một số tính chất của vành và môđun phân bậc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN CAO VĂN HOÀNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHSP Ngành học: Toán học Mã số sinh viên: K34101027 Giảng viên hướng dẫn PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành Phố Hồ Chí Minh - 2012 Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Bảng ký hiệu Kiến thức sở 1.1 Vành 1.2 Iđêan 1.3 Vành thương 1.4 Môđun 1.5 Tôpô đầy đủ 1.6 Lọc 1.7 Dãy khớp Một số tính chất vành môđun phân bậc 2.1 Vành phân bậc 2.2 Môđun phân bậc 2.3 Vành phân bậc liên kết 2.4 Tính chất vành môđun phân bậc Kết luận Tài liệu tham khảo 6 11 12 19 20 21 24 24 25 26 26 41 43 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn hỗ trợ tận tình PGS.TS Trần Tuấn Nam Tôi xin phép gởi đến Thầy kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tận tâm Thầy thân suốt thời gian làm luận văn Tôi xin phép gởi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô giảng dạy lớp Toán Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh nói chung toàn thể quý Thầy Cô Khoa Toán nói riêng tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập trường Cuối cùng, xin phép gởi lời cảm ơn đến người thân, bạn sinh viên lớp Toán giúp đỡ hỗ trợ suốt bốn năm học Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Sinh viên thực Cao Văn Hoàng Lời mở đầu Đại số nói chung môn học phổ biến, hay ngành toán trường đại học đại số giao hoán lại môn chuyên ngành đại số Với mong muốn tìm hiểu thêm hiểu sâu định nghĩa, cách chứng minh định lý tính chất liên quan chuyên ngành đại số giao hoán, thực luận văn Dựa kiến thức vành, iđêan, A-môđun M, đồng cấu A-môđun, tôpô đầy đủ, lọc, dãy khớp, giới thiệu cho người đọc biết định nghĩa vành phân bậc, môđun phân bậc tính chất chúng Nội dung luận văn chia thành chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương đưa khái niệm mệnh đề sử dụng chương Chương 2: Một số tính chất vành môđun phân bậc Chương đưa định nghĩa vành phân bậc, môđun phân bậc, vành phân bậc liên kết, tính chất liên quan chứng minh Dù cố gắng nhiều hạn chế nhận thức, nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp, xây dựng Thầy bạn để luận văn hoàn chỉnh Bảng ký hiệu Ký hiệu a−1 A/I a ¯ x1 , x2 , , xn AnnJ A AssA (M ) S −1 A AP HomA (M, N ) M∼ =N Ý nghĩa Phần tử đảo a Vành thương A theo I Lớp tương đương a + I Iđêan sinh tập {x1 , x2 , , xn } Linh hóa tử iđêan J Căn Jacobson vành A Tập hợp iđêan nguyên tố liên kết với M Vành thương vành A Vành địa phương P Tập hợp tất đồng cấu từ M đến N Hai A−môđun M N đẳng cấu với A Cokerf Ann(M ) ∞ n=0 An Mi Đối hạt nhân đồng cấu f Linh hóa tử môđun M Tổng trực tiếp họ vành An Tổng trực tiếp họ A−môđun (Mi )i∈I i∈I M N Tích tenxơ A−môđun M N A lim An ←− G Giới hạn ngược họ A−môđun An Đầy đủ nhóm tôpô G Chương Kiến thức sở 1.1 Vành Định nghĩa 1.1.1 Vành tập A = ∅, xác định hai phép toán hai ngôi: ký hiệu theo lối cộng, lại ký hiệu theo lối nhân thỏa: i) (A; +) nhóm giao hoán với phần tử trung hòa ii) Phép nhân A có tính chất kết hợp nghĩa là: ∀a, b, c ∈ A : a(bc) = (ab)c iii) Phép nhân phân phối phép cộng nghĩa là: ∀a, b, c ∈ A : a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca Khi phép nhân vành A có tính chất giao hoán nghĩa ∀a, b ∈ A : ab = ba, ta gọi vành A vành giao hoán Khi phép nhân vành A có thêm đơn vị nghĩa ∀a ∈ A : 1a = a, ta gọi vành A vành có đơn vị Trong suốt luận văn này, ta xem A vành giao hoán có đơn vị Định nghĩa 1.1.2 Cho vành A Tập S ⊂ A gọi vành vành A i) ∈ S ii) ∀x, y ∈ S: x − y ∈ S iii) ∀x, y ∈ S: x.y ∈ S Định nghĩa 1.1.3 Một phần tử a thuộc vành A gọi khả nghịch ∃ b ∈ A : ab = Phần tử b gọi phần tử đảo a ký hiệu a−1 Định nghĩa 1.1.4 Cho hai vành A B Một ánh xạ f : A −→ B gọi đồng cấu vành nếu: i) ∀x, y ∈ A: f (x + y) = f (x) + f (y) f (xy) = f (x)f (y) ii) f (1) = Định nghĩa 1.1.5 • Đồng cấu vành f gọi đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) f đơn ánh (toàn ánh, song ánh) • Nếu có đẳng cấu vành từ vành A đến vành B ta nói hai vành A B đẳng cấu với nhau, ký hiệu A ∼ = B • Tập Imf = f (A) gọi ảnh đồng cấu f • Tập Kerf = {x ∈ A|f (x) = 0} gọi hạt nhân đồng cấu f Mệnh đề 1.1.1 • Imf vành B Đồng cấu vành f toàn cấu chi Imf = B • Đồng cấu vành f đơn cấu Kerf = {0} 1.2 Iđêan Định nghĩa 1.2.1 Cho vành A, tập I = ∅ A iđêan A ∀a, b ∈ I : a − b ∈ I ∀x ∈ A, ∀a ∈ I : ax ∈ I Định nghĩa 1.2.2 Iđêan A mà khác A gọi iđêan thật A Định nghĩa 1.2.3 Cho I iđêan vành A Quan hệ hai ∼ xác định A: ∀a, b ∈ A a ∼ b ⇔ a − b ∈ I, quan hệ tương đương Tập thương A/∼ ghi A/I , lớp tương đương với đại diện a ∈ A ghi a + I Khi đó, tập thương A/I có cấu trúc vành với hai phép toán: • Phép cộng: ∀ a + I, b + I ∈ A/I (a + I) + (b + I) = (a + b) + I • Phép nhân: ∀ a + I, b + I ∈ A/I (a + I).(b + I) = (ab) + I Định nghĩa 1.2.4 Cho I iđêan vành A Ánh xạ p : A −→ A/I a −→ a + I toàn cấu vành Ta gọi toàn cấu tắc từ A lên vành thương A/I Hạt nhân p iđêan I Ký hiệu lớp a + I a ¯ Mệnh đề 1.2.1 Cho đồng cấu vành f : A −→ B Khi ta có A/Kerf ∼ = Imf Định nghĩa 1.2.5 Một iđêan gọi hữu hạn sinh sinh tập hữu hạn T = {x1 , x2 , , xn } Ký hiệu < x1 , x2 , , xn > Mệnh đề 1.2.2 Cho hai iđêan I J vành A Khi tập sau iđêan A: I + J = {x + y|x ∈ I, y ∈ J} xi yj |xi ∈ I, yj ∈ J IJ = hh (I : J) = {x ∈ A|xJ ⊂ I} rad (I) = {x ∈ A|∃n ∈ N\ {0} xn ∈ I} Định nghĩa 1.2.6 Iđêan IJ gọi tích hai iđêan I J Tổng quát ta có khái niệm lũy thừa iđêan I: I := A, I := I, I , , I n , Và hiển nhiên I ⊃ I ⊃ I ⊃ ⊃ I n ⊃ Định nghĩa 1.2.7 Iđêan rad(I) gọi iđêan I Định nghĩa 1.2.8 (0 : J) = {x ∈ A|xJ = 0} gọi linh hóa tử J, ký hiệu Ann(J) Định nghĩa 1.2.9 Cho vành A Iđêan I A gọi iđêan nguyên tố ab ∈ I a ∈ I b ∈ I Iđêan I A gọi iđêan tối đại I iđêan thật A không bị chứa iđêan thật khác I Mệnh đề 1.2.3 Cho iđêan I vành A Khi đó: I iđêan nguyên tố ⇔ vành thương A/I miền nguyên I iđêan tối đại ⇔ A/I trường Bổ đề 1.2.1 (Bổ đề Zorn) Cho (X, ≤) tập thứ tự Khi ta định nghĩa: • Cận tập T ⊂ X phần tử a ∈ X thỏa x a, ∀x ∈ T • Một dây chuyền X tập T ⊂ X thỏa ∀x, y ∈ T x y x y hay • Phần tử tối đại X phần tử a ∈ X cho ∀x ∈ X, a x ⇒ a = x Bổ đề Zorn: Nếu dây chuyền tập thứ tự khác rỗng có chứa phần tử tối đại có cận Mệnh đề 1.2.4 • Cho iđêan I iđêan nguyên tố P1 , P2 , , Pn vành A n Nếu I ⊂ Pi I ⊂ Pi với i i=1 • Cho iđêan I1 , I2 , , In iđêan nguyên tố P vành A n n Ii P ⊃ Ii với i đó, P = Nếu P ⊃ i=1 Ii P = Ii