ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM HỒNG NAM KIỂU ĐA THỨC CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN DANH TUYÊN KIỂU ĐA THỨC CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✹ ✶ ❚Ý♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ❝ñ❛ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐ ✺ ✶✳✶ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✷ ◆❤❐♥ ①Ðt ♠ë ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✸ ➜➷❝ tr➢♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤❛ t❤ø❝ ❝ñ❛ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✹ ▼ét sè ➳♣ ❞ô♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✷ ❑✐Ó✉ ➤❛ t❤ø❝ ✶✽ ✷✳✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✷✳✷ ❑✐Ó✉ ➤❛ t❤ø❝ ✷✳✸ ❈➳❝ ❝❤➷♥ tr➟♥ ✈➭ ❞➢í✐ ❝đ❛ ❦✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝ ✷✳✹ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ A ❧➭ ✈➭♥❤ t❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ✈➭♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✳ ✳ ✳ ✸✷ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✶ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ▼ét ý t➢ë♥❣ q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ❍×♥❤ ❤ä❝ ➤➵✐ sè ✈➭ ➜➵✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ❧➭ t❤➠♥❣ q✉❛ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t❤➠♥❣ q✉❛ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❜✃t ❜✐Õ♥ ❜➺♥❣ sè ➤Ó ♥ã✐ ❧➟♥ ❝✃✉ tró❝ ❝đ❛ ❝➳❝ ➤❛ t➵♣ ❤♦➷❝ ❝✃✉ tró❝ ❝đ❛ ❝➳❝ ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ➤✐Ị✉ ♥➭② ❝ã t❤Ĩ t❤✃② râ tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ♥ỉ✐ t✐Õ♥❣ ♥❤➢ ❧ý t❤✉②Õt ❜✃t ❜✐Õ♥ ❝đ❛ ▼✉♠❢♦r❞✱ ❧ý t❤✉②Õt ❣✐➯✐ ❦ú ❞Þ ❝đ❛ ❍✐r♦♥❛❦❛✳✳✳ ▼ét ✈Ý ❞ơ ➤✐Ĩ♥ ❤×♥❤ tr♦♥❣ ➜➵✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ❧➭ ✈➭♥❤ ❈♦❤❡♥✲ ▼❛❝❛✉❧❛②✱ ♠ét ❧í♣ ✈➭♥❤ q✉❛♥ trä♥❣ ♥❤✃t tr♦♥❣ ➜➵✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✳ ❈❤♦ (A, m) ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ✱ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ ◆♦❡t❤❡r = d✳ ▼ét ✐➤➟❛♥ q ∈ ❙♣❡❝A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ t❤❛♠ sè ♥Õ✉ q ❧➭ m− ♥❣✉②➟♥ s➡ ✈➭ s✐♥❤ ❜ë✐ d ♣❤➬♥ tö✳ ❑❤✐ ➤ã A ❧➭ ✈➭♥❤ ❈♦❤❡♥✲ ▼❛❝❛✉❧❛② ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ tå♥ t➵✐ ♠ét ✐➤➟❛♥ t❤❛♠ sè q s❛♦ ❝❤♦ lA (A/q) = e(q; A)✳ ë ➤➞② lA (∗) ❦Ý ❤✐Ö✉ ❝❤♦ ➤é ❞➭✐ ❝➳❝ A ♠➠➤✉♥ ✈➭ e(q; A) ❧➭ sè ❜é✐ ❩❛r✐s❦✐✲❙❛♠✉❡❧ ❝đ❛ A ➤è✐ ✈í✐ ✐➤➟❛♥ t❤❛♠ sè q✳ ❚❛ ❝ị♥❣ ❜✐Õt r➺♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ t❤❛♠ sè q t❤× lA (A/q) ≥ e(q; A)✳ ➜➷t I(q; A) = lA (A/q) − e(q; A)✳ ❑❤✐ ➤ã ♥Õ✉ I(q; A) ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❦❤➠♥❣ ➤æ✐ ✈í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ t❤❛♠ sè q✱ ✭❝❤ó ý r➺♥❣ ❦❤✐ A ❧➭ ✈➭♥❤ ❈♦❤❡♥✲ ▼❛❝❛✉❧❛② t❤× I(q; A) = ✈í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ t❤❛♠ sè q✮ t❤× ❧í♣ ✈➭♥❤ ➤ã ❝ã ❝❤✐Ị✉ ❞✐♠A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ✈➭♥❤ ❇✉❝❤❜❛✉♠✳ ◆Õ✉ s✉♣q I(q; A) < ∞, tr♦♥❣ ➤ã q ❝❤➵② ❦❤➽♣ tr➟♥ t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ t❤❛♠ sè ❝đ❛ A t❤× ❦❤✐ ➤ã ♥ã ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ✈➭♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✳ ◆❤➢ ✈❐② ❝➳❝ ❧í♣ ✈➭♥❤ q✉❡♥ t❤✉é❝ tr♦♥❣ ➜➵✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ➤Ị✉ ➤➢ỵ❝ ➤➷❝ tr➢♥❣ q✉❛ ❧ý t❤✉②Õt ❜é✐ ✈➭ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ●❙ ✲ ❚❙❑❍ ◆❣✉②Ơ♥ ❚ù ❈➢ê♥❣ ✈Ị ❦✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝ tr➟♥ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r✱ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐ ❜➳♦ ❬✹❪✱ ❬✺❪ ✈➭ ❬✻❪✳ ❚r♦♥❣ s✉èt ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② t❛ ❧✉➠♥ ❦ý ❤✐Ö✉ (A, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ ➤Þ❛ M ❧➭ ♠ét A− ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ❝ã ❝❤✐Ị✉ ❞✐♠M = d ▼ét ❤Ư ♣❤➬♥ tö x = (x1 , , xd ) ❝đ❛ A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤Ư t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M ♥Õ✉ lA (M/xM ) < ∞ ❈❤♦ n = (n1 , , nd ) ❧➭ ♠ét ❜é d sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ t✉ú ♣❤➢➡♥❣✱ ◆♦❡t❤❡r ✈➭ ý✳ ❑❤✐ ➤ã ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ĩ ①❡♠ ❤✐Ư✉ IM (n, x) = lA (M/(xn1 , , xnd d )M ) − n1 nd e(x, M ) ♥❤➢ ♠ét ❤➭♠ sè t❤❡♦ n ❝ã ❣✐➳ trÞ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ✈í✐ ♠ä✐ ❜✐Õ♥ ♥❣✉②➟♥✱ tr♦♥❣ ➤ã e(x; M ) ❧➭ sè ❜é✐ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❙❡rr❡ ❝đ❛ M ➤è✐ ✈í✐ ❤Ư t❤❛♠ sè x ❑❤✐ M = A t❤× ♥ã ❝❤Ý♥❤ ❧➭ sè ❜é✐ ❩❛r✐s❦✐ ✲ ❙❛♠✉❡❧✳ ◆➝♠ ✶✾✽✺✱ ❙❤❛r♣ ➤➢❛ r❛ ❝➞✉ ❤á✐ ♠ë✿ IM (n; x) ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ t❤❡♦ n ❦❤✐ n ➤đ ❧í♥ ✭❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ n 0✮❄ ▼ét ❧♦➵t ✈Ý ❞ơ ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ r❛ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ tá r➺♥❣ IM (n; x) ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❦❤✐ n ❚õ ➤➞② ♥➯② s✐♥❤ r❛ ♠ét ❝➞✉ ❤á✐✿ ❑❤✐ ♥➭♦ t❤× IM (n; x) ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ t❤❡♦ n ❦❤✐ n 0❄ ▼ét tr➯ ❧ê✐ trä♥ ✈Ñ♥ ❝❤♦ ❝➞✉ ❤á✐ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ r❛ tr♦♥❣ ❬✹❪ ♥ã✐ r➺♥❣ IM (n; x) ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ x ❧➭ ♠ét ✉✳♣ ✲ ❞➲②✳ P❤➯✐ ❝❤➝♥❣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸ IM (n; x) ò tứ tì t t❤✃② r➺♥❣ ❤➭♠ IM (n; x) ❧✉➠♥ ❜Þ ❝❤➷♥ tr➟♥ ❜ë✐ ➤❛ t❤ø❝ n1 nd l(M/(x1 , , xd )M ) ✭①❡♠ tr♦♥❣ ❬✻❪✮✳ ◆❤➢ ✈❐② ❜❐❝ ❜Ð ♥❤✃t ❝ñ❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ❝❤➷♥ tr➟♥ t❤❡♦ n ❝❤➷♥ ❤➭♠ IM (n; x) ❧➭ tå♥ t➵✐✳ ➜✐Ò✉ ➤ã ❞➱♥ ➤Õ♥ ♠ét ❜✃t ❜✐Õ♥ ♠í✐ tr➟♥ M, ❣ä✐ ❧➭ ❦✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝ ❝đ❛ M ❇✃t ❜✐Õ♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❜➽t ➤➬✉ tõ ♠ét ❦Õt q✉➯ s❛✉ ✭①❡♠ tr♦♥❣ ❬✻❪✮✿ ❑❤✐ n ❝❤➷♥ tr➟♥ ❤➭♠ IM (n; x) ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ❤Ư t❤❛♠ sè x ❱❐② ❜❐❝ ❜Ð ♥❤✃t ♥➭② ❧➭ ♠ét ❜✃t ❜✐Õ♥ ❝ñ❛ M ❚❛ ❦ý ❤✐Ö✉ ❜✃t ❜✐Õ♥ ➤ã ❧➭ p(M ) ✈➭ ❣ä✐ ♥ã ❧➭ ❦✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝ ❝đ❛ M ❇❐❝ ❜Ð ♥❤✃t ❝ñ❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ t❤❡♦ ❚❛ q✉② ➢í❝ ❜❐❝ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ ❦❤➠♥❣ ❜➺♥❣ r➺♥❣ M M −∞ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❞Ô ❞➭♥❣ t❤✃② p(M ) = −∞ p(M ) ≤ ◆❤➢ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❧➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❘â r➭♥❣ ✈❐② tÝ♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ➤➢ỵ❝ ❞Ơ ❞➭♥❣ ➤➷❝ tr➢♥❣ q✉❛ tÝ♥❤ ➤❛ t❤ø❝✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❝❤✐❛ t❤➭♥❤ ✷ ❝❤➢➡♥❣✿ ❈❤➢➡♥❣ ■ ♥ã✐ ✈Ò tÝ♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ❝ñ❛ ❤➭♠ IM (n; x) tr➟♥ ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ◆♦❡t❤❡r ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ (A, m) ❑Õt q✉➯ q✉❛♥ trä♥❣ ♥❤✃t ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❧➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✹ ♥ã ❝ị♥❣ ❧➭ ❝➞✉ tr➯ ❧ê✐ trä♥ ✈Đ♥ ❝❤♦ ❝➞✉ ❤á✐ ♠ë ❝đ❛ ❙❤❛r♣ ♥ã✐ r➺♥❣ ✿ IM (n; x) ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ x = (x1 , , xd ) ❧➭ ✉✳♣✲❞➲② ❍➭♠ sè t❤❡♦ n ✈í✐ ❈❤➢➡♥❣ ■■ ➤➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❦✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝ n ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❤Ư t❤❛♠ sè p(M ) ❝đ❛ ♠ét ♠➠➤✉♥ M tr➟♥ ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ ◆♦❡t❤❡r✱ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳ ➜➞② ❧➭ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ q✉❛♥ trä♥❣ ♥❤✃t tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ◆❣♦➭✐ r❛ ♠ét ❧♦➵t ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ❦✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝ ❝ị♥❣ ♥❤➢ ❝➳❝ ❝❐♥ tr➟♥ ✈➭ ❞➢í✐ ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✳ ▼ét ❦Õt q✉➯ q✉❛♥ trä♥❣ ❧➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✳✾ ✈➭ ❤Ư q✉➯ ✷✳✹✳✷ ♥ã✐ ❧➟♥ ý ♥❣❤Ü❛ ❤×♥❤ ❤ä❝ ❝đ❛ ❦✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝ ♥ã✐ r➺♥❣✿ ●✐➯ sư A ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❤♦➷❝ ▼❛❝❛✉❧❛②✳ ◆Õ✉ M A ❧➭ ✈➭♥❤ t❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ✈➭♥❤ ❈♦❤❡♥✲ ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉ t❤× p(M ) = ❞✐♠ ♥❈▼(M ) ❈❤ó ý r➺♥❣ q✉ü tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② M ợ ị (M ) = {p ∈ Supp(M )|Mp ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②} ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ❝đ❛ ●❙ ✲ ❚❙❑❍ ◆❣✉②Ơ♥ ❚ù ❈➢ê♥❣✳ ◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭② ❡♠ ①✐♥ tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❚❤➬②✳ ❊♠ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ tr♦♥❣ ➜❍ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✈➭ ❱✐Ư♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì ❡♠ r✃t ♥❤✐Ị✉ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ tr➢ê♥❣ ➜❍ ❑❤♦❛ ❍ä❝ ✲ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ❝❤♦ t➠✐ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣ ❝đ❛ ♠×♥❤✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❝ỉ ✈ị✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❚Ý♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ❝đ❛ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt ♣❤➢➡♥❣✱ ◆♦❡t❤❡r ✈í✐ ❝❤✐Ị✉ ❞✐♠M ✶✳✶ m ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝ù❝ ➤➵✐ ✈➭ (A, m) M ❧➭ ✈➭♥❤ ị A ữ s ó = d ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛♥ trä♥❣ s❛✉ ➤➞② ❈❤♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✳ q A ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ s❛♦ ❝❤♦ l(M/qM ) < ∞✳ l(M/qn M ) ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ ❤Ư sè ❤÷✉ tû ❦❤✐ n ❑❤✐ ➤ã ✈➭ d = dim M = deg(l(M/qn M ) = inf{t|∃ x1 , , xt ∈ m ➜❛ t❤ø❝ l(M/qn M )✱ q ❝đ❛ ▼ ø♥❣ ✈í✐ ❦❤✐ n ▼ét ❤Ư ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M l(M/(x1 , , xt )M ) < ∞} ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt✲❙❛♠✉❡❧ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý tr➟♥ tå♥ t➵✐ ❤Ư l(M/(x1 , , xd )M ) < ∞ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝đ❛ ➤Ĩ t❤× {x1 , , xd } ⊆ m {x1 , , xd } s❛♦ ❝❤♦ t❤♦➯ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t tr➟♥ M ❈❤ó ý r➺♥❣ ♥Õ✉ x = (x1 , , xd ) ❧➭ ♠ét (xn1 , xnd d ) ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè ❝đ❛ M ✈í✐ ♠ä✐ (n1 , , nd ) ∈ Nd ❈❤♦ x = (x1 , , xd ) t❤× ❦❤✐ ➤ã t❛ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè ❝đ❛ M ➜➷t q = (x1 , , xd )A q ❧➭ ✐➤➟❛♥ t❤❛♠ sè ❝đ❛ ▼✳ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý tr➟♥✱ l(M/qn M ) ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ ❤Ư sè ❤÷✉ tû ❦❤✐ n 0, ➤❛ t❤ø❝ ♥➭② ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ ♥❣✉②➟♥ ✈í✐ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✺ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻ ♠ä✐ ❜✐Õ♥ ♥❣✉②➟♥✳ ❱× t❤Õ ♥ã ❝ã ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ n+d n+d−1 +e1 (q; M ) + .