Về độ sâu của vành noether địa phương ( Luận văn thạc sĩ)

Về độ sâu của vành noether địa phương ( Luận văn thạc sĩ)Về độ sâu của vành noether địa phương ( Luận văn thạc sĩ)Về độ sâu của vành noether địa phương ( Luận văn thạc sĩ)Về độ sâu của vành noether địa phương ( Luận văn thạc sĩ)Về độ sâu của vành noether địa phương ( Luận văn thạc sĩ)Về độ sâu của vành noether địa phương ( Luận văn thạc sĩ)Về độ sâu của vành noether địa phương ( Luận văn thạc sĩ)Về độ sâu của vành noether địa phương ( Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ MINH AN VỀ ĐỘ SÂU CỦA VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUN - 2014 Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ MINH AN VỀ ĐỘ SÂU CỦA VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ : 60.46.01.04 Mã số LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2014 Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Xác nhận luận văn chỉnh sửa lại theo yêu cầu hội đồng chấm luận văn Khoa Tốn Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Lời mở đầu 1 Độ sâu môđun vành Noether địa phương 1.1 Dãy quy 1.2 Độ sâu môđun Đồng điều Koszul 19 2.1 Phức Koszul đồng điều Koszul 19 2.2 Đặc trưng độ sâu qua đồng điều Koszul 24 Vành môđun Cohen - Macaulay 29 3.1 Định nghĩa tính chất sở 29 3.2 Một số đặc trưng vành Cohen-Macaulay 33 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 iii Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời mở đầu Sau chiều độ sâu bất biến vành Noether địa phương A A−môđun hữu hạn sinh M Độ sâu nghiên cứu công cụ nội đại số giao hốn, nghiên cứu các đối tượng đại số đồng điều Chính thế, chúng tơi lựa chọn đề tài "Về độ sâu vành Noether địa phương" làm luận văn tốt nghiệp Luận văn trình bày kết độ sâu chủ yếu thông qua đối tượng đại số đồng điều môđun Ext hay đồng điều Koszul, từ bước đầu tìm hiểu vành môđun Cohen Macaulay, lớp vành quan trọng đại số giao hoán Luận văn chia thành ba chương Chương trình bày khái niệm số tính chất sở dãy quy, tồn dãy quy thơng qua tính triệt tiêu mơđun Ext, từ trình bày định nghĩa kết độ sâu môđun hữu hạn sinh vành Noether địa phương Chương 2, trình bày phức Koszul đặc trưng độ sâu thơng qua tính triệt tiêu đồng điều Koszul Trên sở tính chất độ sâu trình bày Chương Chương 2, Chương trình bày sơ lược khái niệm, tính chất sở vài đặc trưng vành môđun Cohen - Macaulay Các nội dung luận văn trình bày dựa theo Chương tài liệu [5] [6] Hydeyuki Matsumura Với mong muốn lại hệ thống lại số nội dung quan trọng độ sâu vành Cohen - Macaulay, tác giả luận văn dành nhiều thời gian nghiên cứu kết Khi trình bày luận văn, tác giả cố gắng trình bày chi tiết lại chứng Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ minh, bổ sung thêm số ví dụ kết tài liệu tham khảo khác Bên cạnh đó, tác giả đưa vài chứng minh đơn giản khơng trình bày tài