i=1 với i Định nghĩa 1.2.10 Vành có iđêan tối đại gọi vành địa phương Định nghĩa 1.2.11 Iđêan giao tất iđêan tối đại vành A gọi Jacobson vành A Ký hiệu A Mệnh đề 1.2.5 x ∈ A ⇔ − xy khả nghịch A, ∀y ∈ A Định nghĩa 1.2.12 Vành A vành Nơte A thỏa điều kiện sau: i) Mọi dãy tăng iđêan A dừng ii) Mọi họ khác rỗng iđêan A có phần tử tối đại iii) Mọi iđêan A hữu hạn sinh Mệnh đề 1.2.6 Cho A vành Nơte I iđêan A Khi A/I vành Nơte Hệ 1.2.1 Nếu A vành Nơte f : A −→ B toàn cấu vành B vành Nơte Định lí 1.2.1.(Định lí Hilbert bản) Nếu A vành Nơte vành đa thức A[x] vành Nơte Do A vành Nơte vành đa thức A[x1 , , xn ] vành Nơte Định nghĩa 1.2.13 Một iđêan thật Q vành A gọi iđêan nguyên sơ ∀x, y ∈ A xy ∈ Q x ∈ / Q ⇒ ∃n : y n ∈ Q hay ∀x, y ∈ A xy ∈ Q x ∈ / Q ⇒ y ∈ rad(Q) Định nghĩa 1.2.14 Nếu Q iđêan nguyên sơ P = rad(Q) ta gọi iđêan Q P −nguyên sơ Mệnh đề 1.2.7 Nếu rad(I) tối đại I nguyên sơ Đặc biệt lũy thừa iđêan tối đại m m−nguyên sơ 10 Do An ⊂ A Suy A ⊂ A Mặt khác A ⊂ A nên A = A ii) ⇒ i) Theo định lí Hilbert A0 [x1 , x2 , , xs ] vành Nơte từ suy A vành Nơte Mệnh đề 2.4.5 Cho A vành Nơte phân bậc M A−môđun phân bậc, iđêan nguyên tố liên kết P M iđêan phân bậc tồn phần tử x M cho P = Ann(x) Chứng minh Lấy P ∈ Ass(M ) P = Ann(x), x ∈ M Viết x = xe + xe−1 + + x0 , xi ∈ Mi Đặt f = fr + fr−1 + + f0 ∈ P, fi ∈ Ai Ta có: = f x = fr xe + (fr−1 xe + fr xe−1 ) + + ( fi xj ) + + f0 x0 i+j=p Do fr xe = 0, fr−1 xe + fr xe−1 = 0, , fr−e xe + + fr x0 = (Ta đặt fi = 0, ∀i < 0) Suy fre xi = 0, ∀ i e Do fre x = 0, fre ∈ P ⇒ fr ∈ P Bằng phép quy nạp giảm ta thấy fi P P iđêan phân bậc e Vì P ⊂ Ann(xi ), ∀i P = Ann(xi ) i=0 Vì P nguyên tố nghĩa ∃i : P = Ann(xi ) Bổ đề 2.4.1 Cho A vành Nơte, M A−môđun hữu hạn sinh, (Mn ) I−lọc M Khi mệnh đề sau tương đương: i) M A −môđun hữu hạn sinh ii) Lọc (Mn ) ổn định Chứng minh Mỗi Mn hữu hạn sinh (do Mn ⊂ M A−môđun Nơte) n Đặt Qn = r=0 Mr Qn nhóm M hữu hạn sinh Qn sinh A −môđun M là: 29 Mn = M0 ⊕ ⊕ Mn ⊕ IMn ⊕ I Mn ⊕ ⊕ I r Mn ⊕ Vì Qn A−môđun hữu hạn sinh nên Mn A −môđun hữu hạn sinh Ta có dãy tăng mô đun hữu hạn sinh M : M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mn ⊂ Dãy có hợp M Do A vành Nơte nên A vành Nơte, đó: M A −môđun hữu hạn sinh ⇔ Dãy dừng ⇔ M = Mn0 với n0 ⇔ Mn0 +r = I r Mn0 ∀r ⇔ Lọc (Mn ) ổn định Bổ đề 2.4.2 (Bổ đề Artin - Rees) Cho A vành Nơte, I iđêan A, M A−môđun hữu hạn sinh, (Mn ) I−lọc ổn định M Nếu M môđun M M ∩ Mn I−lọc ổn định M Chứng minh (Mn ) lọc nên ta có chuỗi M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn ⊃ với Mn môđun M Mặt khác M môđun M nên ta có chuỗi: M ∩ M0 ⊃ M ∩ M1 ⊃ ⊃ M ∩ Mn ⊃ với M ∩ Mn môđun M Vậy M ∩ Mn lọc Ta có I(M ∩ Mn ) ⊂ IM ∩ IMn ⊂ M ∩ Mn+1 , ∀n Do M ∩ Mn I−lọc M Do (Mn ) I−lọc ổn định nên theo bổ đề 2.4.1 ta có M = n Mn A −môđun hữu hạn sinh Vì A Nơte nên M A −môđun Nơte M A−môđun (M ∩ Mn ) I−lọc M nên (M ) = n (M ∩ Mn ) A −môđun phân bậc môđun M Do (M ) A −môđun hữu hạn sinh ⇒ (M ∩ Mn ) I−lọc ổn định (theo bổ đề 2.4.1) Trong bổ đề 2.4.2, chọn lọc Mn = I n M ta thu dạng hay dùng bổ đề Artin - Rees 30 Hệ 2.4.1 Tồn số tự nhiên k cho (I n M ) ∩ M = I n−k ((I k M ) ∩ M ) ∀n Chứng minh Do I n M I−lọc ổn định nên tồn số nguyên k đủ lớn