp M
của môđun M.
3. Trình bày chứng minh một đặc trng về tính catenary của giá không trộn lẫn
Usupp M thông qua tính chất linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phơng
cấp cao nhất d( ).
m