Một số tính chất của vành và môđun các thương

0 Tr-ờng đại học vinh Khoa toán Một số tính chất vành môđun th-ơng khoá luận tốt nghiệp ngành: đại số Cán h-ớng dẫn: T.S Nguyễn Thị Hồng Loan Sinh viên thực : Nguyễn Thị Nhà Lớp : 46A- Toán Vinh_2009 mục lục mở đầu ch-¬ng vành th-ơng 1.1 Một số khái niệm liên quan 1.2 Vành th-ơng 1.3 Iđêan vành th-ơng 14 ch-ơng môđun th-ơng 19 2.1 Xây dựng môđun th-ơng 19 2.2 TÝnh chÊt cña môđun th-ơng .21 kết luËn 27 tài liệu tham khảo 27 Mở đầu Đại số giao hoán, ng-ời ta th-ờng nghiên cứu vành địa ph-ơng (tức vành có iđêan cực đại nhất) môđun vành địa ph-ơng vì, kết th-ờng đ-ợc ứng dụng nhiều Hình học đại số Vì kỹ thuật chuyển từ vành giao hoán sang vành địa ph-ơng ( mà ng-ời ta th-ờng gọi địa ph-ơng hoá) th-ờng đ-ợc sử dụng Đại số giao hoán mục đích khoá luận dựa vào [1] để trình bày cách xây dựng chứng minh tính chất vành th-ơng S R mô đun th-ơng S M , R vành giao hoán, có đơn vị, M R -mô đun, S tập nhân đóng R Khi S R \ P , với P iđêan nguyên tố R vành th-ơng S R vành địa ph-ơng đ-ợc kí hiệu Rp Trong luận văn, mô tả iđêan vành th-ơng chứng minh vành Rp vành địa ph-ơng Để hoàn thành luận văn này, đà nhận đ-ợc giúp đỡ tận tình t.S nguyễn thị hồng loan xin chân thành cảm ơn cô giáo t.S nguyễn thị hồng loan, thầy cô giáo Khoa Toán, đặc biệt thầy cô tổ Đại số đà giúp đỡ hoàn thành luận văn đà cố gắng song tránh khỏi thiếu sót mong nhận đ-ợc đóng góp ý kiến thầy, cô bạn Xin chân thành cảm ơn! vinh, ngày 04 tháng 05 năm 2009 tác giả nguyễn thị nhà Ch-ơng I vành th-ơng 1.1 số khái niệm liên quan 1.1.1 định nghĩa Tập hợp R , đ-ợc trang bị hai phép toán cộng nhân thoà mÃn điều kiƯn sau: (i) R cïng víi phÐp céng lµ mét nhóm giao hoán, (ii) R với phép nhân mét nưa nhãm, (iii) phÐp nh©n ph©n phèi víi phÐp céng: víi mäi x, y, z  R : x( y  z)  xy  yz vµ ( x y) z xz yz đ-ợc gọi vành phần tử đơn vị phép cộng ký hiệu gọi phần tử không vành Nếu phép nhân giao hoán ta nói vành R vành giao hoán Nếu phép nhân có phần tử đơn vị ta gọi phần tử đơn vị vành R th-ờng ký hiệu Trong toàn luận văn giả thiết vành R vành giao hoán, có đơn vị 1.1.2 Ví dụ tập hợp Z số nguyên với phép cộng phép nhân số thông th-ờng vành giao hoán có đơn vị gọi vành số nguyên Ta có vành số hữu tỉ, vành số thực, vành số phức phép cộng phép nhân số thông th-ờng 1.1.3 iđêan 1.1.3.1 Định nghĩa: i) Một iđêan trái vành R vành I R thoả m·n:  I , r  R, a  I ii) Một iđêan phải vành R mét vµnh I  R ar  I , r  R, a  I tho¶ m·n: iii) Nếu vành I R vừa iđêan trái vừa iđêan phải đ-ợc gọi iđêan vành R Đối với vành giao hoán khái niệm iđêan, iđêan trái, iđêan phải trùng Mỗi iđêan vành R mà khác R đ-ợc gọi iđêan thực R 1.1.3.2.Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại i) Iđêan p R đ-ợc gọi iđêan nguyên tố I R víi mäi x, y  R cho xy  p suy hc x  p hc y  p ii) Iđêan m R đ-ợc gọi iđêan cực đại m R không tồn iđêan I m cho I m I R Từ định nghĩa ta suy I iđêan vành R I iđêan nguyên tố vành th-ơng R / I miền nguyên I iđêan cực đại vành th-ơng R / I tr-ờng Do iđêan cực đại R iđêan nguyên tố Cho R vành giao hoán có đơn vị 1, R Khi ®ã R cã Ýt nhÊt mét iđêan cực đại Vì I iđêan R , I R I đ-ợc chứa iđêan cực đại R 1.1.4 Iđêan th-ơng Cho I J iđêan vành giao hoán R Đặt: I : J  x  R xJ  I   x  R xa  I , a  J  Khi I : J iđêan vành R đ-ợc gọi iđêan th-ơng I J Đặc biệt ta ký hiệu Ann R ( J )  : J  x  R xJ  0  x  R xy  0, y J Iđêan Ann R (J ) đ-ợc gọi linh tử hoá iđêan J Cho x  R ta ký hiÖu Ann R (x) ( hc Ann(x) ) thay cho Ann R ( x ) ( x iđêan sinh x ) Tøc lµ Ann R ( x)  y R yx 1.1.5 Iđêan mở rộng, iđêan thu hĐp Cho f : R  R' lµ mét ®ång cÊu vµnh Khi ®ã: i) NÕu J lµ mét iđêan R ' , ta ký hiệu J c  f 1 ( J ) Khi ®ã J c iđêan R đ-ợc gọi thu hẹp iđêan J vành R đồng cấu f ii) Cho I iđêan R Ký hiÖu I e  f (I ) iđêan sinh f (I ) Khi I e iđêan vành R' đ-ợc gọi mở rộng iđêan I vành R' đồng cấu f ( phần tử I e tổ hợp tuyến tính R' phần tử f (I ) 1.1.6 Mệnh đề cho f : R R' đồng cấu vành giao hoán, J iđêan R Khi ®ã J ce  J Chøng minh Ta cã J ce  ( J c ) e  ( f 1 ( J )) e  f ( f 1 ( J ))  Gi¶ sư y  J ce  y  f ( f 1 ( J ))  y   ri ' yi , ®ã ri ' R' , yi  f ( f 1 ( J ))  víi i, tồn xi f ( J ) , cho: yi  f ( xi ) Do xi  f 1 ( J )  yi  f ( xi )  J  ri ' yi  J , i  N (do J iđêan ) Mà y ri ' yi  y  J  J ce  J 1.1.7 vành noether 1.1.7.1 Định nghĩa Vành R đ-ợc gọi vành noether dÃy tăng iđêan R dừng, nghĩa I I1  I   I K  dÃy tăng iđêan R tồn số tự nhiên n cho I n I n1  1.1.7.2 Chó ý vµnh R vành Noether iđêan vành R hữu hạn sinh 1.1.7.3 Ví dụ 1) vành số nguyên Z vành Noether iđêan Z có dạng mZ ( với m Z ) có nghĩa iđêan Z hữu hạn sinh ( sinh phần tử) 2) Mọi tr-ờng X vành Noether, tr-ờng X có hai iđêan X Vậy dÃy tăng iđêan X , suy dÃy dừng 1.1.8 Vành địa ph-ơng 1.1.8.1 Định nghĩa vành R đ-ợc gọi vành địa ph-ơng có iđêan cực đại 1.1.8.2 Ví dụ 1) Mỗi tr-ờng vành địa ph-ơng có iđêan cực đại 2) Vành chuỗi luỹ thừa h×nh thøc K x    x i K vành địa i ph-ơng với iđêan cực đại (x) 1.2 vành th-ơng 1.2.1 Tập nhân đóng vành 1.2.1.1 Định nghĩa Một tập S R đ-ợc gọi tập nhân đóng R  S vµ ab  S víi mäi a,b  S 1.2.1.2 Ví dụ Cho p iđêan nguyên tố vành R Khi tập S = R\p tập nhân đóng R Thật vậy, ta có: R\p giả sử R\p hay 1 p suy a.1 = a  p víi mäi a  R Khi ®ã p  R Tuy nhiªn p  R VËy  R\p Víi mäi a, b  R\p, tøc lµ a, b  p ta cã ab  p p  lµ iđêan nguyên tố Do ab R\p Vậy R\p tập nhân đóng vành R 1.2.2 Xây dựng vành th-ơng Giả sử R vành giao hoán, có đơn vị S tập nhân đóng R Trên tích Đề R S ta xét quan hƯ ~ sau: víi (r , s) vµ (r ' , s' ) thuéc R  S ta nãi (r , s) ~ (r ' , s' ) nÕu cã phÇn tư s1  S , cho s1 (s' r  sr' )  Quan hÖ ~ quan hệ t-ơng đ-ơng Thật vậy: i) Tính phản xạ: Với (r,s) R S ta lu«n cã sr – sr = Suy tån t¹i s1  S cho s1(sr - sr ) = VËy (r,s) ~ (r,s), víi mäi (r,s) R S ii) Tính đối xứng: Giả sử (r,s) (r ' , s' ) hai phần tö bÊt kú thuéc R  S cho (r,s) ~ (r,s) tức tồn s1 S, cho s1 (s' r  sr' )  hay s1 (sr's' r )  Do ®ã (r , s) ~ (r ' , s' ) iii) Tính bắc cầu: Giả sử (a,s) ~ (b,t) (b,t) ~ (c,u) tøc tån t¹i s1,s2 S cho: s1(ta - sb) = vµ s2(ub - tc) =  s us1 ta  sb   s1 ss (ub  tc )  Suy Cộng vế theo vế hai đẳng thức ta đ-ợc: s2us1ta - s1ss2tc= 0, suy ra: s2s1t(ua - sc) = Vì S khép kín với phép nhân nên s2s1t  S, suy (a,s) ~ (c,u) VËy quan hÖ ~ quan hệ t-ơng đ-ơng R S Lớp t-ơng đ-ơng phần tử (r,s) đ-ợc ký hiệu r hay r/s Tập th-ơng R S/~ đ-ợc ký hiệu S-1R s r r, Bây S R, với , , S-1R ta định nghĩa hai phÐp to¸n nh- sau: s s -1 PhÐp to¸n céng (+): Phép toán nhân ( ): r r , s , r  sr ,  = s s, ss , r r , rr ,  = s s , ss , Định nghĩa không phụ thuộc đại diện đ-ợc chọn r r1 r1, r , Thật vậy, giả sử , , , tức tồn phần tử s2 , s3  S cho: s s1 s1 s vµ s2 (sr1  s1r )  (1) s3 (s , r1,  s1, r , )  (2) Ta nhân đẳng thức (1) với s3 s , s1, ta nhân đẳng thức (2) với s ss1 cộng vế theo vế đ-ợc: s3 s , s1, s2 (sr1  s1r )  s2 ss1 s3 (s , r1,  s1, r , )  Suy s2 s3 s , s ,1 (sr1  s1r )  ss1 (s , r ,1  s ,1r , )  Hay s2 s3 ss , (s ,1r1  s1r ,1 )  s1 s ,1 (s , r  sr , )  V× s2,s3  S nên s2s3 S Đẳng thức cuối chứng tá : s1, r1  s1 r1, s , r  sr , r r , r1 r1,    , nghÜa lµ:  s s , s1 s1, s1 s1, ss , Ta nhân đẳng thức (1) với s3 s , r1, nhân đẳng thức (2) víi s s1 r råi céng vÕ theo vÕ chúng lại ta đ-ợc: s2 s3 ss , r1, s2 s3 s1, rr ,  Suy s2 s3 (ss , r1r1,  s1 s1, rr , )  v× s , s3  S §¼ng thøc cuèi chøng tá: r r , r1 r1, r1 r1, rr ,   Suy s s , s1 s1, s1 s1, ss , 1.2.3 Mệnh đề với hai phép toán cộng nhân định nghĩa nh- S -1R lập thành vành giao hoán có đơn vị 1/1 Chứng minh Tr-ớc hết ta chứng minh S-1R nhóm giao hoán với phÐp céng Víi r r1 r2 , vµ  S-1R Ta cã: s1 s s3 ( r r s ( s r  s r )  s1 s s3 r1 r2 s r s r  )  1   1 s1 s s3 s1 s s3 s1 s s3  r r1 s3 r2  s r3 r1 r    (  ) s1 s s3 s1 s s3 Phép cộng S-1R có phần tử không r với , ta cã: s r 0 r 1.r  s.0 r      s 1 s s.1 s Víi mäi r r  S-1R lu«n tồn phần tử đối (- ) Thật vậy, ta cã s s r r sr  s(r ) 0  ( )    s s ss ss VËy S-1R lµ mét nhãm giao hoán với phép cộng Bây ta chứng minh S R với phép nhân nửa nhóm giao hoán có đơn vị -1 Với r1 r2 r3 , ,  S-1R , ta cã : s1 s s3 ( Mặt khác (r r )r r1 r2 r3 r rr r r r )    ( ) s1 s s3 ( s1 s ) s3 s1 s s3 s1 s s3 r1 r2 rr rr r r r 1r r =   vµ   s1 s s1 s s s1 s s1 s1 1 s1 s1 VËy S-1R lµ mét nửa nhãm giao hoán có đơn vị với phép nhân Trên S -1R phÐp nh©n ph©n phèi víi phÐp céng ThËt vËy víi r3 r1 r2 , vµ  S-1R ta cã: s3 s1 s r1 r2 r3 r s r s r r (s r  s r ) r s r  r s r ( + )= 2  2  2 s1 s s s1 s s3 s1 s s3 s1 s s3 = ( s1 s3 )(r1r2 )  ( s1 s )(r1 r3 ) r1 r2 r1r3 r r r r     ( s1 s )(s1 s3 ) s1 s s1 s3 s1 s s1 s3 (s1 S nên s1 0) T-ơng tự ta cã: ( r2 r3 r1 r2 r1 r3 r1 + ) = + s s s1 s s1 s s1 VËy S-1R cïng víi hai phép toán cộng nhân định nghĩa lập thành vành giao hoán có đơn vị 1/1 1.2.4 Định nghĩa vành S-1R đc gọi vành th-ơng R theo tập nhân đóng S 1.2.5 Ví dụ Giả sử p iđêan nguyên tố vành R Khi S = R\P tập nhân đóng ( Ví dụ 1.2.1.2) Trong tr-ờng hợp ta ký hiƯu S-1R lµ Rp VËy Rp = r / s r  r , s  p