Một số tính chất của vành chính quy yếu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH CHU THỊ DUNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUY YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH CHU THỊ DUNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUY YẾU Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS ĐINH ĐỨC TÀI Nghệ An, 2015 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Bảng kí hiệu Kiến thức sở 1.1 Các khái niệm 1.2 Một số tính chất vành quy 12 Một số tính chất vành quy yếu V- vành 16 2.1 Vành quy yếu 16 2.2 GW -iđêan vành quy yếu 22 2.3 Một số tính chất V -vành 26 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 MỞ ĐẦU Khái niệm vành quy, vành quy yếu von Neumann đưa năm 1936 [4]: Vành R gọi vành quy (regular rings) (theo nghĩa von Neumann) với a ∈ R, tồn phần tử b ∈ R cho a = aba Điều kiện tương đương với điều kiện sau: (i) Mọi iđêan trái (phải) sinh phần tử lũy đẳng; (ii) Mọi iđêan trái (phải) hữu hạn sinh sinh phần tử lũy đẳng; (iii) Mọi iđêan trái hạng tử trực tiếp R-môđun trái (phải) R; (iv) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh hạng tử trực tiếp R-môđun trái (phải) R; (v) Mọi môđun hữu hạn sinh R-môđun trái (phải) xạ ảnh hạng tử trực tiếp Ví dụ lớp vành có: trường vành quy với a = lấy b = a−1 thỏa mãn aba = aa−1 a = a Một ví dụ khác vành quy, chẳng hạn Mn (K) Với A ∈ Mn (K) với rank(A) = r, tồn ma trận khả I nghịch U, V cho A = U 0r V Đặt B = V −1 U −1 , ta có ABA = U Ir −1 −1 0 VV U U Ir 0 V =U Ir 0 V = A Kể từ đến nay, lớp vành quy thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu lý thuyết vành giới với số lượng đáng kể kết nghiên cứu công bố tạp chí có uy tín Lớp vành quy (theo nghĩa von Newmann) mở rộng theo nhiều hướng khác nhau: vành P - quy (mọi iđêan nguyên tố hữu hạn sinh hạng tử trực tiếp R R); vành quy mạnh (strongly von Newmann regular rings: với a ∈ R, tồn b ∈ R cho a = a2 b.), Vành R gọi vành quy yếu trái (left weakly regular ring) iđêan trái I R ta có I = I Tương tự, vành R gọi vành quy yếu phải (right weakly regular ring) iđêan phải I R ta có I = I Vành R gọi vành quy yếu (weakly regular) R vành quý trái phải Từ định nghĩa ta thấy, vành quy vành quy yếu, nhiên điều ngược lại không hoàn toàn Vành R gọi V - vành trái (phải) R-môđun đơn trái (tương ứng: phải) môđun nội xạ Số lượng công trình công bố liên quan đến khái niệm vành quy, vành quy yếu tính chất liên quan chứng tỏ quan tâm nhà nghiên cứu toán giới vấn đề này, tham khảo tài liệu [2], [3], [5], [6], [9], [10], Trong [3], Haiyan Zhou định nghĩa khái niệm GW-iđêan: Iđêan trái (phải) L vành R gọi GW-iđêan (generalized weak ideal) với a ∈ L, tồn số tự nhiên n cho an R ⊆ L (tương ứng Ran ⊆ L) Sử dụng tính chất GW-iđêan, tác giả Takaram Subedi Andeline Mary Buhphang chứng minh số đặc trưng vành quy yếu V - vành ([9]) Trên sở đó, lựa chọn đề tài "Một số tính chất vành quy yếu" nhằm tìm hiểu số đặc trưng vành quy yếu V - vành thông qua GW-iđêan giới thiệu ([9]) Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn gồm chương bố cục sau: Chương Kiến thức sở Nội dung chương chủ yếu trình bày khái niệm, tính chất nhằm phục vụ nội dung Chương Chương Một số tính chất vành