liệu Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc GS TSKH Nguyễn Tự Cường Thầy tạo điều kiện để tơi có hội tiếp xúc với mơi trường nghiên cứu đại chuyên nghiệp, để từ bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu tốn cách nghiêm túc Nhân dịp tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn PGS TS Lê Thanh Nhàn, TS Đoàn Trung Cường, TS Trần Nguyên An, thầy tận tình giảng dạy cho tơi kiến thức sở giúp đỡ giải vướng mắc gặp phải đọc tài liệu trình bày luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn người thân, bạn bè cổ vũ động viên tơi để tơi hồn thành tốt luận văn khóa học Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 Tác giả luận văn Lê Minh An Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Độ sâu mơđun vành Noether địa phương Khái niệm dãy quy độ sâu quan trọng cho lý thuyết vành Cohen - Macaulay Độ sâu vành Noether địa phương A A−môđun hữu hạn sinh định nghĩa số phần tử dãy quy cực đại, đặc trưng thơng qua tính triệt tiêu mơđun Ext Trong tồn luận văn, nói đến vành, ta quy ước vành giao hốn có đơn vị 1.1 Dãy quy Trong tiết trình bày định nghĩa, ví dụ vài tính chất dãy quy Định nghĩa 1.1.1 Cho A vành Noether, M A−môđun Phần tử a ∈ A gọi phần tử M −chính quy ax = với = x ∈ M Dãy a1 , , an phần tử A M −dãy quy (hoặc M −dãy) điều kiện sau thỏa mãn: Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (i) M = (a1 , , an )M , (ii) Với ≤ i ≤ n, M/(a1 , , ai−1 )M − quy Tức với ≤ i ≤ n, a i M/(a1 , , ai−1 )M −−→ M/(a1 , , ai−1 )M đơn ánh Khi tất nằm iđêan I A ta nói a1 , , an M −dãy quy I Khi M = A a1 , , an A−dãy (a1 , , an ) iđêan thực A, với i = 1, , n khơng phải ước khơng A/(a1 , , ai−1 ) Với A−môđun M ta kí hiệu ZDA (M ) = {a ∈ A | tồn = x ∈ M cho ax = 0} tập ước M Nếu khơng gây nhầm lẫn ta kí hiệu tập ZD(M ) Ví dụ 1.1.2 (i) Cho A vành, đặt S := A[x1 , , xn ] vành đa thức n biến x1 , , xn Ta có đẳng cấu S/(x1 , , xi−1 ) ∼ = A[xi , , xn ], mà xi A[xi , , xn ]−chính quy nên x1 , , xn S−dãy (ii) Chú ý khái niệm M −dãy quy phụ thuộc vào vị trí phần tử dãy, chẳng hạn xét trường K A = K[x1 , x2 , x3 ] x1 , x2 (1 − x1 ), x3 (1 − x1 ) A−dãy Nhưng x2 (1 − x1 ), x3 (1 − x1 ), x1 lại A−dãy Thật vậy, trước hết ta thấy x1 ∈ / ZD(A) (x1 ), (x1 , x2 (1 − x1 )) = (x1 , x2 ) iđêan nguyên tố A Khi h · x2 (1 − x1 ) ∈ (x1 ), x2 (1 − x1 ) ∈ / (x1 ) nên h ∈ (x1 ) tức x2 (1 − x1 ) A/(x1 )−chính quy Tương tự, h · x3 (1 − x1 ) ∈ (x1 , x2 (1 − x1 )), x3 (1 − x1 ) ∈ / (x1 , x2 (1 − x1 )) nên h ∈ (x1 , x2 (1 − x1 )), tức x3 (1 − x1 ) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ A/(x1 , x2 (1 − x1 ))−chính quy Từ x1 , x2 (1 − x1 ), x3 (1 − x1 ) A−dãy Nhưng x2 (1 − x1 ), x3 (1 − x1 ), x1 khơng phải A−dãy Vì x2 ∈ / (x2 (1 − x1 )) x2 (1 − x1 )x3 ∈ (x2 (1 − x1 )) tức x3 (1 − x1 ) ∈ ZD(A/(x2 (1 − x1 ))) Định nghĩa 1.1.3 Cho A vành