cïng với phép toán cộng phép toán nhân nói lập thành vành th-ơng Định lý 1.2.l3 sau chứng tỏ Rp vành địa ph-ơng 1.2.6 Nhận xét Nếu S S-1R chứa phần tử, 0/1 Thật vậy, víi mäi r  R, s  S ta cã 0(s0 - 1r) = suy (r,s) ~ (0,1) hay r/s = 0/1 Nh- thÕ tr-êng hỵp  S Ýt cã ý nghÜa 14 r1 r r1 r   pRp ( v× r1r  p vµ s1 s  p ) s1 s s1 s Ta cã T-¬ng tù ta cã r r1  pRp Suy pRp iđêan vành R s s1 Vì phần tử Rp \ pRp có dạng khả nghịch Rp với phần tử nghịch đảo r với r, s p nên phần tử s s Nh- phần tử r Rp \ pRp khả nghịch Mặt khác pRp Rp ( giả sử pRp  Rp , suy p  R (m©u thuÉn)) Do theo Bổ đề 1.2.12 Rp vành địa ph-ơng với iđêan cực đại pRp 1.2.14 Nhận xét Cho p iđêan nguyên tố vành R , theo Định lý Rp vành địa ph-ơng Do trình chuyển từ vành R sang vành Rp ng-ời ta gọi địa ph-ơng hoá vành R iđêan nguyên tố p Sau ví dụ quan trọng địa ph-ơng hoá: tr-ờng th-ơng, tr-ờng phân thức vành số thập phân 1.2.15 Ví dụ 1) Nếu R miền nguyên S R \ tập nhân đóng R S R tr-ờng phần tử khác không khả nghịch Tr-ờng đ-ợc gọi tr-ờng th-ơng miền nguyên R 2) Đặc biệt, tr-ờng th-ơng vành số nguyên Z tr-ờng số hữu tỉ (Z \ 0) Z Q Chúng ta th-ờng dùng hệ đếm số 10 làm quen với số thập phân Theo quan điểm địa ph-ơng hoá, số đ-ợc xây dùng nh- sau: nhËn xÐt r»ng   1 S10  10 n : n  N lµ mét tËp nhân đóng vành Z Vành S10 Z đ-ợc gọi vành số thập phân Mỗi phần tử đ-ợc gọi số thập phân Nó xem vành tr-ờng số h÷u tØ (Z \ 0) 1 Z  Q Mỗi số thập phân có dạng m , ®ã m, n  Z 10 n 3) Gi¶ sử R K x vành đa thức mét Èn víi c¸c hƯ sè thc tr-êng K Khi ®ã: K ( x)  ( K x \ 0) K x đ-ợc gọi tr-ờng phân thøc mét Èn víi hƯ 15 sè K Mỗi phần tử đ-ợc gọi phân thức có dạng p( x) , q( x) q( x), p( x)  K x vµ q( x)  1.3 iđêan vành th-ơng 1.3.1 Mệnh đề Cho R vành giao hoán, S tập nhân đóng I iđêan vành R , tập hợp S I a I , s S iđêan vành a s th-ơng S R  Chøng minh Râ rµng S 1 I  S 1 R vµ S 1 I   v×   S 1 I (  I ,1  S ) gi¶ sư a a' a a' as' sa' ,  S 1 I Ta cã:    S 1 I (do a, a' I , s, s' S ) s s' s s' ss' a r ar a r   S 1 I   S 1 I ,   S 1 R , ta cã: s s' ss' s s' (do a  I  ar  I ) Vậy S I iđêan S R Định lý sau mô tả iđêan vành th-ơng 1.3.2 Định lí Cho R vành giao hoán có đơn vị S tập nhân đóng vành R đó: i) J iđêan S R tồn iđêan I vành R cho J  S 1 I ii) Cho I lµ iđêan R Khi S I S 1 R vµ chØ I S  iii) Q iđêan nguyên tố vành S R tồn iđêan nguyªn tè P cđa R , P  S   cho Q  S 1 P Chøng minh (i) () Suy tõ MƯnh ®Ị 1.3.1 1 () giả sử J iđêan S R , ta chứng minh tồn iđêan R cho J  I e I cđa ( víi I e iđêan mở rộng I đồng cấu f : R S R xác định bởi: f (r )  r ) 16 ThËt vËy, gi¶ sư  rJc  r  J , ta cã r  r s  J (do r  J , s  S 1 R ) s s s r  J ce  J J ce s Mặt khác ta cã J ce  J ( theo MƯnh ®Ị 1.1.6 ) Suy J  J ce  ( J c ) e Đặt I J c Khi ®ã: J  I e  f ( I )  a  a r  a  I  =  a  I , r  R, s  S   s   ar  a  I , r  R, s  S  =  s  =  =  J  S 1 I , víi S I I iđêan R ii) (  ) Gi¶ sư S 1 I  S 1 R  S 1 I chøa phÇn tư cho b   b  I,t  S t  a cña S 1 R    S 1 I s a  (a  I , s  S )  u  S cho: s (a.1  