Một số tính chất của vành chính quy

MỤC LỤC Trang Mởđầu 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Vành Noether 4 1.2. Phổ và giá của môđun 4 1.3. Địa phương hóa của một vành 5 1.4. Vành địa phương 5 1.5. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic 6 1.6. Chiều Krull của vành và môđun 7 1.7. Hệ tham số và dãy chính quy 8 1.8. Chiều xạ ảnh 9 1.9. Môđun hoàn chỉnh 10 1.10. Vành Cohen – Macaulay 11 1.11. Phép giải tự do tối thiểu 12 Chương 2. Một số tính chất của vành chính quy 14 2.1. Vành chính quy 14 2.2. Một số tính chất của vành chính quy 16 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 1 MỞ ĐẦU Trong toàn bộ luận văn chúng tôi luôn xét vành Noether giao hoán và có đơn vị. Một tính chất đặc sắc của vành Noether địa phương là iđêan cực đại duy nhất của nó có thể được sinh bởi một hệ tham số. Một vành giao hoán địa phương Noether R với iđêan cực đại duy nhất m được gọi là vành chính quy nếu m có thể được sinh bởi một hệ tham số. Hệ tham số đó được gọi là hệ tham số chính quy. Đối với vành Noether R không nhất thiết là vành địa phương thì R được gọi là vành chính quy nếu địa phương hóa của R tại mọi iđêan nguyên tố là vành chính quy địa phương. Điều kiện này cũng tương đương với điều kiện: địa phương hóa của R tại mọi iđêan cực đại là vành chính quy địa phương. Nếu k là một trường thì k là vành chính quy, vành các chuỗi lũy thừa hình thức n biến k § ¨ 1 , ., n x x và vành đa thức n biến k[x 1 ,…, x n ] cũng là vành chính quy. Nếu R là vành chính quy thì R là vành Gorenstein và R cũng là vành Cohen – Macaulay. Mục đích của luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo mà chủ yếu là dựa vào [5] và [7] để tìm hiểu, tổng hợp, từ đó trình bày lại khái niệm và một số tính chất của vành chính quy. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia làm 2 chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán có liên quan đến các kết quả và chứng minh ở Chương 2. Chương 2: Một số tính chất của vành chính quy. Chương này là nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa và một số 2 tính chất của vành chính quy trong cả 2 trường hợp: vành địa phương và vành không nhất thiết địa phương. Các kết quả của chương này được tổng hợp chủ yếu dựa vào [5] và [7]. Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2010 tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cũng nhân dịp này tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán và khoa Sau Đại học đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả cũng xin cảm ơn các anh, các chị và các bạn học viên trong lớp Cao học 16 - Đại số - Lý thuyết số đã giúp đỡ, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả 3 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Vành Noether 1.1.1. Định nghĩa. Vành R được gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăng các iđêan của R 0 1 2 0 .I I I ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ đều dừng, nghĩa là tồn tại số tự nhiên n sao cho n I = 1n I + =… 1.1.2. Tính chất. (i) Cho R là vành giao hoán, có đơn vị. Khi đó R là vành Noether khi và chỉ khi mọi iđêan nguyên tố của R đều hữu hạn sinh. (ii) Nếu R là vành Noether thì vành đa thức n biến [ ] 1 , ., n R x x cũng là vành Noether. (iii) Nếu R là vành Noether và p là một iđêan nguyên tố của vành R thì vành địa phương hóa R p là vành Noether. 