quy yếu Vvành Nôi dung Chương trình bày phần: 2.1 Vành quy yếu Trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất lớp vành quy yếu 2.2 GW- iđêan vành quy yếu Giới thiệu số tính chất lớp vành quy yếu thông qua GW- iđêan 2.3 Một số tính chất V- Vành Lớp GP-V-vành lớp vành đặc biệt lớp V-vành Trong mục này, giới thiệu số tính chất lớp GP-V -vành thông qua việc sử dụng tính chất lớp GW- iđêan Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Đinh Đức Tài Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn tới: Thầy giáo, Cô giáo Bộ môn Đại số, Khoa Toán, Trường Đại học Vinh; Phòng Đào tạo Sau đại học; gia đình bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tinh thần lẫn vật chất, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Nghệ An, tháng năm 2015 Tác giả BẢNG KÍ HIỆU Z : Vành số nguyên Q : Trường số hữu tỷ R : Trường số thực C : Trường số phức A ⊆⊕ B : A hạng tử trực tiếp B A →e B : A môđun cốt yếu B A B : A môđun bé B A∼ = B : A đẳng cấu với B A ⊕ B : Tổng trực tiếp môđun A môđun B ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm) E(M ) : Bao nội xạ môđun M Soc(M ) : Đế môđun M End(M ) :Vành tự đồng cấu môđun M u-dim(M ) : Chiều Goldie môđun M Ker(f ), Im(f ) : Hạt nhân, ảnh đồng cấu f (tương ứng) M (I) : ⊕i∈I M (tổng trực tiếp I M ) MR (R M ) : M R-môđun phải (trái) Mn (S) : Vành ma trận vuông cấp n với hệ tử S M od-R: Phạm trù R-môđun phải Rad(M ) : Căn môđun M J(R) : Căn Jacobson vành R Z(M ) : Môđun suy biến môđun M CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong suốt luận văn này, không nói thêm, vành R hiểu vành kết hợp, có đơn vị = R-môđun xét môđun unita phải trái 1.1 Các khái niệm Trước hết, trình bày số khái niệm, tính chất Lý thuyết Vành mà không chứng minh lại Các khái niệm tính chất giới thiệu nhiều tài liệu khác nhau, chủ yếu tham khảo tài liệu [8], [7] 1.1.1 Định nghĩa Cho vành R Một phần tử a ∈ R gọi phần tử: ước không trái (phải) ab = 0(ba = 0), với = b ∈ R ước không ước không trái phải lũy đẳng a2 = a lũy linh ak = 0, với k ∈ N quy tồn b ∈ R cho aba = a khả nghịch trái (phải) tồn b ∈ R cho ba = 1(ab = 1) khả nghịch khả nghịch trái phải Tập hợp tất phần tử khả nghịch vành R ký hiệu U (R) tâm ab − ba = 0; ∀b ∈ R 1.1.2 Nhận xét Với vành R, phần tử lũy đẳng Với vành R, e ∈ R lũy đẳng (1 − e) lũy đẳng Thật vây Từ e lũy đẳng ta có: e2 = e ⇔ e2 − e = ⇔ e2 − 2e + = − e ⇔ (1 − e)2 = − e Hay (1 − e) phần tử lũy đẳng 1.1.3 Định nghĩa Vành R gọi vành quy (regular rings) (theo nghĩa von Neumann), ký hiệu VNR, với a ∈ R, tồn phần tử b ∈ R cho a = aba Hai phần tử lũy đẳng e, f ∈ R gọi trực giao ef = f e = Phần tử lũy đẳng R gọi lũy đẳng nguyên thủy biểu diễn thành tổng hai phần tử lũy đẳng trực giao khác không Kết sau đặc trưng vành quy von Neumann (VNR) 1.1.4 Bổ đề Cho R vành, điều kiện sau tương đương: (a) R VNR; (b) Mọi R- môđun trái nội xạ chính; (c) Mọi R- môđun trái xiclic nội xạ 1.1.5 Mệnh đề Trên vành R, điều kiện sau tương đương: (a) R VNR không chứa phần tử lũy linh khác không; (b) Mọi R- môđun đơn nội xạ iđêan trái R iđêan hai phía Trên vành R, R- môđun phải M gọi môđun đơn (simple) M = môđun khác ngoại trừ Môđun M gọi môđun nửa đơn (semisimple) thỏa mãn điều