Một số tính chất của vành chính qui mạnh

1 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH NGUYN TH THU H MT S TNH CHT CA VNH CHNH QUI MNH LUN VN THC S TON HC Ngh An - 2013 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH NGUYN TH THU H MT S TNH CHT CA VNH CHNH QUI MNH Chuyờn ngnh: I S V Lí THUYT S Mó s: 60 46 05 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc PGS.TS NGễ S TNG Ngh An - 2013 MC LC Trang Trang ph bỡa Mc lc .2 Cỏc kớ hiu dựng lun .3 M U Chng KIN THC CHUN B 1.1 Cỏc phn t v hp c bit vnh 1.2 Vnh chớnh qui Chng MT S TNH CHT CA VNH CHNH QUI MNH .15 2.1 M rng R M 15 2.2 Vnh morphic 18 2.3 Mt s tớnh cht ca vnh chớnh qui mnh .19 KT LUN 31 TI LIU THAM KHO 32 CC K HIU DNG TRONG LUN VN Z ( R ) : Tõm ca vnh R : Tng trc tip : Tớch Tenx End R ( M ) : Vnh cỏc t ng cu ca R - mụun M W: Kt thỳc mt chng minh R M : M rng R chộo M R / I : Vnh thng It ( x ) : Linh húa t trỏi ca x I p ( x ) : Linh húa t phi ca x Rad ( R ) : Cn Jacobson ca vnh R : ng cu ( x ) : Iờan sinh bi x M U Vnh R c núi n lun ny l vnh cú n v kớ hiu v khụng nht thit l vnh giao hoỏn Khỏi nim vnh chớnh qui (Von Neumann) c gii thiu bi Von Neumann (1903 1957) l mt nh toỏn hc ngi M gc Hungari vo nm 1936 Vnh R c gi l chớnh qui nu v ch nu vi mi a R tn ti x R cho a = axa Vnh chớnh qui l lp vnh gi vai trũ quan trng i s tru tng, i s Banach v hỡnh hc hin i Mt kt qu quan trng l vnh cỏc phộp bin i tuyn tớnh ca mt khụng gian vect trờn vnh chia c l vnh chớnh qui Vnh R c gi l chớnh qui mnh (Von Neumann) nu v ch nu vi mi a R tn ti x R cho a = a x Mt vnh R l vnh chớnh qui mnh v ch nú l mt vnh chớnh qui v mi ly ng R u thuc tõm ca R Mc ớch ca lun ny l tỡm hiu v trỡnh by mt s tớnh cht ca vnh chớnh qui v vnh chớnh qui mnh Trong sut lun ny, khỏi nim chớnh qui, chớnh qui mnh c hiu theo ngha Von Neumann Lun ca chỳng tụi da trờn ti liu [3] Morphic rings as trivial extensions ca hai tỏc gi Jianlong Chen v Yiqiuang Zhou (2005) ng trờn toỏn hc Glasgow Mathematical Journal Trust s 47 trang 139 n 148 Do ú lun ca chỳng tụi cú tờn ti l : Mt s tớnh cht ca vnh chớnh qui mnh Lun c thc hin v hon thnh ti trng i hc Vinh v trng i hc Si Gũn di s gi ý v hng dn nhit tỡnh ca PGS.TS Ngụ S Tựng Nhõn dp ny, tỏc gi xin by t lũng bit n chõn thnh n Thy giỏo hng dn, ngi ó trc tip ng viờn, dỡu dt tn tỡnh, ch bo nghiờm tỳc sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Tỏc gi cng xin chõn thnh cm n Ban ch nhim khoa Toỏn, Phũng o to sau i hc, cỏc thy cụ Khoa Toỏn trng i hc Vinh, cỏc bn hc viờn Cao hc khúa 19 ti trng i hc Si Gũn ó to iu kin giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v vit lun Ngh An, thỏng nm 2013 Tỏc gi CHNG KIN THC CHUN B Trong sut lun luụn gi thit vnh l vnh giao hoỏn cú n v ký hiu v cỏc mụun l mụun trỏi unita 1.1 CC PHN T V TP HP C BIT TRONG VNH 1.1.1 nh ngha Phn t e ca vnh R c gi l phn t ly ng nu e2 = e 1.1.2 Vớ d Phn t n v v phn t l cỏc phn t ly ng, vi mi vnh cú n v R 1.1.3 Mnh Cho vnh R v e R (i) Nu e ly ng thỡ en = e, n Ơ * (ii) e ly ng v ch e ly ng 1.1.4 nh lý Nu tn ti h ly ng trc giao { e1 , e2 , , en } ca vnh R m = e1 + e2 + + en thỡ R = Re1 Re2 Ren v R = e1R e2 R en R 1.1.5 H qu Nu e l phn t ly ng ca vnh R thỡ R = Re R ( e ) v R = eR ( e ) R 1.1.6 nh ngha Phn t x ca vnh R c gi l phn t ly linh nu n Ơ * cho x n = 3 1.1.7 Vớ d Trong vnh  cỏc phn t ly linh l 2, 4, vỡ = = = 1.1.8 nh ngha Phn t x ca vnh R c gi l kh nghch trỏi nu tn ti phn t y thuc R cho yx = Phn t x ca vnh