+ed (q; M ), d d−1 tr♦♥❣ ➤ã ei ∈ Z, e0 > ✈í✐ ♠ä✐ i = , d l(M/qn+1 M ) = e0 (q; M ) ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✷✳ ❙❛♠✉❡❧ ❝đ❛ M ◆Õ✉ M e0 tr♦♥❣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ tr➟♥ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ sè ❜é✐ ❩❛r✐s❦✐ ✲ ø♥❣ ✈í✐ ✐➤➟❛♥ t❤❛♠ sè ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✸✳ ❤Ư ❜é✐ ❝đ❛ ❙è ♥Õ✉ q ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ e(q; M ) ▼ét ❤Ư ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư x = (x1 , , xt ) ❝đ❛ A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ l(M/(x1 , , xt )M ) < t = tì ề ệ tr ợ ❤✐Ĩ✉ ❧➭ l(M ) < ∞ ❑❤✐ ➤ã ❦ý ❤✐Ư✉ ❜é✐ e(x; M ) ➤è✐ ✈í✐ ❤Ư ❜é✐ x ➤➢ỵ❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ t ♥❤➢ s❛✉✿ ◆Õ✉ t = 0, tø❝ ❧➭ l(M ) < ∞ ❑❤✐ ➤ã t❛ ➤➷t e(∅; M ) = l(M ) ◆Õ✉ t > 0, tø❝ ❧➭ l(M/(x1 , , xt )M ) < ∞ ❚õ ➤ã t❛ s✉② r❛ l((0M : x1 )/(x1 , , xt )(0M : x1 )) < ∞, tø❝ ❧➭ (x2 , , xt ) ❧➭ ❤Ư ❜é✐ ❝đ❛ 0M : x1 ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❤× e((x2 , , xt ); M/x1 M ) ✈➭ e((x2 , , xt ); 0M : x1 ) ❧➭ tå♥ t➵✐✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ e(x; M ) = e((x2 , , xt ); M/x1 M ) − e((x2 , , xt ); 0M : x1 ) e(x; M ) ố ộ ợ ị ĩ tr ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ sè ❜é✐ ❝đ❛ M ø♥❣ ✈í✐ ❤Ư x ❈❤ó ý ✶✳✶✳✹✳ ❈❤♦ x = (x1 , , xt ) ❧➭ ❤Ư ❜é✐ ❝đ❛ ➤➢❛ r❛ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ sè ❜é✐ M ❉➢í✐ ➤➞② ❝❤ó♥❣ t❛ sÏ e(x; M ) t❤➢ê♥❣ ➤➢ỵ❝ sư ❞ơ♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ✭✐✮ ✈í✐ ≤ e(x; M ) ≤ l(M/(x1 , , xt )M ) ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ i s❛♦ ❝❤♦ xni M = 0, n ❧➭ ♠ét sè tù ♥❤✐➟♥ ♥➭♦ ➤ã t❤× e(x; M ) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼ ✭✐✐✮ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ❝é♥❣ tÝ♥❤ ❝đ❛ ❜é✐✮✳ ●✐➯ sư −→ Mn −→ −→ M1 −→ M0 −→ A− ❧➭ ❞➲② ❦❤í♣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ◆♦❡t❤❡r ✈➭ i = 0, , n ❑❤✐ ➤ã✱ x ❧➭ ❤Ư ❜é✐ ❝đ❛ Mi , ✈í✐ ♠ä✐ n (−1)i e(x; Mi ) = i=0 ✭✐✐✐✮ ❈❤♦ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ x = (x1 , , xt ) ❧➭ ♠ét ❤Ư ❜é✐ ❝đ❛ M ❑❤✐ ➤ã e(x; M ) = ❦❤✐ t > dim M ✭✐✈✮ ❈❤♦ (n1 , , nt ) ∈ Nt ❑❤✐ ➤ã✱ e((xn1 , , xnt t ); M ) = n1 nt e(x; M ) ✭✈✮ ◆Õ✉ x ❧➭ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè ❝đ❛ M tø❝ ❧➭ t = d, t❤× t❛ ❝ã ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❧✐➟♥ e0 (q; M ) = e(x; M ), ❤Ư ❣✐÷❛ sè ❜é✐ ❤×♥❤ t❤ø❝ ✈➭ sè ❜é✐ ❩❛r✐s❦✐ ✲ ❙❛♠✉❡❧ ❧➭ q = (x1 , xd )A tr♦♥❣ ➤ã ✭✈✐✮ ❈➠♥❣ t❤ø❝ ❆✉s❧❛♥❞❡r ✲ ❇✉❝❤s❜❛✉♠ ❬❆✲ ❇❪✳ ❱í✐ ♥❤÷♥❣ ❦Ý ❤✐Ư✉ tr➟♥ t❤× l(M/(x1 , , xd )M ) − e(x; M ) d−1 i=0 e((xi+1 , , xd ); (x1 , , xi−1 )M = ❑❤✐ ➤ã t❤❛♠ sè M ❧➭ A✲♠➠➤✉♥ : xi /(x1 , , xi−1 )M ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤Ö x = (x1 , , xd ) s❛♦ ❝❤♦ l(M/(x1 , , xd )M ) = e(x; M ) ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✺✳ ✭✐✮ ▼ét A✲♠➠➤✉♥ M ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ♥Õ✉ I(M ) = s✉♣{l(M/(x1 , , xd )M − e(x; M ))} < ∞ tr♦♥❣ ➤ã x = (x1 , , xd ) ❝❤➵② ❦❤➽♣ t❐♣ ❝➳❝ ❤Ư t❤❛♠ sè ❝đ❛ M ✭✐✐✮ ▼ét ❤Ư t❤❛♠ sè t➽❝ ❝đ❛ M x = (x1 , , xd ) ❝ñ❛ M ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤Ư t❤❛♠ sè ❝❤✉➮♥ ♥Õ✉ lA (M/(x1 , , xd )M )−e(x; M ) = lA (M/(x21 , , x2d )−e((x21 , , x2d ); M ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✽ ❈❤ó ý ✶✳✶✳✻✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ♠ét sè ➤➷❝ tr➢♥❣ ✈Ò ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✳ ✭✐✮ M ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❤Ư t❤❛♠ sè ❝❤✉➮♥ t➽❝✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ♥Õ✉ M ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét I(M ) = lA (M/(x1 , , xd )M ) − e(x; M ) x ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❝❤✉➮♥ t➽❝✳ ✭✐✐✮ ●✐➯ sö M Mp ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✈➭ ❞✐♠Mp + ❞✐♠A/p = d ❧➭ ♠➠➤✉♥ ✈í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p ∈ \{m} ❍➡♥ ♥÷❛ ♥Õ✉ A ❧➭ ✈➭♥❤ t❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ✈➭♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② t❤× ❙✉♣♣M ➤✐Ị✉ ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐ ❝ị♥❣ ➤ó♥❣✳ ✭✐✐✐✮ ❑ý ❤✐Ư✉ M ❧➭ ❜❛♦ ➤➬② ➤ñ m✲❛❞✐❝ ❝ñ❛ M ❑❤✐ ➤ã M ▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ✭✐✈✮ ❈❤♦ ❞✐♠(R/p) ✶✳✷ M ❧➭ = ❞✐♠M ♠➠➤✉♥ ✈í✐ ♠ä✐ M ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✳ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã p ∈ ❆ssM, p = m ◆❤❐♥ ①Ðt ♠ë ➤➬✉ x = (x1 , , xd ) ❈❤♦ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M ✈➭ ♠ét t❐♣ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ n = (n1 , , nd ) t❛ ➤➷t x(n) = (xn1 , , xnd d )✳ ❳Ðt ❤✐Ö✉ IM (n; x) = (M/x(n)M ) − n1 nd e(x; M ) ♥❤➢ ♠ét ❤➭♠ ❝ñ❛ x n1 , , nd ✱ tr♦♥❣ ➤ã e(x; M ) ❧➭ sè ❜é✐ ❝đ❛ M ❑❤✐ ➤ã✱ ♥❤×♥ ❝❤✉♥❣ IM (n; x) t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ n1 , , nd ❦❤➠♥❣ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ ➤đ ❧í♥✱ t✉② ♥❤✐➟♥ ❝❤ó♥❣ ❧✉➠♥ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ ❦❤➠♥❣ ➞♠✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ t❛ ①Ðt ✈Ý ❞ô s❛✉✿ ❈❤♦ A = k[[X, Y, Z]]/I, tr♦♥❣ ➤ã k[[X, Y, Z]] ỗ ỹ từ ì tứ t ế r➭♥❣ t❛ ❝ã ❞✐♠A tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤ã♥❣ ➤➵✐ sè k ✈➭ I = (X , XY Z) ❘â = ✈➭ ❤Ö x = (x1 , x2 ) ❧➭ ❤Ư t❤❛♠ sè ❝đ❛ A, tr♦♥❣ ➤ã x1 ❧➭ A ✈➭ x2 ❧➭ ➯♥❤ ❝ñ❛ Y tr♦♥❣ A ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã (x, xn1 )A ♥Õ✉ m ≥ n + n m x1 A : x2 = (x, xn1 )A ∩ (x2 , z, xn−m )A ♥Õ✉ m ≤ n tr♦♥❣ ➤ã x ❧➭ ➯♥❤ ❝ñ❛ X tr♦♥❣ A ✈➭ z ❧➭ ➯♥❤ ❝ñ❛ Z tr♦♥❣ A ❈❤♦ n = (n, m) ➯♥❤ ❝ñ❛ ✈➭ Y +Z X, Y, Z tr♦♥❣ x = (x1 , x2 ) ●✐➯ sö IM (n; x) = (M/x(n)M ) − nme(x; M ) ❧➭ ➤❛ t❤ø❝✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✷ ❚õ ❞➲② ❦❤í♣ tr➟♥ s✉② r❛ l(M/x21 M ) ≤ 2l(M/x1 M ) ❍♦➭♥ t♦➭♥ t➢➡♥❣ tù ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ x M/x21 M −→ M/x31 M −→ M/x1 M −→ ❚õ ❞➲② ❦❤í♣ tr➟♥ s✉② r❛ l(M/x31 M ) ≤ l(M/x21 M ) + l(M/x1 M ) ❚õ ❤❛✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ s✉② r❛ tr➟♥ s✉② r❛ ●✐➯ sö l(M/x31 M ) ≤ 3l(M/x31 ) ❚✐Õ♣ tơ❝ q✉➳ tr×♥❤ l(M/xn1 ) ≤ n1 l(M/x1 M ) d > ➜➷t E = M/xn1 M ✈➭ F = M/(x2 , , xd )M ❑❤✐ ➤ã t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❛ ❝ã l(M/(xn1 , , xnd d )M ) = l(E/(xn2 , , xnd d )E) ≤ n2 nd l(E/(x2 , , xd )E) = n2 nd l(F/xn1 F ) ≤ n1 nd l(M/(x1 , , xd )M ) ❑❤✐ n1 = n2 = = nd = ➤➷t IM (n, x) = IM (x) ❚õ ❜ỉ ➤Ị t❛ s✉② r❛ ♥❣❛② ♠ét ❤Ö q✉➯ s❛✉✳ ❍Ö q✉➯ ✷✳✷✳✷✳ IM (n, x) ≤ n1 nd IM (x) ❍Ö q✉➯ tr➟♥ ♥ã✐ ❧➟♥ r➺♥❣ ♥Õ✉ ❤➭♠ sè ❝ị♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ tr➟♥ ❜ë✐ ➤❛ t❤ø❝ IM (n, x) ❦❤➠♥❣ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ t❤× ♥ã n1 nd IM (x) ❉♦ ➤ã ❜❐❝ ♥❤á ♥❤✃t ❝ñ❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ t❤❡♦ n ❝❤➷♥ ❧➭ tå♥ t➵✐ ♥❤➢♥❣ ❧✐Ư✉ r➺♥❣ ♥ã ❝ã ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ❤Ư t❤❛♠ sè x? ➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② sÏ tr➯ ❧ê✐ trä♥ ✈Đ♥ ❝➞✉ ❤á✐ ➤ã✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ♥➭② ❝ị♥❣ ❞➱♥ ➤Õ♥ ♥❤÷♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✸✳ ❇❐❝ ❜Ð ♥❤✃t ❝đ❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ t❤❡♦ n ❝❤➷♥ tr➟♥ ❤➭♠ sè IM (n, x) ❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ x✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ t = (t, , t) ∈ N ❑❤✐ ➤ã t❤❡♦ ●❛r❝✐❛ ❘♦✐❣✱ ❏✳ ✳▲ t❤× ❜❐❝ ❜Ð ♥❤✃t ❝ñ❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ t❤❡♦ t❤✉é❝ ✈➭♦ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ x✳ t ❝❤➷♥ tr➟♥ ❤➭♠ sè ❑ý ❤✐Ư✉ ❜✃t ❜✐Õ♥ ♥➭② ❧➭ ❜Ð ♥❤✃t ❝đ❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ❝❤➷♥ tr➟♥ ❤➭♠ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên IM (t, x) p (M ) IM (n, x)✳ ✈➭ ❣ä✐ ❦❤➠♥❣ ♣❤ô p(x) ❧➭ ❜❐❝ ❚❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✸ ❤➭♠ IM (n, x) ❧➭ ➤å♥❣ ❜✐Õ♥✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ t❤❡♦ q✉② ♥➵♣ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ IM (m, x) ≥ IM (n, x), ✈í✐ mi = ni , ∀i < d ❚❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❬❆✲❇❪ ✈➭ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❜é✐ t❛ ❝ã md IM (m, x) = l(M/(xm d , , xd )M ) − m1 md e(x, M ) m m m1 md d−1 d−1 = l(xm , , xd−1 )M : xd /(x1 , , xd−1 )M ) d−1 + i=1 m m m m1 mi m1 i+1 i−1 i−1 d e((xi+1 , , xm d ); (x1 , , xi−1 )M : xi /(x1 , , xi−1 )M ) m m nd m1 d−1 d−1 ≥ l(xm , , xd−1 )M : xd /(x1 , , xd−1 )M ) d−1 + i=1 m m m m1 mi m1 i+1 i−1 i−1 d e((xi+1 , , xm d ); (x1 , , xi−1 )M : xi /(x1 , , xi−1 M ) m m m1 nd d−1 d−1 ≥ l(xm , , xd−1 )M : xd /(x1 , , xd−1 )M ) d−1 + i=1 n n n i+1 i−1 i−1 e((xi+1 , , xnd d ); (xn1 , , xi−1 )M : xni i /(xn1 , , xi−1 )M ) n n d−1 d−1 = l(xn1 , , xd−1 )M : xnd d /(xn1 , , xd−1 )M ) d−1 + i=1 n n n i+1 i−1 i−1 e((xi+1 , , xnd d ); (xn1 , , xi−1 )M : xni i /(xn1 , , xi−1 )M ) = IM (n, x) ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã IM (t, x) ≤ IM (n, x), ✈í✐ ♠ä✐ t ≤ ni , i = 1, , d p (M ) ≤ p(x) ❚➢➡♥❣ tù t❛ ❝ã IM (t, x) ≥ IM (n, x), 1, , d p (M ) ≥ p(x) ❉♦ ➤ã t❛ s✉② r❛ t❤❛♠ sè ❙✉② r❛ ✈í✐ ♠ä✐ ❙✉② r❛ t ≥ ni , i = p (M ) = p(x) ✈í✐ ♠ä✐ ❤Ư x ➜Þ♥❤ ❧ý tr➟♥ ➤➢❛ t❛ ➤Õ♥ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❝➡ ❜➯♥ s❛✉ ✈➭ ♥ã ❝ị♥❣ ❧➭ ①✉✃t ♣❤➳t ➤✐Ó♠ q✉❛♥ trä♥❣ ❞➱♥ ➤Õ♥ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✷✳✹✳ ❇❐❝ ❜Ð ♥❤✃t ❝ñ❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ❝❤➷♥ tr➟♥ IM (n, x) ❧➭ ♠ét ❜✃t ❜✐Õ♥ ❝ñ❛ ▼✳ ❇✃t ❜✐Õ♥ ♥➭② ❣ä✐ ❧➭ ❦✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝ ❝đ❛ ▼ ✈➭ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ p(M ) ❈❤ó ý ✷✳✷✳✺✳ ✭✐✮ ◗✉② ➢í❝ ❜❐❝ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ ✵ ❧➭ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M s❛♦ ❝❤♦ IM (n, x) = ▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ −∞ ❑❤✐ ➤ã t❛ s✉② r❛ ♥❣❛② ▼ p(M ) = ì t ọ ợ ệ ũ s r❛✱ ▼ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲ p(M ) ≤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✹ ✭✐✐✮ ❚❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ▲❡❝❤ t❛ ❝ã l(M/(xn1 , , xnd d )M ) lim = e(x, M ) n1 nd min(ni )→∞ < p(M ) ≤ ❞✐♠M − ❦❤✐ ▼ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✳ s✉② r❛ ◆❤➢ ✈❐② ❦✐Ó✉ ➤❛ t❤ø❝ ❝ã t❤Ó ①❡♠ ♥❤➢ ♠ét ➤é ➤♦ tÝ♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ♣❤ï ❤ỵ♣ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥✳ ❍Ư q✉➯ s❛✉ ➤➞② ➤➢ỵ❝ sư ❞ơ♥❣ ♥❤✐Ị✉ tr♦♥❣ ♠ơ❝ t✐Õ♣ t❤❡♦✳ ❍Ư q✉➯ ✷✳✷✳✻✳ ❈❤♦ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱× sè ❝đ❛ M ❧➭ ❜❛♦ ➤➬② ➤ñ m✲❛❞✐❝ ❝ñ❛ M ❑❤✐ ➤ã p(M ) = p(M ) x = (x1 , , xd ) ❧➭ ❤Ư t❤❛♠ sè ❝đ❛ M t❤× x ❝ị♥❣ ❧➭ ❤Ư t❤❛♠ M ▼➷t ❦❤➳❝ ➤é ❞➭✐ ✈➭ ❜é✐ ❧➭ ❜✃t ❜✐Õ♥ q✉❛ ♣❤Ð♣ ❧✃② ➤➬② ➤ñ✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ l(M/(x)M ) = l(M /(x)M ) ✈➭ e(x; M ) = e(x; M ) d sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ n1 , , nd ❉♦ ➤ã ỗ ộ t ó l(M/(xn1 , , xdnd )M ) = l(M /(xn1 , , xnd d )M ) ❚õ ➤➞② s✉② r❛ ✷✳✸ IM (n, x) = IM (n, x) ❉♦ ➤ã p(M ) = p(M ) ❈➳❝ ❝❤➷♥ tr➟♥ ✈➭ ❞➢í✐ ❝đ❛ ❦✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝ ❈❤ó ý ✷✳✷✳✺✭✐✐✮ ♥ã✐ ❧➟♥ r➺♥❣ ♥Õ✉ ❦❤➠♥❣ ❜✐Õt ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ p(M ) t❤× t❛ ❝ị♥❣ t❤✃② r➺♥❣ ♥ã ❧✉➠♥ ❜Þ ❝❤➷♥✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝❤➢❛ t❤Ĩ tÝ♥❤ ❝➳❝ ❝❤➷♥ ❝đ❛ ♥ã✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ♠ơ❝ ♥➭② sÏ ♥ã✐ ❧➟♥ ý ĩ ì ọ ủ tí ợ ủ p(M ) ✈➭ tÝ♥❤ ➤➢ỵ❝ p(M ) p(M ), tr♦♥❣ ♠ét sè tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤➷❝ ❜✐Ưt✳ ❚r➢í❝ ❦❤✐ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ tr♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➬♥ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ ♠ét sè ❜ỉ ➤Ị s❛✉✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✸✳✶✳ t❤✉ ❣ä♥ ♥Õ✉ ▼ét ♣❤➬♥ ❤Ö t❤❛♠ sè xi ∈ / p, ∀p ∈ x1 , , x j ❝đ❛ ▼ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➲② ❆ss(M/(x1 , , xi−1 )M ) ✈í✐ dim(A/p) ≥ d − i, i = 1, , j ❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tr➟♥ t❛ ❝ã t❤Ĩ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❤➟♠ ♠ét ❜✃t ❜✐Õ♥ ♥÷❛ ❝đ❛ r(M ) = M ❝ã ✐♥❢ {k}, tr♦♥❣ ➤ã k M ❧➭ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ♠ä✐ ♣❤➬♥ ❤Ư t❤❛♠ sè ❝đ❛ d − k − ♣❤➬♥ tư ❧➭ ❞➲② t❤✉ ❣ä♥ ❝đ❛ M Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✺ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✷ ❝đ❛ M ✭①❡♠ tr♦♥❣ ✹✳✽ ❝ñ❛ ❬✶❪✮✳ ❈❤♦ ❑❤✐ ➤ã xk ∈ p ✈í✐ ♠ä✐ x = (x1 , , xd ) ❧➭ ❤Ö t❤❛♠ sè p ∈ Ass(M/(x1 , , xk−1 )M ) t❤♦➯ ♠➲♥ dim(R/p) ≥ d − k(k = 1, , d − 1) ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ e((x1 , , xd ); M ) = l(M/(x1 , , xd )M ) −l((x1 , , xd−1 )M ) : xd /(x1 , , xd−1 )M ) ❇ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✸✳ x1 , , xj ❈❤♦ ❧➭ t ọ ị ợ ọ ị ủ x1 , , xj ➤Ò✉ ❧➭ ❞➲② t❤✉ ❣ä♥✮✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ p ∈ Ass(M/(x1 , , xj−1 )M ) dim(A/p) ≥ d − j t❤♦➯ ♠➲♥ t❛ ❝ã dim(Mp ) + dim(A/p) = d ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö ❞✐♠Mp ❞➲② x1 , , xj s❛♦ ❝❤♦ x1 , , xk ❧➭ ❤Ư t❤❛♠ sè ❝đ❛ Mp ❱× (x1 , , xk )Mp ⊆ (x1 , , xj−1 )Mp ⊆ pMp ♥➟♥ s✉② r❛ ❚❤❡♦ ❬✽❪✱ ✼✳❈ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt ❞✐♠(A/p) ❈❤♦ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➜➷t p pAp ✲ ♥❣✉②➟♥ s➡✳ x1 , , xj ❧➭ ❞➲② t❤✉ ❣ä♥✳ ❱❐② ❞✐♠Mp = j, tø❝ ❧➭ ❞✐♠Mp + p ∈ SuppM t❤♦➯ ♠➲♥ dim(A/p) > r(M ) ❑❤✐ ➤ã ♥➟♥ j Mp ❧➭ ❝ñ❛ M dim(Mp ) + dim(A/p) = d k = r(M ) ✈➭ ❝❤ä♥ ♠ét ♣❤➬♥ ❤Ö t❤❛♠ sè x1 , , xj s❛♦ ❝❤♦ k < d−j ➤➢ỵ❝ ❝ñ❛ ❧➭ p ∈ ❆ss(M/(x1 , , xj−1 )M ) ➜✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ♠➞✉ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✈➭ ♥➺♠ tr♦♥❣ (x1 , , xj−1 )Mp = d ❇ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✹✳ ❱× = k < j tì ó t ó tể ọ ợ tứ tự ❝đ❛ ❧➭ sè ❧í♥ ♥❤✃t✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ s✉② r❛ ❞✐♠(A/p) d − k − ≥ j, tø❝ ❧➭ x1 , , x j = d − j ❧➭ ❞➲② t❤✉ ❣ä♥ ❤♦➳♥ ✈Þ M ❚❤❡♦ ❜ỉ ➤Ị tr➟♥ t❛ ❝ã ❞✐♠(Mp ) + ❞✐♠(A/p) = d ▼➷t ❦❤➳❝✱ ✈× x1 , , xj ❝ị♥❣ ❧➭ ❞➲② t❤✉ ❣ä♥ ❝đ❛ Mp ♥➟♥ t❤❡♦ ❜ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✷ t❛ ❝ã l(Mp /(x1 , , xj )Mp ) − e((x1 , , xj ); Mp ) = l((x1 , , xj−1 )Mp : xj /(x1 , , xj−1 )Mp ) ❍➡♥ ♥÷❛ pAp ∈ ❆ss(Mp /(x1 , , xj−1 )Mp ), tõ ➤ã s✉② r❛ (x1 , , xj−1 )Mp : xj = (x1 , , xj−1 )Mp ❙✉② r❛ Mp l(Mp /(x1 , , xj )Mp ) − e((x1 , , xj ); Mp ) = 0✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② ❝❤ø♥❣ tá ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✻ A ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉ ✈➭ ❝❤♦ a ∈ a(M ) ❇ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✺✳ ●✐➯ sư ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tö t✉ú ý s❛♦ ❝❤♦ dim(M/aM ) = d − ❑❤✐ ➤ã✱ ♥Õ✉ dim(A/a(M )) < d − t❤× dim(A/a(M/aM )) = dim(A/a(M )) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➜➷t M = M/aM ✈➭ k= ❞✐♠(A/a(M )) ❑❤✐ ➤ã ①Ðt ❝➳❝ ❞➲② ❦❤í♣ s❛✉ −→ 0M : a(M ) −→ M −→ M/(0M : a(M ) −→ a −→ M/(0M : a(M )) −→ M −→ M −→ ❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ (S1 ) (S2 ) (S1 ) ❧➭ ❦❤í♣ ✈➭ (S2 ) ❧➭ ❦❤í♣ ✈× 0M : aA = 0M : a(M ) t❤❡♦ ❬✾❪✱ ✷✳✹✳✹✳ ▼➷t ❦❤➳❝ ✈× ❞✐♠(0M : a(M )) = k ✱ ♥➟♥ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✶ t❛ s✉② r❛ Hmi (0M : a(M )) = ✈í✐ ♠ä✐ i > k ❑❤✐ ➤ã ❞➲② ❦❤í♣ (S1 ) s✐♥❤ r❛ ❝➳❝ ➤➻♥❣ ❝✃✉ fi : Hmi (M ) ữ ì = Hmi (M/(0M : a(M ))) a.Hmi (M ) = ✈í✐ ≤ i ≤ d − ♥➟♥ tõ ❜✐Ó✉ ➤å ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ a Hmi (M ) ❍ ❍❍ fi ❍ ❍❍ ❥ ✲ ✟✟ Hmi (M ) ✯ gi ✟✟ ✟ ✟ Hmi (M/(0M : a(M ))) t❛ s✉② r❛ gi ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❦❤➠♥❣ ✈í✐ k ≤ i ≤ d − ❱× ❞➲② ❦❤í♣ (S2 ) s✐♥❤ r❛ ❞➲② ❦❤í♣ ❞➭✐ ❝➳❝ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ ❞♦ fi ❧➭ ❝➳❝ ➤➻♥❣ ❝✃✉ ♥➟♥ t❛ t❤✉ ➤➢ỵ❝ −→ Hmi (M ) −→ Hmi (M ) −→ Hmi+1 (M ) −→ ❧➭ ♠ét ❞➲② ❦❤í♣ ♥❣➽♥ ❦❤✐ k ≤ i ≤ d − ❚õ ➤ã s✉② r❛ ❘❛❞(ak (M )) ❘❛❞(ad−1 (M )) ▼➷t ❦❤➳❝ ✈× A ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉ ♥➟♥ t❤❡♦ ✷✳✶✳✶✷✭✐✈✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ❞✐♠(A/a0 (M ) ak−1 (M )) ▼➷t ❦❤➳❝ = ❘❛❞(ak (M )) ❘❛❞(ad−2 (M )) ≤k−1 ✈➭ ❞✐♠(A/a0 (M ) ak−1 (M )) A ❧➭ ❝❛t❡♥❛r ❞♦ ➤ã dim(A/a(M )) = dim(A/a(M )) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✼ ❈❤♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✻✳ x = (x1 , , xd ) ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M s❛♦ ❝❤♦ xi ∈ a(M/(xi+1 , , xd )M ), ✈í✐ i = 1, , d ❑❤✐ ➤ã n n i−1 i−1 (xn1 , , xi−1 )M : xni i ⊆ (xn1 , , xi−1 )M : xj ✈í✐ ♠ä✐ j ≥ i ≥ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜ỉ ➤Ị q✉② ♥➵♣ ❧ï✐ t❤❡♦ ➤Ị ❧➭ ❤✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥ ✈× j ❑❤✐ j=d t❤× ❜ỉ xd ∈ a(M ) ✭ t❤❡♦ ✷✳✶✳✸✭✐✐✐✮✮✳ ❱í✐ d > j ≥ i tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ x ✈➭ ❤Ư q✉➯ ✷✳✶✳✹ t❛ ❝ã ❝đ❛ n n i−1 i−1 (xn1 , , xi−1 )M : xni i ⊆ (xn1 , , xi−1 , xj+1 , , xd )M : xni i n i−1 ⊆ (xn1 , , xi−1 , xj+1 , , xd )M : xj ❈❤♦ n i−1 a ∈ (xn1 , , xi−1 )M : xni i , t❤× ❦❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❦❤❛✐ tr✐Ó♥ a.xj = b + cj+1 xj+1 + + cd xd ✈í✐ n i−1 b ∈ (xn1 , , xi−1 )M, cj+1 , , cd ∈ M ❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❛ s✉② r❛ n i−1 axj xj+1 = bxj+1 + cj+1 x2j+1 + + cd xd xj+1 ∈ (xn1 , , xi−1 )M, ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❝ñ❛ n i−1 , xj+2 , , xd )M ▲➵✐ ❞ù❛ ✈➭♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ cj+1 x2j+1 ∈ (xn1 , , xi−1 x ✈➭ ❤Ö q✉➯ ✷✳✶✳✹ t❛ s✉② r❛ n i−1 cj+1 ∈ (xn1 , , xi−1 , xj+2 , , xd )M : x2j+1 n i−1 = (xn1 , , xi−1 , xj+2 , , xd )M : xj+1 ➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤ø♥❣ tá r➺♥❣ ◆Õ✉ j+1 < d n i−1 axj ∈ (xn1 , , xi−1 , xj+2 , , xd )M t❛ t✐Õ♣ tơ❝ q✉➳ tr×♥❤ tr➟♥✱ s❛♦ ❝❤♦ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ t❛ ➤✐ ➤Õ♥ n i−1 axj ∈ (xn1 , , xi−1 )M ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✳✼✳ ●✐➯ sư A ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❝➳❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝ p(M ) = r(M ) = dim(A/a(M )) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✽ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➜Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý t❛ sÏ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ p(M ) ≥ r(M ) ≥ ❞✐♠(A/a(M )) ≥ p(M ) ❚❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ p(M ) ≥ r(M ) ➜➷t p(M ) = k ●✐➯ sö x = (x1 , , xd ) ❧➭ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè t✉ú ý ❝đ❛ M ❚❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❬❆✲❇❪ t❛ ❝ã n n d−1 d−1 )M ) )M : xnd d /(xn1 , , xd−1 IM (n, x) = l((xn1 , , xd−1 d−1 n n n i+1 i−1 i−1 e((xi+1 , , xnd d ); (xn1 , , xi−1 )M : xni i /(xn1 , , xi−1 )M + i=1 ❱× p(M ) = k ♥➟♥ IM (n, x) ❜Þ ❝❤➷♥ tr➟♥ ❜ë✐ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ k ❉♦ ➤ã n n n i+1 i−1 i−1 e((xi+1 , , xnd d ); (xn1 , , xi−1 )M : xni i /(xn1 , , xi−1 )M ) = i = 1, , d − k − ✈➭ n1 , , nd ≥ ❈❤♦ n1 = n2 = = ni = t❤× ✈í✐ ❦❤✐ ➤ã s✉② r❛ e((xi+1 , , xd ); (x1 , , xi−1 )M : xi /(x1 , , xi−1 )M ) = ❚❤❡♦ ❜ỉ ➤Ị ✶✳✹✳✶ s✉② r❛ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ x1 , , xd−k−1 ❧➭ ♠ét ❞➲② t❤✉ ❣ä♥✳ ❉♦ ➤ã t❤❡♦ ➤Þ♥❤ r(M ) s✉② r❛ r(M ) ≤ k ❚✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ p∈ r(M ) ≥ ❞✐♠(A/a(M )) ➜➷t ❙✉♣♣M t❤♦➯ ♠➲♥ ❞✐♠(A/p) =d−j >k r(M ) = k ❑❤✐ t❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ a(M ) ⊆ p ❚❤❐t ✈❐②✱ t❤❡♦ ❜ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✸ t❛ ❝ã ❞✐♠Mp + ❞✐♠(A/p) = d ❙✉② r❛ ❞✐♠Mp ❝ñ❛ M = j ≤ d − k − ❝❤ø❛ tr♦♥❣ ❧➭ ❞➲② t❤✉ ❣ä♥ ❝đ❛ p ❱× t❤Õ t❛ ❝ã t❤Ĩ tì ợ ệ t số ột ệ t số ủ Mp ì Mp ữ x1 , , x j x1 , , xj r(M ) = k ❚õ ❜ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✷ s✉② r❛ l(Mp /(x1 , , xj )Mp ) − e((x1 , , xj ); Mp ) = l((x1 , , xj−1 )Mp : xj /(x1 , , xj−1 )Mp ) ❱× x1 , , x j ❝ị♥❣ ❧➭ ❞➲② t❤✉ ❣ä♥ ❝đ❛ M ♥➟♥ s✉② r❛ pAp ∈ ❆ss(Mp /(x1 , , xj−1 )Mp ), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❝ß♥ ✷✾ tõ ➤➞② s✉② r❛ (x1 , , xj−1 )Mp : xj = (x1 , , xj−1 )Mp ➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤ø♥❣ tá l(Mp /(x1 , , xj )Mp ) − e((x1 , , xj ); Mp ) = 0, ❤❛② Mp ❧➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❛❧②✳ ❞✐♠(A/a(M )) ❑❤✐ ➤ã t❤❡♦ ❬✾❪✱ ✷✳✹✳✻ t❤× ❱❐② ≤ k = r(M ) ❚✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❞✐♠(A/a(M )) ≥ p(M ) ❚❤❡♦ ❝❤ó ý ✷✳✷✳✺✭✐✐✮ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❤✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥ ➤ó♥❣ ❦❤✐ ❞✐♠(A/a(M )) ❞✐♠(A/a(M )) a(M ) ∈ p < d − = d − ●✐➯ sư ❱× ✈➭♥❤ t❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ✈➭♥❤ ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❧✉➠♥ ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉ ♥➟♥ t❤❡♦ ✷✳✶✳✶✷✭✐✈✮ t❛ ❧✉➠♥ ❝ã t❤Ó ❝❤ä♥ ➤➢ỵ❝ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè x = (x1 , , xd ) ❝ñ❛ M s❛♦ ❝❤♦ x t❤♦➯ ♠➲♥ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝đ❛ ❜ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✻✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ xi ∈ a(M/(xi+1 , , xd )M ), i = 1, , d − ➜➷t M = M/xd M, x = (x1 , , xd−1 ), n = (n1 , , nd−1 ) ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❝đ❛ M ❑❤✐ ➤ã x ✈➭ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝đ❛ ❜ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✻ ➤è✐ ✈í✐ ❧➭ M ❑❤✐ ➤ã t❤❡♦ ❜ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✸ t❛ ❝ã n n d−1 d−1 IM (n, x) = l((xn1 , , xd−1 )M : xd /(xn1 , , xd−1 )M ) = IM (n , 1; x) ▼➷t ❦❤➳❝ ✈× 0M : xd = 0M : a(M ) ♥➟♥ n d−1 IM (n , 1; x) = IM (n , x ) + e((xn1 , , xd−1 ); 0M : xd ) ❱× ❞✐♠(A/a(M )) n d−1 < d − ♥➟♥ s✉② r❛ e((xn1 , , xd−1 ); 0M : xd ) = ❱❐② IM (n; x) = IM (n ; x ) ❉♦ ➤ã p(M ) = p(M ) ❙ư ❞ơ♥❣ q✉② t❤❡♦ ❜ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✺ t❛ ❞Ơ ❞➭♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢ỵ❝ ❞✐♠(A/a(M )) ❚õ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý t❛ ❧✉➠♥ ❝ã d ✈➭ t❤❡♦ ≥ p(M ) p(M ) ≥ r(M ) ❞♦ ➤ã tõ ❜ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✹ t❛ s✉② r❛ ♥❣❛② ❤Ö q✉➯ s❛✉✳ ❍Ö q✉➯ ✷✳✸✳✽✳ ❈❤♦ p ∈ SuppM ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✈➭ s❛♦ ❝❤♦ dim(A/p) > p(M ) ❑❤✐ ➤ã Mp dim(Mp ) + dim(A/p) = d Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❧➭ ✸✵ ◆❤➽❝ ❧➵✐ r➺♥❣ ♠➠➤✉♥ ✈í✐ ♠ä✐ p∈ ➤❛ t❤ø❝ ❝đ❛ M ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉ ♥Õ✉ ❞✐♠M = ❞✐♠(A/p) ♠✐♥ ❆ssM ➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ♥ã✐ ❧➟♥ ý ♥❣❤Ü❛ ❤×♥❤ ❤ä❝ ❝đ❛ ❦✐Ĩ✉ M ●✐➯ sư ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✳✾✳ A ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉ ✈➭ M ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ò✉✳ ❑❤✐ ➤ã p(M ) = dim(nCM (M )) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱× M ♥❛r✳ ❉♦ A ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉ ♥➟♥ t❤❡♦ ✷✳✶✳✶✷✭✐✐✮ t❤× ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉ ♥➟♥ t❛ ❝ã ❞✐♠Mp ✷✳✹✳✻ t❤× t❛ ❝ã V (a(M )) = ❞✐♠(A/a(M )) = ❞✐♠ ✭♥❈▼(M )) A ❧➭ ✈➭♥❤ ❝❛t❡✲ + ❞✐♠(A/p) = d ❚❤❡♦ ❬✾❪ ✱ ♥❈▼(M ) ❱❐② t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý tr➟♥ t❛ ❝ã ❚õ ❤❛✐ ➤Þ♥❤ ❧ý tr➟♥ t❛ s✉② r❛ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ A p(M ) = ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❧➭ r✃t q✉❛♥ trä♥❣ ✈➭ ị ý ò ú ữ ế ỏ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ A ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉✳ ❚❤❐t ✈❐② t❛ ①Ðt ♠ét ✈Ý ❞ô s❛✉ ❱Ý ❞ô ✷✳✸✳✶✵✳ ◆❤➢ ➤➲ ❜✐Õt ❋❡rr❛♥❞ ✈➭ ❘❛②♥❛✉❞ ➤➲ ①➞② ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ♠ét ♠✐Ị♥ ♥❣✉②➟♥ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ R ❝đ❛ R ❞✐♠R/p R (R, m) ✈í✐ ❞✐♠R = s❛♦ ❝❤♦ ❜❛♦ ➤➬② ➤đ ❝ã ♠ét ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt ❝❤✐Ị✉ ✶✳ ●✐➯ sư = ❉♦ ➤ã s✉② r❛ R R ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❈▼ s✉② ré♥❣✳ ❙✉② r❛ ✭✐✐✮ t❛ s✉② r❛ ❈❤ó ý r➺♥❣ p ∈ R ❛❞✐❝ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤➠♥❣ ❧➭ s rộ ì ế ợ ế s✉② ré♥❣ t❤× t❛ s✉② r❛ ❞✐♠R/p ➤✐Ị✉ ♥➭② ❧➭ ♠➞✉ t❤✉➱♥✳ ❱❐② m− = ❞✐♠R =2 ✈í✐ ♠ä✐ p∈ ❆ss(R), ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❈▼ s✉② ré♥❣✳ ❚❤❡♦ ✶✳✶✳✻✭✐✐✐✮ t❤× R p(R) ≥ ❱× ❞✐♠(R) = ✈➭ t❤❡♦ ❝❤ó ý ✷✳✷✳✺ p(R) = R ❦❤➠♥❣ ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉✳ ❱× ♥Õ✉ R ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉ t❤× ❦❤✐ ➤ã R ❧➭ ❈❛t❡♥❛r② ♣❤ỉ ❞ơ♥❣✳ ❉♦ R ❧➭ ♠✐Ị♥ ♥❣✉②➟♥ ♥➟♥ ✐➤➟❛♥ (0) ❧➭ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè✳ ❚❤❡♦ ❜æ ➤Ị ✷✳✶✳✶✵ t❤× ✈í✐ ♠ä✐ R/(0) = R ❧➭ ✉♠✐①❡❞✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❞✐♠R/p = ❱❐② R ❦❤➠♥❣ ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉✳ ❚✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ sÏ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ♥❈▼(M ) Rp ❱❐② ❞✐♠R p ∈ ❆ssR, ➤✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈× ❞✐♠R = ✈➭ tå♥ t➵✐ p ∈ ❆ssR s❛♦ ❝❤♦ ❞✐♠R/p t❤× = ❧➭ tr➢ê♥❣ ♥➟♥ s✉② r❛ ❞✐♠Rp p ∈ / ♥❈▼(R) ❱í✐ p ∈ = {m} = = ❞❡♣t❤Rp ❉♦ ➤ã ❙♣❡❝R s❛♦ ❝❤♦ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉ = p ✈➭ p = Rp p = m ❧➭ ❈▼✳ t❤× ❞♦ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✶ dim R = ♥➟♥ s✉② r❛ ❞✐♠(R/p) ♣❤➢➡♥❣ ♥➟♥ (Rp , pRp ) ❉♦ ➤ã ❞❡♣t❤Rp ≤ = ❱× (R, m) ❙✉② r❛ ❞✐♠Rp ❧➭ ♠✐Ị♥ ♥❣✉②➟♥ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳ ❞✐♠Rp = ❉♦ Rp ❧➭ ♠✐Ị♥ ♥❣✉②➟♥ ➤Þ❛ ❧➭ ♠✐Ị♥ ♥❣✉②➟♥ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♥➟♥ ♠ä✐ ♣❤➬♥ tư ❦❤➳❝ ❦❤➠♥❣ ➤Ị✉ ❧➭ ♣❤➬♥ tư ❝❤Ý♥❤ q✉②✳ ❙✉② r❛ ❞❡♣t❤Rp s✉② r❛ Rm ❧➭ ❈▼✳ ❱❐② p ∈ ♥❈▼(R) ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❈▼✳ ❱❐② ♥❈▼✭❘✮ ❱× Rp = ❱í✐ p=m t❤× ❦❤✐ ➤ã = ❚õ ➤ã R✳ ❉♦ ➤ã Rm = {m} ❉♦ ➤ã ❞✐♠ ✭♥❈▼(R)) = p(R) = ✈➭ t❤❡♦ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✳✼ t❛ s✉② r❛ r(R) ≤ p(R) = ●✐➯ sö r(R) = ♥➟♥ ❆ssR = {(0)} t❤× s✉② r❛ ❑❤✐ ➤ã ✈× ➤✐Ị✉ ♥➭② ❧➭ ♠➞✉ t❤✉➱♥✳ ❱❐② s✉② r❛ x0 = x0 ❧➭ ❞➲② t❤✉ ❣ä♥✳ ❱× R ❧➭ ♠✐Ị♥ ♥❣✉②➟♥ ❧➭ ❞➲② t❤✉ ❣ä♥ ♥➟♥ s✉② r❛ x0 = ∈ (0), r(R) = ▼➷t ❦❤➳❝ t❤❡♦ ❬✾❪ t❤× a1 (R) = ♥➟♥ a(R) = ❉♦ ➤ã ❞✐♠(R/a(R)) = ❱❐② t❛ ❝ã ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❞✐♠(R/a(R)) > p(R) > ❞✐♠ ✭♥❈▼(R)) = r(R) = ❱Ý ❞ô tr➟♥ ó r ị ý ò ú ữ ♥Õ✉ A ❦❤➠♥❣ ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥ t❛ ó ị ý s tr trờ ợ tổ qt ị ❧ý ✷✳✸✳✶✶✳ ✭✐✮ ❱í✐ ❝➳❝ ❦ý ❤✐Ư✉ ♥❤➢ ë tr➟♥ t❛ ❝ã dim(A/a(M )) ≥ p(M ) ≥ r(M ) ✭✐✐✮ ◆Õ✉ nCM (M ) ❧➭ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ ❙✉♣♣▼ t❤❡♦ t➠♣➠ ❩❛r✐s❦✐ t❤× p(M ) ≥ r(M ) ≥ dim(nCM (M )) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❑ý ❤✐Ö✉ ❝ã a(M )A ⊆ aM A ✈➭ M ❧➭ ❜❛♦ ➤➬② ➤ñ m✲ ❛❞✐❝ ❝đ❛ ❆ ✈➭ ▼✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❱× ❜❛♦ ➤➬② ➤ñ ❝ñ❛ ♠ét ✈➭♥❤ ❧✉➠♥ ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉ ♥➟♥ tõ ❤Ư q✉➯ ✷✳✷✳✻ ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✳✽ t❛ s✉② r❛ dim(A/a(M )) = dim(A/a(M )A) ≥ dim(A/a(M )) = p(M ) = p(M ) ❚✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❤Ư q✉➯ ✷✳✸✳✺ t❤× ♥Õ✉ ❞✐♠(A/p) ▼❛❝❛✉❧❛②✳ ❉♦ ➤ã r(M ) ≥ > r(M ) ❞✐♠ ✭♥❈▼(M )) ❚❤❐t ✈❐② t❤❡♦ t❤× Mp ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲ p ∈ ❙✉♣♣M ❙✉② r❛ ❞✐♠ ✭♥❈▼(M )) ≤ r(M ) t tứ ò ủ ị ý t ợ ứ ố ị ý ì ✈❐② ❝❤ó♥❣ t❛ ❦❤➠♥❣ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ë ➤➞② ♥÷❛✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✷ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ A ❧➭ ✈➭♥❤ t❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ✈➭♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✷✳✹ ❑Õt q✉➯ t✐Õ♣ t❤❡♦ ➤➞② ột t rt ữ ệ ể tì tr➟♥ ❝đ❛ ❦✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝ p(M ) ●✐➯ sư ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✹✳✶✳ A ❧➭ ✈➭♥❤ t❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ✈➭♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✱ ❦ ❧➭ ♠ét sè tù ♥❤✐➟♥✳ ❑❤✐ ➤ã ❝➳❝ ♠Ư♥❤ ➤Ị s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ ✭✐✮ p(M ) ≤ k; ✭✐✐✮ ▼ä✐ ♣❤➬♥ ❤Ư t❤❛♠ sè ❣å♠ ✭✐✐✐✮ ❱í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè Mp Mp p ∈ SuppM s❛♦ ❝❤♦ dim(A/p) > k, t❛ ❝ã dim Mp + dim(A/p) = d; ❧➭ ❈▼ ✈➭ ✭✐✈✮ ❱í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ã d − k − ♣❤➬♥ tö ❧➭ ❞➲② t❤✉ ❣ä♥❀ ❧➭ ❈▼ ✈➭ p ∈ SuppM s❛♦ ❝❤♦ dim(A/p) = k + 1, t❛ dim Mp + dim(A/p) = d ứ ì tí t ổ ị q tỉ♥❣ q✉➳t ❤♦➳ ♥➟♥ ✭✐✐✐✮ ✭✐✮ ⇐⇒ ✭✐✈✮✳ ❱× t❤Õ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✭✐✮=⇒ ✭✐✐✮=⇒ ✭✐✐✐✮=⇒ ✭✐✳✮ =⇒ ợ s r từ ị ý t ✈❐②✱ t❤❡♦ ✷✳✸✳✶✶ t❛ ❝ã r(M ) ≤ p(M ) ≤ k ❧í♥ ❤➡♥ ❤♦➷❝ ❜➺♥❣ ❉♦ ➤ã ♠ä✐ ♣❤➬♥ ❤Ư t❤❛♠ sè ❝đ❛ d−k−1 ➤Ị✉ ❝ã sè ♣❤➬♥ tư ❧➭ ❞➲② t❤✉ ❣ä♥✳ ❙✉② r❛ ♠ä✐ ♣❤➬♥ ❤Ö t❤❛♠ sè d − k − ♣❤➬♥ tö ❧➭ ❞➲② t❤✉ ❣ä♥✳ ❝đ❛ M ✭✐✐✮ =⇒ ✭✐✐✐✮ ❱í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p ∈ ❙✉♣♣M ➤Ò✉ ❝ã M ❚❤❡♦ ✭✐✐✮ s✉② r❛ r(M ) ≤ k, t❤♦➯ ♠➲♥ ❞✐♠(A/p) tõ ➤➞② s✉② r❛ ❞✐♠(A/p) > r(M )✳ > k ❚❤❡♦ ❤Ư q✉➯ ✷✳✸✳✹ t❛ s✉② r❛ ➤✐Ị✉ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✐✐✮ =⇒ ✭✐✮✳ ❑ý ❤✐Ö✉ ❞✐♠(A/a(M )) ❞✐♠(A/P ) =k = k A ✈➭ M ●✐➯ sö r➺♥❣ ✈➭ ➤➷t ❧➭ ❜❛♦ ➤➬② ➤ñ k > k p = P ∩ A ❈❤ä♥ m✲ P ∈ ❛❞✐❝ ❝ñ❛ A ✈➭ M ➜➷t ❆ss(A/a(M )) s❛♦ ❝❤♦ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ♠ét ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè Q ∈ ❆ss(A/pA) s❛♦ ❝❤♦ Q ⊆ P ✱ tø❝ ❧➭ Q ∩ A = p ❑❤✐ ➤ã A/pA ❧➭ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ✭✉♥♠✐①❡❞✮ ♥➟♥ t❛ ➤➢ỵ❝ ❞✐♠(A/p) ❈❤ó ý r➺♥❣ = ❞✐♠(A/pA) = ❞✐♠(A/Q) ≥ ❞✐♠(A/P ) = k A ❧➭ ✈➭♥❤ ❝❛t❡♥❛r✱ tõ ❣✐➯ t❤✐Õt ✭✐✐✐✮ ✈➭ ❜ỉ ➤Ị ✷✳✸✳✹ t❛ s✉② r❛ d = ❞✐♠Mp + ❞✐♠(A/p) = ❞✐♠Mp + ❞✐♠(A/Q) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✸ = ❞✐♠Mp + ❞✐♠(A/P ) + ❞✐♠(AP /QAP ) = ❞✐♠Mp + ❞✐♠(A/P ) + ❞✐♠(AP /pAP ) = ❞✐♠MP + ❞✐♠(A/P ) ▼➷t ❦❤➳❝ ✈× ❞✐♠(A/p) ▼❛❝❛✉❧❛②✳ ❱❐② MP ≥k >k ♥➟♥ t❤❡♦ ✭✐✐✐✮ s✉② r❛ Mp ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥ ✲ ❝ò♥❣ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥ ✲ ▼❛❝❛✉❧❛② ✈× t❤í ❝đ❛ ➤å♥❣ ❝✃✉ A −→ A ❧➭ ❈♦❤❡♥ ✲ ▼❛❝❛✉❧❛②✳ ❚õ ➤ã s✉② r❛ ❝❤Ý♥❤ t➽❝ d = ❞✐♠MP + ❞✐♠(A/P ) = ❞❡♣t❤(MP ) + ❞✐♠(A/P ) ị ý ủ t ợ (M ) ⊆ P, ➤✐Ị✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❝➳❝❤ P ❱❐② t❛ ♣❤➯✐ ❝ã k ≥ k ❱× A ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉ ♥➟♥ ❝❤ä♥ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè t❤❡♦ ❜ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✻ ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✳✼ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ p(M ) = p(M ) = k ≤ k ◆Õ✉ A ❧➭ ✈➭♥❤ t❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ♠ét ✈➭♥❤ ❈♦❤❡♥ ✲ ▼❛❝❛✉❧❛② ❦❤✐ ➤ã q✉ü tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥ ✲ ▼❛❝❛✉❧❛② ♥❈▼✭M ✮ ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ ❙♣❡❝A ◆❤➢ ✈❐② ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ĩ ♥ã✐ ✈Ị ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ♥❈▼✭M ✮✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❤Ö q✉➯ s❛✉ ➤➞② ❍Ö q✉➯ ✷✳✹✳✷✳ M ●✐➯ sư A ❧➭ ✈➭♥❤ t❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ♠ét ✈➭♥❤ ❈♦❤❡♥ ✲ ▼❛❝❛✉❧❛② ✈➭ ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ò✉✳ ❑❤✐ ➤ã p(M ) = r(M ) = dim(nCM (M )) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱× ❞✐♠Mp + t❛ s✉② r❛ A ❞✐♠(A/p) ❧➭ = d V (a(M )) = ✈➭♥❤ ❝❛t❡♥❛r ✈í✐ ♠ä✐ p ∈ ✈➭ M ❧➭ ❝❤✐Ị✉ ♥➟♥ ❙✉♣♣M ❱❐② tõ ➤Þ♥❤ ❧ý ❬✾❪ ✷✳✹✳✻ ♥❈▼(M ) ❉♦ ➤ã ❞✐♠ ✭♥❈▼(M )) ❚õ ➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✳✶✶ t❛ s✉② r❛ ➤➻♥❣ = ❞✐♠(A/a(M )) p(M ) = r(M ) = ❞✐♠ ✭♥❈▼(M )) ◆❤➢ ➤➲ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❧í♣ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❧➬♥ t ợ r tr ị ❧ý ✈➭ ❤Ư q✉➯ tr➟♥ t❛ ❝ã t❤Ĩ ♥❤❐♥ ❧➵✐ ➤➢ỵ❝ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❬✼❪ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✹ ❍Ö q✉➯ ✷✳✹✳✸✳ ❈❤♦ A ❧➭ ✈➭♥❤ t❤➢➡♥❣ ❝✉➯ ✈➭♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❤♦➷❝ A ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉✳ ❑❤✐ ➤ã ❝➳❝ ♠Ư♥❤ ➤Ị s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ ✭✐✮ M ✭✐✐✮ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣❀ p(M ) ≤ 0; ✭✐✐✐✮ ▼ä✐ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝đ❛ ✭✐✈✮ ✭✈✮ M ➤Ị✉ ❧➭ ❞➲② t❤✉ ❣ä♥❀ dim(A/a(M )) ≤ 0; dim nCM (M ) = ✈➭ M ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ị✉✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✺ ❑Õt ❧✉❐♥ ◆❤➢ ✈❐② ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ●❙✳ ❚❙❑❍ ◆❣✉②Ơ♥ ❚ù ❈➢ê♥❣ ✈Ị tÝ♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ✈➭ ❦✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝ ❝đ❛ ♠ét tr➟♥ tr ị M ữ s (A, m) ❝ơ t❤Ĩ ❧➭✿ ❚r×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ♠ét sè ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✈Ị ❜é✐ ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥ ✲ ▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✳ ➜➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✉✳♣ ✲ ❞➲② ✈➭ ➤➷❝ tr➢♥❣ tÝ♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ❝ñ❛ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐ ✈➭ tÝ♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ t❤➠♥❣ q✉❛ ✉✳♣✲❞➲②✳ ◆❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭♥❤ ❈❛t❡♥❛r②✱ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ỉ ❞ơ♥❣✱ ●♦r❡♥st✐❡♥ ✈➭ ♠è✐ ❧✐➟♥ ❤Ư ❣✐÷❛ ❝❤ó♥❣✳ ◆❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉ ✈➭ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉✳ ➜➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❦✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝✱ tÝ♥❤ ➤➢ỵ❝ ♥ã tr♦♥❣ ♠ét sè tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤➷❝ ệt tì ợ tr ủ ó tr trờ ợ tổ qt r ý ĩ ì ❤ä❝ ❝đ❛ ❦✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝ ✈➭ ➤➷❝ tr➢♥❣ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲ ▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ t❤➠♥❣ q✉❛ ❦✐Ó✉ ➤❛ t❤ø❝✱ ❞➲② t❤✉ ❣ä♥ ✈➭ ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ q✉ü ➤➵♦ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ❆✉s❧❛♥❞❡r✱ ▼ ❛♥❞ ❉✳ ❆✳ ❇✉❝❤s❜❛✉♠✱ ❈♦❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❛♥❞ ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t②✱ ❆♥♥✳ ♦❢ ▼❛t❤✳ ✻✽ ✭✶✾✺✽✮✱ ✻✷✺✲✻✺✼✳ ❬✷❪ ❆t✐②❛❤✱ ▼✳ ❋ ❛♥❞ ■✳ ●✳ ▼❛❝❞♦♥❛❧❞✱ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❛❧❣❡✲ ❜r❛✱ ❘❡❛❞✐♥❣✱ ▼❛ss✱ ✶✾✻✾✳ ❬✸❪ ❇r♦❞♠❛♥♥✳ ▼✱ ▲❡❝t✉r❡s ♦♥ ▲♦❝❛❧ ❈♦❤♦♠♦❧♦❣②✱ ❆✉t✉♠♥ s❝❤♦♦❧❧ ♦❢ ◗✉✐♥❤♦♥✭❱✐❡t ◆❛♠✮✱ ✾ ✲✶✾✾✾✳ ❬✹❪ ❈✉♦♥❣✱ ◆✳ ❚✱ ❖♥ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ♣♦✇❡rs ♦❢ s②st❡♠s ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✐♥ ❧♦❝❛❧ r✐♥❣✱ ◆❛❣♦②❛ ▼❛t❤✳ ❏✳ ✶✷✵ ✭✶✾✾✵✮✱ ✼✼✲✽✽✳ ❬✺❪ ❈✉♦♥❣✱ ◆✳ ❚✱ ❖♥ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♥♦♥✲ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❧♦❝✉s ♦❢ ❧♦❝❛❧ r✐♥❣s ❛❞♠✐tt✐♥❣ ❞✉❛❧✐③✐♥❣ ❝♦♠♣❧❡①❡s✱ ▼❛t❤✳ Pr♦❝✳ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ P❤✐❧✳ ❙♦❝✳ ✶✵✾✭✷✮ ✭✶✾✾✶✮✱ ✹✼✾✲✹✽✽✳ ❬✻❪ ❈✉♦♥❣✱ ◆✳ ❚✱ ❖♥ t❤❡ ❧❡❛st ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❜♦✉♥❞✐♥❣ ❛❜♦✈❡ t❤❡ ❞✐❢❢❡r❡♥❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ ❧❡♥❣s ❛♥❞ ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t✐❡s ♦❢ ❝❡rt❛✐♥ s②st❡♠s ♦❢ ♣❛✲ r❛♠❡t❡rs ✐♥ ❧♦❝❛❧ r✐♥❣s✱ ◆❛❣♦②❛ ▼❛t❤✳ ❏✳ ✶✷✺ ✭✶✾✾✷✮✱ ✶✵✺✲✶✶✹✳ ❬✼❪ ❈✉♦♥❣✱ ◆✱ ❚✱ P✳ ❙❝❤❡♥③❡❧ ❛♥❞ ◆✳ ❱✳ ❚r✉♥❣✱ ❱❛r❛❧❧❣❡♠❡✐♥❡rt❡ ❈♦❤❡♥✲ ▼❛❝❛✉❧❛② ▼♦❞✉❧♥✱ ▼❛t❤✳ ◆❛❝❤r✳ ✽✺ ✭✶✾✼✽✮✱ ✺✼✲✼✺✳ ❬✽❪ ▼❛ts✉♠✉r❛✳ ❍✱ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❛❧❣❡❜r❛✱ ❙❡❝♦♥❞ ❡❞✐t✐♦♥✱ ▲♦♥❞♦♥✿ ❇❡♥✲ ❥❛♠✐♥ ✹✶✱ ❙♣r✐♥❣❡r ❱❡r❧❛❣✱ ✶✾✽✵✳ ❬✾❪ ❙❝❤❡♥③❡❧✳ P✱ ❉✉❛❧✐s✐❡r❡♥❞❡ ❑♦♠♣❧❡①❡ ✐♥ ❞❡r ❧♦❦❛❧❡♥ ❆❧❣❡❜r❛ ✉♥❞ ❇✉❝❤s✲ ❜❛✉♠ r✐♥❣❡✱ ▲❡❝t✉r❡ ◆♦t❡s ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ✾✵✼✱ ❇❡r❧✐♥ ❍❡✐❞❡❧❜❡r❣✲ ◆❡✇❨♦r❦✱ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ✶✾✽✷✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✸✻ http://www.lrc-tnu.edu.vn ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN DANH TUYÊN KIỂU ĐA THỨC CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