kiện tương đương sau: Mọi môđun M tổng môđun đơn M tổng môđun đơn M tổng trực tiếp môđun đơn Mọi môđun M hạng tử trực tiếp M Tổng tất môđun đơn R- môđun phải M gọi đế phải môđun MR Ký hiệu Soc(MR ) Sr (M ) Đối ngẫu với khái niệm đế môđun có khái niệm môđun Căn MR , kí hiệu Rad(MR ), giao tất môđun tối đại MR , tổng tất môđun bé MR Nếu MR không chứa môđun tối đại ta định nghĩa Rad(MR ) = M Đặc biệt, Rad(RR ) = Rad(R R) = J(R) Do không sợ nhầm lẫn, ta kí hiệu J(R) để Jacobson vành R Radical RR Nếu MR môđun hữu hạn sinh Rad(MR ) MR Cho R- môđun M khác không Một dãy hữu hạn n + môđun M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = gọi dãy hợp thành có độ dài n (composition series of length n) Mi−1 /Mi đơn Liên quan đến dãy hợp thành sở việc hình thành khái niệm độ dài môđun, có Định lý Jordan- H¨older: 1.1.6 Định lý Nếu môđun M có dãy hợp thành có độ dài hữu hạn dãy hợp thành M có độ dài Một môđun M có dãy hợp thành có độ dài hữu hạn gọi môđun có độ dài hữu hạn độ dài dãy hợp thành gọi độ 21 R, ký hiệu l(I) (r(I)) iđêan linh hóa tử trái (phải) I Chúng ta có định lý sau tính chất vành quy yếu có chiều Goldie hữu hạn 2.1.10 Định lý Cho R vành có chiều Goldie hữu hạn với iđêan suy biến phải không Khi đó, R vành quy yếu phải R tổng trực tiếp số hữu hạn vành đơn D-chính quy Chứng minh Để chứng minh Định lý 2.1.10 ta chứng minh kết sau: Mọi iđêan hai phía vành quy yếu phải có chiều Goldie hữu hạn hạng tử trực tiếp (∗) Thật vậy, giả sử A iđêan hai phía vành quy yếu phải có chiều Goldie hữu hạn R, R vành nửa nguyên tố ta có l(A + r(A)) = r(A +r(A)) = Do A iđêan phải cốt yếu R chứa phần tử khác phần tử không chia Mặt khác, chứng minh Mệnh đề 2.1.5 chứng minh rằng: Nếu A iđêan (hai phía) thực vành quy yếu R với phần tử A phần tử không chia trái Sử dụng kết có điều phải chứng minh (*) Tiếp theo chứng minh định lý Giả sử R vành quy yếu phải, R vành nửa nguyên tố R vành Goldie Suy R có có dãy DCC iđêan linh hóa tử trái Sử dụng kết chứng minh ta có, iđêan hai phía I vành R hạng tử trực tiếp R linh hóa tử trái Suy ra, I chứa iđêan (hai phía) tối tiểu R Nếu {Ks }, s ∈ S tập tối đại họ phụ thuộc iđêan (hai phía) tối tiểu R, từ tính chất chiều hữu hạn R Sử dụng kết chứng minh (*) ta có S họ hữu hạn số Điều chứng tỏ R = ⊕Ks , Ks vành đơn D- quy 22 Chiều ngược lại suy trực tiếp từ nhận xét (2) Nhận xét 2.1.3 Từ kết Định lý 2.1.10 ta có hệ sau: 2.1.11 Hệ Một vành R có chiều hữu hạn vành quy yếu R tổng trực tiếp số hữu hạn vành đơn D-chính quy 2.1.12 Hệ Mọi vành nguyên tố, Goldie quy yếu phải vành đơn 2.2 GW -iđêan vành quy yếu Các kết phần tham khảo tài liệu [9] Trước hết có định nghĩa số tính chất GW -iđêan 2.2.1 Định nghĩa Cho vành R Iđêan trái (phải) L R gọi GW -iđêan (generalized weak ideal) với a ∈ L, tồn số tự nhiên n cho an R ⊂ L (tương ứng Ran ⊂ L) Tiếp theo xét số ví dụ lớp iđêan 2.2.2 Ví dụ Cho R = U T2 (Q) vành ma trận tam giác trên trường Q Lấy L= a 0 :a∈Q K = 0 a :a∈Q Dễ dàng thấy L iđêan trái K iđêan phải R L K GW -iđêan R 2.2.3 Ví dụ Tồn vành R iđêan trái (phải) R GW-iđêan, với a ∈ R, l(a) iđêan Thật vậy, lấy   a a1 a R= 0  0 a2 a4 a   a3  a5  : a, ∈ Z2 , i = 1, a6  a 23 Khi đó, phần tử khác đơn vị R lũy linh iđêan