cho I k M I-lọc ổn định Áp dụng bổ đề 2.4.2 ta có (I k M ) ∩ M I−lọc ổn định Khi ta có (I n M ) ∩ M = I n−k ((I k M ) ∩ M ) Định lí 2.4.1 Cho A vành Nơte, I iđêan A, M A−môđun hữu hạn sinh M môđun M Khi lọc I n M (I n M ) ∩ M sai phân bị I n+k M ⊂ (I n M ) ∩ M chặn tức tồn số nguyên dương k cho (I n+k M ) ∩ M ⊂ I n M Đặc biệt I−tôpô M trùng với tôpô cảm sinh I−tôpô M Chứng minh Do I n M I−lọc ổn định M M môđun M nên theo bổ đề 2.4.2 ta có (I n M ) ∩ M I−lọc ổn định M Vậy I n M (I n M ) ∩ M I−lọc ổn định M ∀x ∈ I n M ⇒ x = ay y, ay ∈ I n ⊂ A y∈M ay ∈ I n ⊂ A, y ∈ M Do ⇒ x∈M n ⇒ x ∈ (I n M ) ∩ M y∈M ⊂M x∈I M n ⇒ I M ⊂ (I M ) ∩ M Mặt khác theo hệ 2.4.1 ta có (I n M ) ∩ M = I n−k (I k M ∩ M ) ⊂ I n−k M ⇒ I n M ⊂ (I n M ) ∩ M ⊂ I n−k M I n+k M ⊂ I n M ⊂ (I n M ) ∩ M ⇒ Tồn số nguyên dương k cho (I n+k M ) ∩ M ⊂ I n M Do I−tôpô M xác định I−lọc ổn định I n M I−tôpô M cảm sinh I−tôpô M (tức xác định I−lọc ổn định (I n M ) ∩ M ) trùng n 31 k Mệnh đề 2.4.6 Cho −→ M −→ M −→ M −→ dãy khớp môđun hữu hạn sinh vành Nơte A I iđêan A Khi dãy đầy đủ I−adic −→ M −→ M −→ M −→ khớp Chứng minh Ta xem M = M/M tức dãy −→ M −→ M −→ M/M −→ khớp Do ta cần chứng minh dãy −→ M −→ M −→ M/M −→ khớp Xét dãy f g −→ M /(I n M )∩M −→ M/I n M −→ (M/M )/(I n M ) + M = M/(I n M ) + M −→ Trong f : M /(I n M ) ∩ M −→ M/I n M m + (I n M ) ∩ M M/ n g: −→ I M −→ m + I n M M/ n (I M ) + M m + (I n M ) −→ m + (I n M ) + M Dễ kiểm tra quy tắc f, g A−đồng cấu Kerf = {m + (I n M ) ∩ M |m + I n M = + I n M } = {m + (I n M ) ∩ M |m ∈ I n M } = {0 + (I n M ) ∩ M } ⇒ f đơn cấu Hiển nhiên g toàn cấu Imf = f (m + (I n M ) ∩ M )|m + (I n M ) ∩ M ∈ M /(I n M ) ∩ M = {m + I n M |m ∈ M } Kerg = {m + I n M |m + (I n M ) + M = + I n M + M } = {m + I n M |m ∈ M } ⇒ Imf = Kerg f g Dãy −→ M /(I n M ) ∩ M −→ M/I n M −→ (M/M )/(I n M ) + M −→ ( ) khớp 32 Áp dụng mệnh đề 1.7.3 hệ toàn cấu ( ) ta dãy M −→ limM /(I n M ) ∩ M −→ limM/I n M −→ lim( /M )/(I n M ) + M −→ ←− ←− ←− khớp Suy −→ M −→ M −→ M/M −→ khớp Vì ta có đồng cấu tự nhiên A −→ A nên ta xem A A−đại số A−môđun M ta hình thành A−môđun A ⊗A M Bây đồng cấu A−môđun M −→ M xác định đồng cấu A−môđun A ⊗A M −→ A ⊗A M −→ A ⊗A M = M Mệnh đề 2.4.7 Đối với vành A M hữu hạn sinh A A M −→ M toàn cấu Hơn A vành Nơte A A M −→ M đẳng cấu Chứng minh Dùng hệ 1.7.1 rõ ràng đầy đủ I−adic giao hoán chuyển mạch với tổng trực tiếp hữu hạn Do F ∼ = An ta có A A F ∼ = F Bây giả thiết M hữu hạn sinh ta có dãy khớp −→ N −→ F −→ M −→ Ta có sơ đồ giao hoán A AN A AF γ N A AM α β F δ M Mà dòng khớp (do mệnh đề 1.7.5) Do hệ 1.7.1 δ toàn cấu Vì β đẳng cấu nên suy α toàn cấu Giả thiết A vành Nơte N hữu hạn sinh Do γ toàn cấu mệnh đề 2.4.6 dòng khớp Theo dõi biểu đồ ta có α đơn cấu α đẳng cấu 33 Mệnh đề 2.4.8 Nếu A vành Nơte, A đầy đủ I−adic thì: i) I = AI ∼ =A A I; ii) (I n ) = (I)n ; iii) I n /I n+1 ∼ = I n /I n+1 ; iv) I chứa Jacobson A Chứng minh i) Vì A Nơte nên I hữu hạn sinh Từ mệnh đề 2.4.7 suy ánh xạ A ⊗A I −→ I mà ảnh AI đẳng cấu ii) Áp dụng i) cho I n ta có (I n ) = AI n = (AI)n = (I)n n iii) Áp dụng hệ 1.7.2 ta có A/I n ∼ = A/I Bằng cách lấy thương ta iii) iv) Với ii) mệnh đề 1.7.4 ta có A đầy đủ I−tôpô Do ∀x ∈ I : (1 − x)−1 = + x + x2 + hội tụ A − x khả nghịch Từ mệnh đề 1.2.5 suy I chứa Jacobson A Mệnh đề 2.4.9 Cho A vành Nơte địa phương, m iđêan tối đại Khi đầy đủ m−adic A A vành địa phương với iđêan tối đại m Chứng minh Theo mệnh đề 2.4.8 iii) ta có A/m ∼ = A/m Do A/m trường m iđêan tối đại A Mặt khác theo mệnh đề 2.4.8 iv) m nằm Jacobson A Suy m iđêan tối đại A Vì A vành địa phương Định lí 2.4.2 Cho A vành Nơte, I iđêan, M A−môđun hữu ∞ hạn sinh M đầy đủ I−adic M Khi hạt nhân E = n=1 I n M đồng cấu tự nhiên ϕ : M −→ M tập tất phần tử x ∈ M mà x bị linh hóa phần tử + I 34 Chứng minh Đặt E = {x ∈ M |∃a ∈ I : (1 + a)x = 0} ⇒) Theo hệ 2.4.1 tồn k ∈ N để I n−k ((I k M ) ∩ E) = (I n M ) ∩ E ∀k, n ∈ N Với n đủ lớn thì: E = (I n M ) ∩ E = I n−k ((I k M ) ∩ E) ⊂ IE ⊂ E ⇒ IE = E Ta có A Nơte, M A−môđun hữu hạn sinh nên hạt nhân E A−môđun hữu hạn sinh (1) Mặt khác: IE = E với I iđêan A (2) Từ (1) (2) suy ∃ u ≡ (mod I) cho uE = (do hệ 1.4.3) Tức ∃ u = + a với a ∈ I làm cho (1 + a)E = ⇐) Giả sử ∃ a ∈ I, x ∈ M mà (1 + a)x = Ta chứng minh x ∈ E Thật từ (1 + a)x = ⇒ x = −ax = −a(−ax) = a2 x = a2 (−ax) = −a3 x = a4 x = ⇒ x ∈ I n M, ∀n ∞ ⇒ x ∈ n=1 I n M = E Định lí 2.4.2 có nhiều hệ quả: Hệ 2.4.2 Cho A miền Nơte, I = (1) iđêan A Khi In = Chứng minh Gọi ϕ : A −→ A Theo định lí 2.4.2 ta có Kerϕ = I n Ta chứng minh I n = Theo định lí 2.4.2 I n tập tất phần tử x ∈ A mà x bị linh hóa phần tử (1 + I) Giả sử = x ∈ I n ⇒ x bị linh hóa + a với a ∈ I tức (1 + a)x = ⇒ x = −ax ∈ I ⇒ I = A (vô lý) ⇒ x = Vậy I n = 35 Hệ 2.4.3 Cho A vành Nơte, I iđêan A chứa Jacobson J A cho M A−môđun hữu hạn sinh Khi I−tôpô M Hausdorff Chứng minh Để chứng minh I−tôpô M Hausdorff ta chứng minh I n M = Ta có đồng cấu ϕ : M −→ M Với M đầy đủ I−adic M Ta có Kerϕ = I n M Theo định lí 2.4.2 ∀x ∈ I n M ⊂ M linh hóa phần tử thuộc (1 + I) Giả sử x ∈ I n M bị linh hóa + a với a ∈ I tức (1 + a)x = Mà a ∈ I ⊂ J ⇒ + a khả nghịch (theo mệnh đề 1.2.5) ⇒ (1 + a)−1 (1 + a)x = ⇒ 1.x = ⇒ x = Vậy I n M = Ta có trường hợp đặc biệt quan trọng hệ 2.4.3 Hệ 2.4.4 Cho A vành Nơte địa phương, m iđêan tối đại nó, M A−môđun hữu hạn sinh Khi m−tôpô M Hausdorff Đặc biệt m−tôpô A Hausdorff Chứng minh Vì A vành Nơte địa phương nên m iđêan tối đại A suy m = J(A) Theo hệ 2.4.3 ta có m−tôpô M Hausdorff Hiển nhiên ta có m−tôpô A Hausdorff (vì A A−môđun hữu hạn sinh) Hệ 2.4.5 Cho A vành Nơte, P iđêan nguyên tố A Khi giao tất iđêan P −nguyên sơ A hạt nhân đồng cấu ϕ : A −→ AP 36 Chứng minh Do AP vành Nơte địa phương nên AP có iđêan tối đại m = S −1 P Do m iđêan tối đại nên theo mệnh đề 1.2.7 mi iđêan m−nguyên sơ AP ∀i Ta lại có AP vành Nơte địa phương, AP có iđêan cực đại m nên theo hệ 2.4.4 suy m−tôpô AP Hausdorff tức mi = Mặt khác mi iđêan m−nguyên sơ AP ∀i Suy giao tất iđêan m−nguyên sơ AP ( ) Xét đồng cấu ϕ : A −→ AP a a −→ Lấy a ∈ Kerϕ ⇒ ϕ(a) = a ⇒ = ∈ mi 1 a ⇒ ∈ mi , ∀i Theo mệnh đề 1.3.3 có tương ứng một-một iđêan P −nguyên sơ A với iđêan m−nguyên sơ AP , tức là: Mỗi Qi iđêan P −nguyên sơ A tương ứng với mi iđêan m−nguyên sơ AP • Chứng minh Kerϕ ⊂ Qi a Ta có ∈ mi , ∀i ⇒ a ∈ Qi ∀i ⇒ a ∈ Qi , Qi iđêan P −nguyên sơ A Suy Kerϕ ⊂ Qi • Chứng minh Qi ⊂ Kerϕ Lấy a ∈ Qi , Qi iđêan P −nguyên sơ A ⇒ a ∈ Qi , ∀i a ⇒ ∈ S −1 Qi , ∀i a ⇒ ∈ S −1 Qi Lại có Qi iđêan P −nguyên sơ A nên S −1 Qi iđêan m−nguyên sơ AP a Theo ( ) giao tất iđêan m−nguyên sơ AP nên ∈ S −1 Qi = 37 ⇒ a ∈ Kerϕ ⇒ Qi ⊂ Kerϕ Vậy Qi = Kerϕ Mệnh đề 2.4.10 Cho A vành Nơte, I iđêan A Khi đó: i) GI (A) vành Nơte; ii) GI (A) GI (A) vành phân bậc đẳng cấu với nhau; iii) Nếu M A−môđun hữu hạn sinh Mn I−lọc ổn định M , G(M ) GI (A)−môđun phân bậc hữu hạn sinh Chứng minh i) Vì A vành Nơte nên I hữu hạn sinh Giả sử I sinh x1 , x2 , , xs Gọi x¯i ảnh xi I/I G(A) = (A/I) [¯ x1 , x¯2 , , x¯s ] Vì A vành Nơte nên A/I vành Nơte Theo định lí Hilbert ta có G(A) vành Nơte n n+1 ii) Theo mệnh đề 2.4.8 iii) ta có I n /I n+1 ∼ = I /I ∞ ∞ Do GI (A) = I n /I n+1 ∼ I n /I n+1 = G A = n=0 I n=0 iii) Vì (Mn ) I−lọc ổn định nên tồn n0 cho Mn0 +r = I r Mn0 , ∀r Vì G(M ) sinh n n0 Gn (M ) Vì M A−môđun hữu hạn sinh, A vành Nơte nên M Nơte Do Gn (M ) = Mn /Mn+1 A−môđun Nơte bị linh hóa I nên Gn (M ) A/I−môđun hữu hạn sinh Do n n0 Gn (M ) (xem A/I−môđun) sinh hữu hạn phần tử Vậy G(M ) G(A)−môđun hữu hạn sinh Bổ đề 2.4.3 Cho φ : A −→ B đồng cấu nhóm lọc nghĩa φ(An ) ⊂ Bn G(φ) : G(A) −→ G(B), φ : A −→ B đồng cấu cảm sinh nhóm đầy đủ phân bậc liên kết Khi i) G(φ) đơn cấu ⇒ φ đơn cấu; ii) G(φ) toàn cấu ⇒ φ toàn cấu 38 Chứng minh Xét sơ đồ giao hoán dãy khớp An /An+1 A/An+1 αn+1 Gn (φ) Bn /Bn+1 B/Bn+1 A/An αn B/Bn Từ ta có dãy khớp: −→ KerGn (φ) −→ Kerαn+1 −→ Kerαn −→ CokerGn (φ) −→ Cokerαn+1 −→ Cokerαn −→ Bằng quy nạp theo n ta có Kerαn = (trường hợp i)) Cokerαn = (trường hợp ii)) Hơn trường hợp ii) ta có Kerαn+1 −→ Kerαn toàn cấu Lấy giới hạn ngược đồng cấu αn áp dụng mệnh đề 1.7.3 ta kết Mệnh đề 2.4.11 Cho A vành, I iđêan A M A−môđun (Mn ) I−lọc M Giả sử A đầy đủ I−tôpô, M Hausdorff (nghĩa n Mn = 0) G(M ) G(A)−môđun hữu hạn sinh Khi M A−môđun hữu hạn sinh Chứng minh Lấy tập sinh hữu hạn G(M ) tách chúng thành thành phần ξi (1 i v) với ξi có bậc n(i) Khi ảnh chúng sinh xi ∈ Mn(i) r Đặt F i môđun A với I−lọc ổn định cho Fki = I k+n(i) đặt F = i=1 F i Khi ánh xạ biến F i thành xi xác định đồng cấu nhóm lọc φ : F −→ M G(φ) : G(F ) −→ G(M ) đồng cấu G(A)−môđun Hơn G(φ) toàn cấu theo bổ đề 2.4.3 ii) φ toàn cấu Xét biểu đồ giao hoán 39 F φ α M β F φ M Bởi A xem A−môđun tự nên F tự Do A = A nên α đẳng cấu Vì M Hausdorff nên β đơn cấu Do βφ = φα nên βφ toàn cấu Mặt khác β đơn cấu nên φ toàn cấu Điều chứng tỏ x1 , x2 , , xr tập sinh M Hệ 2.4.6 Với giả thiết mệnh đề 2.4.11, G(M ) G(A)−môđun Nơte M A−môđun Nơte Chứng minh Ta cần chứng minh môđun M M hữu hạn sinh Đặt Mn = M ∩ Mn Khi (Mn ) I−lọc M , phép nhúng Mn −→ Mn cho ta đơn cấu Mn /Mn+1 −→ Mn /Mn+1 Do có phép nhúng G(M ) G(M ) Vì G(M ) Nơte nên G(M ) hữu hạn sinh Ta có Mn ⊂ Mn = ⇒ M Hausdorff Theo mệnh đề 2.4.11 ta có M hữu hạn sinh Định lí 2.4.3 Nếu A vành Nơte, I iđêan A đầy đủ I−adic A A Nơte Chứng minh Theo mệnh đề 2.4.10 ta có GI (A) = GI (A) Nơte Áp dụng hệ 2.4.6 cho vành đầy đủ A, lấy M = A (được lọc I n Hausdorff) 40 Kết luận Tóm lại, kết luận văn gồm phần sau: 1) Hệ thống lại kiến thức cở sở vành, iđêan, vành thương, môđun, tôpô đầy đủ, lọc, dãy khớp 2) a) Định nghĩa vành phân bậc, môđun phân bậc, vành phân bậc liên