s.1)u   (a  s).u   au  su   au  su V× au  I (do a  I ) vµ su  S (do s, u  S )  I  S   ( au  su  I  S ) s 1 (  ) Gi¶ sư I  S    s  I  S   S I s Mặt khác s phần tử đơn vị vành S R S 1 I  S 1 R s iii) ( ) Giả sử P iđêan nguyên tè cđa R, P  S   CÇn chứng minh Q S P iđêan nguyên tố S R +)Do P iđêan R , suy Q  S 1 P iđêan vành S R ( suy tõ MƯnh ®Ị 1.3.1) +)Do P  S    S 1 P  S 1 R a b s t +)  ,  S 1 R cho a  P a b ab  S 1 P   S 1 P  ab  P   s t st b  P (vì P nguyên tố) 17 Vậy S P iđêan nguyên tố vành S R ( ) Giả sử Q iđêan nguyên tố vành S R *Theo (i) tồn iđêan P R cho Q S P *V× Q  S 1 R  P  S   ( theo (ii) ) *CÇn chøng minh P iđêan nguyên tố vành R Gi¶ sư a, b  R , cho: ab  P Suy ra: ab  S 1 P Q s Vậy P iđêan nguyên tố vµnh R 1.3.3 NhËn xÐt Cho R lµ vµnh giao hoán có đơn vị, S tập nhân đóng vành Khi theo định lý ta có: i) Mỗi iđêan vành th-ơng S R ®Ịu cã d¹ng S 1 I , ®ã I iđêan vành R ii) Mỗi iđêan nguyên tố vành S R có dạng S P P iđêan nguyên tố R không giao với S iii) Cho P iđêan nguyên tố vành R Kỹ thuật chuyển từ vành R sang vành R P làm tất iđêan nguyên tố ngoại trừ iđêan nguyên tố nằm P Ta biết iđêan vành th-ơng R / P có dạng K / P , K iđêan vành R chøa P Do ®ã kü tht chun tõ vành R sang vành th-ơng R / P làm tất iđêan nguyên tố ngoại trừ iđêan nguyên tố chứa P Do P , Q hai iđêan nguyên tố vành R cho QP kỹ thuật lấy địa ph-ơng hoá P tức vành Rp lấy vành th-ơng R / Q ta thu đ-ợc dÃy iđêan nguyên tố nằm P Q 1.3.4 Định lý Cho S tập nhân đóng I iđêan vành R Ký hiệu S ¶nh cđa S R / I Khi ®ã S 1 R / S 1 I  S ( R / I ) ( tức địa ph-ơng hoá giao hoán với phép lấy th-ơng) Chứng minh Xét ¸nh x¹ : S 1 R / S 1 I S ( R / I ) , xác định bëi: r r g (  S 1 I ) s s Ta cần chứng minh g đẳng cÊu ThËt vËy: ( víi r  r  I , s  s  I ) 18 * g đồng cấu vì: Ta có: rs' sr ' r r' r r'  S 1 I ) ) g (  S 1 I   S 1 I )  g (   S 1 I )  g ( ss' s s' s s'  rs' sr' rs'  sr ' rs' sr ' r r ' r r'       g (  S 1 I )  g (  S 1 I ) ss' ss' s s' s s' ss' ss' +) g (  S 1 I )(  S 1 I ) = g (  S 1 I ) = g (  S 1 I ) = ss' s s' s' ss'  s  r rr ' r r' r' = rr ' r.r ' r r' r r' = = g (  S 1 I ).g (  S 1 I ) s s' s.s ' s s' * g đơn ánh Thật vậy, ta có g (r / s  S 1 I )  r  Khi ®ã t  S cho t r  s suy t r  R / I hay tr  I Khi ®ã: r / s  IS 1 R  tr / ts  IS 1 R  (do tr  I ) hay ker( g )  Suy g đơn ánh * g toàn ánh 1 r s Với r / s S ( R / I ) tồn r / s  S R cho g (r / s  S 1 I )  , suy g toàn ánh Vậy g đẳng cấu, suy S 1 R / S 1 I  S ( R / I ) 1.3.5 MƯnh ®Ị cho vµnh R lµ vµnh Noether vµ S lµ tËp nhân đóng vành R Khi vành th-ơng S R vành Noether Chứng minh Ta chứng minh iđêan S R hữu hạn sinh giả sử J iđêan tuỳ ý vành S R Theo Định lý 1.3.4 tồn I iđêan vµnh R cho J  S 1 I  a / s a  I , R Noether nên I hữu hạn sinh Giả sử I a1 , a2 , , an  a  a a  hÖ  , , , n  lµ hƯ sinh cđa J 1 1 J iđêan hữu hạn sinh 19 iđêan S R hữu hạn sinh S R vành Noether 1.3.6 Hệ Cho R vành Noether p iđêan nguyên tố vành R Khi vành địa ph-ơng hoá Rp cịng lµ vµnh Noether Chøng minh Ta cã Rp  S 1 R víi S  R \ p Theo chứng minh ta có Rp vành Noether ch-ơng môđun th-ơng 2.1 xây dựng mô đun th-ơng 2.1.1 Định nghĩa Cho R vành giao hoán có đơn vị, tập M gọi R - môđun M có hai phép toán phép cộng phép nhân với vô h-ớng cho víi phÐp céng M lµ mét nhãm Abel vµ phÐp nhân với vô h-ớng thoà mÃn điều kiện sau: i) r ( x  y)  rx  ry, r  R, x, y  M ii) (r   ) x  rx  x, r,   R, x  M 20 iii) (r. ).x  r.