Về độ sâu của vành noether địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ MINH AN VỀ ĐỘ SÂU CỦA VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ MINH AN VỀ ĐỘ SÂU CỦA VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ : 60.46.01.04 Mã số LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Xác nhận luận văn chỉnh sửa lại theo yêu cầu hội đồng chấm luận văn Khoa Toán Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Lời mở đầu 1 Độ sâu môđun vành Noether địa phương 1.1 Dãy quy 1.2 Độ sâu môđun Đồng điều Koszul 19 2.1 Phức Koszul đồng điều Koszul 19 2.2 Đặc trưng độ sâu qua đồng điều Koszul 24 Vành môđun Cohen - Macaulay 29 3.1 Định nghĩa tính chất sở 29 3.2 Một số đặc trưng vành Cohen-Macaulay 33 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 iii Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời mở đầu Sau chiều độ sâu bất biến vành Noether địa phương A A−mơđun hữu hạn sinh M Độ sâu nghiên cứu công cụ nội đại số giao hốn, nghiên cứu các đối tượng đại số đồng điều Chính thế, chúng tơi lựa chọn đề tài "Về độ sâu vành Noether địa phương" làm luận văn tốt nghiệp Luận văn trình bày kết độ sâu chủ yếu thông qua đối tượng đại số đồng điều môđun Ext hay đồng điều Koszul, từ bước đầu tìm hiểu vành môđun Cohen Macaulay, lớp vành quan trọng đại số giao hoán Luận văn chia thành ba chương Chương trình bày khái niệm số tính chất sở dãy quy, tồn dãy quy thơng qua tính triệt tiêu mơđun Ext, từ trình bày định nghĩa kết độ sâu môđun hữu hạn sinh vành Noether địa phương Chương 2, trình bày phức Koszul đặc trưng độ sâu thông qua tính triệt tiêu đồng điều Koszul Trên sở tính chất độ sâu trình bày Chương Chương 2, Chương trình bày sơ lược khái niệm, tính chất sở vài đặc trưng vành môđun Cohen - Macaulay Các nội dung luận văn trình bày dựa theo Chương tài liệu [5] [6] Hydeyuki Matsumura Với mong muốn lại hệ thống lại số nội dung quan trọng độ sâu vành Cohen - Macaulay, tác giả luận văn dành nhiều thời gian nghiên cứu kết Khi trình bày luận văn, tác giả cố gắng trình bày chi tiết lại chứng Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ minh, bổ sung thêm số ví dụ kết tài liệu tham khảo khác Bên cạnh đó, tác giả đưa vài chứng minh đơn giản không trình bày tài liệu Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc GS TSKH Nguyễn Tự Cường Thầy tạo điều kiện để tơi có hội tiếp xúc với mơi trường nghiên cứu đại chuyên nghiệp, để từ tơi bước đầu làm quen với cơng việc nghiên cứu toán cách nghiêm túc Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn PGS TS Lê Thanh Nhàn, TS Đoàn Trung Cường, TS Trần Nguyên An, thầy tận tình giảng dạy cho kiến thức sở giúp đỡ giải vướng mắc gặp phải đọc tài liệu trình bày luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn người thân, bạn bè cổ vũ động viên tơi để tơi hồn thành tốt luận văn khóa học Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 Tác giả luận văn Lê Minh An Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Độ sâu mơđun vành Noether địa phương Khái niệm dãy quy độ sâu quan trọng cho lý thuyết vành Cohen - Macaulay Độ sâu vành Noether địa phương A A−môđun hữu hạn sinh định nghĩa số phần tử dãy quy cực đại, đặc trưng thơng qua tính triệt tiêu mơđun Ext Trong tồn luận văn, nói đến vành, ta quy ước vành giao hoán có đơn vị 1.1 Dãy quy Trong tiết trình bày định nghĩa, ví dụ vài tính chất dãy quy Định nghĩa 1.1.1 Cho A vành Noether, M A−môđun Phần tử a ∈ A gọi phần tử M −chính quy ax = với = x ∈ M Dãy a1 , , an phần tử A M −dãy quy (hoặc M −dãy) điều kiện sau thỏa mãn: Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (i) M = (a1 , , an )M , (ii) Với ≤ i ≤ n, M/(a1 , , ai−1 )M − quy Tức với ≤ i ≤ n, a i M/(a1 , , ai−1 )M −−→ M/(a1 , , ai−1 )M đơn ánh Khi tất nằm iđêan I A ta nói a1 , , an M −dãy quy I Khi M = A a1 , , an A−dãy (a1 , , an ) iđêan thực A, với i = 1, , n khơng phải ước không A/(a1 , , ai−1 ) Với A−môđun M ta kí hiệu ZDA (M ) = {a ∈ A | tồn = x ∈ M cho ax = 0} tập ước M Nếu không gây nhầm lẫn ta kí hiệu tập ZD(M ) Ví dụ 1.1.2 (i) Cho A vành, đặt S := A[x1 , , xn ] vành đa thức n biến x1 , , xn Ta có đẳng cấu S/(x1 , , xi−1 ) ∼ = A[xi , , xn ], mà xi A[xi , , xn ]−chính quy nên x1 , , xn S−dãy (ii) Chú ý khái niệm M −dãy quy phụ thuộc vào vị trí phần tử dãy, chẳng hạn xét trường K A = K[x1 , x2 , x3 ] x1 , x2 (1 − x1 ), x3 (1 − x1 ) A−dãy Nhưng x2 (1 − x1 ), x3 (1 − x1 ), x1 lại A−dãy Thật vậy, trước hết ta thấy x1 ∈ / ZD(A) (x1 ), (x1 , x2 (1 − x1 )) = (x1 , x2 ) iđêan nguyên tố A Khi h · x2 (1 − x1 ) ∈ (x1 ), x2 (1 − x1 ) ∈ / (x1 ) nên h ∈ (x1 ) tức x2 (1 − x1 ) A/(x1 )−chính quy Tương tự, h · x3 (1 − x1 ) ∈ (x1 , x2 (1 − x1 )), x3 (1 − x1 ) ∈ / (x1 , x2 (1 − x1 )) nên h ∈ (x1 , x2 (1 − x1 )), tức x3 (1 − x1 ) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ A/(x1 , x2 (1 − x1 ))−chính quy Từ x1 , x2 (1 − x1 ), x3 (1 − x1 ) A−dãy Nhưng x2 (1 − x1 ), x3 (1 − x1 ), x1 khơng phải A−dãy Vì x2 ∈ / (x2 (1 − x1 )) x2 (1 − x1 )x3 ∈ (x2 (1 − x1 )) tức x3 (1 − x1 ) ∈ ZD(A/(x2 (1 − x1 ))) Định nghĩa 1.1.3 Cho A vành Noether = M A−môđun hữu hạn sinh I iđêan A thỏa mãn IM = M Lấy a1 , , an M −dãy phần tử I Ta nói a1 , , an M −dãy cực đại I khơng có phần tử b ∈ I thỏa mãn a1 , , an , b M −dãy có n + phần tử Nhận xét 1.1.4 Cho A vành Noether = M A−môđun hữu hạn sinh (i) Không tồn dãy vô hạn (ai )∞ i=1 phần tử A thỏa mãn, với n ∈ N, dãy hữu hạn (ai )ni=1 M −dãy Từ đó, M −dãy I mở rộng thành M −dãy cực đại I Thật vậy, giả sử có dãy (ai )∞ i=1 thỏa mãn điều kiện Khi ta ln có (a1 , , an ) (a1 , , an , an+1 ) (do an+1 ∈ / (a1 , , an )) Tức là ta có dãy (a1 ) (a1 , a2 ) (a1 , , an ) dãy tăng vô hạn iđêan A Mâu thuẫn với giả thiết A Noether (ii) Gọi a = a1 , , an M −dãy, a M −dãy cực đại I I ⊆ ZD(M/(a)M ) Mà ZD(M/(a)M ) = p, p∈Ass(M/(a)M ) Ass(M/(a)M ) tập hữu hạn, nên theo định lý tránh nguyên tố I nằm iđêan nguyên tố liên kết M/(a)M (iii) Nhắc lại rằng, với (A, m) vành Noether địa phương chiều d, theo ([6], Th 13.4) tồn iđêan m−nguyên sơ sinh d phần tử, Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ khơng sinh d phần tử Nếu x = x1 , , xd hệ sinh iđêan m−nguyên sơ x gọi hệ tham số A, theo ([6], Th 14.1) hệ tham số x có tính chất dim A/(x1 , , xi ) = d − i với ≤ i ≤ d Đặc biệt, x hệ sinh m A gọi vành địa phương quy x hệ tham số quy A Theo ([6], Th 14.3) vành địa phương quy miền nguyên Từ đó, hệ tham số quy x vành địa phương quy (A, m) A−dãy Thật vậy, ta có A = A/(x1 , , xi ) vành địa phương chiều d − i với ≤ i < d m/(x1 , , xi ) iđêan cực đại A sinh d − i phần tử xi+1 , , xd (là ảnh tắc xi+1 , , xd A) Suy A vành địa phương quy, miền nguyên Rõ ràng xi+1 ∈ / (x1 , , xi ) nên xi+1 A/(x1 , , xi )− quy (iv) Từ Ví dụ 1.1.2,(ii) ta thấy dãy quy phụ thuộc vào vị trí phần tử dãy Tuy nhiên, ta chứng minh phần tử dãy quy nằm Jacobson hốn vị dãy quy Ta chứng minh điều trực định nghĩa cách sử dụng bổ đề Nakayama, trình bày Hệ 2.2.2 theo cách khác (v) Ta chứng minh dãy quy cực đại iđêan có số phần tử, từ ta có khái niệm độ sâu mơđun Điều trình bày tiết sau Tiếp theo ta trình bày số tính chất khác M −dãy Định lý 1.1.5 Cho (A, m) vành Noether địa phương, M A−môđun hữu hạn sinh Lấy a1 , , an M −dãy Khi dim M/(a1 , , an )M = dim M − n Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ từ Hp (x, M1 ) = Hp (x, M3 ) = Hp (x, M2 ) = Suy sup{i|Hi (x, M2 ) = 0} ≤ max{sup{i|Hi (x, M1 ) = 0}; sup{i|Hi (x, M3 ) = 0}} TH1: di = depth(I, Mi ) < ∞ với i Theo Định lý 2.2.4 suy bất đẳng thức (i) Các bất đẳng thức (ii) (iii) chứng minh tương tự TH2: d1 = depth(I, M1 ) = ∞ tức IM1 = M1 Khi đó, theo Hệ 2.1.6,(iii) Hp (x, M1 ) = với p Do Hp (x, M2 ) = Hp (x, M3 ) = 0, suy d2 = d3 ba bất đẳng thức chứng minh Các trường hợp d2 = ∞, d3 = ∞ chứng minh tương tự 28 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Vành môđun Cohen - Macaulay Chương trình bày lớp vành Cohen - Macaulay, lớp vành tạo phong phú cho ví dụ hình học đại số, lý thuyết bất biến tổ hợp Khái niệm vành Cohen - Macaulay khái niệm đại số giao hốn 3.1 Định nghĩa tính chất sở Cho A vành Noether địa phương M A−môđun hữu hạn sinh Nếu "bất biến đại số" depth M "bất biến hình học" dim M , M gọi môđun Cohen - Macaulay Định nghĩa 3.1.1 Cho A vành Noether địa phương, M A−môđun hữu hạn sinh, M gọi môđun Cohen-Macaulay (hay đơn giản môđun CM) depth M = dim M M = Nếu A thân mơđun CM ta nói A vành CM địa phương Môđun M gọi môđun CM tối đại M môđun CM thỏa mãn depth M = dim A Một cách tổng quát, với A vành Noether bất kì, M A−mơđun CM Mm môđun CM vành địa phương Am với iđêan cực 29 Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ đại m ∈ Supp(M ) Cũng trường hợp vành địa phương, A vành CM mơđun CM Ví dụ 3.1.2 (i) Với A = k[X, Y ] vành đa thức hai biến trường k m = (X, Y ) iđêan cực đại A, Am vành địa phương chiều Mà X, Y A−dãy nên ảnh X, Y Am Am −dãy Do dim Am = depth Am hay Am vành CM địa phương (ii) Vành chuỗi lũy thừa hình thức trường k, A = k[[X1 , , Xn ]] vành địa phương với iđêan cực đại (X1 , , Xn ) Ta có dim A = depth A = n A vành CM địa phương (iii) A = k[[X, Y ]]/(XY, Y ) vành địa phương chiều Nhưng phần tử (X, Y ) bị triệt tiêu Y , nghĩa depth A = nên A không vành CM (iv) Vành Noether chiều không vành CM Chẳng hạn, với < n ∈ N Z/nZ vành CM (v) Miền nguyên chiều vành CM Chẳng hạn, Z, k[X] vành CM Định lý 3.1.3 Cho (A, m) vành Noether địa phương M R−môđun hữu hạn sinh Khi (i) Nếu M mơđun CM với p ∈ Ass(M ) ta có dim(A/p) = dim M = depth M Do iđêan nguyên tố liên kết M tối tiểu Ass(M ) (ii) Nếu a1 , , ar ∈ m M −dãy ta đặt M = M/(a1 , , ar )M M môđun CM ⇔ M môđun CM (iii) Nếu M mơđun CM Mp mơđun CM Ap với 30 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ p ∈ Spec(A), Mp = depth(p, M ) = depthAp Mp Chứng minh (i) Ta có dim(A/p) ≤ dim M dim(A/p) ≥ depth M Lại có M môđun CM nên dim M = depth M Do dim A/p = dim M = depth M (ii) Theo Định lý 1.1.5 ta có dim M = dim M − r, mà depth M = depth M − r nên M CM tức dim M = depth M M CM (iii) Ta cần chứng minh với trường hợp p ∈ Supp(M ) tức Mp = Trước hết, theo Mệnh đề 1.2.14,(i) ta có depth(p, M ) ≤ depth Mp , theo Định lý 1.2.13 depth Mp ≤ dim Mp Bây ta chứng minh depth(p, M ) = dim Mp quy nạp theo depth(p, M ) Với depth(p, M ) = 0, p ⊆ q ∈ Ass(M ) mà p ∈ Supp(M ) q ∈ minSupp(M ) nên p = q dim Mp = Với depth(p, M ) > 0, tồn a ∈ p M −chính quy Mp −chính quy Ta có depth(p, M/aM ) = depth(p, M ) − dim Mp /aMp = dim Mp − Mà theo giả thiết quy nạp depth(p, M/aM ) = dim Mp /aMp Do depth(p, M ) = dim Mp Định lý 3.1.4 Cho (A, m) vành Noether địa phương, M = A−môđun CM Khi (i) depth(I, M ) = dim M − dim M/IM với iđêan I ⊂ m, (ii) x = x1 , , xr M −dãy dim M/xM = dim M − r, (iii) x M −dãy phần hệ tham số M 31 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chứng minh (i) Quy nạp theo depth(I, M ) Với depth(I, M ) = 0, tồn p ∈ Ass M với I ⊂ p; Theo Định lý 3.1.3,(i) dim M = dim A/p = dim M/IM hay dim M − dim M/IM = Với depth(I, M ) > 0, chọn x ∈ I M −chính quy Khi đó, depth(I, M/xM ) = depth(I, M ) − 1, theo giả thiết quy nạp depth(I, M/xM ) = dim M/xM − dim M/IM Mà M M/xM A−môđun CM nên dim M/xM = dim M − nên ta có điều phải chứng minh (ii)⇒) Hiển nhiên ⇐) Từ (i) suy depth((x), M ) = n, theo Hệ 2.2.5 x M −dãy (iii) ⇒) Từ (ii) dim M/(x)M = dim M −r Gọi xr+1 , , xr+s hệ tham số M = M/xM tức dim M = r + s (M /(xr+1 , , xr+s )M ) < ∞ Mà M /(xr+1 , , xr+s )M ∼ = M/(x1 , , xr+s )M Do x1 , , xr+s hệ tham số M Hay x phần hệ tham số M ⇐) Theo ([6], Th.14.1) (ii) ta có điều phải chứng minh Với (A, m) vành Noether địa phương, hệ tham số A A−dãy depth A = dim A A vành CM, đó, theo định lý hệ tham số A A−dãy Nhắc lại vành A gọi vành catenary với cặp iđêan nguyên tố p ⊂ q A tồn dãy nguyên tố bão hòa p q có độ dài Năm 1972, R.J Ratliff chứng minh ht p + dim A/p = dim A với iđêan nguyên tố A A vành catenary (xem [6], Th 31.4) Với kết ta chứng minh vành CM vành catenary 32 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Hệ 3.1.5 Cho (A, m) vành CM địa phương, I iđêan thực A Khi (i) ht I = depth(I, A), ht I + dim A/I = dim A (ii) A catenary Chứng minh (i) Ta có ht I = inf{dim Ap |p ∈ V (I)} Theo Định lý 3.1.3,(iii) Ap vành CM dim Ap = depth Ap , hay ht I = inf{depth Ap |p ∈ V (I)} theo Mệnh đề 1.2.14,(i) ta có ht I = depth(I, A) Khi theo Định lý 3.1.4,(i), ta có ht I + dim A/I = dim A (ii) Lấy p, q ∈ Spec(A) q ⊂ p Khi Ap vành CM địa phương, theo (i) ht qAp + dim Ap /qAp = dim Ap , hay ht(p/q) = ht p − ht q Vậy A catenary 3.2 Một số đặc trưng vành Cohen-Macaulay Trong tiết trình bày đặc trưng vành Cohen - Macaulay qua đầy đủ m−adic, qua tính khơng trộn lẫn qua số bội Bên cạnh ta chứng minh vành đa thức vành Cohen - Macaulay vành Cohen - Macaulay Các kết cho thấy lớp vành Cohen - Macaulay rộng Trước hết ta nhắc lại đầy đủ m−adic vành (theo [4]) Gọi A nhóm abel A = m0 ⊃ m1 ⊃ m2 ⊃ dãy nhóm Ta định nghĩa đầy đủ Aˆ A mi Aˆ := ← lim −A/mi := {g = (g1 , g2 , ) ∈ i A/mi | gj − gi ∈ mi với j > i} Nếu A vành mi iđêan A/mi vành, từ 33 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Aˆ vành Trường hợp quan trọng ta xét mi = mi với m iđêan A Khi đó, A = m0 ⊃ m ⊃ m2 ⊃ lọc m−adic Đầy đủ A m định nghĩa đầy đủ A lọc m−adic gọi đầy đủ m−adic, kí hiệu Aˆm Với A vành Noether, Aˆ = Aˆm đầy đủ A iđêan m A M A−mơđun hữu hạn sinh Khi theo ([6], Th 8.8) Aˆ A−môđun phẳng Nếu thêm A vành địa phương với iđêan cực đại m theo ([6], Th 8.14) đầy đủ m−adic Aˆ A A−mơđun hồn tồn ˆ Hơn nữa, ta chứng minh phẳng, theo ([1], Co 11.19) dim A = dim A ˆ A vành CM Aˆ vành CM depth A = depth A, Trước hết ta cần kết sau Bổ đề 3.2.1 Cho A vành, M A−môđun phẳng, C• phức A−mơđun Khi Hi (C• ) ⊗A M ∼ = Hi (C• ⊗A M ) Chứng minh Xét phức A−mơđun dp+1 dp C• : −→ Cp+1 −−→ Cp −→ Cp−1 −→ dp+1 Ta có tồn cấu Cp+1 −−→ Im dp+1 Mà M phẳng nên có tồn cấu dp+1 ⊗idM Cp+1 ⊗ M −−−−−→ Im dp+1 ⊗ M Do đó, Im(dp+1 ⊗ idM ) = Im dp+1 ⊗ M dp Ta có dãy khớp ker dp → Cp − → Im dp Suy dp ⊗idM ker dp ⊗ M → Cp ⊗ M −−−−→ Im dp ⊗ M dãy khớp Do ker dp ⊗ M = ker(dp ⊗ idM ) Mặt khác, ta có dãy khớp Im dp+1 → ker dp ker dp / Im dp+1 , 34 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ nên ta có dãy khớp Im dp+1 ⊗ M → ker dp ⊗ M (ker dp / Im dp+1 ) ⊗ M Suy ker dp ⊗ M/ Im dp+1 ⊗ M ∼ = (ker dp / Im dp+1 ) ⊗ M Từ Hp (C• ) ⊗ M = (ker dp / Im dp+1 ) ⊗ M ∼ = ker dp ⊗ M/ Im dp ⊗ M = ker(dp ⊗ idM )/ Im(dp+1 ⊗ idM ) = Hp (C• ⊗ M ) Định lý 3.2.2 Cho (A, m) vành Noether địa phương Aˆ đầy đủ m−adic A Khi ˆ (i) depth A = depth A; (ii) A vành CM Aˆ vành CM Chứng minh (i) Gọi x = x1 , , xd hệ sinh m Khi K• (x) ⊗A Aˆ ˆ • x phần tử A ˆ Mà Aˆ A−môđun phức Koszul K ˆ • (x)) Hơn nữa, Aˆ phẳng nên theo Bổ đề 3.2.1 Hi (K• (x)) ⊗A Aˆ ∼ = Hi (K cịn A−mơđun hồn tồn phẳng, nên theo ([6], Th 7.2) N ⊗A Aˆ = với ˆ A−môđun N = Do đó, theo Định lý 2.2.4 depth A = depth A (ii) Do dim A = dim Aˆ nên từ (i) ta có điều phải chứng minh Định nghĩa 3.2.3 Cho A vành Noether, I iđêan thực A Giả sử Ass A/I = {p1 , , pk } ht pi = ht pj với i = j I gọi khơng trộn lẫn Ta nói định lý không trộn lẫn (unmixedness theorem) thỏa mãn A iđêan có độ cao r, sinh r phần tử A không trộn lẫn Nếu I = (x1 , , xr ) ht I = r với p ∈ Min Ass(A/I), ht p ≥ r Theo ([6], Th 13.5), ht p ≤ r, suy ht p = r, nói I khơng trộn lẫn nói iđêan ngun tố liên kết A/I tối tiểu 35 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 3.2.4 Cho A vành Noether, mệnh đề sau tương đương: (i) A vành CM; (ii) Với p ∈ Spec(A), Ap vành CM địa phương; (iii) Với iđêan I A, ht I = depth(I, A); (iv) Định lý không trộn lẫn thỏa mãn A Chứng minh (i)⇔(ii) Gọi m iđêan tối đại A chứa p Theo định nghĩa Am CM (Am )pAm CM Mà theo ([6], Co of Th 4.3) (Am )pAm = Ap , nên Ap vành CM Điều ngược lại hiển nhiên (ii)⇔(iii) Nếu ht I = depth(I, A) với iđêan I A với p ∈ Spec(A), ht p = dim Ap depth(p, A) = depth Ap nên depth Ap = dim Ap Điều ngược lại chứng minh tương tự Hệ 3.1.5,(i) (i)⇒(iv) I = (a1 , , ar ) ht I = r Giả sử p, q hai iđêan nguyên tố liên kết A/I cho p ⊆ q Gọi m iđêan tối đại A chứa q, địa phương hóa m ta pAm , qAm iđêan nguyên tố liên kết Am /IAm Do Am vành CM địa phương ht IAm = ht I = r nên theo Hệ 3.1.5,(i) dim Am /IAm = dim Am − r Khi đó, theo Định lý 3.1.4,(ii) ảnh x Am Am −dãy, suy Am /IAm CM Theo Định lý 3.1.3,(i) ta có pAm = qAm , tức p = q (iv)⇒(i) Lấy p ∈ Spec(A), với ht p = r theo ([3], Th A.2) ta chọn a1 , , ar ∈ p cho ht(a1 , , ) = i với ≤ i ≤ r Khi tính chất khơng trộn lẫn thỏa mãn A nên tất iđêan nguyên tố liên kết A/(a1 , , ) có độ cao i, tức không chứa ai+1 Do ai+1 A/(a1 , , )−chính quy, nói cách khác a1 , , ar A−dãy Từ depth Ap = r = dim Ap hay Ap CM Mà p phần tử Spec(A) nên A CM 36 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định lý khơng trộn lẫn cho vành đa thức trường kết đẹp Macaulay vào năm 1916; với vành địa phương quy, định lý khơng trộn lẫn chứng minh I S Cohen vào năm 1946 Bây giờ, ta chứng minh vành đa thức trường vành địa phương quy vành Cohen - Macaulay, chứng minh kết Macaulay Cohen Định lý 3.2.5 Cho A vành Noether, A vành CM vành đa thức A[X] vành CM Đặc biệt, vành đa thức trường vành CM Chứng minh Nếu A[X] vành CM, X A[X]−chính quy nên A ∼ = A[X]/(X) vành CM Ngược lại, đặt B := A[X] p iđêan cực đại B, p ∩ A =: m Khi Bp