1.2. Phổ và giá của môđun 1.2.1. Phổ của vành. (i) Iđêan p của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu p ≠ R và với mọi x, y ∈ R , xy ∈ p thì x ∈ p hoặc y ∈ p. (ii) Ký hiệu SpecR là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó SpecR được gọi là phổ của vành R. (iii) Cho I là i đêan của vành R, ký hiệu V(I) = { } |p SpecR p I ∈ ⊇ . 1.2.2. Giá của môđun. Cho M là một R-môđun. Tập hợp Supp R M = { p ∈ Spec R | M p ≠ 0} 4 được gọi là giá của môđun M. Với mỗi x ∈ M, ký hiệu ( ) { } | 0 R Ann x a R ax = ∈ = ; { } { } | 0 | 0, R Ann M a R aM a R ax x M = ∈ = = ∈ = ∀ ∈ . Ta có Ann R ( x ) và Ann R M là các iđêan của M, Ann R M được gọi là linh hoá tử của môđun M. Hơn nữa, ( ) R R Supp M V Ann M= . 1.3. Địa phương hoá của một vành 1.3.1. Định nghĩa. Cho R là một vành và S ⊂ R là một tập nhân đóng của vành R. Địa phương hóa của R tại S là vành S -1 R hay R S với một đồng cấu vành ϕ : R → R S thỏa mãn các tính chất sau: (i) ( )s ϕ là phần tử khả nghịch trong R S , s S∀ ∈ . (ii) Nếu T là một vành (giao hoán, có đơn vị) và : R T ψ → là một đồng cấu vành sao cho ( )s ψ là khả nghịch trong T, s S∀ ∈ thì tồn tại một ánh xạ duy nhất h: S R → T sao cho h ψ ϕ = o . 1.3.2. Ví dụ. 1) Nếu R là miền nguyên, S = R\{0}. Khi đó S -1 R là một trường và được gọi là trường các thương của miền nguyên R. 2) Cho p là một iđêan nguyên tố của R, khi đó S = R\p là tập nhân đóng của vành R (do p là iđêan nguyên tố). Khi đó S -1 R được ký hiệu là R p và được gọi là vành địa phương hóa của R tại iđêan nguyên tố p. 1.4. Vành địa phương 1.4.1. Định nghĩa. (i) Vành R được gọi là vành địa phương nếu R chỉ có duy nhất một iđêan cực đại m. Khi đó vành thương R/m là một trường và được gọi là 5 trường thặng dư của vành R, kí hiệu: k = R/m. Người ta thường kí hiệu (R, m, k) là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m và trường thặng dư k. (ii) Vành R được gọi là vành nửa địa phương nếu R có hữu hạn iđêan cực đại. 1.4.2. Tính chất. (i) Giả sử m là iđêan thực sự của vành R sao cho ∀ x ∈ R\m đều khả nghịch trong vành R. Khi đó R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m. (ii) Cho m là iđêan cực đại của vành R. Khi đó nếu mọi phần tử của tập hợp: 1 + m = {1 + a | a ∈ m} đều khả nghịch trong vành R thì R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất là m. 1.5. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic Cho (R, m) là vành địa phương. Ta xét R như là một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử không là các iđêan m t , t = 0, 1, 2, … . Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tử tùy ý r ∈ R gồm các lớp ghép r + m t , với t = 0, 1, 2, …. Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R kí hiệu bởi µ R được định nghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ của dãy Cauchy như sau: một dãy Cauchy trong R là một dãy (r n ) các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự nhiên n 0 để r n - r m ∈ m t với mọi m, n > n 0 . Hai dãy Cauchy (r n ) và (r m ) được gọi là tương đương, kí hiệu là (r n ) : (r m ) nếu dãy (r n - r m ) là dãy không. Khi đó quan hệ tương đương : trên tập các dãy Cauchy là quan hệ tương đương. Ta kí hiệu µ R là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy. Chú ý rằng nếu (r n ) và (r m ) là các dãy Cauchy thì các dãy (r n + r m ), (r n r m ) cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy (r n + r m ), (r n r m ) là không phụ 6 thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương đương của các dãy Cauchy (r n ) và (r m ), tức là nếu (r n ) : (r n ’ ) và (s n ) : (s n ’ ) thì (r n + s n ) : (r n ’ + s n ’ ) và (r n s n ) : (r n ’ s n ’ ). Vì thế µ R được trang bị hai phép toán hai ngôi (+) và (.), cùng với hai phép toán này, µ R lập thành một vành. Mỗi phần tử r ∈ R có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r. Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành R → µ R r a ( ) r trong đó ( ) r là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r. Định nghĩa tương tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử không là {m t M}. Khi đó ¶ M là một µ R - môđun với phép nhân vô hướng như sau: Cho a = (a 1 , a 2 , …) ∈ µ ,R x = (x 1 , x 2 , …) ∈ ¶ M . Ta có ax = (a 1 x 1 , a 2 x 2 , …) ∈ ¶ M . 1.6. Chiều Krull của vành và môđun (i) Một dãy các iđêan nguyên tố của vành R p 0 ⊃ p 1 ⊃ p 2 ⊃ … ⊃ p n được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n. (ii) Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R. Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với p 0 = p được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht(p). Nghĩa là ht(p) = sup {độ dài các xích nguyên tố với p 0 = p}. (iii) Cận trên của tất cả các độ cao của các iđêan nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dim R. Ta có dim R = sup{ht(p) | p ∈ SpecR}. 7 (iv) Cho M là R – môđun. Khi đó ( ) / R dim R Ann M được gọi là chiều Krull của R – môđun M và kí hiệu là dim R M hay dim M. Chú ý rằng dim M = dim ¶ M và dim M = max {dim R/p | p ∈ AssM}. 1.7. Hệ tham số và dãy chính quy 1.7.1. Hệ tham số. Cho M là một môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d trên vành giao hoán địa phương Noether (R, m). (i) Một hệ gồm d phần tử ( ) 1 : , ., d x x x = của m được gọi là một hệ tham số của M nếu ( ) ( ) 1 / , ., R d M x x M < +∞ l (với l ( ∗ ) là ký hiệu chỉ độ dài của R – môđun). (ii) Iđêan được sinh bởi một hệ tham số được gọi là iđêan tham số. (iii) Nếu ( ) 1 : , ., d x x x = là một hệ tham số của môđun M thì hệ các phần tử ( ) 1 , ., i x x được gọi là một phần hệ tham số với mọi i = 1, …, d. Sau đây là một số tính chất của hệ tham số. +) dim ( ) ( ) 1 / , ., i M x x M d i = − với mọi i = 1,…, d. +) x i + 1 ∉ p với ( ) ( ) 1 / , ., R i p Ass M x x M ∈ thoả mãn dim R/p = d – i, với mọi 1, ., 1i d = − . +) Nếu ( ) 1 , ., d x x x = là một hệ tham số của M và ( ) 1 , ., d n n n = là bộ gồm d số nguyên dương thì ( ) ( ) 1 1 : , ., d n n d x n x x = cũng là một hệ tham số của M. +) Nếu ( ) 1 , ., d x x x = là một hệ tham số của M thì x cũng là hệ tham số của ¶ M , trong đó ¶ M là bao đầy đủ m-adic của M. 1.7.2. Dãy chính quy. Một phần tử a ∈ R được gọi là ước của không nếu tồn tại b ∈ R, b ≠ 0 sao cho ab = 0. Một phần tử a ∈ R được gọi là chính quy trong 8 vành R nếu nó