trái (phải)  0 0 x=0 0 R GW - iđêan Đặt    0 1 1  0 x = 0 0 1 dễ thấy 0 0 0 chi a = a4 = 0, a1 = a2 Do     a b b1 b2  0 b3   l(x) = : bi ∈ Z2 , i = 1, = L  0 b4  0 0 Khi L iđêan    1  0 0  ∈ L,  0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 ∈R 0 0  0 0  0  0 0 0 0 0 0   0  = 0 0 0 0 0  0 / L ∈ 2.2.4 Ví dụ Tồn vành R iđêan trái (phải) R GW -iđêan, với a ∈ R, r(a) iđêan Thật vậy, lấy   a a a R =  a1 a  a4 a5 0 a a6    0 : a, ∈ Z2 , i = 1,  a Khi đó, phần tử khác đơn vị R lũy linh iđêantrái (phải) R GW- iđêan Đặt 0 x=0  0 0  0 0 24 dễ dàng thấy   b r(x) =  b1  b2 0 b3 0 b4  0  0 : bi ∈ Z2 , i = 1, 4 = K Bây ta có 1  0  0 0 0 0 0 0 0 0  0  0   0  ∈ K, 0 1 0 0 0 0 0 0 0   0  = 0 0 0  0 ∈ R, 0 0 0 0  0 / K ∈ Do K iđêan R Vành R gọi vành rút gọn (reduced ring) R phần tử lũy linh khác không Chúng ta có kết lớp vành 2.2.5 Bổ đề Cho R vành cho iđêan trái (hoặc phải) tối đại GW-iđêan Khi R/J(R) vành rút gọn Chứng minh Giả sử R vành cho iđêan trái tối đại GW -iđêan Giả sử a2 ∈ J(R) cho a ∈ / J(R) Khi a ∈ / M với M iđêan tối đại R Do M + Ra = R nên M a + Ra2 = Ra xa + ya2 = a với x ∈ M, y ∈ R Vì M GW -iđêan x ∈ M nên tồn số nguyên dương n cho xn a ∈ M Chúng ta có: xn−1 a = xn−1 (xa + ya2 ) = xn a + xn−1 ya2 ∈ M Ta lại có từ xn−1 a ∈ M a2 ∈ M suy xn−2 a = xn−2 (xa + ya2 ) = xn−1 a + xn−2 ya2 ∈ M Tiếp tục theo cách này, lại có a ∈ M , điều mâu thuẫn Do R/J(R) vành rút gọn 25 Chúng ta chứng minh tương tự bổ đề cho vành R mà iđêan phải tối đại GW-iđêan Từ Bổ đề 2.2.5 có hệ trực tiếp sau: 2.2.6 Hệ Cho R vành nửa nguyên thủy mà iđêan trái (hoặc phải) tối đại GW-iđêan Khi R vành rút gọn Như biết, đối ngẫu với khái niệm vành quy yếu khái niệm vành quy mạnh Vành R gọi vành quy mạnh (strongly regular) với a ∈ R, tồn phần tử b R cho a = a2 b Định lý sau cho mối liên hệ lớp vành quy mạnh lớp vành quy yếu 2.2.7 Định lý Cho R vành iđêan trái (hoặc phải) tối đại GW-iđêan Khi điều kiện sau tương đương: (i) R vành quy mạnh; (ii) R vành quy yếu trái; (iii) R vành quy yếu phải Chứng minh Giả sử R vành thỏa mãn iđêan trái tối đại GW -iđêan Từ định nghĩa vành quy mạnh vành quy yếu dễ dàng chứng minh (i) ⇒ (ii) (i) ⇒ (iii) Do cần chứng minh (ii) ⇒ (i) (iii) ⇒ (ii) Trước hết ta chứng minh (ii) ⇒ (i) Thật vậy, giả sử a ∈ R cho l(a) + Ra = R, giả sử M iđêan trái tối đại R có chứa l(a) + Ra Do R vành quy yếu trái, tức Ra = RaRa suy a = ri asi a với ri ∈ R, si ∈ R Khi − ri asi ∈ l(a) ⊆ M Giả sử ri asi ∈ / M , rk ask ∈ / M , với k số cho M + Rrk ask = R, dẫn đến x + rrk ask = 1, với x ∈ M, r ∈ R Vì M 26 GW -iđêan sk rrk a ∈ M nên tồn số n nguyên dương cho (sk rrk a)n sk ∈ M Khi (1 − x)n+1 = (rrk ask )n+1 = rrk a(sk rrk a)n sk ∈ M Điều với x ∈ M suy ∈ M , mâu thuẫn với M = R Do ri asi ∈ M cho ∈ M , điều lại mâu thuẫn Do l(a) + Ra = R với a ∈ R Điều chứng tỏ R vành quy mạnh Tiếp theo chứng minh (iii) ⇒ (ii) Thật vậy, R vành quy yếu phải nên vành nửa nguyên thủy, theo giả thiết cho Hệ 2.2.6, R vành rút gọn Mặt khác ta lại có, R vành rút gọn vành quy yếu trái R vành quy yếu trái Tương tự ta chứng minh kết cho vành thỏa mãn iđêan phải tối đại GW -iđêan Vành R gọi QD -vành (quasi duo) trái (phải)nếu iđêan trái (phải) tối đại R iđêan Từ Định lý 2.2.7 