R c gi l kh nghch phi nu tn ti phn t y ' thuc R cho xy ' = Phn t x ca vnh R c gi l kh nghch nu x va kh nghch trỏi, va kh nghch phi 1.1.9 Vớ d Trong vnh  , phn t l kh nghch vỡ 3.3 = 1.1.10.nh lý Cho vnh R v u R Nu tn ti u ' v u '' thuc R cho u.u ' = v u ''.u = thỡ u ' = u '' 1.1.11.nh ngha Tõm ca vnh R l hp tt c cỏc phn t a ca R cho ar = vi mi r thuc R Tõm ca R c kớ hiu l Z ( R ) 1.1.12 Vớ d Vi R l vnh giao hoỏn thỡ R = Z ( R ) 1.1.13 Mnh Cho R l vnh Z ( R ) l vnh ca R 1.1.14 nh ngha Cho R l vnh v x R Linh húa t trỏi ca x l It ( { x} ) = { r R : rx = 0} , c vit gn l It ( x ) Tng t ta cú nh ngha linh húa t phi ca phn t x , c vit gn l I p ( x ) 1.1.15 Vớ d It ( ) = { r R : r = 0} = R 1.1.16 nh ngha Cho mụun R M Ta gi giao ca tt c cỏc mụun ti i ca R M l cn Jacobson (hay n gin l cn) ca R M v kớ hiu bi Rad ( R M ) Nu R R M khụng cú mụun ti i thỡ ta qui c Rad ( R M ) = M 1.1.17 nh lý Vi mi vnh R ta cú Rad ( RR ) = Rad ( R R) 1.1.18 nh ngha i vi vnh R , Rad ( RR ) c gi l cn Jacobson (hay n gin l cn) ca R v c vit l Rad ( R) 1.1.19 nh lý Gi s R l mt vnh, vi mi r Rad ( R ) , r kh nghch 1.2 VNH CHNH QUI 1.2.1 nh ngha Vnh R c gi l vnh chớnh qui nu v ch nu vi mi a R tn ti x R cho a = axa 1.2.2 Vớ d (1) Mi th, mi trng u l vnh chớnh qui (2) Min nguyờn l chớnh qui nu nú l mt trng (3) Cho K l mt trng Gi M n ( K ) l vnh ma trn vuụng cp n trờn K Vi mi A M n ( K ) , kớ hiu r = rank ( A) Khi ú tn ti hai ma trn kh nghch U , V cho Ir ữV 0 A =U (Vi I r l ma trn n v cp r ) I r I r Ir ữ ữV = U ữV = A Vy M n ( K ) l 0 0 0 t X = V 1U thỡ AXA = U vnh chớnh qui (4) Mi tớch trc tip ca cỏc vnh chớnh qui l chớnh qui (5) Nu V l khụng gian vect trờn vnh chia c D thỡ End DV l chớnh qui Tht vy, t R = End DV Ly f R Vỡ Im f l mt khụng gian vect ca V nờn ta cú th chn mt c s ( ei ) iJ ca nú v b sung vo ú ( ei ) iJ ' c c s ca V Vi i J chn bi cho f ( bi ) = ei v t f ' ( ei ) = bi v vi i J ' t f ' ( ei ) = Vỡ mi phộp bin i tuyn tớnh hon ton c xỏc nh bi nh ca mt c s nờn f ' R yi ei ú Bõy gi, vi mi x V ta cú f ( x ) Im f nờn f ( x ) = iJ yi D, i J iJ Do ú, ( ff ' f ) ( x ) = ff ' yi ei ữ = yi ff ' ( ei ) = yi f ( bi ) = yi ei = f ( x ) Vy, iJ iJ iJ ff ' f = f Suy R l vnh chớnh qui W 1.2.3 Mnh Trong vnh chớnh qui, phn t khụng l c ca thỡ kh nghch 10 Chng minh Gi s R l vnh chớnh qui v a R , a khụng l c ca Khi ú, tn ti x R cho a = axa Ta suy a ( xa ) = Vỡ a khụng l c ca nờn xa = hay xa = Lp lun tng t ta cng cú ( ax ) a = nờn ax = Vy a kh nghch W 1.2.4 nh lý (Von Neumann, 1936) Tõm ca vnh chớnh qui l chớnh qui Chng minh Gi s R l vnh chớnh qui v Z ( R ) = { a R ar = ra, r R} l tõm ca R a Z ( R ) a R Vỡ R l vnh chớnh qui nờn x R : a = axa kộo theo a = a x (vỡ a Z ( R ) ) Vỡ th a x Z ( R ) Do ú, z R ta cú a xz = za x nờn li suy xa z = xaaz = axaz = a xz = za x = zaax = azax = a zx hay a2 z giao hoỏn c x, vi ú x3a z = x xa z = x a zx = xxa zx = xa zx = a zx hay a z giao hoỏn c vi x3 Thờm vo ú a Z ( R ) a Z ( R ) a x3 z = x3a z = a zx3 = za x3 t y = a x3 nờn thỡ t ú y Z ( R) ta cú Li vỡ a x = a xx = ax nờn y = ax Rừ rng aya = aax a = a x a = axa = a nờn suy Z ( R ) chớnh qui W 1.2.5 Mnh Trong vnh chớnh qui giao hoỏn, mt iờan l nguyờn t v ch nú ti i Chng minh ( ) Gi s P , I l iờan ca vnh giao hoỏn R , P nguyờn t v P I , P I Vỡ P I nờn a I \ P a R \ P Vỡ R chớnh qui nờn r R : a = ara a ara = a ( ) = P Vỡ P l iờan nguyờn t nờn P I I I = R Vy P ti i ( ) Gi s I l iờan ca vnh giao hoỏn R Ta cú I nguyờn