địa phương hóa Am [X], thay A Am ta có vành CM địa phương A với iđêan cực đại m, ta cần chứng minh Bp CM Đặt A/m =: k ta có B/mB = k[X], p/mB iđêan k[X] sinh đa thức monic bất khả quy ϕ(X) Nếu ta lấy f (X) ∈ A[X] đa thức monic A[X] mà ϕ(X) = f (X) + mB p = (m, f ) Ta chọn hệ tham số a1 , , an A, từ a1 , , an , f hệ tham số Bp Từ B phẳng A nên A−dãy a1 , , an B−dãy Ta đặt A/(a1 , , an ) = A ; ảnh f A [X] đa thức monic, A [X]−chính quy, a1 , , an , f B−dãy, depth Bp ≥ depth(p, B) ≥ n + = dim Bp Do Bp vành CM Định lý 3.2.6 Vành địa phương quy vành CM Chứng minh Gọi (A, m) vành địa phương quy chiều d, hệ 37 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tham số quy A x1 , , xd Nếu d = m = A trường nên A CM Với d > 0, theo Nhận xét 1.1.4(iii) x1 , , xd A−dãy Nên theo Định lý 1.2.13, depth A = dim A = n, A CM Cuối ta chứng minh đặc trưng vành Cohen - Macaulay qua số bội Cho A vành Noether, M A−môđun hữu hạn sinh Iđêan q = (x1 , , xs ) A thỏa mãn M/qM có độ dài hữu hạn, M/qn M có độ dài hữu hạn Ta định nghĩa χM,q (n) = (M/qn M ) Lấy q iđêan định nghĩa vành địa phương (A, m), tức √ q = m (M/qM ) < +∞ Gọi M A−môđun hữu hạn sinh, định lý đa thức Hilbert ([5], Th 14) n đủ lớn χM,q (n) đa thức gọi đa thức Hilbert - Samuel Và theo ([6], Th 13.4) đa thức có bậc dim M Ta định nghĩa số bội q với môđun ad M kí hiệu e(q, M ) cho e(q, M ) = , d = dim A ad d! hệ số nd đa thức χM,q (n) Ta đặt e(q, A) = e(q) gọi số bội q Theo ([6], Th 14.10) (A/q) ≥ e(q) ta chứng minh (A/q) = e(q) A vành CM Trước hết ta cần kết sau Bổ đề 3.2.7 Cho (A, m) vành Noether địa phương, M A−môđun hữu hạn sinh, x = x1 , , xd (d > 0) hệ tham số A, q = (x) Nếu e(q, M ) = (M/qM ) (i) (x1 , , xd−1 )M : xd = (x1 , , xd−1 )M ; (ii) e((xα1 , , xαd d ), M ) = (M/(xα1 , , xαd d )M ) với αi ∈ N (i = 1, , d); (iii) depth M > Chứng minh (i) Đặt xk = x1 , , xk (k = 0, , d − 1), theo ([2], Th 4.3) e(q, M ) = (M/(x)M ) − ((xd−1 )M : xd /(xd−1 )M ) − d−1 i=1 e((xi+1 , , xd ), (xi−1 )M : xi /(xi−1 )M ) 38 Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mà e(q, M ) = (M/qM ), nên (((xd−1 )M : xd )/(xd−1 )M ) = Do đó, ((xd−1 )M : xd )/(xd−1 )M = hay (xd−1 )M : xd = (xd−1 )M (ii) Trước hết ta có, x1 , , xd−1 , xnd hệ tham số với n Từ (i) lại có (xd−1 )M : xnd = (xd−1 )M với n e(q, M ) = (M/(x)M ) − (((xd−1 )M : xd )/(xd−1 )M ) Do đó, theo ([2], Co 4.8) ta có e((x1 , , xnd ), M ) = (M/(x1 , , xnd )M ) − (((xd−1 )M : xnd )/(xd−1 )M ) = (M/(x1 , , xnd )M ) với n Do d thay số khác nên ta có (ii) (iii) Từ (i) (ii) suy depth M/(xn1 , xn2 , , xnd−1 )M > vơi n (0 : m) ⊂ (xn1 , , xnd−1 )M với n Mà (xn1 , , xnd−1 ) ⊆ (x1 , , xd−1 )n nên (0 : m) ⊆ ∩(x1 , , xd−1 )n M = 0, depth M > Định lý 3.2.8 Cho (A, m) vành Noether địa phương chiều d > Khi điều kiện sau tương đương: (i) A vành CM; (ii) (A/(x)) = e((x)) với x = x1 , , xd hệ tham số