ta có hệ qủa sau: 2.2.8 Hệ Các điều kiện sau tương đương QD-vành trái (hoặc phải) R: (1) R vành quy mạnh; (2) R vành quy yếu trái; (3) R vành quy yếu phải 2.3 Một số tính chất V -vành Các kết phần tham khảo tài liệu [9] Vành R gọi V - vành trái (phải) R-môđun đơn trái (phải) R-môđun nội xạ Một R-môđun trái (phải) M Y J-nội xạ với = a ∈ R, tồn số nguyên dương n cho an = 27 R-đồng cấu trái (phải) từ Ran (an R) tới M mở rộng thành R-đồng cấu trái (phải) từ R tới M Vành R gọi GP-V-vành trái (phải) R-môđun trái (phải) đơn YJ -nội xạ Vành R gọi GV-V’- vành R-môđun đơn suy biến trái (phải) YJ -nội xạ Vành R gọi ZI- vành với a, b ∈ R, từ ab = ta suy aRb = Từ định nghĩa ta thấy, ZI-vành R ta có l(a) iđêan với a ∈ R Trước hết có mối liên hệ lớp ZI - vành, vành quy mạnh lớp vành GP-V’ - vành 2.3.1 Định lý Các điều kiện sau tương đương ZI-vành R: (1) R vành quy mạnh; (2) R GP-V’- vành trái thỏa mãn iđêan trái cốt yếu tối đại GW-iđêan (3) R GP-V’-vành trái thỏa mãn iđêan phải cốt yếu tối đại GW-iđêan Chứng minh Từ định nghĩa tính chất lớp vành quy mạnh lớp GP-V’- vành có (1) ⇒ (2) (1) ⇒ (3) Ta cần chứng minh (2) ⇒ (1) (3) ⇒ (1) (2) ⇒ (1) : Do ZI trái (phải) GP-V’ - vành vành rút gọn nên từ giả thiết ta có R vành rút gọn Chúng ta giả sử R không vành quy mạnh, có nghĩa l(a) + Ra = R với a ∈ R Khi l(a) + Ra = R chứa iđêan trái tối đại M R Theo giả thiết R ZI - vành M iđêan trái tối đại M R nên R/M R-môđun trái đơn suy biến Lại R GP-V’ - vành trái nên R/M YJ - nội xạ Do đó, tồn số tự nhiên n cho an = với R-đồng cấu trái từ Ran đến R/M mở rộng từ R đến R/M Ta định nghĩa f : Ran → R/M xác định sau f (ran ) = r + M với r ∈ R Do R vành rút gọn nên l(a) = l(an ) Suy ra, 28 tồn b ∈ R cho − an b ∈ M Giả sử an b ∈ / M M + Ran b = R suy x + ran b = với x, r đó, x ∈ M, r ∈ R Theo giả thiết (2), M GW-iđêan, bran ∈ M tồn số tự nhiên k cho (brak )b ∈ M Khi (1 − x)k+1 = (ran b)k+1 = ran (bran )k b ∈ M, ∈ M , điều mâu thuẫn Vậy an b ∈ M ∈ M mâu thuẫn nên giả sử l(a) + Ra = R sai l(a) + Ra = R với a ∈ R, hay nói cách khác R vành quy mạnh (3) ⇒ (1) : Lập luận tương tự chứng minh (2) ⇒ (1) ta có R vành rút gọn, l(w) = r(w) với w ∈ R Chúng ta giả sử R không vành quy mạnh, có nghĩa l(a) + Ra = R với a ∈ R Khi tồn iđêan phải tối đại K R chứa l(a) + aR Nếu RaR không chứa K ras ∈ / K, ∀r, s ∈ R K + rasR = R, suy x + rast = 1, ∀x ∈ K, t ∈ R Từ giả thiết K GW-iđêan astr ∈ K ta có r(astr)n ∈ K với n số nguyên dương Từ có: (1 − x)n+1 = (rast)n+1 = r(astr)n+1 ast ∈ K, ∈ K, điều mâu thuẫn Do RaR ⊆ K ta có l(a) + RaR ⊆ L với L iđêan trái tối đại R Từ giả thiết R ZI - vành, L iđêan trái cốt yếu R, ta có R/L YJ - nội xạ đó, tồn số tự nhiên m cho am = R- đồng cấu trái từ Ram đến R/L mở rộng thành đồng cấu từ R đến R/L Ta định nghĩa f : Ram → R/L xác định sau f (Ram ) = r + L, ∀r ∈ R Khi f R- đồng cấu trái tồn b ∈ R cho − am b ∈ L Tuy nhiên, ta lại có am b ∈ RaR ⊆ L, ∈ L, điều mâu thuẫn với giả thiết L = R Do đó, l(a) + aR = R, ∀a ∈ R, hay R vành quy R vành rút gọn suy R vành quy mạnh Vành R gọi ELT- vành (ERT- vành) iđêan trái 29 (phải) cốt yếu R iđêan Vành R gọi MELT - vành (MERT- vành) iđêan trái (phải) tối đại cốt yếu R iđêan Từ Định lý 2.3.1 có hệ trực tiếp