t v ch R / I l nguyờn v I ti i v ch R / I l trng Mt khỏc mt trng l nguyờn T ú suy I ti i kộo theo I nguyờn t W 20 (ii) Phn t a R l morphic phi nu v ch nu tn ti b R cho aR = I p ( b ) v bR = I p ( a ) Chng minh (i) Gi s a R l phn t morphic trỏi th thỡ tn ti ng cu : R / Ra It ( a ) t b = ( + Ra ) Ta chng minh Rb = It ( a ) Vỡ l ton cu nờn Im ( ) = It ( a ) = { r R : = 0} chng minh Rb = I ( a ) ta chng minh Rb = Im ( ) Tht vy, vi mi rb Rb, r R , tn ti r + Ra R / Ra cho ( r + Ra ) = r ( + Ra ) = rb , nờn suy rb Im ( ) Mt khỏc, vi mi y Im ( ) , tn ti nht x + Ra R / Ra cho ( x + Ra ) = y y = x ( + Ra ) = xb y Rb Ta chng minh Ra = It ( b ) Vi mi Ra ta cú rab = ( + Ra ) = r ( a + Ra ) = r ( ) = nờn It ( b ) Ngc li, vi mi y It ( b ) ta cú yb = nờn ( y + Ra ) = y ( + Ra ) = yb = Suy y + Ra Ker ( ) = , ú y Ra Gi s a l phn t R tha tn ti b R cho Ra = It ( b ) v Rb = It ( a ) ta s chng minh a l morphic trỏi Vỡ ỏnh x : R / It ( b ) Rb; r + It ( b ) a rb l ng cu nờn R / It ( b ) Rb Vỡ Rb = It ( a ) nờn Rb It ( a ) Do ú R / Ra = R / It ( b ) Rb It ( a ) Vy a l morphic trỏi (ii) Chng minh tng t (i) W 2.3 MT S TNH CHT CA VNH CHNH QUI MNH 21 2.3.1 nh ngha Vnh R c gi l chớnh qui mnh nu v ch nu vi mi a R tn ti x R cho a = a x 2.3.2 nh lý Cho R l mt vnh Cỏc mnh sau tng ng: (i) R l vnh chớnh qui mnh (ii) R l vnh chớnh qui v khụng cú phn t ly linh no khỏc khụng (iii) R l vnh chớnh qui v mi ly ng R u thuc tõm ca R Chng minh ( i ) ( ii ) Vỡ R l vnh chớnh qui mnh nờn vi mi a R , tn ti x R cho a = a x Do ú a = a x = aax = aa xx = a3 x = = a n x n , n Gi s tn ti phn t ly linh a R Suy ra, tn ti n cho a n = Vy a = a n x n1 = Ta cú iu mõu thun Vy, R khụng cú phn t ly linh no khỏc T ú ta li cú ( a axa ) = a a xa axa + axaaxa = a a axa + axa = nờn suy a = axa Vy R l vnh chớnh qui ( ii ) ( iii ) Gi s e l phn t ly ng v a l phn t bt kỡ R 2 t f = e Ta cú ( eaf ) = ea ( e ) ea ( e ) = eaf = Mt khỏc ( eaf ) = ( ea eae ) nờn ea = eae Tng t ( fae ) = ( e ) ae ( e ) ae = ae = eae Vy, ae = ea Do ú mi ly ng u thuc tõm ( iii ) ( i ) Gi s a R Vỡ R l chớnh qui nờn tn ti x R cho a = axa Vỡ ax l ly ng nờn ax thuc tõm Do ú a = a x Vy R l chớnh qui mnh W 2.3.3 H qu Cho R l chớnh qui mnh, vi mi a R , gi x R cho a = a x Khi ú: (i) a = a x = xa (ii) xa = ax (iii) t e = ax thỡ ta cú aR = eR = Re 22 Chng minh (i) Vỡ ax ly ng nờn ax thuc tõm ca R Do ú ta cú (i) (ii) Ta cú a = a x xa = xa x = ax (iii) Vỡ R chớnh qui nờn aR = eR M e thuc tõm ca R nờn eR = Re W 2.3.4 Vớ d (1) Mi vnh chớnh qui giao hoỏn l vnh chớnh qui mnh (2) Mi vnh chia c D l vnh chớnh qui mnh Tht vy, vỡ D l vnh chia c nờn D l chớnh qui Mt khỏc, D ch cú hai phn t ly ng l v Vỡ gi s e D tha e2 = e Tn ti e1 cho e1.e = e.e1 = Do ú, = e.e1 = e2e1 = e.e.e1 = e.1 = e Rừ rng v thuc tõm ca D Vy D l vnh chớnh qui mnh (3) Tớch trc tip ca cỏc vnh chia c l chớnh qui mnh (4) Cho V l khụng gian vộct trờn vnh chia c D tha DimV = Khi ú End DV l chớnh qui mnh vỡ End DV D 2.3.5 nh lý Nu R l vnh chớnh qui mnh thỡ vi mi a R , tn ti phn t kh nghch u R , cho a = aua Chng minh Gi s a R Vỡ R l vnh chớnh qui mnh nờn tn ti x R cho a = a x Khi ú ta cng cú a = axa t e = xa Ta cú e l phn t ly ng t f = e , u = ex + f , v = ea + f Ta cú v.u = ( ea + f ) ( ex + f ) = eaex + eaf + fex + f Vỡ e thuc tõm, f ly ng v af = , nờn v.u = eax + f = xaax + f = xa + f = e + f = Tng t ta cú uv = Vy: aua = a ( ex + f ) a = aexa + afa = axaxa = axa = a W 2.3.6 H qu Nu R l vnh