A; (iii) (A/(x)) = e((x)) với x = x1 , , xd hệ tham số A Chứng minh (i)⇒(ii) Do A CM nên x A−dãy Theo Định lý 2.2.1,(i) Hi (x) = với i ≥ theo Mệnh đề 2.1.3 H0 (x) ∼ = A/(x) Từ theo ([2], Th 4.1), (−1)i (Hi (x)) = (A/(x)) e((x)) = i≥0 (ii)⇒(iii) Hiển nhiên (iii)⇒(i) Ta chứng minh quy nạp theo d Với d = x hệ tham số A, theo ([2], Th 4.3) e((x)) = (A/(x)) − (0 :A x), (0 :A x) = 39 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ hay (0 :A x) = 0, suy x A−chính quy A CM Với d > 1, theo Bổ đề 3.2.7 depth A > 0, tức tồn phần tử A−chính quy m, suy m ∈ / Ass(A) Từ đó, khơng iđêan Ass(A) chứa q = (x) √ p ∈ Ass(A) chứa q tức p ∈ V (q) = V ( q) = V (m) (mâu thuẫn) Do tồn xi A−chính quy, ta giả sử x1 Theo ([2], Th 4.2) ta có e(q) = e(q/(x1 ), A/(x1 )) = (A/q) = ((A/(x1 ))/(q/(x1 ))) Theo giả thiết quy nạp suy A/(x1 ) CM, A CM 40 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận Trong luận văn chúng tơi trình bày chi tiết lại vài vấn đề dãy quy, độ sâu mơđun vành Noether địa phương vành Cohen - Macaulay Cụ thể (1) Trình bày khái niệm, ví dụ cụ thể tính chất dãy quy Đặc trưng tồn dãy quy (từ định nghĩa đặc trưng độ sâu môđun vành Noether địa phương) qua tính triệt tiêu mơđun Ext đồng điều Koszul (2) Trình bày tính chất độ sâu mối liên hệ độ sâu chiều mơđun vành Noether địa phương, tính chất độ sâu qua địa phương hóa, qua đầy đủ m−adic (3) Trình bày tính chất vài đặc trưng vành Cohen Macaulay đặc trưng qua đầy đủ m−adic, đặc trưng qua tính khơng trộn lẫn đặc trưng số bội 41 Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] M F Atiyah, and I G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra Addition - Wesley, Reading, Mass, 1969 [2] M Auslander, and D Buchsbaum, Codimension and multiplicity, Ann Math 68, 625-657, 1958 [3] W Bruns, and J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, 1998 [4] D Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer, 2004 [5] H Matsumura, Commutative algebra, W A Benjamin, New York, 1970 [6] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 [7] J J Rotman, An introduction to Homological Algebra, Academic Press, 1993 [8] R Y Sharp, Steps in commutative algebra, Cambridge University Press, 1990 42 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... vành Noether địa phương) qua tính triệt tiêu mơđun Ext đồng điều Koszul (2) Trình bày tính chất độ sâu mối liên hệ độ sâu chiều môđun vành Noether địa phương, tính chất độ sâu qua địa phương hóa,... vành địa phương quy x hệ tham số quy A Theo ([6], Th 14.3) vành địa phương quy miền ngun Từ đó, hệ tham số quy x vành địa phương quy (A, m) A−dãy Thật vậy, ta có A = A/(x1 , , xi ) vành địa phương. .. tính độ sâu mơđun hữu hạn sinh vành Noether địa phương thông qua tính triệt tiêu Cuối tiết trình bày mối liên hệ độ sâu với chiều môđun, độ sâu môđun iđêan với độ cao iđêan Định lý 1.2.6 Cho A vành