sau, kết Định lý 2.3 ([10]) 2.3.2 Hệ Cho R ZI-vành, điều kiện sau tương đương: (1) R vành quy mạnh; (2) R MELT GP- V- vành trái; (3) R MERT GP- V- vành phải; (4) R MELT GP- V’- vành trái; (5) R MERT GP- V’- vành phải; Tiếp theo có tính chất khác GP-V -vành 2.3.3 Mệnh đề Nếu R GP-V- vành trái cho l(a) GW-iđêan với a ∈ R, R vành rút gọn Chứng minh Giả sử = a ∈ R cho a2 = 0, l(a) = R tồn iđêan trái tối đại M R chứa l(a) Vì R GP-V-vành trái a2 = nên R-đồng cấu trái từ Ra đến R/M mở rộng thành đồng cấu từ R đến R/M Định nghĩa f : Ra → R/M xác định sau: f (ra) = r+M, ∀r ∈ R Khi f đồng cấu f mở rộng thành đồng cấu từ R đến R/M Suy ra, tồn b ∈ R cho 1−an ∈ M Do l(a) GW -iđêan ba ∈ l(a) nên tồn số tự nhiên n cho (ba)n b ∈ l(a) (ab)n+1 = a(ba)n b ∈ l(a) ⊆ M Suy ra, (ab)n − (ab)n+1 = (ab)n (1 − ab) ∈ M , ta có (ab)n ∈ M Hơn 1−ab ∈ M nên ta có (ab)n−1 −(ab)n = (ab)n−1 (1−ab) ∈ M Do (ab)n ∈ M ta có (ab)n−1 ∈ M Tiếp tục trình lập luận tương tự có ab ∈ M ∈ M Điều mâu thuẫn với giả thiết M = R Vậy R vành rút gọn 30 Theo định nghĩa, iđêan GW-iđêan nên từ Mệnh đề 2.3.3 ta có hệ sau 2.3.4 Hệ Nếu R GP-V-vành trái cho l(a) iđêan với a ∈ R R vành rút gọn Định lý sau cho ta mối liên hệ GP-V -vành vành quy yếu 2.3.5 Định lý Nếu R GP-V-vành trái cho l(a) GWiđêan với a ∈ R R vành quy yếu Chứng minh Sử dụng Mệnh đề 2.3.3 ta có R vành rút gọn Giả sử R không vành quy yếu, nghĩa l(a) + RaR = R, ∀a ∈ R, tồn iđêan trái tối đại L R cho l(a) + RaR ⊆ L Từ giả thiết R GP-V-vành trái nên R/L YJ -nội xạ Lập luận tương tự chứng minh (3) ⇒ (1) Định lý 2.3.1 điều mâu thuẫn Vậy l(a) + RaR = R, ∀a ∈ R R vành quy yếu trái Mặt khác, R lại vành rút gọn nên theo Hệ 11 ([5]) ta có R vành quy yếu phải Vậy R vành quy yếu Trong Mệnh đề 2.3.3 xét trường hợp R GP-V-vành trái, mệnh đề sau xem xét điều kiện tương tự cho lớp vành GP-V- vành phải 2.3.6 Mệnh đề Cho R GP-V-vành phải cho l(a) GWiđêan với a ∈ R, R vành rút gọn Chứng minh Xét = a ∈ R cho a2 = Do r(a) = R nên tồn iđêan phải tối đại K R cho r(a) ⊆ K Từ điều kiện a2 = R GP-V-vành phải nên R-đồng cấu từ aR đến R/K mở rộng thành R-đồng cấu từ R đến R/K Ta định nghĩa f : aR → R/K sau f (ar) = r + K, ∀r ∈ R Từ r(a) ⊆ K, f R- đồng cấu thỏa mãn định nghĩa trên, ta có − ba ∈ K, ∀b ∈ R 31 Do l(a) GW-iđêan ba ∈ l(a) nên tồn số tự nhiên n cho (ba)n b ∈ l(a) suy (ba)n+1 ∈ l(a) (ba)n+1 ∈ r(a) ⊆ K Từ (1 − ba) ∈ K có (ba)n − (ba)n+1 = (1 − ba)(ba)n ∈ K, suy (ba)n ∈ K Tiếp tục, − ba ∈ K nên (ba)n−1 − (ba)n = (1 − ba)(ba)n−1 ∈ K Từ (ba)n ∈ K ta có (ba)n−1 ∈ K Tiếp tục thực trình tương tự có ba ∈ K Điều chứng tỏ ∈ K điều mâu thuẫn với điều kiện K = R Vậy R vành rút gọn Lập luận tương tự Hệ 2.3.4 có kết tương tự lớp vành GP-V -vành phải 2.3.7 Hệ Nếu R GP-V-vành phải cho l(a) iđêan với a ∈ R R vành rút gọn Trong Định lý 2.3.5 chứng minh R GP-Vvành trái cho l(a) GW-iđêan với a ∈ R R vành quy yếu Câu hỏi tương tự đặt cho lớp vành GP-V-vành phải Chúng ta kết thúc nội dung mục câu trả lời cho câu hỏi thông qua kết định lý sau: 2.3.8 Định lý Nếu R GP-V-vành phải cho l(a) GWiđêan với a ∈ R R vành quy yếu Chứng minh Sử dụng kết Mệnh đề 2.3.6 ta có R vành rút gọn Giả sử R không vành quy yếu, nghĩa ra+RaR = R, ∀a ∈ R Khi đó, tồn iđêan