chớnh qui mnh thỡ vi mi a R , a = v.e vi v l phn t kh nghch v e l phn t ly ng Chng minh T nh lý 2.3.5 ta cú v.e = ( ea + f ) e = eae = xaaxa = xa = a W 2.3.7 nh lý Nu R l vnh chớnh qui mnh thỡ: (i) Mi iờan chớnh trỏi (phi) u sinh bi mt ly ng (ii) Mi iờan mt phớa l iờan hai phớa 23 Chng minh (i) D thy, vỡ vnh chớnh qui mnh cng l vnh chớnh qui (ii) Gi s a R Vỡ R l vnh chớnh qui mnh nờn a = v.e vi v l phn t kh nghch v e l phn t ly ng Do ú aR = veR = vRe = Re = Rve = Ra T ú suy mi iờan mt phớa l iờan hai phớa W 2.3.8 nh lý (Armandariz, 1974) Vnh R vi n v l chớnh qui mnh nu v ch nu RM l vnh chia c vi tt c cỏc iờan ti i M ca Z ( R) Chng minh ( ) Gi s R l vnh chớnh qui mnh, M l iờan ti i Z ( R ) chng minh RM l vnh chia c ta chng minh mi phn t khỏc RM l kh nghch Ly x / s RM , x R, s Z ( R ) \ M Suy vi mi t Z ( R ) \ M ta cú t ( x.1 0.s ) hay tx Vỡ R l vnh chớnh qui nờn tn ti y R cho x = xyx Suy xy = e l phn t ly ng ú e Z ( R ) nờn e Z ( R ) Ta cú ( e ) x = ( xy ) x = x xyx = nờn e M vỡ nu ngc li thỡ ( e ) x theo lp lun trờn Suy e Z ( R ) \ M vỡ nu ngc li thỡ = e + ( e ) M l vụ lý Ta cú ( x / s ) ( sy / e ) = vỡ tn ti ( xsy.1 1.se ) = xsy se = sxy se = f Z ( R ) \ M v Tng ( sy / f ) ( x / s ) = Vy t, Z ( R ) \ M cho nu t f = yx thỡ x / s kh nghch Do ú RM l vnh chia c ( ) Ngc li, gi s RM l vnh chia c vi mi iờan ti i M ca Z ( R ) chng minh R l vnh chớnh qui mnh ta chng minh R khụng cú phn t ly linh no khỏc khụng v l vnh chớnh qui 24 Nu R cú phn t ly linh khỏc thỡ tn ti x R cho x = t I = { s Z ( R ) : sx = 0} Ta cú I vỡ I v I l iờan thc s ca Z(R) vỡ I Do ú, tn ti iờan ti i M ca Z ( R ) cho I M Khi ú, vnh chia c RM , ta cú ( x /1) = , suy x /1 = T ú li suy tn ti s Z ( R ) \ M cho sx = iu ny mõu thun vi I M Vy R khụng cú phn t ly linh no khỏc Nu R khụng l vnh chớnh qui thỡ tn ti x R cho x xzx vi mi z R Khi ú tn ti z R xzx = sx vi s Z ( R ) , chng hn vi z = thỡ ta chn s = t X { s Z ( R ) : xzx = sx, z X } Ta cú = { z R : s Z ( R ) , xzx = sx} v J = J v J nờn J l iờan thc s ca Z ( R ) Do ú, tn ti iờan ti i M ca Z ( R ) cho J M T ú suy x /1 RM vỡ vi mi s Z ( R ) \ M thỡ sx vỡ nu ngc li sx = thỡ tn ti = z X cho xzx = sx s J M (vụ lý) Vỡ RM l vnh chia c nờn x /1 kh nghch Do ú tn ti y / t RM , y R, t Z ( R ) \ M cho ( x /1) ( y / t ) = Suy tn ti u Z ( R ) \ M cho u ( xy t ) = T ú ta cú uxy = ut xuy = ut x ( uy ) x = utx ut J M (vụ lý) Vy R l chớnh qui W 2.3.9 nh lý (Pere Ara, 1996) Nu R l vnh chớnh qui mnh v R = aR + bR; a, b R thỡ tn ti r R cho a + br kh nghch Chng minh Vỡ R l vnh chớnh qui mnh nờn tn ti phn t kh nghch u v phn t y thuc R cho a = aua v b = byb , ú e = au v f = by l cỏc phn t ly ng Hn na ta cũn cú aR = eR v bR = fR Vỡ vy ta cú aR + bR = eR + fR = eR + ( e ) fR S d cú ng thc cui l vỡ 25 R = eR ( e ) R ú r R ta r = er1 + ( e ) r2 cú Suy fr = fer1 + f ( e ) r2 = efr1 + ( e ) fr2 fR eR + ( e ) fR eR + fR eR + ( e ) fR V d thy eR + ( e ) fR eR + fR (phn t ly ng vnh chớnh qui mnh thuc tõm) Vỡ ( e) R l chớnh qui nờn tn ti w R cho f = ( e ) fw ( e ) f = ( e ) fw ( e ) ( f = f v f giao hoỏn c) t g = ( e ) fw ( e ) ta cú g = g , eg = ge = v R = eR + ( e ) fR = eR + gR Do ú tn ti , R cho e + g = T ú suy e = e v g = g Vy e + g = e + ( e ) fw ( e ) = au + ( e ) byw ( e ) = au + ( au ) byw ( e ) = au + byw ( e ) aubyw ( e ) = au + byw ( e ) (au )2 byw ( e ) = au ( aubyw ( e ) ) + byw ( e ) = au ( efw ( e ) ) + byw ( e ) = Nhõn bờn phi hai v ng thc cui vi = + efw ( e ) u ta c au ( efw ( e ) ) ( + efw ( e ) ) u + byw ( e ) = a + byw ( e ) = D thy kh nghch Ta cú iu phi chng minh W 2.3.10 nh lý Nu R l mt vnh chớnh qui mnh v : R R l mt t ng cu vnh cho ( e ) = e vi mi e l ly ng R thỡ R x, / ( x ) l morphic trỏi Chng minh t S = R x, / ( x ) = = { r + sx : r , s R} Khụng mt { f = f + ( x ) : f = r + sx + a x tớnh tng quỏt ta cú + + an x n th } vit 26 S = { r + sx : r , s R} Chỳ ý rng S ta cú x = v xt = ( t ) x vi t R Nhn xột 1: Nu I l iờan trỏi hoc phi ca S v r , s R thỡ t r + sx I suy r I v sx I Tht vy: Vỡ R l vnh chớnh qui mnh nờn tn ti y R cho r = r y = ryr t e = yr thỡ ta cú e2 = e , r = re = er v rR = Rr = Re = eR Do ú, tn ti t R cho e = tr v tn ti t0 R cho e = rt0 Nu I l iờan trỏi ca S thỡ ta cú e = e = ( e tsx ) ( e + tsx ) (vỡ e thuc tõm v x = ) e = ( e tsx ) ( tr + tsx ) = ( e tsx ) t ( r + sx ) I (vỡ r + sx I , I l iờan trỏi) re I r I (vỡ r = re ) sx I Nu I l iờan phi ca S thỡ ta cú e = e2 = e + s ( t0 ) x e s ( t0 ) x = rt0 + sxt0 e s ( t0 ) x = ( r + sx ) t0 e s ( t0 ) x I r = re = er I sx I Ta chng minh xong nhn xột Bõy gi, chng minh R x, / ( x ) l morphic trỏi, ta chng minh vi mi a + bx S u l morphic trỏi Gi e R, e2 = e tha Ra = Re D thy ú Sa = Se Nhn xột 2: Tn ti g = g R tha eg = ge = cho S ( a + bx ) = S ( e + gx ) Tht vy: p dng nhn xột ta cú a + bx S ( a + bx ) a S ( a + bx ) ; bx S ( a + bx ) S ( a + bx ) = Sa + Sbx = Se + Sbx Vỡ bx = ( bx ) e + b ( e ) x nờn Sbx = Sbxe + Sb ( e ) x ú S ( a + bx ) = Se + Sb ( e ) x t b1 = b ( e ) , tn ti ly ng f R cho Rb1 = Rf Khi ú, S ( a + bx ) = Se + Sb ( e ) x = Se + Sb1 x = Se + Sfx Mt khỏc g = ( e) f thỡ g l mt ly ng v Sb1 = Sf fe = ge = eg = Vy, nờn t Hn na, 27 fg = f ( e ) f = f = f Rf = Rg Do ú Sf = Sg Vy, S ( a + bx ) = Se + Sfx = Se + Sgx = S ( e + gx ) Ta chng minh xong nhn xột Nhn xột 3: Vi e, g nhn xột 2, ta cú S ( e + gx ) = It ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) Tht vy: c + dx It ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) ta cú: ( c + dx ) ( e ) ( g ) + ( e ) x = c ( e ) ( g ) + c ( e ) x + dx ( e ) ( g ) + dx ( e ) x = c ( e ) ( g ) + c ( e ) x + d ( e ) x ( g ) + d ( e ) xx = c ( e) ( g ) + c ( e) x + d ( e) ( g ) x = c ( e ) ( g ) + [c ( e ) + d ( e ) ( g ) ]x = c ( e ) ( g ) = (1) c ( e ) + d ( e ) ( g ) = (2) Nhõn hai v ca (2) vi g ri cng vi (1) ta c: c ( e ) g + c ( e ) ( g ) = c ( e ) = c = ce (3) Nhõn hai v ca (3) vi g v s dng kt qu eg = ge = ta cú cg = Tuy nhiờn, t (2) cng suy d ( e ) ( g ) = d ( g e + eg ) = d = de + dg u = c + dg t ue + ugx + vxe + vxgx = v ue + ( ug + ve ) x v=d = ( u + vx ) ( e + gx ) = ( c + dg ) e + ( c + dg ) g + de x = Ta cú ce + ( de + dg ) x = c + dx Do ú c + dx S ( e + gx ) nờn suy It ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) S ( e + gx ) 28 Ngc li, vỡ ( e + gx ) ( e ) ( g ) + ( e ) x = nờn e + gx It ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) nờn S ( e + gx ) It ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) Ta chng minh xong nhn xột Nhn xột 4: Vi e, g nhn xột 2, ta cú It ( a + bx ) = S ( ( e) ( g ) + ( e) x ) Tht vy: t b1 v f nh chng minh nhn xột Ta cú aR = eR suy aS = eS Theo nhn xột 1, vỡ a + bx S nờn a ( a + bx ) S v bx ( a + bx ) S ú ta suy ( a + bx ) S = aS + bxS = eS + bxS = eS + e ( bx ) + b ( e ) x S = eS + b ( e ) xS = eS + b1 xS = ( e + b1 x ) S Bõy gi ta s chng minh It ( e + b1 x ) = S ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) Vỡ b1 = b1 f v fg = f nờn ( e ) ( g ) + ( e ) x ( e + b1 x ) = ( e ) ( g ) b1 x ( e ) ( g ) b1 fx = = ( e ) ( g ) b1 fgx = ( e ) ( g ) gb1 fx = S ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) It ( e + b1 x ) Ngc li, r + sx It ( e + b1 x ) ta cú ( r + sx ) ( e + b1 x ) = re + ( rb1 + se ) x = re = rb1 + se = T b1 = b1 f = b1 fg suy b1 g = b1 Cho nờn = ( rb1 + se ) g = rb1 g = rb1 v vỡ th suy se = T Rf = Rb1 = b1R suy tn ti t R cho f = b1t Ta cú rg = r ( e ) f = rf = rb1t = Do ú r = r ( e ) ( g ) , s = s ( e ) r + sx S ( e ) ( g ) + S ( e ) x = S ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) It ( e + b1 x ) S ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) 29 Cui cựng vỡ ( a + bx ) S = ( e + b1 x ) S nờn It ( a + bx ) = It ( e + b1 x ) W 2.3.11 H qu Nu D l vnh chia c v l t ng cu khỏc ca D thỡ D x, / ( x ) l morphic trỏi Chng minh Vỡ D l vnh chia c nờn D l chớnh qui mnh Gi s : D D l t ng cu ca D Ta cú ( ) = vỡ ( ) = ( + ) = ( ) + ( ) v ( 1) = ( 1.1) = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = suy ( 1) = hoc ( 1) = Nu ( 1) = thỡ ỏp dng nh lý 2.3.10 suy iu phi chng minh Nu ( 1) = thỡ l ng cu (trỏi gii thit) W 2.3.12 H qu Nu R l vnh chớnh qui mnh thỡ R R l morphic Chng minh Ta cú: R R R x / ( x ) Ly : R R l ng cu ng nht thỡ ú R x, R x v R ( ) R Do ú ỏp dng nh lý 2.3.10 thỡ R R l morphic trỏi chng minh R R morphic phi ta chng minh R [ x ] / ( x ) morphic phi t S = R x / ( x ) = { a + bx : a, b R} Trong S ta cú x = v x.t = t.x, t R Nhn xột 1: Nu I l iờan trỏi hoc phi ca S v r , s R thỡ t r + sx I suy r I v sx I Chng minh nh nh lý 2.3.10 Nhn xột 2: Tn ti g = g R tha eg = ge = cho ( a + bx ) S = ( e + gx ) S Tht vy: p dng nhn xột ta cú a + bx a ( a + bx ) S ; bx ( a + bx ) S = eS + bxS aS + bxS ( a + bx ) S ( a + bx ) S ( a + bx ) S = aS + bxS 30 Vỡ bx = ( bx ) e + b ( e ) x bxS = bxeS + b ( e ) xS nờn ú ( a + bx ) S = eS + b ( e ) xS t b1 = b ( e ) , tn ti ly ng f R cho b1R = fR Vy, ( a + bx ) S = eS + b ( e ) xS = eS + b1xS M b1 xS = fxS vỡ b1 x ( r + sx ) = b1 xr + b1 xsx = b1rx + b1sx = b1rx = ftx = fxt fxS tR vi nờn b1 xS fxS Tng t fxS b1 xS Do ú ( a + bx ) S = eS + b ( e ) xS = eS + b1xS = eS + fxS Mt khỏc, fe = nờn t g = ( e ) f thỡ g l mt ly ng v ge = eg = Hn na, fg = f ( e ) f = f = f fR = gR Do ú fxS = gxS Vy, ( a + bx ) S = eS + fxS = eS + gxS = ( e + gx ) S Ta chng minh xong nhn xột Nhn xột 3: Vi e, g nhn xột 2, ta cú ( e + gx ) S = I p ( ( e) ( g ) + ( e) x ) Tht vy: c + dx It ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) ( e ) ( g ) + ( e ) x ( c + dx ) = ( e ) ( g ) c + ( e ) xc + ( e ) ( g ) dx + ( e ) xdx = ( e ) ( g ) c + ( e ) cx + ( e ) ( g ) dx + ( e ) dxx = ( e ) ( g ) c + ( e ) cx + d ( e ) ( g ) x = ( e ) ( g ) c + [ ( e ) c + ( e ) ( g ) d]x = ( e ) ( g ) c = ( e ) c + ( e ) ( g ) d = (1) (2) Nhõn hai v ca (2) vi g ri cng vi (1) ta c ( e ) cg + ( e ) ( g ) c = ( e ) c = c = ec (3) 31 Nhõn hai v ca (3) vi g v s dng kt qu eg = ge = ta cú gc = Tuy nhiờn, t (2) cng suy ( e ) ( g ) d = ( g e + eg ) d = d = ed + gd t u = c + dg v v = d Ta cú ( e + gx ) ( u + vx ) = eu + gxu + evx + gxvx = eu + ( gu + ev ) x = e ( c + dg ) + g ( c + dg ) + ed x = ec + ( ed + gd ) x = c + dx Do ú c + dx ( e + gx ) S nờn I p ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) ( e + gx ) S Ngc li, vỡ ( e ) ( g ) + ( e ) x ( e + gx ) = nờn e + gx I p ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) nờn ( e + gx ) S I p ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) Ta chng minh xong nhn xột Nhn xột 4: e, g Vi nhn xột 2, ta cú I p ( a + bx ) = ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) S Tht vy: t b1 v f nh chng minh nhn xột T Ra = Re suy Sa = Se Theo nhn xột 1, vỡ bx S ( a + bx ) ta suy a + bx S ( a + bx ) S ( a + bx ) = nờn a S ( a + bx ) Sa + Sbx = Se + Sbx v = Se + S e ( bx ) + b ( e ) x = Se + Sb ( e ) x = Se + Sb1 x = S ( e + b1 x ) Bõy gi ta s chng minh I p ( e + b1 x ) = ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) S Vỡ b1 = fb1 v fg = f nờn ( e + b1 x ) ( e ) ( g ) + ( e ) x = b1 x ( e ) ( g ) = fb1 x ( e ) ( g ) = fgb1 x ( e ) ( g ) = fgb1 ( e ) ( g ) x = ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) S I p ( e + b1 x ) Ngc li, er + ( b1r + es ) x = er = b1r + es = r + sx I p ( e + b1 x ) ta cú ( e + b1x ) ( r + sx ) = 32 T b1 = fb1 = fgb1 suy gb1 = b1 Cho nờn = g ( b1r + es ) = gb1r = b1r v vỡ th suy es = T fR = b1R = Rb1 suy tn ti t R cho f = tb1 Ta cú gr = ( e ) fr = fr = tb1r = Do ú r = ( e ) ( g ) r , s = ( e ) s r + sx ( e ) ( g ) S + ( e ) xS = ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) S I p ( e + b1 x ) ( ( e ) ( g ) + ( e ) x ) S Cui cựng vỡ ( a + bx ) S = ( e + b1 x ) S nờn I p ( a + bx ) = I p ( e + b1x ) W KT LUN Lun ca chỳng tụi ó trỡnh by li mt s tớnh cht ca vnh chớnh qui, vnh chớnh qui mnh v liờn h gia chỳng m ú vai trũ ca phn t ly ng l vụ cựng quan trng Trong chng 2, chỳng tụi cng ó trỡnh by mt s mi liờn quan gia vnh chớnh qui mnh, m rng R M v vnh morphic 33 Mc dự ó c gng rt nhiu nhng lun ca chỳng tụi s khụng trỏnh nhng sai sút Kớnh mong c s quan tõm gúp ý ca Thy cụ v cỏc anh ch hc viờn lun ny c hon thin hn TI LIU THAM KHO Ting Vit [1] Nguyn Tin Quang, Nguyn Duy Thun (2001), C s lý thuyt mụun v vnh, NXB Giỏo dc, H Ni 34 [2] Dng Quc Vit (2008), C s lý thuyt module, NXB i hc S phm, H Ni Ting Anh [3] J Chen and Y Zhou (2005), Morphic rings as trivial extensions, Glasgow Math J 47, 139 148 [4] F Kasch (1982), Modules and Rings, Academic press, London - New York [...]... (i) W 2.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUI MẠNH 21 2.3.1 Định nghĩa Vành R được gọi là chính qui mạnh nếu và chỉ nếu với mọi a ∈ R tồn tại x ∈ R sao cho a = a 2 x 2.3.2 Định lý Cho R là một vành Các mệnh đề sau tương đương: (i) R là vành chính qui mạnh (ii) R là vành chính qui và không có phần tử lũy linh nào khác không (iii) R là vành chính qui và mọi lũy đẳng trong R đều thuộc tâm của R Chứng... ( e + b1x ) W KẾT LUẬN Luận văn của chúng tôi đã trình bày lại một số tính chất của vành chính qui, vành chính qui mạnh và liên hệ giữa chúng mà ở đó vai trò của phần tử lũy đẳng là vô cùng quan trọng Trong chương 2, chúng tôi cũng đã trình bày một số mối liên quan giữa vành chính qui mạnh, mở rộng R µ M và vành morphic 33 Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng luận văn của chúng tôi sẽ không tránh khỏi... là vành chính qui mạnh (2) Mọi vành chia được D là vành chính qui mạnh Thật vậy, vì D là vành chia được nên D là chính qui Mặt khác, D chỉ có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1 Vì giả sử 0 ≠ e ∈ D thỏa e2 = e Tồn tại e−1 sao cho e−1.e = e.e−1 = 1 Do đó, 1 = e.e−1 = e2e−1 = e.e.e−1 = e.1 = e Rõ ràng 0 và 1 thuộc tâm của D Vậy D là vành chính qui mạnh (3) Tích trực tiếp của các vành chia được là chính qui. .. vành chính qui mạnh