Noether = M A−môđun hữu hạn sinh I iđêan A thỏa mãn IM = M Lấy a1 , , an M −dãy phần tử I Ta nói a1 , , an M −dãy cực đại I khơng có phần tử b ∈ I thỏa mãn a1 , , an , b M −dãy có n + phần tử Nhận xét 1.1.4 Cho A vành Noether = M A−môđun hữu hạn sinh (i) Không tồn dãy vô hạn (ai )∞ i=1 phần tử A thỏa mãn, với n ∈ N, dãy hữu hạn (ai )ni=1 M −dãy Từ đó, M −dãy I mở rộng thành M −dãy cực đại I Thật vậy, giả sử có dãy (ai )∞ i=1 thỏa mãn điều kiện Khi ta ln có (a1 , , an ) (a1 , , an , an+1 ) (do an+1 ∈ / (a1 , , an )) Tức là ta có dãy (a1 ) (a1 , a2 ) (a1 , , an ) dãy tăng vô hạn iđêan A Mâu thuẫn với giả thiết A Noether (ii) Gọi a = a1 , , an M −dãy, a M −dãy cực đại I I ⊆ ZD(M/(a)M ) Mà ZD(M/(a)M ) = p, p∈Ass(M/(a)M ) Ass(M/(a)M ) tập hữu hạn, nên theo định lý tránh nguyên tố I nằm iđêan nguyên tố liên kết M/(a)M (iii) Nhắc lại rằng, với (A, m) vành Noether địa phương chiều d, theo ([6], Th 13.4) tồn iđêan m−nguyên sơ sinh d phần tử, Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ khơng sinh d phần tử Nếu x = x1 , , xd hệ sinh iđêan m−nguyên sơ x gọi hệ tham số A, theo ([6], Th 14.1) hệ tham số x có tính chất dim A/(x1 , , xi ) = d − i với ≤ i ≤ d Đặc biệt, x hệ sinh m A gọi vành địa phương quy x hệ tham số quy A Theo ([6], Th 14.3) vành địa phương quy miền nguyên Từ đó, hệ tham số quy x vành địa phương quy (A, m) A−dãy Thật vậy, ta có A = A/(x1 , , xi ) vành địa phương chiều d − i với ≤ i < d m/(x1 , , xi ) iđêan cực đại A sinh d − i phần tử xi+1 , , xd (là ảnh tắc xi+1 , , xd A) Suy A vành địa phương quy, miền nguyên Rõ ràng xi+1 ∈ / (x1 , , xi ) nên xi+1 A/(x1 , , xi )− quy (iv) Từ Ví dụ 1.1.2,(ii) ta thấy dãy quy phụ thuộc vào vị trí phần tử dãy Tuy nhiên, ta chứng minh phần tử dãy quy nằm Jacobson hốn vị dãy quy Ta chứng minh điều trực định nghĩa cách sử dụng bổ đề Nakayama, trình bày Hệ 2.2.2 theo cách khác (v) Ta chứng minh dãy quy cực đại iđêan có số phần tử, từ ta có khái niệm độ sâu mơđun Điều trình bày tiết sau Tiếp theo ta trình bày số tính chất khác M −dãy Định lý 1.1.5 Cho (A, m) vành Noether địa phương, M A−môđun hữu hạn sinh Lấy a1 , , an M −dãy Khi dim M/(a1 , , an )M = dim M − n Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... ∈ / ZD(M ) = p∈Ass(M ) p a ∈ / p với p ∈ Ass(M ) Mà Min Supp(M ) ⊂ Ass(M ), nên a∈ / Min Supp(M ) Lại có Supp(M/aM ) = V (Ann(M/aM )) = V (Ann(M ) + (a)), Supp(M/aM ) ⊂ V (Ann(M )) = Supp(M ),... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Độ sâu môđun vành Noether địa phương Khái niệm dãy quy độ sâu quan trọng cho lý thuyết vành Cohen - Macaulay Độ sâu vành Noether địa phương A A−môđun hữu hạn sinh... ) ∈ (x1 ), x2 (1 − x1 ) ∈ / (x1 ) nên h ∈ (x1 ) tức x2 (1 − x1 ) A/(x1 )−chính quy Tương tự, h · x3 (1 − x1 ) ∈ (x1 , x2 (1 − x1 )), x3 (1 − x1 ) ∈ / (x1 , x2 (1 − x1 )) nên h ∈ (x1 , x2 (1 −