phải tối đại K R chứa + RaR Từ giả thiết R GP-V-vành phải nên tồn số tự nhiên n cho an = với R-đồng cấu từ an R → R/K mở rộng thành đồng cấu từ R → R/K Ta định nghĩa f : an R → R/K sau: f (an r) = r + K Do R vành rút gọn nên r(an ) = r(a) f đồng cấu vành thỏa mãn điều kiện Suy ra, tồn b ∈ R cho − ban ∈ K Tuy nhiên, ban ∈ RaR ⊆ K ∈ K Điều 32 mâu thuẩn giả thiết K = R Vậy + RaR = R, ∀a ∈ R hay nói cách khác, R vành quy yếu 33 KẾT LUẬN Trên sở tài liệu tham khảo [9], luận văn tìm hiểu chứng minh chi tiết kết sau đây: Khái niệm vành quy yếu số tính chất chúng; Một số tính chất GP-V-vành thông qua GW -iđêan 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang- Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục B Tiếng Anh [2] M.B Rege, On von Neumann regular rings and SF- rings (1986), Math Japonica, 31(6), 927-936 [3] Haiyan Zhou, Left SF-rings and regular rings (2007), Comm Algebra, 35, 3842-3850 [4] von Neumann, John (1936), On Regular Rings, Proc Nat Acad Sci USA, 22(12): 707-712 [5] V.S Ramamurthy, Weakly regular rings (1973), Canad Math Bull, 16(3), 317-321 [6] R Yue Chi Ming, On von Neumann regular rings (1974), Proc Edinburgh Math Soc, 19, 89-91 [7] R Wisbauer (1991), Foundation of Module and Ring Theory, Gordon and Breach Science Publisher [8] T Y Lam (1991), A First Course on Noncommutative Rings, Springer Verlag 35 [9] Takaram Subedi, A M Buhphang (2011), On weakly regular rings and generalizations of V-rings, International Electronic Journal of Algebra, Vol 10, 162-173 [10] Xiao Guangshi (2002), On GP-V-rings and characterizations of strongly regular rings, Northeast Math J., 18(4), 291-297 [...]... chính quy yếu nhưng không là vành chính quy Thật vậy, xét R là vành chính quy và S là vành không chính quy Theo nhận xét (2) ở trên ta có R ⊕ S là vành chính quy yếu 18 nhưng nó không là vành chính quy Tiếp theo chúng ta có một số tính chất của các iđêan trên vành chính quy yếu 2.1.4 Mệnh đề Nếu R là vành chính quy yếu và A là một iđêan hai phía của R thì mọi iđêan phải của A cũng là iđêan phải của R... Cho vành R và M là iđêan chính quy Khi đó a) M là iđêan hai phía chính quy của vành R b) M chứa tất cả các iđêan hai phía chính quy của R c) Vành thương R/M không chứa iđêan hai phía chính quy khác 0 Như chúng ta đã biết, iđêan của vành chính quy là chính quy Nhưng vành con của vành chính quy chưa hẳn là vành chính quy Chẳng hạn, ta xét vành các số hữu tỷ Q Vì trường là vành chính quy nên Q là vành chính. .. là vành chính quy yếu phải Tóm lại, mọi iđêan hai phía và mọi vành thương của vành chính quy yếu phải là vành chính quy yếu phải Mặt khác, nếu vành R có I là iđêan hai phía sao cho cả I và R/I đều là vành chính quy yếu phải thì R là vành chính quy yếu phải 3 Từ điều kiện (b) của Mệnh đề 2.1.2, mọi vành chính quy là vành chính quy yếu Tuy nhiên, điều ngược lại không hoàn toàn đúng Tồn tại những vành chính. .. CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUY YẾU VÀ V- VÀNH 2.1 Vành chính quy yếu Trước hết chúng ta trình bày một số khái niệm, ví dụ và một số tính chất cơ bản của lớp vành chính quy yếu Nội dung của phần này chúng tôi tham khảo tài liệu [4] 2.1.1 Định nghĩa Vành R được gọi là vành