thì với mọi a ∈ R , a = v.e với v là phần tử khả nghịch và e là phần tử lũy đẳng 2 Chứng minh Từ Định lý 2.3.5 ta có v.e = ( ea + f ) e = eae = xaaxa = xa = a W 2.3.7 Định lý Nếu R là vành chính qui mạnh thì: (i) Mọi iđêan chính trái (phải) đều sinh bởi một lũy đẳng (ii) Mọi iđêan một phía là iđêan hai phía 23 Chứng minh (i) Dễ thấy, vì vành chính qui mạnh cũng là vành chính qui. .. quả Nếu số lượng lũy đẳng của một vành chính qui R là hữu hạn thì R là nửa đơn (vành R nửa đơn khi và chỉ khi nó Artin và nửa nguyên tố, xem trong [1]) Chứng minh Vì số lượng các lũy đẳng là hữu hạn mà mọi iđêan chính trái đều sinh bởi một lũy đẳng nên R có hữu hạn các iđêan chính trái Vì mỗi iđêan trái là tổng của những iđêan chính trái nên số lượng các iđêan trái của R là hữu hạn Do đó R là vành Artin... sử a ∈ R Vì R là vành chính qui mạnh nên a = v.e với v là phần tử khả nghịch và e là phần tử lũy đẳng Do đó aR = veR = vRe = Re = Rve = Ra Từ đó suy ra mỗi iđêan một phía là iđêan hai phía W 2.3.8 Định lý (Armandariz, 1974) Vành R với đơn vị 1 là chính qui mạnh nếu và chỉ nếu RM là vành chia được với tất cả các iđêan tối đại M của Z ( R) Chứng minh ( ⇒ ) Giả sử R là vành chính qui mạnh, M là iđêan... r ∈ rR I Rr = rRr nên tồn tại x ∈ R sao cho r = rxr Vậy R chính qui W 1.2.10 Hệ quả Mọi vành chính qui có căn Jacobson bằng 0 Do đó vành chính qui là nửa nguyên tố (vành nửa nguyên tố là vành có căn nguyên tố bằng 0 Trong tài liệu [1] đã chứng minh căn nguyên tố là tập con của căn Jacobson) Chứng minh Giả sử r ∈ Rad ( R) Vì R là vành chính qui nên tồn tại phần tử lũy đẳng e sao cho rR = eR Do đó... là chính qui mạnh W 2.3.3 Hệ quả Cho R là chính qui mạnh, với mọi a ∈ R , gọi x ∈ R sao cho a = a 2 x Khi đó: (i) a = a 2 x = xa 2 (ii) xa = ax (iii) Đặt e = ax thì ta có aR = eR = Re 22 Chứng minh (i) Vì ax lũy đẳng nên ax thuộc tâm của R Do đó ta có (i) (ii) Ta có a = a 2 x ⇒ xa = xa 2 x = ax (iii) Vì R chính qui nên aR = eR Mà e thuộc tâm của R nên eR = Re W 2.3.4 Ví dụ (1) Mọi vành chính qui. .. I I 2 ⊆ I  I = I1 = ( x ) + I Do đó: I = I1 I I 2 ⇒   I = I 2 = ( y ) + I x ∈ I ⇒ y∈I ⇒ I nguyên tố W 16 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUI MẠNH 2.1 MỞ RỘNG R µ M 2.1.1 Xây dựng mở rộng R µ M Cho R là một vành và M là một song môđun trên R Mở rộng tầm thường của R và M là R µ M = { ( a, x ) : a ∈ R, x ∈ M } cùng với phép cộng và phép nhân được định nghĩa như sau: Cộng: ( a, x ) +... mạnh (3) Tích trực tiếp của các vành chia được là chính qui mạnh (4) Cho V là không gian véctơ trên vành chia được D thỏa DimV = 1 Khi đó End DV là chính qui mạnh vì End DV ≅ D 2.3.5 Định lý Nếu R là vành chính qui mạnh thì với mọi a ∈ R , tồn tại phần tử khả nghịch u ∈ R , sao cho a = aua Chứng minh Giả sử a ∈ R Vì R là vành chính qui mạnh nên tồn tại x ∈ R sao cho a = a 2 x Khi đó ta cũng có a ... trờn vnh chia c l vnh chớnh qui Vnh R c gi l chớnh qui mnh (Von Neumann) nu v ch nu vi mi a R tn ti x R cho a = a x Mt vnh R l vnh chớnh qui mnh v ch nú l mt vnh chớnh qui v mi ly ng R u thuc tõm... ớch ca lun ny l tỡm hiu v trỡnh by mt s tớnh cht ca vnh chớnh qui v vnh chớnh qui mnh Trong sut lun ny, khỏi nim chớnh qui, chớnh qui mnh c hiu theo ngha Von Neumann Lun ca chỳng tụi da trờn ti... nghch 1.2 VNH CHNH QUI 1.2.1 nh ngha Vnh R c gi l vnh chớnh qui nu v ch nu vi mi a R tn ti x R cho a = axa 1.2.2 Vớ d (1) Mi th, mi trng u l vnh chớnh qui (2) Min nguyờn l chớnh qui nu nú l mt