(.x), r,   R, x  M iv) 1.x  x, x  M 2.1.2 VÝ dụ 1) Cho V không gian véctơ tr-ờng K Khi V K - môđun V môđun K 2) Mỗi nhóm giao hoán môđun vành số nguyên Z 2.1.3 Môđun hữu hạn sinh 2.1.3.1 Định nghĩa R - Môđun M đ-ợc gọi hữu hạn sinh có tập sinh gồm hữu hạn phần tử Nói cách khác tồn phần tử x1 , , xn  M   cho M  r1 x1  r2 x2   rn xn ri  R, i  1, n, 2.1.3.2 VÝ dô 1) vành R giao hoán, có đơn vị môđun hữu hạn sinh ( phần tử sinh 1) 2) Không gian véc tơ V hữu hạn chiều tr-ờng K môđun hữu hạn sinh tr-ờng K (mỗi sở hệ sinh) 2.1.4 định nghĩa cho M R - môdun S tập nhân đóng R Trên tích Đềcác M S ta xác định quan hƯ hai ng«i ~ nh- sau: Víi ( m, s ),( m' , s' )  M  S ta nãi ( m, s ) ~ ( m' , s' ) nÕu tån t¹i s1  S cho s1 (s' m  sm' )  Khi ®ã quan hệ ~ quan hệ t-ơng đ-ơng (chứng minh t-ơng tự nh- phần vành th-ơng) Khi ta kí hiệu m lớp t-ơng đ-ơng s cđa ( m, s ) TËp th-¬ng M  S / ~ đ-ợc kí hiệu S M , tøc lµ: m  S 1 M =  m  M , s  S  s  Ta định nghĩa phép toán S M nh- sau: Víi m m' r  S 1 R ,  S 1 M vµ s s' s' ' PhÐp céng: m m' ms' sm'   s s' ss' Phép nhân với vô h-ớng : r m r.m  s' ' s s' '.s 21 Định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn đại diện Thật vậy, phép toán cộng chứng minh t-ơng tự nh- phần vành th-ơng Đối với phép nhân với vô h-ớng, giả sử (m, s) ~ (m' , s' ) tøc tån t¹i s1  S cho s1 (s' m  sm' )  Suy r.s' ' s1 (s' m  sm' )  ( víi r  R, s' ' S ), hay s1 (r.s' ' s' m  r.s' ' sm' )  Do ®ã (r.m, s' ' s) ~ (r.m' , s' ' s) Tøc lµ 2.1.5 r.m r.m' r m r m'   hay s' '.s s' '.s' s' ' s s' ' s' MƯnh ®Ị Víi hai phÐp toán cộng nhân với vô h-ớng nói S 1 M lËp thµnh mét S 1 R - môđun Chứng minh * S M với phép cộng nhóm giao hoán *Với r1 r2 m m' ,  S 1 R , vµ víi mäi ,  S 1 M , ta cã : s1 s s s' r ms s' r m' s s r1 m m' r s' m  sm' r1 ( s' m  sm' )  1 1 ,( v× s1  ) (  )  s1 ss1 s' s1 s s' s1 ss' s1 ss'  ( r1 r2 m s r1  s1 r2 m r1ms2 s  r2 ms1 s  )   (v× s  ) s1 s s s1 s s s1 ss2 s  ( r1m r1m r1 m r1 m'    s1 s s1 s' s1 s s1 s' r1m r2 m r1 m r2 m    s1 s s s s1 s s s r1 r2 m r1r2 m r1 r2 m r1 r2 m s1 r2 m )     ( ) s1 s s s1 s s s1 s s s1 s s r1 s s m 1.m m   s 1.s s Vậy S M môđun vành S R 2.1.6 Định nghĩa Môđun S M đ-ợc gọi môđun th-ơng M theo tập nhân đóng S 22 2.1.7 Chú ý Ta biÕt r»ng nÕu f : R  R' lµ đồng cấu vành M R' -môđun M có cấu trúc R - môđun với phép nhân với vô h-ớng xác định nh- sau: rm : f (r )m , r  R , m M r Ta có ánh xạ g : R S R , xác định bëi g (r )  , r  R víi S tập nhân đóng vành R đồng cấu vành Vì S M có cấu trúc R -môđun với phép nhân với vô h-ớng xác định nh- sau: r m r m rm m   , r  R,   S 1 M s s s s 2.1.8 Ví dụ Giả sử p iđêan nguyên tố vành R Khi S R \ p tập nhân đóng R , tr-ờng hợp thay cho việc viết S M ta viÕt m  Mp VËy Mp   m  M , s  p  Khi Mp R - môđun với phép nhân s  víi v« h-íng: r m m rm  , víi  Mp , vµ r  R s s s 2.2 tính chất môđun th-ơng Với đồng cấu R - môđun f : M N cảm sinh đồng cấu S R m s môđun f S : S M S N , xác định bởi: f ( )  f ( m) m ,   S 1 M s s Ta có định lý sau 2.2.1 Định lý Cho S tập nhân đóng R NÕu f g  M 'M M '' dÃy khớp ngắn R - môđun th× fS gS  S 1 M '  S 1 M  S 1 M ' '  dÃy khớp ngắn R - môđun Chứng minh * f S đơn ánh 23 m  m m f S ( )  ,  S 1 M  s s s  ta cã Kerf S    m f (m)     1 s s m    f (m)  0 s  0 Vì f đơn ánh nên từ f (m)  suy m  nªn Kerf S       s 1  Vậy f S đơn ánh * g S toàn ánh Với m' S M ' ' Vì g toàn ánh nên tồn t¹i m  M cho g (m)  m' s tức tồn mM : m S 1 M suy víi mäi s m' g (m) m  g S ( ) V× = s s s m'  S 1 M ' ' s tồn m M m s s  S nªn  S 1 M cho m m' ' gS ( )  VËy g S toàn ánh s s *Chứng minh Im f S  Kerg S   m' m'  S 1 M    f (m' ) m'  S 1 M ' s s s    s Ta cã Im f S   f S ( )  m m     m  Im f , s  S    m  Kerg , s  S  ( v× Im f  Kerg ) s  s  m m 0   Vµ Kerg S    S 1 M g S ( )   =  m  S 1 M g (m)   s 1  s s s 1 =  m  m g (m)  0, s  S  =  m  Kerg , s  S  s  s  Tõ ®ã suy ra: Im f S  Kerg S fS gS VËy d·y  S 1 M '  S 1 M  S 1 M ' '  lµ d·y khớp ngắn R - môđun 2.2.2 Hệ giả sử : M N đồng cấu R - môđun Khi khẳng định sau t-ơng đ-ơng: i) đơn cấu ii) p : M p N p đơn cấu với iđêan nguyên tố p 24 iii) m : M m N m đơn cấu với iđêan cực đại m Chứng minh i) ii) Ta cã:   (r ) r  r r  NP  Ker ( P )    M P  P ( )  N P     M P s s  s  s r     M P  (r )  M  s  0MP P đơn cấu ii) iii) Hiển nhiên iđêan cực đại iđêan nguyên tố iii) i) Đặt M '  Ker ( ) DÔ thÊy:  M '  M  N lµ d·y khíp Do ®ã  M ' m  M m  N m dÃy khớp ( Định lý 2.2.1 ) vµ M ' m  Ker (m )  m đơn cấu Suy M ' đơn cấu 2.2.3 Mệnh đề Cho N, P môđun M , S tập nhân đóng R Khi điều khẳng định sau đúng: i) S 1 ( N  P)  S 1 N  S 1 P ii) S 1 ( N  P)  S 1 N  S 1 P iii) S 1 ( N / P)  S 1 N / S 1 P Chøng minh i) S 1 ( N  P)  S 1 N  S P Thật vậy, lấy Theo định nghĩa, ta có: Ng-ợc lại, lấy: n p S ( N  P) , víi n  N , p  P s n p n p    S 1 N  S 1 P s s s n p   S 1 N S P , theo định nghĩa ta có s s' n p s' n  sp    S 1 ( N  P) Suy S 1 N  S 1 P  S 1 ( N  P) s s' ss' VËy S 1 ( N  P)  S 1 N  S 1 P ii) Ta cã S 1 ( N  P)  S 1 N  S 1 P ( hiển nhiên ) Cần chứng minh S ( N )  S 1 ( P)  S 1 ( N  P) 25 ThËt vËy, gi¶ sư Khi ®ã y z  , víi y  N , z  P, s, t  S s t y z   S 1 N  S 1 P suy u  S cho u( yt  sz)  suy uty  usz s t Đặt w uty usz , W  N  P  y uty w    S 1 ( N  P) s yus uts  S 1 ( N  P)  S 1 N  S 1 P Suy S 1 ( N  P)  S 1 N  S 1 P iii) gi¶ sư i : N M phép nhúng tắc p : M M / N phép chiếu tắc Khi ®ã   p i  N  M  M / N 0 lµ mét d·y khíp ngắn nên theo định lý ta có dÃy: iS pS  S 1 N  S 1 M  S 1 ( M / N )  khớp Suy i S đơn cấu p S toàn cấu Do S ( N / P)  S 1 N / S 1 P 2.2.4 Định nghĩa Cho M , N R - môđun Khi tồn