kết b) Trình bày tính chất vành phân bậc, môđun phân bậc, cụ thể: • Cho vành phân bậc A Các mệnh đề sau tương đương i) A vành Nơte ii) A0 vành Nơte A đại số hữu hạn sinh A0 • Cho A vành Nơte, M A−môđun hữu hạn sinh, (Mn ) I−lọc M Khi mệnh đề sau tương đương: i) M A −môđun hữu hạn sinh ii) Lọc (Mn ) ổn định • Tính chất Nơte bảo toàn vành phân bậc liên kết điều kiện để G(M ) hữu hạn sinh thể qua mệnh đề sau: Cho A vành Nơte, I iđêan A Khi đó: i) GI (A) vành Nơte; ii) GI (A) GI (A) vành phân bậc đẳng cấu với nhau; Mệnh đề 2.4.4 đề 2.4.1 Mệnh đề 2.4.10 Bổ 41 iii) Nếu M A−môđun hữu hạn sinh Mn I−lọc ổn định M , G(M ) GI (A)−môđun phân bậc hữu hạn sinh • Mệnh đề sau cho ta điều kiện để từ tính chất hữu hạn sinh (tính chất Nơte) G(M ) suy ngược lại tính chất hữu hạn sinh (tính chất Nơte) M : Cho A vành, I iđêan A M A−môđun (Mn ) I−lọc M Giả sử A đầy đủ I−tôpô, M Hausdorff i) Nếu G(M ) G(A)−môđun hữu hạn sinh M A−môđun hữu hạn sinh ii) Nếu G(M ) G(A)−môđun Nơte M A−môđun Nơte • Nếu A vành Nơte, I iđêan A đầy đủ I−adic A A Nơte Vì thời gian khả có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót số vấn đề chưa làm sáng tỏ Tôi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn hoàn chỉnh Mệnh Định đề 2.4.11 & Hệ 2.4.6 lí 2.4.3 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh: [ ] M.F.Atiyah and I.G.Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addition Wesley [ ] H.Matsumura (1980), Commutative Algebra, Second Edition, Benjamin, Reading Tiếng Việt: [ ] Dương Quốc Việt (2008), Lý thuyết chiều, Nhà xuất Đại học sư phạm Hà Nội [ ] Hoàng Xuân Sính (1972), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [ ] Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia TPHCM 43 [...]... khớp với mọi A môđun N (trong đó 1 là ánh xạ đồng nhất IdN ) 23 Chương 2 Một số tính chất của vành và môđun phân bậc 2.1 Vành phân bậc Định nghĩa 2.1.1 Một vành phân bậc là vành A cùng với họ (An )n 0 các nhóm ∞ con của nhóm cộng A sao cho A = n=0 An và Am An ⊂ Am+n , ∀m, n 0 Nhận xét 2.1.1 Cho A = ∞ n=0 An là một vành phân bậc Khi đó: i) A0 là vành con của A Vì A0 là nhóm con của A và A0 A0 ⊂ A0 nên... sau là tương đương: i) Môđun con N là thừa nhận được ii) Môđun con N là phân bậc iii) Môđun con N sinh bởi tập những phần tử thuần nhất của M Mệnh đề 2.4.3 i) Nếu I là một iđêan phân bậc của một vành phân bậc A thì vành thương A/I cũng là một vành phân bậc ii) Nếu N là môđun con phân bậc của một môđun phân bậc M thì M/N cũng là A môđun phân bậc và M/N = Mn /N ∩ Mn Chứng minh Ta chứng minh i) còn việc... thuần nhất bậc n Khi đó A là vành phân bậc ∞ Định nghĩa 2.1.2 Cho một vành phân bậc A: A = n=0 An Mỗi phần tử x được gọi là phần tử thuần nhất nếu tồn tại n sao cho x ∈ An và ta nói bậc của x bằng n 24 Định nghĩa 2.1.3 Cho một vành phân bậc A: A = ∞ A gọi là vành con phân bậc nếu S = n=0 (S ∩ An ) ∞ n=0 An Vành con S của Định nghĩa 2.1.4 Cho một vành phân bậc A: A = ∞ A được gọi là iđêan phân bậc nếu... và ta nói bậc của x bằng n Định nghĩa 2.2.3 Cho M, N là một A môđun phân bậc Một đồng cấu của A môđun phân bậc là một A−đồng cấu f : M −→ N thỏa mãn f (Mn ) ⊂ Nn , ∀n 0 Định nghĩa 2.2.4 Cho M là một A môđun phân