chính quy yếu trái (left weakly regular ring) nếu mọi iđêan trái I của R ta có I = I 2 (hay x ∈ RxRx, ∀x ∈ R) Vành R... R được gọi là vành chính quy yếu phải (right weakly regular ring) nếu mọi iđêan phải I của R ta có I = I 2 (hay x ∈ xRxR, ∀x ∈ R) Vành R được gọi là vành chính quy yếu (weakly regular ring) nếu R là vành chính quy yếu trái và phải Tiếp theo chúng ta có một số tính chất của lớp vành chính quy yếu 2.1.2 Mệnh đề Cho R là một vành, các điều kiện sau là tương đương: (a) R là vành chính quy yếu phải; (b)... đó, nếu R là vành chính quy yếu thì r ∈ rR, ∀r ∈ R 2 Từ định nghĩa ta có, nếu R là vành chính quy yếu phải thì mọi vành thương của R cũng là vành chính quy yếu phải Nếu I là một iđêan hai phía của R và r ∈ I thì r ∈ (rR)4 ⊆ (rI)2 do đó I cũng chính quy yếu phải Mặt khác, giả sử rằng I iđêan hai phía của R thì I là vành chính quy yếu, hơn nữa, mọi vành thương R/I cũng là vành chính quy yếu phải Khi... lại tính chất của iđêan trong vành chính quy ta nhắc lại khái niệm iđêan chính quy như sau: 1.2.3 Định nghĩa Một iđêan hai phía J của vành R được gọi là chính quy nếu với mỗi x ∈ J, tồn tại y ∈ J sao cho xyx = x 1.2.4 Mệnh đề Cho J ≤ K là các iđêan hai phía của vành R Khi đó K là chính quy nếu và chỉ nếu J, K/J đều chính quy 1.2.5 Mệnh đề Tích trực tiếp hữu hạn của các vành chính quy là vành chính quy. .. vành chính quy nhưng một vành con của Q là vành các số nguyên Z không là vành chính quy (phần tử 2 ∈ Z không phải là phần tử chính quy vì iđêan 2Z không được sinh bởi lũy đẳng nào, chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1) Tuy nhiên đối với các vành con đặc biệt, ta có: 1.2.7 Mệnh đề Tâm của vành chính quy là vành chính quy 14 1.2.8 Định lý Một vành chính quy R = 0 không phân tích được nếu và chỉ nếu tâm của nó... kiện (1) của Mệnh đề 2.1.8 cho chúng ta thấy rằng, mọi vành Artin phải, chính quy yếu phải đều là vành chính quy Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét một số tính chất của lớp vành Noether phải, chính quy yếu phải Vành R được gọi là vành Goldie nếu nó thỏa mãn các tính chất sau: (1) Không tồn tại tổng trực tiếp vô hạn các iđêan phải của R; (2) Vành R có dãy ACC các iđêan linh hóa tử phải Trong trường hợp vành. .. cho vành thỏa mãn mọi iđêan phải tối đại là GW -iđêan Vành R được gọi là QD -vành (quasi duo) trái (phải)nếu mọi iđêan trái (phải) tối đại của R là một iđêan Từ Định lý 2.2.7 ta có hệ qủa sau: 2.2.8 Hệ quả Các điều kiện sau là tương đương trên QD -vành trái (hoặc phải) R: (1) R là vành chính quy mạnh; (2) R là vành chính quy yếu trái; (3) R là vành chính quy yếu phải 2.3 Một số tính chất của V -vành ... 1.2 Một số tính chất vành quy 12 Một số tính chất vành quy yếu V- vành 16 2.1 Vành quy yếu 16 2.2 GW -iđêan vành quy yếu 22 2.3 Một số tính chất. .. số tính chất lớp vành quy yếu 2.2 GW- iđêan vành quy yếu Giới thiệu số tính chất lớp vành quy yếu thông qua GW- iđêan 2.3 Một số tính chất V- Vành Lớp GP-V -vành lớp vành đặc biệt lớp V -vành Trong... dim(M )+ dim(M ) 16 CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUY YẾU VÀ V- VÀNH 2.1 Vành quy yếu Trước hết trình bày số khái niệm, ví dụ số tính chất lớp vành quy yếu Nội dung phần tham khảo tài