R - môđun L0 ánh xạ song tuyến tính g : M  N  L0 tho· m·n tÝnh chÊt sau: Với ánh xạ song tuyến tính : M N L tồn đồng cấu R -môđun : L0 L cho g môđun L0 xác định sai khác đẳng cấu đ-ợc gọi tích tenxơ môđun M N Ký hiệu lµ M  R N hay M  N ¶nh cđa phÇn tư (m, n) M  N đ-ợc ký hiệu m n 2.2.5 Mệnh đề giả sử M R - môđun Khi tồn đẳng cấu R môđun f : S 1 R  R M  S 1 M , xác định bởi: a am f ( m)  , a  R, s  S , m  M s s Chøng minh DƠ dµng chøng minh ánh xạ g : S R M S M , xác định a  am g  ( , m)   , a  R, s, r  S , m, m' M ánh xạ song tuyến tính s s  26 ThËt vËy, a a' as' sa' m(as' sa' ) ma ma' a a' g (  , m)  g ( , m)     g ( , m)  g ( , m) s s' ss' ss' s s' s s' g( ram am a , m)   r  r.g ( , m) s s s s a (m  m' )a ma m' a a a g ( , m  m' )     g ( , m)  g ( , m' ) s s s s s s a arm am a g ( , rm)   r  r.g ( , m) s s s s Theo định nghĩa tích tenxơ tồn đồng cấu f : S 1 R  M  S 1 M cho g f Trong ánh xạ tenxơ: S R S R  M  S 1 R S 1 R  M f S 1 M a s a s Do ®ã, f   (  m)  f ( ( , m)) a a am  f  ( , m)  g ( , m)  s s s s Mặt khác, g ( , m)  m suy lµ s g toµn cÊu Mµ g  f   suy f toµn cÊu ri  mi  S 1 R  M Khi ®ã ta cã thĨ ®-a i 0 s i k Giả sử z z dạng  m , s ®ã r  S , m  M Theo tÝnh chÊt cña tÝch tenx¬, nÕu: m f ( z )   f (  m)    , s  S s s s suy tån t¹i t  S cho tm  M Khi ®ã: z t 1  m   m   (tm)    S 1 R  M , suy s ts ts ts Ker ( f )  Do f đơn cấu, suy f đẳng cấu 2.2.6 Mệnh đề Cho M R -môđun Khi mệnh đề sau t-ơng ®-¬ng: 27 i) M  ii) Mp  , với iđêan nguyên tố P R iii) Mm , với iđêan cực đại m cña R Chøng minh i)  ii)  iii) hiển nhiên iii) i) giả sử M m , với iđêan cực đại m R , nh-ng M  Khi ®ã x M , x Đặt a Ann(x) ; a iđêan khác R Khi tồn iđêan cực đại m chứa a Mặt kh¸c, x x  Mm Do Mm  nªn  Mm ,  x cã thĨ biĨu diễn thông qua 1 số phần tử R \ m  x  A \ m M©u thuÉn víi a  Ann( x)  m Suy điều phải chứng minh kết luận luận văn dựa vào tài liệu tham khảo, đà trình bày cách xây dựng vành môđun th-ơng tập nhân đóng S đồng thời trình bày số tính chất vành môđun th-ơng tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Huệ, Vành địa ph-ơng hoá, Luận văn tốt nghiệp đại học, Vinh (2006) 28 [2] Hoàng Văn Khanh, Môđun th-ơng suy rộng, luận văn tốt nghiệp đại học, Vinh (2006) [3] Hoàng Xuân Sính, đại số đại c-ơng, nxbgd (1994) TiÕng Anh [4] m.f.atiyah and i.g.M acdonald, Introduction to commutative Algebra, Addison_Wesley, Reading, Massachusetts (1969) ... vành R vành giao hoán, có đơn vị 1.1.2 Ví dụ tập hợp Z số nguyên với phép cộng phép nhân số thông th-ờng vành giao hoán có đơn vị gọi vành số nguyên Ta có vành số hữu tỉ, vành số thực, vành số. .. đóng vành Z Vành S10 Z đ-ợc gọi vành số thập phân Mỗi phần tử đ-ợc gọi số thập phân Nó xem vành tr-ờng số hữu tỉ (Z 0) Z Q Mỗi số thập phân có dạng m , m, n  Z 10 n 3) Gi¶ sư R  K x vành. .. cho vành R vành Noether S tập nhân đóng vành R Khi vành th-ơng S R vành Noether Chứng minh Ta chứng minh iđêan S R hữu hạn sinh giả sử J iđêan tuỳ ý vành S R Theo Định lý 1.3.4 tồn I iđêan vành