Về tính catenary của vành noether địa phương và môđun artin tựa không trộn lẫn

1Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ▼ô❝ ❧ô❝ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✺ ✶✳✶ ❇✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✷ ▼ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ së ✈Ò tÝ♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✸ ▼ét sè ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✈Ị ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✷ ✸ ✸ ✳ ✳ ✳ ❈❤✐Ị✉ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✈➭ ♠ét tÝ♥❤ ❝❤✃t ❧✐♥❤ ❤♦➳ tö ✶✵ ✶✸ ✶✼ ✷✳✶ ❚❐♣ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❣➽♥ ❦Õt ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✷✳✷ ❈❤✐Ị✉ ◆♦❡t❤❡r ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✷✳✸ ▼ét tÝ♥❤ ❝❤✃t ❧✐♥❤ ❤♦➳ tö ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ❚Ý♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ✷✼ ✸✳✶ ▼➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✸✳✷ ❚Ý♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷ ✸✳✸ ▼➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ✷ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❚r♦♥❣ t♦➭♥ ❜é ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② t❛ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt ◆♦❡t❤❡r✱ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✱ A ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❚❛ ❧✉➠♥ ❝ã AnnR (M/pM ) = p ✈í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p ❝❤ø❛ AnnR M ❱× t❤Õ ❤♦➭♥ t♦➭♥ tù ♥❤✐➟♥✱ ◆❣✉②Ô♥ ❚ù ❈➢ê♥❣ ✈➭ ▲➟ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥ ❬❈◆❪ ➤➲ ①Ðt tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤è✐ ♥❣➱✉ ✈í✐ tÝ♥❤ ❝❤✃t tr➟♥ ❝❤♦ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ♥❤➢ s❛✉✿ AnnR (0 :A p) = p ✈í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p ⊇ Ann A (∗) ❑❤✐ ✈➭♥❤ R ❧➭ ➤➬② ➤ñ t❤❡♦ t➠♣➠ m✲❛❞✐❝✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ ❧✉➠♥ ➤ó♥❣ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ A ✈× ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ▼❛t❧✐s D(A) ❝đ❛ A ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ▼ét ❝➳❝❤ tỉ♥❣ q✉➳t✱ ♥Õ✉ R ❧➭ ➤➬② ➤đ t❤× ❜➺♥❣ ✈✐Ư❝ ❞ï♥❣ ➜è✐ ♥❣➱✉ ▼❛t❧✐s✱ ✈✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ư ❣✐÷❛ ♣❤➵♠ trï ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✈➭ ♣❤➵♠ trï ❝➳❝ R✲ ♠➠➤✉♥ ◆♦❡t❤❡r ❧➭ r✃t t❤✉❐♥ ❧ỵ✐✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ❦❤✐ R ❦❤➠♥❣ ➤➬② ➤đ✱ ♥❣➢ê✐ t❛ q✉❛♥ t➞♠ ①Ðt tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ ✈× ♥ã ❝❤♦ ♥❤✐Ò✉ t❤➠♥❣ t✐♥ ✈Ò ✈➭♥❤ ❝➡ së R ✈➭ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ tr➟♥ R✳ ❈ơ t❤Ĩ✱ ♥➝♠ ✷✵✵✷✱ ◆❣✉②Ơ♥ ❚ù ❈➢ê♥❣ ✈➭ ▲➟ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥ ❬❈◆❪ ➤➲ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ ♥❤➺♠ tr➯ ❧ê✐ ❝➞✉ ❤á✐ ❦❤✐ ♥➭♦ t❤× ❝❤✐Ị✉ ◆♦❡t❤❡r N-dim A ✈➭ ❝❤✐Ò✉ dim R/ AnnR A ❧➭ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉✳ ◆➝♠ ✷✵✵✼✱ tr♦♥❣ ❬❈❉◆❪✱ ◆❣✉②Ô♥ ❚ù ❈➢ê♥❣✱ ▲➟ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥✱ ◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ❉✉♥❣ ➤➲ ①Ðt tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝✃♣ ❝❛♦ ♥❤✃t Hmd (M ) ✈➭ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ♠➠➤✉♥ ♥➭② t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ✈➭♥❤ R/ AnnR (Hmd (M )) ❧➭ ❝❛t❡♥❛r②✳ ◆➝♠ ✷✵✵✾✱ ▲➟ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥ ✈➭ ❚r➬♥ ◆❣✉②➟♥ ❆♥ ❬◆❆✶❪ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ ❝❤♦ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❜❐❝ t❤✃♣ ❤➡♥✱ ❤ä ❝❤ø♥❣ tá r➺♥❣ ♥Õ✉ R ❧➭ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ỉ ❞ơ♥❣ ✈➭ t✃t ❝➯ ❝➳❝ t❤í ❤×♥❤ t❤ø❝ ❝đ❛ ♥ã ❧➭ ❈♦❤❡♥✲ ▼❛❝❛✉❧❛② t❤× Hmi (M ) t❤♦➯ ♠➲♥ ✭✯✮ ✈í✐ ♠ä✐ i ≥ 0✳ ◆❣♦➭✐ r❛ ❤ä ❝ò♥❣ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ♥Õ✉ Hmi (M ) t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ ✈í✐ ♠ä✐ i < d t❤× ✈➭♥❤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ✸ R/ AnnR M ❧➭ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ỉ ❞ơ♥❣ ✈➭ ✈➭♥❤ R/p ❧➭ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ✈í✐ ♠ä✐ p ∈ Ass M, tø❝ ❧➭ dim R/p = dim(R/p) ✈í✐ ♠ä✐ p ∈ Ass(R/pR)✳ ➜➷❝ ❜✐Öt✱ ♥➝♠ ✷✵✶✵✱ ▲➟ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥ ✈➭ ❚r➬♥ ◆❣✉②➟♥ ❆♥ ❬◆❆✷❪ ➤➲ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥✿ ▼➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ä✐ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ♥Õ✉ A dim(R/p) = dim(R/ AnnR A) ✈í✐ p ∈ AttR A ❙❛✉ ➤ã ❤ä ➤➲ ①Ðt tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ ❝❤♦ ❧í♣ ♠➠➤✉♥ ♥➭② tr♦♥❣ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ư ✈í✐ tÝ♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ❝đ❛ ✈➭♥❤ ❝➡ së ✈➭ ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥✳ ❑Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ t❤ø ♥❤✃t tr♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ♥➭② ❧➭ ➤Þ♥❤ ❧Ý s❛✉✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý✳ ✈➭♥❤ ●✐➯ sö A ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥✳ ◆Õ✉ A t❤♦➯ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ t❤× R/ AnnR A ❧➭ ❝❛t❡♥❛r② ✈➭ dim(R/ AnnR A) = dim(R/ AnnR A)✳ ❘✃t tù ♥❤✐➟♥✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ❤á✐ r➺♥❣ ❧✐Ư✉ ❝❤✐Ị✉ ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐ ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧Ý tr➟♥ ❧➭ ➤ó♥❣✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý t✐Õ♣ t❤❡♦ ❧➭ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ t❤ø ❤❛✐ ❝ñ❛ ❜➭✐ ❜➳♦ ♥➭②✱ ❝❤♦ t❛ ♠ét ❝➞✉ tr➯ ❧ê✐ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ❦❤✐ ➜Þ♥❤ ❧Ý✳ ●✐➯ sö Hmi (M ) ✭✯✮ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ ✈➭ ✈➭♥❤ A = Hmi (M )✳ ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥✳ ❑❤✐ ➤ã Hmi (M ) t❤♦➯ ♠➲♥ dim R/ AnnR (Hmi (M )) = dim R/ AnnR Hmi (M )) R/ AnnR (Hmi (M )) ❧➭ ❝❛t❡♥❛r②✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ❝❤✐ t✐Õt ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr➟♥ tr♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ❬◆❆✷❪✿ ▲✳ ❚✳ ◆❤❛♥ ❛♥❞ ❚✳ ◆✳ ❆♥✱ ❖♥ t❤❡ ❝❛t❡♥❛r✐❝✐t② ♦❢ ◆♦❡t❤❡✲ r✐❛♥ ❧♦❝❛❧ r✐♥❣s ❛♥❞ q✉❛s✐ ✉♥♠✐①❡❞ ❆rt✐♥✐❛♥ ♠♦❞✉❧❡s ✱ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s ✐♥ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✸✽✱ ✭✶✵✮✱ ✷✵✶✵✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ✸ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ■ ❧➭ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ♣❤ô❝ ✈ô ❝❤♦ ❝➳❝ ❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳ ❈❤➢➡♥❣ ■■ tr×♥❤ ❜➭② ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ị ❝❤✐Ị✉ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❈❤➢➡♥❣ ■■■ ❧➭ ♥é✐ ❞✉♥❣ ❝❤Ý♥❤✱ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ị tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ tr♦♥❣ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ư ✈í✐ tÝ♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ❝đ❛ ✈➭♥❤ ❝➡ së ✈➭ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈Ị ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn ln ợ ì t ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝ ❝đ❛ P●❙✳❚❙ ▲➟ ❚❤Þ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥✳ ◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭② t➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ì ợ tỏ ò ết ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ë ❱✐Ư♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ❍➭ ◆é✐✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✈➭ ❑❤♦❛ ❙❛✉ ➜➵✐ ❤ä❝ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ tr➢ê♥❣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ❚r♦♥❣ s✉èt ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt R ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ◆♦❡t❤❡r ✈➭ L ❧➭ R✲♠➠➤✉♥✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❈❤➢➡♥❣ ■ ❧➭ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ♣❤ô❝ ✈ô ❝❤♦ ❝➳❝ ❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳ ❚✐Õt ✶✳✶ tr×♥❤ ❜➭② ❧Ý t❤✉②Õt ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❜ë✐ ■✳ ●✳ ▼❛❝❞♦♥❛❧❞ ✶✾✼✸ ❬▼❛❝❪✳ ❚✐Õt ✶✳✷ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ së ❝đ❛ ✈➭♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ❬▼❛t❪✳ ❚✐Õt ❝✉è✐ ✶✳✸ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➬♥ t❤✐Õt ✈Ò ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❬❇❙❪✳ ✶✳✶ ❇✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ tr♦♥❣ t✐Õt ♥➭② ➤➢ỵ❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ❬▼❛❝❪ ❝đ❛ ■✳ ●✳ ▼❛❝❞♦♥❛❧❞✳ ✶✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ L ❧➭ ♠ét R✲♠➠➤✉♥✳ ✐✮ ❈❤♦ x ∈ R ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét sè tù ♥❤✐➟♥ n ➤Ó xn L = t❤× t❛ ♥ã✐ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ x tr➟♥ L ❧➭ ❧✉ü ❧✐♥❤✳ ◆Õ✉ xL = L t❤× t❛ ♥ã✐ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ x tr➟♥ L ❧➭ t♦➭♥ ❝✃✉✳ ✐✐✮ ❚❛ ♥ã✐ L ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❤♦➷❝ ❧ị② ❧✐♥❤ ✈í✐ ♠ä✐ t❤ø ❝✃♣ ♥Õ✉ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ x tr➟♥ L ❧➭ t♦➭♥ ❝✃✉ x ∈ R✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭②✱ t❐♣ ❤ỵ♣ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư ✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ✻ x ∈ R s❛♦ ❝❤♦ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ x tr➟♥ L ❧➭ ❧ò② ❧✐♥❤ ❧➭♠ t❤➭♥❤ ♠ét ✐➤❡❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p ✈➭ t❛ ❣ä✐ L ❧➭ p✲t❤ø ❝✃♣✳ ✐✐✐✮ ▼ét ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ L = L1 + + Ln tr ó ỗ Li pi tứ ♠ét ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ ❝đ❛ L✳ ❇✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❧➭ L = L1 + + Li−1 + Li+1 + + Ln ✈í✐ ♠ä✐ i✮✳ ✐✈✮ ◆Õ✉ ế pi ột ỗ Li ❧➭ ❦❤➠♥❣ t❤õ❛ ✭tø❝ L ❝ã ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ tè✐ t❤✐Ĩ✉ t❤× t❛ ♥ã✐ L ❧➭ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝✳ P❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❝đ❛ t✐Õt ♥➭② ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ỗ ể ễ tứ ề ó tể q ề tè✐ t❤✐Ĩ✉✳ ❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❝➬♥ ❜ỉ ➤Ị s❛✉✳ ✶✳✶✳✷ ❇ỉ ➤Ị✳ ❈❤♦ L ❧➭ R✲♠➠➤✉♥✳ ✐✮ ❚ỉ♥❣ trù❝ t✐Õ♣ ❝đ❛ ❤÷✉ ❤➵♥ ♠➠➤✉♥ ✐✐✮ ▼➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ ❦❤➳❝ ✐✐✐✮ ◆Õ✉ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ L1 , , Lr p✲t❤ø ❝✃♣ ❧➭ p✲t❤ø ❝✃♣✳ ❝ñ❛ ♠ét ♠➠➤✉♥ p✲ t❤ø ❝✃♣ ❧➭ p✲t❤ø ❝✃♣✳ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ p✲t❤ø ❝✃♣ ❝ñ❛ L t❤× L1 + + Lr ❧➭ p✲t❤ø ❝✃♣ ❝đ❛ L ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮✳ ●✐➯ sư ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ L1 , , Ln ❧➭ p✲t❤ø ❝✃♣✳ ❈❤♦ x ∈ p ❑❤✐ ➤ã x tr➟♥ L1 , , Ln ❧➭ ❧ò② ❧✐♥❤✳ ❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ t ∈ N s❛♦ ❝❤♦ xt Li = ✈í✐ ♠ä✐ i ❱× t❤Õ xt (⊕ni=1 Li ) = 0, tø❝ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ x tr➟♥ ⊕ni=1 Li ❧➭ ❧ò② ❧✐♥❤✳ ❈❤♦ x ∈ / p ❑❤✐ ➤ã xLi = Li ✈í✐ ♠ä✐ i ❙✉② r❛ x(⊕ni=1 Li ) = ⊕ni=1 Li , tø❝ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ x tr➟♥ ⊕ni=1 Li ❧➭ t♦➭♥ ❝✃✉✳ ❱❐② n i=1 Li ❧➭ ✭✐✐✮✳ ❈❤♦ p✲t❤ø ❝✃♣✳ L ❧➭ p✲t❤ø ❝✃♣ ✈➭ B ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ L s❛♦ ❝❤♦ L/B = ❚❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ s❛♦ ❝❤♦ L/B ❧➭ p✲t❤ø ❝✃♣✳ ❈❤♦ x ∈ p ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ t ∈ N xt L = ❙✉② r❛ xt (L/B) = (xt L + B)/B = ❱× t❤Õ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ x tr➟♥ L/B ❧➭ ❧ò② ❧✐♥❤✳ ❈❤♦ x ∈ / p ❑❤✐ ➤ã xL = L ❙✉② r❛ x(L/B) = (xL + B)/B = (L + B)/B = L/B ❱× t❤Õ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ x tr➟♥ L/B ❧➭ t♦➭♥ ❝✃✉✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ✼ ✭✐✐✐✮✳ ➜➷t B = L1 + + Lr ✳ ❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ B = 0✳ ❳Ðt ➳♥❤ ①➵ ϕ : ⊕ri=1 Li −→ B ❝❤♦ ❜ë✐ ϕ(x1 , , xr ) −→ x1 + + xr ❉Ô t❤✃② ϕ ❧➭ t♦➭♥ ❝✃✉✳ ❙✉② r❛ r i=1 Li ❧➭ B ❧➭ ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ r i=1 Li ❚❤❡♦ ✭✐✮ ✈➭ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt✱ p✲t❤ø ❝✃♣✳ ❚❤❡♦ ✭✐✐✮ t❛ s✉② r❛ B ❧➭ p✲t❤ø ❝✃♣✳ ệ ề ứ ỗ ể ễ tứ ➤Ị✉ ❝ã t❤Ĩ q✉② ✈Ị tè✐ t❤✐Ĩ✉✳ ●✐➯ sư L = L1 + + Ln ❧➭ ♠ét ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ ❝đ❛ R✲♠➠➤✉♥ L ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ i = j s❛♦ ❝❤♦ Li ✈➭ Lj ➤Ò✉ ❧➭ p✲t❤ø ❝✃♣ t❤× t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✷✱ Li + Lj ❝ị♥❣ ❧➭ p✲t❤ø ❝✃♣✳ ❱× t❤Õ✱ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ❧♦➵✐ ➤✐ ❝➳❝ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ t❤ø ❝✃♣ t❤õ❛ ✈➭ ❣❤Ð♣ ❧➵✐ ♥❤÷♥❣ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ t❤ø ❝✃♣ ø♥❣ ✈í✐ ❝ï♥❣ ♠ét ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè✱ t❛ ❝ã t❤Ĩ rót ❣ä♥ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ ♥➭② t❤➭♥❤ ♠ét ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ tè✐ t❤✐Ĩ✉✳ P❤➬♥ tế t trì ị í t ề ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣✱ tõ ➤ã ❞➱♥ ➤Õ♥ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ t❐♣ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❣➽♥ ❦Õt ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝✳ ✶✳✶✳✹ ❇ỉ ➤Ị✳ ❝đ❛ ●✐➯ sư L = L1 + + Ln R✲♠➠➤✉♥ L✱ tr♦♥❣ ➤ã Li ❧➭ ❧➭ ♠ét ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ tè✐ t❤✐Ĩ✉ pi ✲t❤ø ❝✃♣✳ ❈❤♦ p ❧➭ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè✳ ❑❤✐ ➤ã ❝➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ ✐✮ p ∈ {p1 , , pn } ✐✐✮ L ❝ã ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ ❧➭ p✲t❤ø ❝✃♣✳ ✐✐✐✮ L ❝ã ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ Q s❛♦ ❝❤♦ AnnR (Q) = p ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐⇒✐✐✮✳ ●✐➯ sư tr♦♥❣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ p = pi ➜➷t Pi = j=i Lj ✳ ❱× Li ❦❤➠♥❣ t❤õ❛ L = L1 + + Ln ♥➟♥ L/Pi = ❍➡♥ ♥÷❛✱ L/Pi = (Li + Pi )/Pi ∼ = Li /(Li ∩ Pi ) ❱× t❤Õ L/Pi ❧➭ ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ ❦❤➳❝ ✵ ❝đ❛ Li ❱× Li ❧➭ pi ✲t❤ø ❝✃♣ ♥➟♥ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✷✱ L/Pi ❧➭ ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ pi ✲t❤ø ❝✃♣ ❝đ❛ L✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn ✽ ✭✐✐⇒✐✐✐✮✳ ●✐➯ sư P ❧➭ ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ p✲t❤ø ❝✃♣ ❝đ❛ L✳ ❱× R ❧➭ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r ♥➟♥ p ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ●✐➯ sư p = (a1 , , at ) ❱× P ptứ ỗ i = 1, , t, tå♥ t➵✐ ni s❛♦ ❝❤♦ ani P = ❈❤ä♥ n = max{n1 , , nt }✳ ❑❤✐ ➤ã pk P ➤Þ♥❤ = ✈í✐ ♠ä✐ k ≥ nt ❉♦ P ❧➭ p✲t❤ø ❝✃♣ ♥➟♥ P = ❚❛ ❦❤➻♥❣ P = pP ❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉ P = pP t❤× ✈í✐ k ≥ nt t❛ ❝ã = pk P = pk−1 (pP ) = pk−1 P = = pP = P, ➤✐Ị✉ ♥➭② ❧➭ ♠➞✉ t❤✉➱♥✳ ❱× t❤Õ Q = P/pP ❧➭ ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ ❦❤➳❝ ❝ñ❛ L ❉♦ P ❧➭ p✲t❤ø ❝✃♣ ♥➟♥ Q ❧➭ p✲t❤ø ❝✃♣✳ ❉♦ ➤ã AnnR Q ⊆ p ❘â r➭♥❣ p ⊆ AnnR Q ❙✉② r❛ AnnR Q = p ✭✐✐✐⇒✐✮✳ ●✐➯ sư Q = L/B ❧➭ ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ ❝đ❛ L s❛♦ ❝❤♦ AnnR (Q) = p ❚❛ ❝ã n n Q = L/B = ( Li )/B = i=1 (Li + B)/B i=1 ỗ i t ó (Li + B)/B ∼ = Li /(Li ∩ B) ❉♦ ➤ã✱ t❤❡♦ ❇æ ➤Ị ✶✳✶✳✷✭✐✐✮✱ ♥Õ✉ (Li + B)/B = t❤× ♥ã ❧➭ pi ✲t❤ø ❝✃♣✳ ❇➺♥❣ ✈✐Ö❝ ❜á ➤✐ ❝➳❝ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ t❤õ❛ tr♦♥❣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ Q ❝đ❛ = n i=1 (Li +B)/B t❛ ➤➢ỵ❝ ♠ét ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ tè✐ t❤✐Ĩ✉ Q ❉♦ ➤ã ❜➺♥❣ ✈✐Ö❝ ➤➳♥❤ ❧➵✐ t❤ø tù ❝➳❝ ❝❤Ø sè t❛ ❝ã t❤Ó ❣✐➯ t❤✐Õt Q ❝ã ♠ét ❜✐Ó✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ tè✐ t❤✐Ĩ✉ Q = m i=1 Qi ✱ tr♦♥❣ ➤ã Qi ❧➭ pi ✲t❤ø ❝✃♣ ✈í✐ i = 1, , m ✈í✐ ♠ét sè tù ♥❤✐➟♥ m n ♥➭♦ ➤ã✳ ❉♦ Qi ❧➭ pi ✲t❤ø ❝✃♣ ✈í✐ √ ♠ä✐ i = 1, , m ♥➟♥ ❞Ơ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ AnnR Q = p1 ∩ ∩ pm ❱× t❤Õ✱ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt ✭✐✐✐✮ t❛ ❝ã s❛♦ ❝❤♦ p = p1 ∩ ∩ pm ❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ i ∈ {1, , m} p = pi ➜Þ♥❤ ❧Ý s❛✉ ➤➞② ❧➭ ❤Ư q✉➯ trù❝ t✐Õ♣ ❝đ❛ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✹✳ ✶✳✶✳✺ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ✈➭ ✭➜Þ♥❤ ❧Ý ❞✉② ♥❤✃t t❤ø ♥❤✃t✮✳ L = L1 + + Lm tr♦♥❣ ➤ã Li ❧➭ ●✐➯ sö L = L1 + + Ln ❧➭ ❤❛✐ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝ñ❛ pi ✲t❤ø ❝✃♣ ✈➭ Li ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ L✱ qi ✲t❤ø ❝✃♣✳ ❑❤✐ ➤ã m = n ✈➭ {p1 , , pn } = {q1 , , qn } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn ✾ ✶✳✶✳✻ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ●✐➯ sö ❞✉② ♥❤✃t t❤ø ♥❤✃t✱ t❐♣ L ❧➭ R ể ễ ợ ị ý {p1 , , pn } ❝❤Ø ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ L ♠➭ ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝đ❛ ❣➽♥ ❦Õt ❝đ❛ L✳ ❚❛ ❣ä✐ ♥ã ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ L ✈➭ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ AttR L ◆Õ✉ p ❧➭ ♣❤➬♥ tư tè✐ t❤✐Ĩ✉ tr♦♥❣ t❐♣ AttR L tì t tứ t ứ ợ ọ ❧➭ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ t❤ø ❝✃♣ ❝➠ ❧❐♣ ❝đ❛ L ❈❤ó ý r➺♥❣ tå♥ t➵✐ ❤❛✐ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝đ❛ L ♠➭ ❝➳❝ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ t❤ø ❝✃♣ ø♥❣ ✈í✐ ❝ï♥❣ ♠ét ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❣➽♥ ❦Õt ❧➭ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ♥Õ✉ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❣➽♥ ❦Õt ✃② ❧➭ tè✐ t❤✐Ĩ✉ tr♦♥❣ t❐♣ AttR L t❤× t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ t❤ø ❝✃♣ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳ ➜ã ❧➭ ♥é✐ ❞✉♥❣ ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧Ý s❛✉ ➤➞②✳ ✶✳✶✳✼ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t t❤ø ❤❛✐✮✳ pi ∈ AttR L ❞✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝ ✈➭ ●✐➯ sư ●✐➯ sư ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❜✐Ĩ✉ ❑❤✐ ➤ã t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ t❤ø ❝✃♣ ø♥❣ ✈í✐ ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝ñ❛ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ L pi L L = L1 + + Ln ✈➭ L = L1 + + Ln ❧➭ ❤❛✐ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝đ❛ L✱ tr♦♥❣ ➤ã Lj ✈➭ Lj ❧➭ pj ✲t❤ø ❝✃♣✳ ❱× pi ∈ AttR L ♥➟♥ pj ⊆ pi ✈í✐ ♠ä✐ j = i ❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ ♣❤➬♥ tö a ∈ (∩j=i pj ) \ pi ❱í✐ j = i, ❞♦ a ∈ pj ♥➟♥ an Lj = = an Lj ✈í✐ n ➤đ ❧í♥✳ ❉♦ a∈ / pi ♥➟♥ an Li = Li ✈➭ an Li = Li ✈í✐ ♠ä✐ n✳ ❱× t❤Õ ✈í✐ n ➤đ ❧í♥ t❛ ❝ã an L = Li = Li P❤➬♥ ❝✉è✐ tr×♥❤ ❜➭② tÝ♥❤ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❝➬♥ ❜ỉ ➤Ị s❛✉✳ ✶✳✶✳✽ ❇ỉ ➤Ị✳ ●✐➯ sư A = ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✈➭ A ❦❤➠♥❣ ❧➭ tỉ♥❣ ❝đ❛ ❤❛✐ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ t❤ù❝ sù ❝đ❛ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sư ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❜ë✐ A✳ ❑❤✐ ➤ã A ❧➭ t❤ø ❝✃♣✳ A ❦❤➠♥❣ t❤ø ❝✃♣✳ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ x ∈ R s❛♦ ❝❤♦ x tr➟♥ A ❦❤➠♥❣ t♦➭♥ ❝✃✉ ✈➭ ❝ị♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❧✉ü ❧✐♥❤✳ ❱× t❤Õ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ✶✵ A = xA ✈➭ xn A = ✈í✐ ♠ä✐ n > ❉♦ A ❧➭ ❆rt✐♥ ♥➟♥ ❞➲② ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ {xn A} ❝ñ❛ A ❞õ♥❣✳ ❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ k > s❛♦ ❝❤♦ xn A = xk A ✈í✐ ❣✐➯♠ ♠ä✐ n ≥ k ➜➷t A1 = {a ∈ A | xk a = 0} ✈➭ A2 = xk A ❱× xk A1 = ✈➭ xk A = ♥➟♥ A1 = A ❱× A = xA ♥➟♥ A2 = A ❉♦ ➤ã A1 , A2 ❧➭ ♥❤÷♥❣ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ t❤ù❝ sù ❝đ❛ ✈í✐ v ✈í✐ ∈ A, s✉② r❛ xk (u−xk v) = ❉♦ ➤ã u−xk v ∈ A1 ❙✉② r❛ u ∈ z+xk v z ∈ A1 ❱× t❤Õ u ∈ A1 + A2 ❙✉② r❛ A = A1 + A2 , ♠➞✉ t❤✉➱♥✳ ✶✳✶✳✾ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●ä✐ A ▲✃② u ∈ A✳ ❉♦ xk A = x2k A ♥➟♥ xk u = x2k v, ▼ä✐ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ➤Ò✉ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝✳ ❈❤♦ A ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ●✐➯ sư A ❦❤➠♥❣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝✳ Γ ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ể ễ ợ ủ A ì A Γ ♥➟♥ Γ = ∅✳ ❉♦ A ❧➭ ❆rt✐♥ ♥➟♥ Γ ❝ã ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉✱ ❣ä✐ ❧➭ B ❱× B ∈ Γ ♥➟♥ B = ✈➭ B ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♠➠➤✉♥ t❤ø ❝✃♣✳ ❚❤❡♦ ❜ỉ ➤Ị tr➟♥✱ B ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝ t❤➭♥❤ tỉ♥❣ ❝đ❛ ❤❛✐ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ t❤ù❝ sù ❝ñ❛ B ✱ tø❝ ❧➭ B = B1 + B2 ✈í✐ B1 , B2 ❧➭ ❤❛✐ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ t❤ù❝ sù ❝đ❛ B ❱× B ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ♥➟♥ B1 , B2 ∈ / Γ, tø❝ ❧➭ B1 , B2 ❧➭ ❜✐Ó✉ ễ ợ ì tế B = B1 + B2 ũ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝✱ ✈➠ ❧ý✳ ✶✳✷ ▼ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ së ✈Ò tÝ♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ▲✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt R ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ ◆♦❡t❤❡r✳ ❚r♦♥❣ t✐Õt ♥➭② ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ së ✈Ị tÝ♥❤ ❝❛rt❡♥❛r② ❝đ❛ ✈➭♥❤✳ ❈➳❝ t❤✉❐t ♥❣÷ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ë t✐Õt ♥➭② ➤➢ỵ❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❝✉è♥ s➳❝❤ ❝ñ❛ ❍✳ ▼❛ts✉♠✉r❛ ❬▼❛t❪✳ ❚Ý♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ❝❤♦ ❝➳❝ ✈➭♥❤ ➤➲ ➤➢ỵ❝ q✉❛♥ t➞♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤➬✉ t✐➟♥ ❜ë✐ ❲✳ ❑r✉❧❧ tõ ♥➝♠ ✶✾✸✼✳ ❙❛✉ ➤ã r✃t ♥❤✐Ò✉ ❦Õt q✉➯ ✈Ị tÝ♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ❝đ❛ ✈➭♥❤ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐ ❲✳ ❑r✉❧❧✱ ▼✳ ◆❛❣❛t❛✱ ■✳ ❙✳ ❈♦❤❡♥✱ ❉✳ ❋❡r❛♥❞ ✈➭ ▼✳ ❘❛②♥❛✉❞✱ ▲✳ ❏✳ ❘❛t❧✐❢❢✱ ❘✳ ❍❡✐t♠❛♥♥✱ ▼✳ ❇r♦❞♠❛♥♥ ✳✳✳✱ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ➤➲ ❧➭♠ ❧➭♠ ❝❤♦ tÝ♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ❝ñ❛ ✈➭♥❤ trë t❤➭♥❤ ♠ét ❧Ý t❤✉②Õt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ❈❤➢➡♥❣ ✸ ❚Ý♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ❚r♦♥❣ s✉èt ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ ◆♦❡t❤❡r✱ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈í✐ ✐➤➟❛♥ tè✐ ➤➵✐ ❞✉② ♥❤✃t ❈❤♦ m ❈❤♦ A ❧➭ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ M ❧➭ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈í✐ ❝❤✐Ị✉ dim M = d ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❈❤➢➡♥❣ ■■■ ❧➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ét ❧♦➵✐ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ➤➷❝ ❜✐Öt ❣ä✐ ❧➭ ♠➠➤✉♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ trộ ỉ r ỗ q ệ t tết ❣✐÷❛ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ ❝đ❛ ❧í♣ ♠➠➤✉♥ ♥➭② ✈í✐ tÝ♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ❝đ❛ ✈➭♥❤ ❝➡ së ✈➭ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈Ị ❝❤✐Ị✉✳ ết ể trì ữ tí t q trä♥❣ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥✱ ❦Õt q✉➯ t❤✉ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ t❤✃② ❝❤ó♥❣ ❝ã ♥❤✐Ị✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t tèt t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥✳ ❇➺♥❣ ✈✐Ư❝ ➳♣ ❞ơ♥❣ ♥❤÷♥❣ tí t t ợ tr ết ú t trì tr ết ỗ q ệ ữ tí t ✭✯✮ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ A ✈í✐ tÝ♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ❝ñ❛ ✈➭♥❤ ❝➡ së R/ AnnR A ✈➭ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈Ò ❝❤✐Ò✉✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ ➤➢❛ r❛ ❝➳❝ ✈Ý ❞ơ ♥❤➺♠ ❝❤Ø r❛ t➬♠ q✉❛♥ trä♥❣ ❝đ❛ ❣✐➯ t❤✐Õt tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ❝ñ❛ A tr♦♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯✳ ❚✐Õt ❝✉è✐ ✸✳✸ ❞➭♥❤ ➤Ó ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ Hmi (M )✱ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭②✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ tÝ♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ❝đ❛ ✈➭♥❤ ❝➡ së ✈➭ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈Ị ❝❤✐Ị✉✳ ✷✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ✷✽ ✸✳✶ ▼➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ❚r➢í❝ ❦❤✐ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥✱ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♠➠➤✉♥ ◆♦❡t❤❡r tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ t❤❡♦ t❤✉❐t ♥❣÷ ❝đ❛ ▼✳ ◆❛❣❛t❛ ❬◆❛❪✳ ▼ét R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ M ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉ dim(R/p) = dim M ✈í✐ ♠ä✐ p ∈ Ass M ▼➠➤✉♥ M ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ♥Õ✉ ♥Õ✉ tù❛ M ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉✳ ◆Õ✉ dim(R/p) = dim M ✈í✐ ♠ä✐ p AssR M tì M ợ ọ tré♥ ❧➱♥✳ ❚❤❡♦ s✉② ♥❣❤Ü ➤è✐ ♥❣➱✉✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉✱ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥✱ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ❝❤♦ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ♥❤➢ s❛✉✳ ✸✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ◆Õ✉ ♥❣✉②➟♥ tè ❣➽♥ ❦Õt p ∈ AttR A tì t ó A rt A ợ ọ tø❝ ❧➭ dim(R/p) = dim(R/ AnnR A) ✈í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ♥Õ✉ ✳ ▼➠➤✉♥ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ò✉ R✲♠➠➤✉♥ A ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉✱ dim(R/p) = dim(R/ AnnR A) ✈í✐ ♠ä✐ p ∈ AttR A ◆Õ✉ dim(R/p) = dim(R/ AnnR A) ✈í✐ ♠ä✐ p ∈ AttR A t❤× t❛ ♥ã✐ A ❧➭ ❦❤➠♥❣ ✳ tré♥ ❧➱♥ ❈ã ♠ét ❧í♣ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ r✃t q✉❛♥ trä♥❣✱ ➤ã ❧➭ ữ ố ề ị t ✈í✐ ❣✐➳ ❝ù❝ ➤➵✐ Hmd (M )✱ tr♦♥❣ ➤ã M R ữ s ề d ề ợ s✉② r❛ tõ d ➤➻♥❣ ❝✃✉ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ Hm (M ) ∼ = Hmd R (M ) ✈➭ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✸✳✽ AttR Hmd (M ) = {p ∈ AssR M | dim(R/p) = d} ❈❤ó ý r➺♥❣ ✈í✐ ✐➤➟❛♥ I t✉ú ý t❛ ❝ò♥❣ ❝ã HId (M ) ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✭➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✸✳✼✮ ✈➭ AttR HId (M ) ⊆ {p ∈ AssR M | dim(R/p) = d} ❱× t❤Õ HId (M ) ❝ò♥❣ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ✷✾ ❚❛ ❜✐Õt r➺♥❣ ♥Õ✉ ♠➠➤✉♥ ◆♦❡t❤❡r ♣❤➬♥ ❤Ư t❤❛♠ sè M ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ t❤× ✈í✐ ♠ä✐ (x1 , , xr ) ❝ñ❛ M ✱ ♠➠➤✉♥ M/(x1 , , xr )M ❝ò♥❣ ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥✳ ❙❛✉ ➤➞② ❝❤ó♥❣ t❛ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ➤✐Ị✉ t➢➡♥❣ tù ❝ị♥❣ ➤ó♥❣ ❝❤♦ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥✱ ➤➞② ❧➭ ♠ét tÝ♥❤ ❝❤✃t r✃t q✉❛♥ trä♥❣ ♣❤ô❝ ✈ô ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ë t✐Õt s❛✉✳ ✸✳✶✳✷ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ◆Õ✉ A ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ t❤× :A (x1 , , xr )R ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ✈í✐ ♠ä✐ ♣❤➬♥ ❤Ư t❤❛♠ sè ❝đ❛ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❝đ❛ ❈❤♦ ❝ị♥❣ (x1 , , xr ) ❝ñ❛ A✳ N-dimR A = s ✈➭ (x1 , , xr ) ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ ❤Ư t❤❛♠ sè A✳ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✹ t❛ ❝ã dim(R/ AnnR A) = s ✈➭ dim(R/ AnnR (0 :A (x1 , , xr )R)) = N-dim(0 :A (x1 , , xr )R) = s − r ▲✃② p ∈ AttR (0 :A (x1 , , xr )R✮✳ ❑❤✐ ➤ã✱ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✹ t❛ s✉② r❛ ✈í✐ dim(R/p) ≤ s − r✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ p ⊇ AnnR A✳ ❉♦ ➤ã p1 ⊆ p✱ p1 ∈ AttR A ♥➭♦ ➤ã✳ ▼➷t ❦❤➳❝ ❞♦ A ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ♥➟♥ dim(R/p1 ) = s ▲➵✐ ❝ã p ∈ Var(p1 + (x1 , , xr )R) ♥➟♥ ht(p/p1 ) ≤ r ✭t❤❡♦ ❬▼❛t✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✶✽❪✮✳ ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã dim(R/p) = s − ht(p/p1 ) ≥ s − r ❱× t❤Õ dim(R/p) = s − r✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ ♥Õ✉ ♠➠➤✉♥ ◆♦❡t❤❡r ❝❤✐Ị✉✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sư M ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ t❤× M ❧➭ ➤➻♥❣ dim M = d ✈➭ p ∈ Ass M ❱× Ass M = {p ∩ R | p ∈ Ass M } ♥➟♥ tå♥ t➵✐ p ∈ Ass M s❛♦ ❝❤♦ p ∩ R = p ●ä✐ q ∈ Ass M s❛♦ ❝❤♦ q ⊆ p ➜➷t q = q ∩ R ❑❤✐ ➤ã q ∈ Ass M ✈➭ q ⊆ p ❉♦ p ❧➭ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ♥➟♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn ✸✵ q = p ❱× t❤Õ p = q ∩ R ✈í✐ q ∈ Ass M ❉♦ M ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ♥➟♥ d ≥ dim(R/p) ≥ dim(R/q) = dim M = d ❱× t❤Õ dim(R/p) = d ❉♦ ➤ã M ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ t❤× ➤✐Ị✉ t➢➡♥❣ tù ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣✱ tø❝ ❧➭ ❝ã ♥❤÷♥❣ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉✳ ❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét ✈Ý ❞ơ✳ ✸✳✶✳✸ ❱Ý ❞ô✳ ❚å♥ t➵✐ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ A tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ò✉✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ R ❧➭ ♠✐Ị♥ ♥❣✉②➟♥ ◆♦❡t❤❡r ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝ã sè ❝❤✐Ị✉ ❧➭ ➤➢ỵ❝ ①➞② ❞ù♥❣ ❜ë✐ ❇r♦❞♠❛♥♥ ✈➭ ❘♦tt❤❛✉s ❬❇❘❪ s❛♦ ❝❤♦ R ❧➭ ♠✐Ò♥ ♥❣✉②➟♥ ✈➭ ❝ã ♠ét ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧➱♥✳ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ p ∈ Spec R ➤Ó R/p ❧➭ ❦❤➠♥❣ tré♥ p ∈ Ass(R/pR) ✈í✐ dim(R/p) < dim(R/p)✳ ❱× R ❧➭ ♠✐Ị♥ ♥❣✉②➟♥ ♥➟♥ t❛ s✉② r❛ p = ✈➭ p = m ❉♦ ➤ã dim(R/p) = ✈➭ dim(R/p) = 1✳ ▲✃② = x ∈ p ✈➭ ❝❤ä♥ y, z ∈ m s❛♦ ❝❤♦ ✭x, y, z ✮ ❧➭ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè ❝đ❛ ➜➷t ❧➭ A = B ⊕ C ✱ tr♦♥❣ ➤ã B = Hm1 (R/p) ✈➭ C = Hm1 (R/q)✳ ❑❤✐ ➤ã A R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❚❤❡♦ ❬❇❙✱ ✶✶✳✸✳✾❪✱ p ∈ AttR B ✳ ❉♦ ✈❐② p ∈ AttR B ✈➭ ❞♦ ➤ã t❛ ❝ã ❱× p R✳ ❈❤ä♥ q ∈ Ass(R/(y, z)R) s❛♦ ❝❤♦ dim(R/q) = 1✳ AttR B = {p} ❚❤❡♦ ❬❇❙✳✼✳✸✳✷❪ t❛ ❝ã AttR C = {q} dim(R/q) = ✈➭ dim(R/p) = ♥➟♥ t❛ ❝ã q q✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉ p ⊆ q t❤× dim(R/q) ≤ dim(R/(x, y, z)R) = 0, ➤✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧Ý✳ ❉♦ ➤ã AttR A = {p, q}✳ ❱× t❤Õ A ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ ❝ã ❝➳❝ ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈➭ p✳ ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ Hm1 (R/p) ❉♦ ✈❐② R✲♠➠➤✉♥ Hm1 (R/p) Hm1 R (R/pR) Hm1 R (R/qR)✳ ❉♦ ➤ã dim(R/q) ≤ ✈í✐ ♠ä✐ q ∈ AttR A✳ A ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý s❛✉ ➤➞② ❧➭ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ t✐Õt ♥➭②✱ ➤➢❛ r❛ ♠ét t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❝❤♦ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ò✉✳ ❑Õt q✉➯ ♥➭② ➤ã♥❣ ✈❛✐ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ✸✶ trß q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ë ❝➳❝ t✐Õt s❛✉✳ ị ý trộ tì sử A dim(R/ AnnR A) = N-dimR A✳ ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ò✉ ✈➭ ỗ ế I ủ A R tự t❛ ❝ã dim(R/ AnnR (0 :A I)) = N-dimR (0 :A I) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sư r➺♥❣ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✹ t❛ ❝ã ❇ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✹ t❛ ❝ã s❛♦ ❝❤♦ ❉♦ ➤ã ♥➟♥ dim(R/ AnnR A) = N-dim A = s✳ ❑❤✐ ➤ã dim(R/ AnnR A) = s✳ ▲✃② p ∈ AttR A✳ ❚❤❡♦ dim R/p ≤ s✳ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✸✱ tå♥ t➵✐ p ∈ AttR A p ∩ R = p✳ ❑❤✐ ➤ã p ⊇ q ✈í✐ ♠ét q ∈ AttR A ♥➭♦ ➤ã✳ q ∩ R ∈ AttR A t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✸✳ ❱× p ❧➭ tè✐ t❤✐Ó✉ tr♦♥❣ AttR A q ∩ R = p ❉♦ A tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ♥➟♥ dim(R/p) = s ❉♦ ➤ã dim(R/p) ≥ s✳ ❇ë✐ ✈❐② dim(R/p) = s ❱❐②✱ A ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉✳ ❚r➢í❝ t✐➟♥✱ ❝❤♦ ♠ét ♣❤➬♥ ❤Ö t❤❛♠ sè ✭x1 , , xr ✮ ❝ñ❛ A✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➻♥❣ t❤ø❝ dim(R/ AnnR (0 :A (x1 , , xr )R)) = N-dim(0 :A (x1 , , xr )R) = s−r ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ r✳ ❈❤♦ r = ✈➭ ➤➷t x = x1 ✳ ▲✃② p ∈ Var(AnnR A) s❛♦ ❝❤♦ dim R/p = s✳ ❑❤✐ ➤ã✱ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✶ t❛ s✉② r❛ tå♥ t➵✐ p ∈ AttR A✳ ❉♦ ➤ã✱ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✸✱ p ∈ AttR A s❛♦ ❝❤♦ p = p ∩ R ❱× A ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥✱ dim(R/p) = s ❉♦ dim(R/ AnnR (0 :A x)) = N-dim(0 :A x) = s − ♥➟♥ t❛ s✉② r❛ p ⊇ Rad(AnnR (0 :A x)) = Rad(AnnR A + xR) ❉♦ ➤ã x ∈ / p✱ ✈➭ ✈× t❤Õ x ∈ / p ❙✉② r❛ x ❧➭ ♣❤➬♥ tö t❤❛♠ sè ❝đ❛ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ R/ AnnR A, tø❝ ❧➭ dim(R/(AnnR A + xR)) = s − 1✳ ❱❐②✱ dim(R/ AnnR (0 :A x)) s − ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✽✱ dim(R/ AnnR (0 :A x)) ≥ N-dim(0 :A x) = s − 1, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn ✸✷ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ➤ó♥❣ ✈í✐ r = ❈❤♦ r > 1✳ ➜➷t B = :A (x1 , , xr−1 )R ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❛ ❝ã N-dim B = dim(R/ AnnR B) = s − r + ❱× B ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✶✳✷ ✈➭ xr ❧➭ ♣❤➬♥ tư t❤❛♠ sè ❝đ❛ B ♥➟♥ ➳♣ ❞ơ♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝❤♦ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r = t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ N-dim(0 :B xr ) = dim(R/ AnnR (0 :B xr )) = s − r ❱❐②✱ ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇➞② ❣✐ê t❛ ①Ðt I ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R ➜➷t N-dim(0 :A I) = s − r ❑❤✐ ➤ã✱ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✷✳✾✱ tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ ❤Ö t❤❛♠ sè tr♦♥❣ (x1 , , xr ) ❝đ❛ A I ❱× t❤Õ✱ t❤❡♦ ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ✈➭ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✽ t❛ ❝ã s − r = N-dim(0 :A (x1 , , xr )R) = dim(R/ AnnR (0 :A (x1 , , xr )R) ≥ dim(R/ AnnR (0 :A I)) ≥ N-dim(0 :A I) = s r ị í ợ ứ ❚Ý♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ➜Þ♥❤ ❧Ý s❛✉ ➤➞②✱ ❧➭ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ✈➭ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ✷ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✱ ❝❤Ø r❛ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ư ❣✐÷❛ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ✈➭ tÝ♥❤ tr ủ sở ị ý tì ✈➭♥❤ ●✐➯ sö A ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥✳ ◆Õ✉ A t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t R/ AnnR A ❧➭ ❝❛t❡♥❛r② ✈➭ dim(R/ AnnR A) = N-dimR A = dim(R/ AnnR A) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ✸✸ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ N-dim A = s✳ ❉♦ A t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ ♥➟♥ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✽ ✈➭ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✹ t❛ ❝ã dim(R/ AnnR A) = N-dim A = dim(R/ AnnR A) = s ▼➷t ❦❤➳❝ ❞♦ A ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ✈➭ dim(R/ AnnR A) = N-dim A ♥➟♥ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✶✳✹ t❛ ❝ã A ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉✳ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ò ✷✳✸✳✹ t❛ s✉② r❛ ✈➭♥❤ R/ AnnR A ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉✳ ❱× t❤Õ✱ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✷✳✻✱ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✈➭♥❤ R/ AnnR A ❧➭ ❝❛t❡♥❛r② t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ dim(R/p) + ht(p/ AnnR A) = s ✈í✐ ♠ä✐ ✐❞❡❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p ⊇ AnnR A✳ ▲✃② p ∈ Var(AnnR A) ➜➷t N-dim(0 :A p) = s − k ❚❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✷✳✾✱ tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ ❤Ö t❤❛♠ sè (x1 , , xk ) ❝ñ❛ A ❝❤ø❛ tr♦♥❣ p✳ ➜➷t J0 = ✈➭ Ji = (x1 , , xi )R ✈í✐ ♠ä✐ i = 1, , k ỗ i trớ :A Ji tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✶✳✷✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ dim(R/ AnnR (0 :A Ji )) = N-dim(0 :A Ji ) = s i t ị í ì t❤Õ✱ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✶✳✹✱ t❤♦➯ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ ♥➟♥ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✶ t❛ ❝ã :A Ji ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉✳ ❱× A p = AnnR (0 :A p)✳ ❙✉② r❛ p ⊇ AnnR (0 :A Jk ) p ⊇ pk ✈í✐ ♠ét pk ∈ AttR (0 :A Jk ) ♥➭♦ ➤ã✳ ❚✐Õ♣ tô❝ ❧❐♣ ❧✉❐♥ tr➟♥✱ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ♠ét ❞➲② ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p ⊇ pk ⊇ pk−1 ⊇ ⊇ p0 ⊇ AnnR A, tr♦♥❣ ➤ã pi ∈ AttR (0 :A Ji ) ✈í✐ ♠ä✐ i = 0, , k ✳ ❱× :A Ji ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉ ♥➟♥ dim(R/pi ) = s − i ❱× t❤Õ pi = pi+1 ✈í✐ ♠ä✐ i ❙✉② r❛ ht(p/ AnnR A) ≥ k, ✈➭ ❞♦ ➤ã dim(R/p) + ht(p/ AnnR A) = s✳ ●✐➯ t❤✐Õt tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ❝ñ❛ A tr ị í ỏ ợ í ❞ơ s❛✉ ➤➞② ❝❤Ø r❛ ➤✐Ị✉ ♥➭②✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ✸✹ ✸✳✷✳✷ ❱Ý ❞ô✳ s❛♦ ❝❤♦ ✈➭♥❤ ❚å♥ t➵✐ ♠ét ❆rt✐♥ A ❦❤➠♥❣ ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ A t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮✱ dim(R/ AnnR A) = N-dimR A✱ ♥❤➢♥❣ R/ AnnR A ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❝❛t❡♥❛r②✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ sè ❝❤✐Ò✉ ➜➷t R✲♠➠➤✉♥ ❈❤♦ (R, m) ❧➭ ♠✐Ò♥ ♥❣✉②➟♥ ◆♦❡t❤❡r ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❝❛t❡♥❛r② ❝ã d ≥ 3✳ ❑Ý ❤✐Ö✉ E(R/m) ❧➭ ❜❛♦ ♥é✐ ①➵ ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ t❤➷♥❣ ❞➢ R/m✳ A = E(R/m)✳ ❑❤✐ ➤ã A ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❚❤❡♦ ❬❈◆✱ ▲❡♠♠❛ ✹✳✹❪✱ A t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮✳ ❱× R ❧➭ ♠✐Ò♥ ♥❣✉②➟♥ ♥➟♥ t❤❡♦ ❬❙❤✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✻❪ t❛ ❝ã AttR A = Ass R = {0}✳ ❉♦ ➤ã✱ t❤❡♦ ❇æ ➤Ị ✷✳✶✳✶ t❛ ❝ã AnnR A = 0✳ ❱× t❤Õ ✈➭♥❤ ❝➳❝ R/ AnnR A = R ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❝❛t❡♥❛r②✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ ❝ã ➤➻♥❣ ❝✃✉ R✲♠➠➤✉♥ E(R/m) E(R/m)✳ ❉♦ ➤ã t❤❡♦ ❬❙❤✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✻❪ t❛ ❝ã AttR A = Ass R✳ ❙✉② r❛ AnnR A = ✈➭ Ass(R) = AttR A✳ ❱× R ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❝❛t❡♥❛r② ♥➟♥ ♥ã ❦❤➠♥❣ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ỉ ❞ơ♥❣✳ ❉♦ ➤ã t❤❡♦ ❬▼❛t✱ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✶✳✻❪ t❛ s✉② r❛ R ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉✳ ❱× t❤Õ tå♥ t➵✐ p ∈ Ass R s❛♦ ❝❤♦ dim(R/p) < dim R = dim(R/ AnnR A) ❱× t❤Õ A ❦❤➠♥❣ ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥✳ ❚✐Õ♣ t❤❡♦ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➢❛ r❛ ✈Ý ❞ơ ❝❤ø♥❣ tá r➺♥❣ tÝ♥❤ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ tr♦♥❣ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✷✳✶ ❧➭ r✃t q✉❛♥ trä♥❣✳ ✸✳✷✳✸ ❱Ý ❞ô✳ ❚å♥ t➵✐ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ A ❦❤➠♥❣ ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ s❛♦ ❝❤♦ R/ AnnR A ❧➭ ❝❛t❡♥❛r② ✈➭ dim(R/ AnnR A) = dim(R/ AnnR A), ♥❤➢♥❣ A ❦❤➠♥❣ t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●ä✐ R ❧➭ ♠✐Ị♥ ♥❣✉②➟♥ ◆♦❡t❤❡r ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝❤✐Ị✉ ➤➢ỵ❝ ①➞② ❞ù♥❣ ❜ë✐ ▼✳ ❇r♦❞♠❛♥♥ ✈➭ ❈✳ ❘♦tt❤❛✉s ❬❇❘❪ s❛♦ ❝❤♦ ✈➭ R ❧➭ ♠✐Ò♥ ♥❣✉②➟♥ R/p tré♥ ❧➱♥ ✈í✐ p ∈ Spec R ♥➭♦ ➤ã✳ ❈❤ä♥ p ∈ Ass(R/pR) s❛♦ ❝❤♦ dim(R/p) < dim(R/p) ◆❤➢ tr♦♥❣ ❱Ý ❞ơ ✸✳✶✳✸✱ t❛ ❝ã dim(R/p) = 2✱ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ✸✺ dim(R/p) = ✈➭ p ∈ AttR (Hm1 (R/p))✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ p✲ t❤ø ❝✃♣ ❝đ❛ ❝đ❛ Hm1 (R/p) ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ tè✐ t❤✐Ó✉ Hm1 (R/p) ✭①❡♠ ❬▼❛❝❪✮✳ ●ä✐ B ❧➭ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ p✲t❤ø ❝✃♣ ❝ñ❛ Hm1 (R/p) ①Ðt ♥❤➢ R✲♠➠➤✉♥✳ ❑❤✐ ➤ã AttR B = {p} ✈➭ ❞♦ ➤ã AttR B = {p}✳ ▲✃② x ∈ m \ p ✈➭ ❝❤ä♥ p1 ∈ Ass(R/(p + xR)) s❛♦ ❝❤♦ dim(R/p1 ) = ▲✃② y ∈ m \ p1 ❑❤✐ ➤ã dim(R/yR) = ❈❤ä♥ q ∈ Ass(R/yR) s❛♦ dim(R/q) = ➜➷t C = Hm2 (R/q) ❱× t❛ ❝ã ➤➻♥❣ ❝✃✉ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ H (R/q) ∼ = H (R/qR) ♥➟♥ t❤❡♦ ❬❇❙✱ ✼✳✸✳✷❪ t❛ s✉② r❛ AttR C = {q} ✈➭ ❝❤♦ m mR AttR C = {q ∈ Ass(R/qR) | dim(R/q) = 2} ➜➷t A = B ⊕ C ❑❤✐ ➤ã A ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✱ AttR A = {p, q} ✈➭ AttR A = {p} ∪ {q ∈ Ass(R/qR) | dim(R/q) = 2} ❱× y ∈ q \ p1 ✈➭ p ⊆ p1 ♥➟♥ t❛ ❝ã q ⊆ p✳ ❉♦ ➤ã q ⊆ p ✈í✐ ♠ä✐ q ∈ AttR C ❱× t❤Õ ❱× p ∈ AttR A ❱❐② A ❦❤➠♥❣ ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥✳ R ❧➭ ♠✐Ị♥ ♥❣✉②➟♥ ♥➟♥ R ❧➭ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ỉ ❞ơ♥❣ ✭①❡♠ ❬▼❛t✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✶✳✻❪✮✳ ❱× t❤Õ ✈➭♥❤ ❝ã R/ AnnR A ❧➭ ❝❛t❡♥❛r②✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✶ t❛ dim(R/ AnnR A) = ✈➭ dim(R/ AnnR A) = 2✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ A ❦❤➠♥❣ t❤♦➯ ♠➲♥ ✭✯✮✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ p1 ⊇ p ⊇ AnnR A ❱× y ∈ q \ p1 ♥➟♥ t❛ s✉② r❛ p1 ⊇ q ❈❤ó ý r➺♥❣ AttR C = {q} ✈➭ dim(R/p1 ) = 1✳ ❱× t❤Õ dim R/ AnnR (0 :C p1 ) dim R/(p1 + AnnR C) = dim R/(p1 + q) = ❉♦ ➤ã AnnR (0 :C p1 ) ❧➭ m✲♥❣✉②➟♥ s➡✳ ❱× t❤Õ AnnR (0 :C p1 ) = p1 ❚õ ❞➲② ❦❤í♣ x −→ R/p −→ R/p −→ R/(p + xR) −→ 0✱ t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❝➯♠ s✐♥❤ x −→ Hm0 R/(p + xR) −→ Hm1 (R/p) −→ Hm1 (R/p) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ✸✻ ❙✉② r❛ :Hm1 (R/p) x ∼ = Hm0 R/(p + xR) ✈➭ ❞♦ ➤ã :Hm1 (R/p) x ó ộ ữ ì x p1 ♥➟♥ :B p1 ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❙✉② r❛ AnnR (0 :B p1 ) = p1 ❱× t❤Õ AnnR (0 :A p1 ) = AnnR (0 :B p1 ) ∩ AnnR (0 :C p1 ) = p1 ❱❐②✱ A ❦❤➠♥❣ t❤♦➯ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮✳ ✸✳✸ ▼➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ❚✐Õt ♥➭② ❞➭♥❤ ➤Ĩ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ t❤♦➯ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ t❤➠♥❣ q✉❛ tÝ♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ❝đ❛ ✈➭♥❤ ❝➡ së✳ ✸✳✸✳✶ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ●✐➯ sö Hmi (M ) ❧➭ tù❛ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥✳ ❑❤✐ ➤ã ❝➳❝ ♠Ư♥❤ ➤Ị s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✳ ✭✐✮ Hmi (M ) t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮✳ ✭✐✐✮ ❱➭♥❤ R/ AnnR Hmi (M ) ❧➭ ❝❛t❡♥❛r② ✈➭ t❛ ❝ã ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❝❤✐Ò✉ dim(R/ AnnR Hmi (M )) = dim(R/ AnnR Hmi (M )) ➜Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✸✳✶✱ t❛ ❝➬♥ ♠ét ❦Õt q✉➯ q✉❛♥ trä♥❣ s❛✉ ➤➞② ➤➲ ➤➢ỵ❝ ứ tr ỗ số i PsR M i−dim(R/p) = {p ∈ Spec R | HpRp i ≥ 0✱ ➤➷t (Mp ) = 0} ❚❐♣ Ps✉♣♣iR M ợ ị ĩ r r ✷✵✵✷✱ ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❣✐➯ ❣✐➳ ✸✳✸✳✷ ❇ỉ ➤Ị✳ t❤ø i ❝ñ❛ M ✳ ✭❳❡♠ ❬◆❆✶✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶❪✮✳ ❈❤♦ i ≥ ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥✳ ❈➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ ✭✐✮ ✭✐✐✮ Hmi (M ) t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✯✮✳ Var AnnR (Hmi (M )) = PsuppiR M ✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa không trộn lẫn ✸✼ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮⇒✭✐✐✮✳ ❈❤♦ t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮✳ ❈❤♦ i ≥ ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ✈➭ ❣✐➯ sö Hmi (M ) i−dim(R/p) p ∈ Ps✉♣♣iR M ❑❤✐ ➤ã HpRp ❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❣➽♥ ❦Õt ✈í✐ ♠ét ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè (Mp ) = i−dim(R/p) qRp ∈ AttRp HpRp (Mp ) q ⊆ p ♥➭♦ ➤ã✳ ❚❤❡♦ ❬❇❙✱ ✶✶✳✸✳✽❪ t❛ s✉② r❛ q ∈ AttR (Hmi (M )) ❇ë✐ ✈❐② t❛ ❝ã p ⊇ q ⊇ AnnR (Hmi (M )) ❉♦ ➤ã i Ps✉♣♣R M ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ ✭✯✮ ♥➟♥ t❛ ❝ã ⊆ Var AnnR (Hmi (M )) p ∈ Var AnnR (Hmi (M )) ✳ ❱× Hmi (M ) t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t AnnR :Hmi (M ) p = p✳ ❙✉② r❛ Var AnnR (0 :Hmi (M ) p) = {p}✳ ▲✃② q ⊇ AnnR (0 :Hmi (M ) p) ❑❤✐ ➤ã q ⊇ p ❱× Hmi (M ) t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮ ♥➟♥ AnnR (0 :0:H i (M ) p q) = AnnR (0 :Hmi (M ) q) = q m ❉♦ ➤ã :Hmi (M ) p ❝ò♥❣ t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮✳ ❱× t❤Õ dim(R/p) = dim R/ AnnR (0 :Hmi (M ) p) = N-dimR :Hmi (M ) p = dim R/ AnnR (0 :Hmi (M ) p) = max{dim(R/p) : p ∈ AttR :Hmi (M ) p } ❉♦ ✈❐② tå♥ t➵✐ ❈❤ó ý r➺♥❣ p ∈ AttR :Hmi (M ) p s❛♦ ❝❤♦ dim(R/p) = dim(R/p) p ∈ Var AnnR (Hmi (M )) ✈➭ p ∩ R ⊇ p✳ ❱× dim(R/p) = dim(R/p) ♥➟♥ p ❧➭ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝đ❛ pR✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ t❛ ❝ã i ➤➻♥❣ ❝✃✉ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ Hm (M ) ∼ = Hmi R (M )✳ ❱× t❤Õ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉ tr➟♥ ✈➭♥❤ ➤➬② ➤ñ i M R Ps✉♣♣ ❙✉② r❛ = Var AnnR (Hmi (M )) i−dim(R/p) p ∈ Ps✉♣♣iR M , tø❝ ❧➭ HpR p tè tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝đ❛ R (Mp ) = ❱× p ❧➭ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ pR ✈➭ dim(R/p) = dim(R/p) ♥➟♥ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ❝❤✉②Ĩ♥ ❝➡ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ✸✽ së ♣❤➻♥❣ ✭①❡♠ ❬❇❙✱ ✹✳✸✳✷❪✮ t❛ ❝ã i−dim(R/p) HpRp i−dim(R/p) i−dim(R/p) (Mp ) = (Mp ) ⊗ Rp ∼ (Mp ⊗ Rp ) ∼ = HpR = HpR p p ❉♦ ✈❐② i−dim(R/p) HpRp (Mp ) = 0, tø❝ ❧➭ p ∈ Ps✉♣♣iR M ❉♦ ➤ã Var AnnR (Hmi (M )) ⊆ Ps✉♣♣iR M ✭✐✐✮⇒✭✐✮✳ ●✐➯ sö Var AnnR (Hmi (M )) = Ps✉♣♣ iR M ❈❤♦ p ❧➭ ✐➤➟❛♥ i (M )) ❑❤✐ ➤ã t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt t❛ ❝ã p ♥❣✉②➟♥ tè ❝❤ø❛ AnnR (Hm tø❝ ❧➭ i−dim(R/p) HpRp ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ∈ Ps✉♣♣iR M ✱ (Mp ) = ❱× dim(R/p) = dim(R/pR) ♥➟♥ tå♥ t➵✐ p ∈ Ass(R/pR) s❛♦ ❝❤♦ dim(R/p) = dim(R/p) ❙✉② r❛ p ∩ R = p ✈➭ p ❧➭ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝đ❛ pR ❈❤ó ý r➺♥❣ ➳♥❤ ①➵ ❝➯♠ s✐♥❤ Rp −→ Rp ❧➭ ♣❤➻♥❣✳ ❉♦ ✈❐②✱ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ❝❤✉②Ĩ♥ ❝➡ së ♣❤➻♥❣ t❛ ❝ã i−dim(R/p) HpR p ❉♦ ➤ã i−dim(R/p) (Mp ) ∼ (Mp ) ⊗ Rp = = HpRp p ∈ Ps✉♣♣iR (M ) = Var AnnR (Hmi (M )) ❈❤ó ý r➺♥❣ Hmi (M ) ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮✳ ❇ë✐ ✈❐② AnnR (0 :Hmi (M ) p) = p ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã p ⊆ AnnR (0 :Hmi (M ) p) ⊆ AnnR (0 :Hmi (M ) p) ∩ R = p ∩ R = p ❉♦ ➤ã AnnR (0 :Hmi (M ) p) = p✳ ❱❐②✱ Hmi (M ) t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✯✮✳ ❇➞② ❣✐ê t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✸✳✶✱ ➤✃② ❧➭ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ t✐Õt ♥➭② ✈➭ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮⇒✭✐✐✮ ➤➢ỵ❝ s✉② r❛ tõ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✷✳✶✳ ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✭✐✐✮⇒✭✐✮✳ i ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✸✳✷✱ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ Psupp ❈❤♦ i−dim(R/p) p ∈ PsuppiR M ❑❤✐ ➤ã HpRp i−dim(R/p) AttRp HpRp (M ) = Var(AnnR Hmi (M )) (Mp ) = ❱× t❤Õ tå♥ t➵✐ qRp ∈ (Mp ) ✈í✐ q ⊆ p ♥➭♦ ➤ã✳ ❚❤❡♦ ❬❇❙✱ ✶✶✳✸✳✽❪ t❛ ❝ã Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa không trộn lẫn ✸✾ q ∈ AttR (Hmi (M )) ❱× t❤Õ p ⊇ q ⊇ AnnR (Hmi (M )) ❙✉② r❛ PsuppiR M ⊆ Var AnnR (Hmi (M )) ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ ❑❤✐ ➤ã p ∈ Var(AnnR (Hmi (M ))) ➜➷t N-dim Hmi (M ) = k dim(R/ AnnR Hmi (M )) = k ✈➭ dim(R/ AnnR Hmi (M )) = k t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt✳ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✶ t❛ ❝ã ➤ã✳ ❱× ❱× p ⊇ q ✈í✐ q ∈ AttR (Hmi (M )) ♥➭♦ Hmi (M ) ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉ ♥➟♥ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✶✳✹ t❛ ❝ã dim(R/q) = k q ∈ AttR (Hmi (M )) ♥➟♥ tå♥ t➵✐ q ∈ AttR (Hmi (M )) s❛♦ ❝❤♦ q∩R = q ❉♦ Hmi (M ) ❧➭ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ♥➟♥ dim R/q = k ❈❤ó ý r➺♥❣ q ∈ i−dim R/q Var(AnnR Hmi (M ))✳ ❱× t❤Õ q ∈ Psuppi (M ) ❙✉② r❛ HqR ❱× ➤å♥❣ ❝✃✉ tù ♥❤✐➟♥ q (Mq ) = Rq −→ Rq ❧➭ ♣❤➻♥❣ ♥➟♥ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ❝❤✉②Ó♥ ❝➡ së ♣❤➻♥❣ ❬❇❙✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✳✷❪ t❛ ❝ã i−dim R/q HqR ❉♦ ➤ã i−dim R/q HqRq q i−dim R/q (Mq ) ∼ (Mq ) ⊗ Rq = HqRq i−dim R/q (Mq ) = ✈➭ ✈× t❤Õ AttRq (HqRq (Mq )) = ∅ ❚❤❡♦ ❬❇❙✱ ✶✶✳✸✳✽❪ t❛ s✉② r❛ i−dim R/q+ht p/q AttRp (HpRp ❉♦ ➤ã i−dim R/q+ht p/q HpRp (Mp )) = ∅ (Mp ) = ❱× R/ AnnR (Hmi (M )) ❧➭ ❝❛t❡♥❛r② ✈➭ p ⊇ q ⊇ AnnR (Hmi (M )) ♥➟♥ t❛ ❝ã i − dim R/q + ht p/q = i − dim R/p ❉♦ ➤ã i−dim R/p HpRp (Mp ) = 0✱ tø❝ ❧➭ p ∈ PsuppiR (M ) ❱❐② Var(AnnR Hmi (M )) = PsuppiR M ❈❤ó ý r➺♥❣ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝✃♣ ❝❛♦ ♥❤✃t A ❧➭ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ✈➭ = Hmd (M ) dim(R/ AnnR A) = dim(R/ AnnR A) = d✳ ❱× t❤Õ✱ d tõ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✸✳✶ t❛ ❝ã t❤Ĩ ♥❤❐♥ ❧➵✐ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ tr♦♥❣ ❬❈❉◆❪✿ Hm (M ) t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✯✮ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ R/ AnnR Hmd (M ) ❧➭ ✈➭♥❤ ❝❛t❡♥❛r②✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬❇❘❪ ▼✳ ❇r♦❞♠❛♥♥ ❛♥❞ ❈✳ ❘♦tt❤❛✉s✱ ❆ ♣❡❝✉❧✐❛r ✉♥♠✐①❡❞ ❞♦♠❛✐♥ ✱ Pr♦❝✳ ❆▼❙✳✱ ✭✹✮✽✼ ✭✶✾✽✸✮✱ ✺✾✻✲✻✵✵✳ ❬❇❙❪ ▼✳ ❇r♦❞♠❛♥♥ ❛♥❞ ❘✳ ❨✳ ❙❤❛r♣✱ ❵❵▲♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣②✿ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✐♥✲ tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✧✱ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✱ ✶✾✾✽✳ ❬❈◆❪ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ❛♥❞ ▲✳ ❚✳ ◆❤❛♥✱ t✐♥✐❛♥ ♠♦❞✉❧❡s ❖♥ t❤❡ ◆♦❡t❤❡r✐❛♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❆r✲ ✱ ❱✐❡t♥❛♠ ❏✳ ▼❛t❤✳✱ ✭✷✮✸✵ ✭✷✵✵✷✮✱ ✶✷✶✲✶✸✵✳ ❬❈❉◆❪ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣✱ ◆✳ ❚✳ ❉✉♥❣✱ ▲✳ ❚✳ ◆❤❛♥✱ ❚♦♣ ❧♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ❛♥❞ t❤❡ ❝❛t❡♥❛r✐❝✐t② ♦❢ t❤❡ ✉♥♠✐①❡❞ s✉♣♣♦rt ♦❢ ❛ ❢✐♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞ ♠♦❞✲ ✱ ❈♦♠♠✳ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✭✺✮✸✺ ✭✷✵✵✼✮✱ ✶✻✾✶✲✶✼✵✶✳ ✉❧❡ ❬❋❘❪ ❉✳ ❋❡rr❛♥❞ ❛♥❞ ▼✳ ❘❛②♥❛✉❞✱ ◆♦❡t❤❡r✐❛♥✱ ❬❑✶❪ ❉✳ ❑✐r❜②✱ ❋✐❜r❡s ❢♦r♠❡❧❧❡s ❞✬✉♥ ❛♥♥❡❛✉ ❧♦❝❛❧ ❆♥♥✳ ❙❝✐✳ ❊✬❝♦❧❡ ◆♦r♠✳ ❙✉♣✳✱ ✭✹✮✸ ✭✶✾✼✵✮✱ ✷✾✺✲✸✶✶✳ ❆rt✐♥✐❛♥ ♠♦❞✉❧❡s ❛♥❞ ❍✐❧❜❡rts ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✱ ◗✉❛rt✳ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❖①❢♦r❞✱ ✭✷✮ ✷✹ ✭✶✾✼✸✮✱ ✹✼✲✺✼✳ ❬❑✷❪ ❉✳ ❑✐r❜②✱ ❉✐♠❡♥s✐♦♥ ❛♥❞ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❆rt✐♥✐❛♥ ♠♦❞✉❧❡s✱ ◗✉❛rt✳ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❖①❢♦r❞✱ ✭✷✮✹✶ ✭✶✾✾✵✮✱ ✹✶✾✲✹✷✾✳ ❬▼❛❝❪ ■✳ ●✳ ▼❛❝❞♦♥❛❧❞✱ ❙❡❝♦♥❞❛r② r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ♠♦❞✉❧❡s ♦✈❡r ❛ ❝♦♠✲ ♠✉t❛t✐✈❡ r✐♥❣ ✱ ❙②♠♣♦s✐❛ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛✱ ✶✶ ✭✶✾✼✸✮✱ ✷✸✲✹✸✳ ❬▼❛t❪ ❍✳ ▼❛ts✉♠✉r❛✱ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r✐♥❣ t❤❡♦r②✱ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✱ ✶✾✽✻✳ ✹✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ✹✶ ❬◆❛❪ ▼✳ ◆❛❣❛t❛✱ ❵❵▲♦❝❛❧ r✐♥❣s✧✱ ■♥t❡rs❝✐❡♥❝❡✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✱ ✶✾✻✷✳ ❬◆❆✶❪ ▲✳ ❚✳ ◆❤❛♥ ❛♥❞ ❚✳ ◆✳ ❆♥✱ ❖♥ t❤❡ ✉♥♠✐①❡❞♥❡ss ❛♥❞ t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❝❛t❡♥❛r✐❝✐t② ♦❢ ❧♦❝❛❧ r✐♥❣s ❛♥❞ ❧♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♠♦❞✉❧❡s✱ ✸✷✶ ❏✳ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✭✷✵✵✾✮✱ ✸✵✸✲✸✶✶✳ ❬◆❆✷❪ ▲✳ ❚✳ ◆❤❛♥ ❛♥❞ ❚✳ ◆✳ ❆♥✱ ❖♥ t❤❡ ❝❛t❡♥❛r✐❝✐t② ♦❢ ◆♦❡t❤❡r✐❛♥ ❧♦❝❛❧ r✐♥❣s ❛♥❞ q✉❛s✐ ✉♥♠✐①❡❞ ❆rt✐♥✐❛♥ ♠♦❞✉❧❡s✱ ❈♦♠♠✳ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✸✽ ✭✶✵✮ ✭✷✵✶✵✮✱ ❚♦ ❛♣♣❡❛r✳ ❬❘♦❪ ❘✳ ◆✳ ❘♦❜❡rts✱ ❑r✉❧❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❢♦r ❆rt✐♥✐❛♥ ♠♦❞✉❧❡s ♦✈❡r q✉❛s✐✲❧♦❝❛❧ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r✐♥❣s ❬❙❤❪ ❘✳ ❨✳ ❙❤❛r♣✱ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ✱ ◗✉❛rt✳ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❖①❢♦r❞✱ ✷✻ ✭✶✾✼✺✮✱ ✷✻✾✲✷✼✸✳ ❙❡❝♦♥❞❛r② r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ❢♦r ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ♠♦❞✉❧❡s ♦✈❡r ◆♦❡t❤❡r✐❛♥ r✐♥❣s ✱ Pr♦❝✳ ❊❞✐♥❜✉r❣❤ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✱ ✷✵ ✭✶✾✼✺✮✱ ✶✹✸✲✶✺✶✳ ❬❚❩❪ ❩✳ ❚❛♥❣ ❛♥❞ ❍✳ ❩❛❦❡r✐✱ ❈♦✲❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ♠♦❞✉❧❡s ❛♥❞ ♠♦❞✉❧❡s ✱ ❈♦♠♠✳ ❆❧❣❡❜r❛✳✱ ✭✻✮✷✷ ✭✶✾✾✹✮✱ ✷✶✼✸✲✷✷✵✹✳ ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❢r❛❝t✐♦♥s Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ...2Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ✷ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❚r♦♥❣ t♦➭♥ ❜é ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② t❛ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt... Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ✸ R/ AnnR M ❧➭ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ỉ ❞ơ♥❣ ✈➭ ✈➭♥❤ R/p ❧➭ ❦❤➠♥❣ tré♥... Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ❚r♦♥❣ s✉èt ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❧✉➠♥ ❣✐➯