bậc: M = môđun con N của M được gọi là môđun con phân bậc nếu N = 25 ∞ n=0 Mn Một ∞ n=0 (N ∩ Mn ) ∞ Định nghĩa 2.2.5 Cho M là một A môđun phân bậc: M = n=0 Mn Một môđun con N của M được... tố P của vành A Tập S = A \ P là tập con nhân của A Trong trường hợp này, vành các thương S −1 A được ký hiệu là AP 11 Định lí 1.3.1 Vành các thương của một vành Nơte là một vành Nơte Hệ quả 1.3.1 Nếu A là vành Nơte và P là iđêan nguyên tố của A thì AP là vành Nơte Mệnh đề 1.3.2 Vành AP là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất là tập hợp S −1 P := ps /p ∈ P, s ∈ S Mệnh đề 1.3.3 Cho S là một tập... thành một A môđun Khi đó B vừa có cấu trúc của môđun vừa có cấu trúc của vành Vành B được trang bị một cấu trúc A môđun được gọi là A−đại số Như vậy A−đại số là một vành B có cấu trúc của A môđun với phép nhân ngoài: ∀a ∈ A, ∀b ∈ B a.b = f (a).b Trong đó f : A −→ B là đồng cấu vành Định nghĩa 1.4.6 Một đồng cấu vành f : A −→ B là hữu hạn và B là A−đại số hữu hạn nếu B là hữu hạn sinh như A môđun Đồng... thuần nhất xn đều nằm n∈J trong N Chú ý 2.2.1 i) Cho A là vành (không nhất thiết phân bậc) I là iđêan của A Ta có thể xây ∞ dựng vành phân bậc A như sau: A = n=0 I n ii) Tương tự nếu M là A môđun và Mn là I−lọc của M Khi đó M = là A môđun phân bậc vì I m Mn ⊂ Mm+n 2.3 ∞ n=0 Mn Vành phân bậc liên kết Định nghĩa 2.3.1 Cho vành A, I là một iđêan của A ∞ Ta định nghĩa G(A)(= GI (A)) = I n /I n+1 (I 0... (I ∩ An ) ∞ n=0 An Một iđêan I của ∞ Định nghĩa 2.1.5 Cho một vành phân bậc A: A = n=0 An Một iđêan I của A được gọi là thừa nhận được nếu mỗi tập con hữu hạn J thì từ xn ∈ I với n∈J xn ∈ An , sẽ kéo theo các thành phần thuần nhất xn đều nằm trong I 2.2 Môđun phân bậc Định nghĩa 2.2.1 Cho vành phân bậc A Một A môđun phân bậc là một A môđun M cùng với họ (Mn )n 0 các nhóm con của M thỏa mãn M= ∞ n=0... biến x1 , x2 , , xs hệ số trên A0 nên y ∈ A 28 Do đó An ⊂ A Suy ra A ⊂ A Mặt khác A ⊂ A nên A = A ii) ⇒ i) Theo định lí Hilbert thì A0 [x1 , x2 , , xs ] là vành Nơte từ đó suy ra A là vành Nơte Mệnh đề 2.4.5 Cho A là một vành Nơte phân bậc và M là một A môđun phân bậc, khi đó mọi iđêan nguyên tố liên kết P của M là iđêan phân bậc và tồn tại một phần tử thuần nhất x của M sao cho P = Ann(x)... tử 0 thì có thể xem M là môđun trên bất kì vành A nào Ta gọi đó là môđun không 12 Chú ý 1.4.1: Mỗi iđêan của một vành A là một A môđun Nói riêng vành A cũng là một A môđun Định nghĩa 1.4.2 Cho M và N là hai A môđun Một ánh xạ f : M −→ N được gọi là một đồng cấu A môđun nếu: i) ∀x, y ∈ M f (x + y) = f (x) + f (y) ii) ∀a ∈ A, ∀x ∈ M f (ax) = af (x) Tập hợp tất cả đồng cấu A môđun từ M đến N được ký hiệu ... Một số tính chất vành môđun phân bậc 2.1 Vành phân bậc 2.2 Môđun phân bậc 2.3 Vành phân bậc liên kết 2.4 Tính chất vành môđun phân bậc ... cở sở vành, iđêan, vành thương, môđun, tôpô đầy đủ, lọc, dãy khớp 2) a) Định nghĩa vành phân bậc, môđun phân bậc, vành phân bậc liên kết b) Trình bày tính chất vành phân bậc, môđun phân bậc, cụ... i) Môđun N thừa nhận ii) Môđun N phân bậc iii) Môđun N sinh tập phần tử M Mệnh đề 2.4.3 i) Nếu I iđêan phân bậc vành phân bậc A vành thương A/I vành phân bậc ii) Nếu N môđun phân bậc môđun phân