không là ước của không, trong trường hợp này luật giản ước được thực hiện đối với phần tử a. Trong Đại số hiện đại, khái niệm ước của không được mở rộng cho môđun. Tổng quát hơn, với M là một R-môđun, ta có khái niệm M-dãy chính quy, khái niệm này được sử dụng như một công cụ rất hữu ích trong Đại số giao hoán và trong Hình học đại số. Cho M là một R – môđun hữu hạn sinh. Phần tử a ∈ R được gọi là phần tử chính quy của M hay M-chính quy nếu ax 0 ≠ với mọi x ∈ M, 0x ≠ . Dãy các phần tử ( ) 1 , ., n x x của R được gọi là dãy chính quy của R – môđun M hay còn gọi là M-dãy chính quy nếu thoả mãn các điều kiện sau: (i) ( ) 1 / , ., 0 n M x x M ≠ ; (ii) x i là ( ) 1 1 / , ., i M x x M − - chính quy với mọi i = 1,…, n. 1.8. Chiều xạ ảnh 1.8.1. Phép giải xạ ảnh. (i) Một phức P • : … → P n + 1 → P n → P n – 1 → … → P 0 → 0 các R – môđun được gọi là phức xạ ảnh nếu tất các môđun trong phức đó đều là xạ ảnh. (ii) Cho M là một R – môđun. Một phép giải xạ ảnh của M là một phức xạ ảnh P • cùng với một cấu xạ e o : P o → M để phức sau là khớp … → P n + 1 → P n → P n - 1 → … → P 0 0 e → M → 0. Ký hiệu phép giải xạ ảnh trên là 0 e P M • → . 1.8.2. Chiều xạ ảnh. Cho M là một R-môđun. M có phép giải xạ ảnh P • : … → P n n ϕ → P n - 1 → … → P 1 1 ϕ → P 0 0 ϕ → M → 0 . Đặt M 0 = M và M i = Ker 1i ϕ − với i ≥ 1. Chiều xạ ảnh của môđun M ký hiệu là proj dim M, là vô hạn nếu không có môđun M i nào là xạ ảnh. 9 Ta nói proj dim M = n nếu n là số nguyên bé nhất sao cho M n là môđun xạ ảnh. Thay thế P n bởi M n ta có phép giải xạ ảnh của M có độ dài n : 1 0 n n M P − → → → … 0 0P M → → → 1.8.3. Mệnh đề. Cho (R, m) là vành địa phương Noether và M là R – môđun hữu hạn sinh. Khi đó proj dim M = Supp {i | Tor i R (M, R/m) ≠ 0 }. 1.8.4. Bổ đề. Cho (R, m, k) là vành địa phương Noether và M là một R – môđun hữu hạn sinh. Nếu x ∈ m là R-chính quy và M-chính quy thì: proj dim R M = proj dim R/(x) /M xM . 1.9. Môđun hoàn chỉnh 1.9.1. Bậc của môđun. (i) Cho I là iđêan của R sao cho IM ≠ M và {x 1 , …, x r } là một M-dãy trong I. Khi đó {x 1 , …, x r } được gọi là dãy chính quy cực đại trong I nếu không tồn tại x ∈ I sao cho {x 1 ,…, x r , x} là dãy chính quy của M. Ress (xem [5; Định lý 1.2.5]) đã chứng minh được rằng mọi dãy chính quy cực đại trong I đều có cùng độ dài là n và được xác định bởi n = min {i | i R Ext (R/I, M) ≠ 0 }. Độ dài của một dãy chính quy cực đại trong iđêan I được kí hiệu là grade(R/I, M) và được gọi là bậc của iđêan I đối với môđun M. Ta có grade(R/I, M) = ∞ ⇔ i R Ext (R/I, M) = 0 , ∀ i. Thật vậy, nếu IM = M thì Supp M ∩ Supp(R/I) = ∅ . Khi đó theo Bổ đề Nakayama ta có Supp i R Ext (R/I, M) ⊂ Supp M ∩ Supp (R/I) = ∅ . Ngược lại, nếu i R Ext (R/I, M) = 0, ∀ i thì ta được IM = M. (ii) Cho R là vành Noether và M ≠ 0 là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó bậc của M kí hiệu là grade M, được xác định bởi 10 . do tối thiểu 12 Chương 2. Một số tính chất của vành chính quy 14 2.1. Vành chính quy 14 2.2. Một số tính chất của vành chính quy 16 Kết luận 29 Tài liệu. đó I chứa một phần tử R – chính quy. 13 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUY 2.1. Vành chính quy Trước khi đi đến định nghĩa vành chính quy, ta